IV-2小題考法——概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例

姿至藍二專題啟動—知能自盤查

基礎(chǔ)小，4熱身

1.(2021?全國甲卷)將4個I和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為()

A3B.|

c.jD]

解析：選C4個1和2個0排成一行，即6個數(shù)字排成一行，所以問題可轉(zhuǎn)化為從6

個位更中選擇2個位直放0,共有C%=15(種)情況，再考慮2個0不相鄰的排法，4個1排

成一行，共有5個縫隙(考慮兩端)，所以只需從這5個縫隙中選取2個縫隙放0即可，故有

K)2

0=10(種)情況.因此2人0不相鄰的概率。=石=].故選C.

2.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生

喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)

的比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析：選C設(shè)事件A為喜歡足球，事件8為喜歡游泳，

則由題意可知尸(AUB)=96%,P(A)=60%,尸(3)=82%.由尸(AU8)=P(A)+P(8)-

P(AHB),可得P(AG8)=46%,所以既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比

例是46%.

3.(2021?新高考R卷)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布M10,/)，下列結(jié)論中不正確

的是()

A.〃越小，該物理量在一次測量中在(9910.1)的概率越大

B.(J

C.(J

D.。越小，該物理量在一次測量中落在(9910.2)與落在(10,10.3)的概率相等

解析：選D正態(tài)分布的曲線形狀由參數(shù)。確定越小，曲線越“高瘦”，即在(9.9,10.1)

的概率越大，落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的才氏率，A正確，D不正確.曲線在x

=10時處于最高點，并由此向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低，所以在一次測量中大于10

的概率為0.5,小于9.99與大于10.01的概率相等，B、C正確.故選D.

4.根據(jù)中國生態(tài)環(huán)境部公布的2017年、2018年長江流域水質(zhì)情況監(jiān)測數(shù)據(jù)，得到如

下餅圖:

2018年

則下列說法錯誤的是i）

A.2018年的水質(zhì)情況好于2017年的水質(zhì)情況

R.2018年與2017年相比較，I,H類水質(zhì)的占比明顯增加

C.2018年與2017年相比較，占比減小幅度最大的是IV類水質(zhì)

D.2018年I,II類水質(zhì)的占比超過60%

解析：選CA項，2018年I,II類水質(zhì)的占比明顯超過2017年I,II類水質(zhì)的占比，

故正確；B項，2018年I,II類水質(zhì)的占比達到60.4%,而2017年I,II類水質(zhì)的占比為

46.4%,故正確；C項，2。18年與2017年相比較，占比減小幅度最大的是III類水質(zhì)，故錯

誤；D項，2018年I,II類水質(zhì)的占比達到60.4%,超過60%,故正確.故選C.

5.（2021?全國申卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，

將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

解析：選C由頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約

為0.02+0.04=0.06,所以A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為

0.02+0.02+0.02+0.04=0.10,所以B正確：由頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入

的平均值約為3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8X0.2+9X0.1+10X0.1+

11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5,所以C不正確；該地農(nóng)戶家庭年收

入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率約為0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,所以D正確.故

選C.

主甘吟醒腦

1.概率的計算公式

(1)古典概型：

一一事件4包含的基本事件數(shù)加

PW~基本事件總數(shù)〃.

(2)互斥事件：

產(chǎn)(AU8)=P(A)+P(B).

(3)對立事件：

PCA)=\-P(A).

(4)獨立事件:

P(AB)=P(A)P⑹.

(5)獨立重復(fù)試驗：

P"伏)=以百(1一「尸匕

(6)條件概率：P(8|A)=q工).

2.直方圖的常用結(jié)論

(1)小長方形的面積=組距乂頻赫率=頻率.

(2)各小長方形的面積之和等于1.

頻率

(3)小長方形的高=品.

(4)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值等于每個小長方形的面積乘其底邊中點的橫坐標之和.

3.數(shù)據(jù)為，X2,X3,…,小的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).

(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個數(shù)

為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

(3)樣本平均數(shù)7=氐0+4+…+4)=;*”反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平.

尸I

(4)樣本方差與標準差：

方差與標準差反映了樣本數(shù)據(jù)的離散程度.

2222

①方差$2=%(為一x)+(X2—X)H----X)]=^E(Xi~X).

j=l

②標準差

-222

s=A/~[(-ViX)4-(X2-A)H----F(xn—x)J

=小….

4.線性回歸方程

〃___

方程￡=源+1稱為線性回歸方程，其中金=----------，a=y—bx,(x,y)稱為樣

一〃X?

本點的中心.

5.獨立性檢驗

〃(。4一0。2

K2=其中〃=〃+A+c+d.

(a+〃)(c+</)(。+c)(Z?+d)'

6.兩點分布與二項分布的期望與方差

⑴若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)=p,D(X)=p(l—p).

(2)若隨機變量X服從二項分布,即X?B(〃,p),則￡(X)=〃〃，D(X)=np(l-p).

藍奉奉辭題點強化——研透命題點

命題點一用樣本估計總體

方法例解

[典例I(1)(多選)某校高三年級共有800名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗(滿分150分)，已知這

800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于90分,將這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下：[90,100),

[100J10),[110,120),1120J30),[I30J40),[140J50J,得到的頻率分布直方圖如圖所示，

則下列說法中正確的是(

A.a

B.這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在110分以下的人數(shù)為160

D.這80()名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為125

⑵某同學(xué)10次測評成績的數(shù)據(jù)如下：223,4,10+芭10+)，,19,19,20,21.已知成績的中位數(shù)

為12,若要使標準差最小，則4x+2y的值是()

A.12B.14

C.16D.18

I解析I(I)由頻率分布直方圖可知

X2+0.025+?+0.015+0.005)X10=1,

解得。=0.035,故A不正確：

這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在110分以下的人數(shù)為

800X(0.010+0.010)X10=160,故B正確；

設(shè)這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為x,

XXX104-(x-120)X0.035=0.5,解得工2121.4,故C正確；

對于D,這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為

95XX10+105XX10+115XX10+125XX10+135XXI04-145XX10=120,故D

不正確.故選B、C.

(2)由題意可知，成績的中位數(shù)為12,

故x+y=4,

平均數(shù)為=X(2+2+3+4+10+x+10+y+19+19+20+21)=11.4.

要使標準差最小，即方差最小，只需使(10+工一11.4)2+(10+)，-11.4)2最小即可.

(x+v)2

2222/

5l(10+.r-11.4)+(19+y-11.4)=(x~1.4)+(>*-l.4)^-2=0.72t當(dāng)且僅當(dāng)x-

1.4—)，一1.4時取等可，故x—y—2時，標準差最小，此時4x+2)，-12,故選A.

［答案］(1)BC(2)A

融通方法

1.關(guān)于平均數(shù)、方差的計算的注意點

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的計算關(guān)鍵在于準確記憶公式，要特別注意區(qū)分方差與標準

差，不能混淆，標準差是方差的算術(shù)平方根.

2.求解頻率分布直方圖中相關(guān)數(shù)據(jù)的兩個注意點

(1)小長方形的面積表示頻率，其縱軸是頻表率，而不是頻率.

(2)各組數(shù)據(jù)頻率之比等于對應(yīng)小長方形的高度之比.

應(yīng)用體驗

1.(多選)(2021?煙臺二樓)某教練組為了比較甲、乙兩名籃球運動員的競技狀態(tài)，選取

了他們最近10場常規(guī)賽得分如下表所示，則從最近10場比賽的得分看()

甲8151228262123253034

乙7131518242229303836

B.甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)

C.甲的競技狀態(tài)比乙的更穩(wěn)定

D.乙的競技狀態(tài)比甲的更穩(wěn)定

23+2522+24

解析：選ACA:甲、乙中位數(shù)分別為一.-=24、不—=23,即甲的中位數(shù)大于

乙的中位數(shù)，正確：B:甲的平均數(shù)為=(8+12+15+21+23+25+26+28+30+34)=22.2,

乙的平均數(shù)為白7+13+15+18+22+24+29+30+36+38)=23.2,甲的平均數(shù)小于乙的平

.10?10

2

均數(shù)，錯誤;C:甲的方差』=mZ(XL22.2)2=61.56,乙的方差向g(xf—23.2)=92.56,

印汗＜0,甲的競技狀態(tài)比乙的更穩(wěn)定，正確，故D錯誤.故選A、C.

2.(多選)2020年上半年，中國養(yǎng)豬企業(yè)受豬價高的影響，大多收獲史上最佳半年報業(yè)

績，部分企業(yè)半年報營業(yè)收入同比增長超過1倍.某養(yǎng)豬場抓住機遇，加大了生豬養(yǎng)殖規(guī)模,

為了檢測生豬的養(yǎng)殖情況，該養(yǎng)豬場對2000頭生豬的體重(單位：kg)進行了統(tǒng)計，得到如

圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是()

頻率

組距

0.012

0.01

0.005

0.004

0.002

0.001

80100120140160180200220體重/kg

A.這2000頭生豬體重的眾數(shù)為160kg

B.這2000頭生豬中體重不低于200kg的有80頭

C.這2000頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間［140,160)內(nèi)

D.這2000頭牛豬體重的平均數(shù)為152.8kg

解析：選BCD由頻率分布直方圖可知，［140,160)這一組的數(shù)據(jù)對應(yīng)的小長方形最高，

所以這2000頭生豬的體重的眾數(shù)為150kg,A錯誤：這2000頭生豬中體重不低于200

kgX2()X2000=80(頭)，B正確；因為生豬的體重在［80,140)內(nèi)的頻率為(0.001+0.C04+

0.01)XXXXXXX17040.005XX210)X20=I52.8(kg),D正確.

命題點二古典概型

方法例解

［典例］(1)從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù)，其中一個作為對數(shù)的底數(shù)，另一個作為對

數(shù)的真數(shù)，則對數(shù)值大于0且小于1的概率是()

八方34—85?

(2)不負青山，力換“金山”一重慶縉云山國家級自然保護區(qū)經(jīng)過治理，逐步實現(xiàn)“生

態(tài)美、百姓富”.近幾年，北硝區(qū)結(jié)合當(dāng)?shù)刭Y源稟賦，按照“山上生態(tài)做減法、山下產(chǎn)業(yè)做

加法”的思路，加大縉云山棚戶區(qū)改造，科學(xué)有序發(fā)展環(huán)山文旅康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)，溫泉度假小鎮(zhèn)、

環(huán)山綠道、農(nóng)家樂提檔升級、特色民宿群等一批生態(tài)產(chǎn)業(yè)項目加快實施.游客甲與乙同時沿

下圖旅游線路游玩.甲將在第18站之前的任意一站下，乙將在第9站之前的任意一站下，

他們都至少坐一站再下車，則甲比乙后下的概率為()

馬

中

騰

健

中

龍

咀

縉

身

共

境

玻

云

辦

白

梯

獅

北

香

西

觀

璃

翠

白

佛

山

公

南

林

縉

溫

玉

云

步

子

溫

爐

南

景

廊

月

云

光

索

舊

鳴

上

云

泉

尖

竹

熊

道

峰

泉

局峰

分

道

湖

觀

崖

道

址

澗

閣

寺

寺

峰

海

湖

一

一

A.1-4r9

B4C,5DT7

［解析］(DTI只能作為真數(shù)，從其余各數(shù)中任取一數(shù)作為底數(shù)，其值均為0;

從1除外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別為底數(shù)和其數(shù)，

基本事件為：(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),

(5,4),共12個，

???基本事件總數(shù)共16個.

滿足題設(shè)條件的事件有：(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共6個，由古典概型

的計算公式將所求事件的機率P=2二)故選C.

Ioo

(2)記“甲比乙后下”為事件A,根據(jù)題意可得，甲、乙下車的所有可能情況有16X7=

112種，其中事件A中包含的基本事件有15+14+13+12+11+10+9=84種，故甲比乙后

843

下車的概率為P(A)=jj］=不故選B.

［答案］(1)C(2)B

融通方法古典概型中基本事件個數(shù)的探求方法

枚舉法適合基本事件個數(shù)較少且易一一列舉的問題

樹狀圖法適用于較為復(fù)雜的問題中基本事件個數(shù)的探求，尤其是有序問題

排列、組合法在求解一些較為復(fù)雜的問題時，可利用排列、組合知識求出基本事件個數(shù)

應(yīng)用體驗

I.從分別標有數(shù)字123,4,5的5張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則

抽到的2張卡片上的數(shù)字的奇偶性不同的概率是()

C.|D.1

解析：選C所有基本事件有：

12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,3L41,51,32,42,52,43,53,54,共20種,其中抽到的2張卡片

上的數(shù)字的奇偶性不同的有12,14,23,25,34,45,21,41,32,52,43,54,共12種,根據(jù)古典概型的

193

概率公式可得所求事件的概率為方=］.故選C.

2.2021年I月18E.國家統(tǒng)計局公布我國2020年GDP總量首次突破100萬億元.

這是我國經(jīng)濟里程碑式的新飛躍.尤其第三產(chǎn)業(yè)增長幅度較大，現(xiàn)抽取6個企業(yè)，調(diào)查其第

三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長量分別為0406121.2,1.8,2.0(單位：十萬元)，若增長量超過1.5可評為

優(yōu)秀企業(yè)，現(xiàn)從6個企業(yè)中隨機抽取兩個，則恰好有一個優(yōu)秀企業(yè)的概率為()

A.|B.|

解析：選D由題知.增長量超過1.5的有2個，則從6個企業(yè)中隨機抽取兩個，則恰

好有一個優(yōu)秀企業(yè)的概率為魯=卷故選D.

3.為推廣羽毛球運動，某羽毛球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加比賽.現(xiàn)有來自

甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名，乙協(xié)會的運動員4名，其中種子選手2名，現(xiàn)從

甲、乙兩協(xié)會的這7名運動員中隨機抽取4人參加比賽，設(shè)事件A為“抽取的4人中恰有2

名種子選手且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，則P(A)=()

解析：選B從7名運動員中隨機抽取4人參加比賽，基本事件總數(shù)為0=35.

事件A為“抽取的4人中恰有2名種子選手且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”.有

兩種情況：

①2名種子選手都來自甲協(xié)會，包含的基本事件個數(shù)為GC=3;

②2名種子選手都來自乙協(xié)會，包含的基本事件個數(shù)為GCg=3.

由分類加法計數(shù)原理可得，事件A包含的基本事件個數(shù)為3+3=6.

故P(4)=行.故選B.

命題點三相互獨立事件的概率與條件概率

方法例解

［典例］(1)(2021?新商考I卷)有6個相同的球，分別標有數(shù)字123,4,5,6,從中有放回

的隨機取兩次，每次取I?個球.甲表示事件“第次取山的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第

二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩

次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

（2）已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放

著，現(xiàn)需要安裝一只卡口燈泡，電工師傅每次從盒中任取一只并且不放回，則在他第1次抽

到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為.

I解析］（1）由題意知P（甲）=/,P（P（丙）=^X/X5=,P（丁）=

3乂36="（甲n丙）=0關(guān)P（甲）P（丙），故A項錯誤;P（甲C丁）=卜,=e=尸（甲）P（T）,

故B項正確：P（乙C丙）=9*卷=表六「（乙）P（丙），故C項錯誤；P（丙C?。?0WP（丙）H?。?

故D項錯誤.選B.

（2）記“包工師傅第1次抽到的是螺口燈泡”為事件A,“電工師傅第2次抽到的是卡口

燈泡”為事件8,則P（A尸仔P（AB）=$3廣含=看,所以P（8|A）=,鑿）=/.

|答案|（l）B（2）j

融通方法

1.求獨立事件概率的關(guān)鍵點

（1）緊扣定義，正確判斷相互獨立事件；

（2）能分解獨立事件為幾個互斥事件的和；

（3）能正確運用公式RA8）=P（4）P（B）.

2.條件概率的求法

分別求PS）和P（AB）,得P（8|/t）—然1.這是通用的求條件概率的方法

利用定義

先求事件A包含的基本事件數(shù)〃（A）,再在事件A發(fā)生的條件下求事件8包

借助古典概型

含的基本事件數(shù)，即〃（A8）,得P（8歷）=當(dāng)誓

概率公式

應(yīng)用體驗

1.兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為焉和*兩個零件是否加

工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（）

A」B.；

解析：選B記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為A,即僅第一個實習(xí)生加工為一

等品為事件4,僅第二個實習(xí)生加工為一等品為事件A?兩種情況，則P(A)=P(AI)+P(A2)

51131

=6X4+6X4=3*故選民

2.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A="4個

人去的景點不相同"，事件B="小趙獨自去一個景點”，則尸(川8)=()

2—

A-B

95

C.§D.j

解析：選A因為小趙獨自去一個景點共有4X3X3X3=108種可能性，4個人去的景

?42

點不相同的可能性有A*=4X3X2X1=24種，所以P(4|8)=加=幣

命題點四二項分布及正態(tài)分布

方法例解

I典例I(1)一個袋中勻大小、形狀相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可

能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為酊；當(dāng)無放回依次取出兩個

小球時，記取出的紅球數(shù)為則()

A.E⑹田為，。(幣)<。(。2)

B./)=皈)，甌)>。(。)

C.E?)=E(&),。9)<。(。)

D.E?)>E(&,

14

(2)已知隨機變量。?Ml，/)，且尸CW0)=P(?2a),則；+=W)<xV4)的最小值為()

**ax

9

A.9B.

C.4D.6

［解析I⑴卻的可能E義值為0,1,2,3?碓，1j,E(：i)=2x|=|,D(<f,)=2x|x|=1；

7II71122I2

。的可能取值為04，^(<；2=0)=TJX-/=-J,P(^2=1)=7><9+TXT4=TJ,/.E(<；2)=0XTJ+1XrJ=

I，。@)=(。一|)2義"(1一|)2X????E&)=E(E2),砥)>￡>◎).故選B.

I41

(2)法一：因為隨機變量。?Ml,，)，。(收0)=〃(92),所以。=2,所以；+=7=；+

xakX

/嘿+含)1x+(2一創(chuàng)5+4+受瓷)*24嗯H，當(dāng)且僅當(dāng)

2—X4x9

二7^=七7>即時等號成立，故選B.

1414

法二：因為隨機變量：?Ml,『），尸（f0）=尸〈22）,所以。=2,所以

XCIXZ,X

=2后—x+了4x=2許+3x？令.2+,3.1=302,8）,則,x=L翡2（2U句8、，所..以W2+3Tx詞3/衍=

,:（0=-iTjo?又小住隊所以注韶2/苜當(dāng)且僅當(dāng)/=3寸取等

-r-y+T—L方+不

3391492

號，所以-----［6~~10^8-10=2>即次當(dāng)且僅當(dāng)x=3時等號成立，故選B.

一，一而+丁-3+T

［答案］（1）B（2）B

融通方法

1.二項分布的判斷與概率公式

⑴對于公式尸（X=A）=C對（1一〃）"）伏=0,1,2,〃）必須在滿足“獨立重復(fù)實驗”時

才能運用，否則不能應(yīng)用該公式.

（2）判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵是有兩點：一是對立事件，即一次試驗

中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗獨立重復(fù)地進行了〃次.

2.解決與正態(tài)分布有關(guān)的問題的關(guān)鍵是利用對稱軸確定所求概率對應(yīng)的隨機變量

的區(qū)間與已知概率對應(yīng)的逋機變量的區(qū)間的關(guān)系，必要時借助圖形進行判斷求解.

應(yīng)用體驗

1.某單位舉行詩詞大會比賽，給每位參賽者設(shè)計了“保留題型”“升級題型”“創(chuàng)新

題型”三類題型，每類題型中均指定一道題讓參賽者回答.已知某位參賽者答對每道感的概

率均為點且各次答對與否相互獨立，則該參賽者答完三道題，其中至少兩道題答對的概率

為（）

H2n世

AA125BI25

113124

C125DT25

解析：選A設(shè)事件M為“該參賽者答完三道題，其中至少兩道題答對”.依題意得

P（M=?+嘯X5=黑.故選A.

2.（2021?山東濟南十一學(xué)校聯(lián)考）山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、

香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：mm）服從正

態(tài)分布M80,5?）,則直徑在（75,90］內(nèi)的概率為（）

附：若X?N"『），則P（〃一o<XW"+o）=0.6826,P（/t-2a<X^i+2（J）=0.9544.

A.0.6826B.0.8413

C.0.8185D.0.9544

解析：選C煙臺蘋果的直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布N（80,52）,可得*=80,<7=5,

則直徑在(75,9()]內(nèi)的稷率為P(/i-2o<Xji+2㈤一2(r<X<fi+2a)一P(/i一ZXq+a)]

=1[P(/7-2gxsi+2㈤+P@~EX&I+則=3X(0.9544+0.6826)=0.8185.故選C.

命題點五回歸分析與獨立性檢驗

方法例解

［典例］（1）（2021?湘雅名校月考）疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)

防接種的預(yù)防性生物制品，其前期研發(fā)過程中，一般都會進行動物保護測試，為了考察某種

疫苗預(yù)防效果，在進行動物試驗時，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):

未發(fā)病發(fā)病合計

未注射疫苗20

注射疫苗30

合計5050100

附表及公式:

2______—一1_________

K(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)*〃=a+b+c+d.

尸（聯(lián)一公）

現(xiàn)從試驗動物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為|，則下列判斷錯誤的是（）

A.注射疫苗發(fā)病的動物數(shù)為10

2

B.從該試驗未注射疫苗的動物中任取一只，發(fā)病的概率為與

C.能在犯錯概率不超過0.001的前提下，認為疫苗有效

D.該疫苗的有效率為75%

（2）（2021?湖北九師聯(lián)盟2月聯(lián)考）下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（單位：年）和所支出的

維修費用），（單位：萬元）的統(tǒng)計表

X23456

y

由上表可得線性回歸方程嬴+々，若規(guī)定：維修費用），不超過10萬元，一旦大于10萬

元時，該設(shè)備必須報廢.據(jù)此模型預(yù)測，該設(shè)備使用年限的最大值約為（）

A.7B.8

C.9D.10

［解析］（1）由題知：注射疫苗動物共40只，未汴射為60.只，補充列聯(lián)表，

未發(fā)病發(fā)病合計

未注射疫苗204060

注射疫苗301()40

合計5050100

由此可得A、B正確.

計算得：-==16.667>10828，故能在犯錯概率不超過0.001

100正OU入然4UA［J短UA3迎U

的前提下認為疫苗有效.C正確，D錯誤.故選D.

(2)由已知表格，得；=］(2+3+4+5+6)=4,7=1(3.4+4.2+5.1+5.5+6.8)=5,因

為【可歸直線恒過樣本點的中心(x,.yX4+”,解得〃=1.76,所以回歸直線的方程為.yx+1.76,

由)WxWlO,解得人需F0.17,由于xwN",所以據(jù)此模型預(yù)測，該設(shè)備使用年限的最

大值為10.故選D.

［答案］(1)D(2)D

融通方法

1.解決回歸方程問題的注意點

解決回歸方程問題應(yīng)注意樣本點的中心(；，歹)在回歸直線上，即亍=1：+2.

2.破解獨立性檢驗問題的方法

充分利用2X2列聯(lián)表準確地計算出K2的觀測值鼠并將K2的觀測值與臨界值進行對比，

進而作出統(tǒng)計推斷.

應(yīng)用體驗

1.(多選)某大學(xué)為了了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了50名男生和50

名女生，每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到如圖所示的列聯(lián)表.經(jīng)計算

K2的觀測值上心4.762,則可以推斷出(用頻率估計概率)()

滿意不滿意

男3020

女4010

附:

P(K?2公)

瓜

3

A.該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率為反

B.調(diào)查結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對食堂服務(wù)更滿意

C.有95%的把握認為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異

D.有99%的把握認為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異

303

解析：選AC該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率為右故A正確；該學(xué)校女

4043

生對食堂服務(wù)滿意的概率為了工證故B錯誤；因為攵比4.762>3.841,所以有95%的

QUI1UJJ

把握認為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異，故C正確，D錯誤.故選A、C.

2.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到回歸直線方程￡=源+二則下列判斷正確的是（）

AAA

A.仍+a=4B./?>0,4/;+?

AAA

C.a〃+a=4D.a>()Ab-1~a

解析：選D

因為回歸直線），=k1+。經(jīng)過樣本點的中心（刀,y）

AAQ

所以48+〃=0.9.2?

根據(jù)題中表格數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖所示，由圖可知，回歸直線￡=￡H-<?i23-4i6：

x+a的斜率〃<0,且當(dāng)x=0時，>'=67>0,故選D.

互互：互芽發(fā)展思維命題新導(dǎo)向

1.（借助數(shù)學(xué)文化）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成

果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超

過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）

解析：選C不超過30的所有素數(shù)為2,357,11,13,17,19,23,29,共10個，隨機選取兩

個不同的數(shù)，共有C?o=45種情況，而和為30的有7+23,11+19,13+17這3種情況，，所

求概率為啟3=去1.故選C.

2.（跨學(xué)科綜合）人的猴皮單雙是由遺傳基因決定的，其中顯性基因記作A,隱性基因記

作。，成對的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，就一定是雙眼皮，也就是說，“雙眼皮”的充

要條件是“基因?qū)κ?，"A或Aa”.人的卷舌與平舌（指是否能左右卷起來）也是由一對基

因?qū)Q定的，分別用從力表不顯性基因、隘性基因，基因?qū)χ兄灰霈F(xiàn)「顯性基因從就

一定是卷舌的.生物學(xué)上已經(jīng)證明：控制不同性狀的基因遺傳時互不干擾，若有一對夫妻，

兩人決定眼皮單雙和舌頭形態(tài)的基因都是AaBb,不考慮基因突變，那么他們的孩子是雙眼

皮且卷舌的概率為（）

A16B品

。D里

C16u-16

解析：選D分別計算出孩子為雙眼皮與卷舌的概率，再根據(jù)相互獨立事件的概率公式

計算即可.

父母決定眼皮單雙的基因均為An,遺傳紿孩子的基因可能為AA,