串講07概率與統(tǒng)計(jì)

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

分類計(jì)數(shù)原理

分步計(jì)數(shù)原理

排列數(shù)

排列組合4

7組合數(shù)

二項(xiàng)展開式

L二項(xiàng)式定理，通項(xiàng)公式

統(tǒng)計(jì)與概率

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

,離散型隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量及其分布>?卜二項(xiàng)分布

?正態(tài)分布

用樣本估計(jì)整體

統(tǒng)計(jì)

一元線性回歸

二、?？碱}型

加法原理離散型隨機(jī)變量

f-------------------

乘法原理二項(xiàng)分布

排列o常見考點(diǎn)。正態(tài)分布

組合、用樣本估計(jì)總體

二項(xiàng)式定理變量間的相關(guān)關(guān)系

三、知識(shí)梳理

1.計(jì)數(shù)原理

（1）分類加法計(jì)數(shù)原理

概念：完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有班種不同的方法，在第2類方案中有牲

種不同的方法，…，在第〃類方案中有外種不同的方法，那么完成這件事共有

N二町+網(wǎng)+…+〃乙種不同的方法.

特征：①任何一類方案都能完成這件事；②各類方案之間相互獨(dú)立；③分類要做到“不重不漏”

（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理

概念:完成一件事需要〃個(gè)步驟，做第1步有町種不同的方法，做第2步有外種不同的方法，…，

做第〃步有“種不同的方法，那么，完成這件事共有N=K…X/〃”種不同的方法

特征：①任何一步都不能單獨(dú)完成這件事；②各步之間相互依存；③分步要做到“步驟完整”

2.排列

（1）排列：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出〃?（〃區(qū)〃）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫

做從〃個(gè)不同元素中取出，〃個(gè)元素的一個(gè)排列

（2）排列數(shù)：從〃個(gè)不同元素中取出根（〃6〃）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從〃個(gè)不同

元素中取出加個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A：表示

（3）排列數(shù)公式：A"'=/7（/2-1）（n-2）■??（/?-/7Z+1）=n'（N",且

3.組合

（1）組合：一般地，從〃個(gè)不同的元素中取出〃區(qū)〃）個(gè)元素合成一組，叫做從〃個(gè)不同元

素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合

（2）組合數(shù)：從〃個(gè)不同元素中取出根（〃區(qū)〃）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不

同元素中取出加個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示

/八APIA將八teA：H(A?-1)(/?—2)???(?—w+1)n\/、r*口/、

(3)組合數(shù)公式：C=—=----------------------=-----(m,nwN,S.m<n)

〃A：ml初(〃一⑼！

(4)組合數(shù)的性質(zhì)：(1)C；=C：-m；(2)C1=C；+C『

4.二項(xiàng)式定理

(1)二項(xiàng)式定理

概念：一般地，對(duì)于任意的正整數(shù)〃，

都有(〃+3"=C"++…+cy-V+--+c?"(〃wN)這個(gè)公式稱為二項(xiàng)式

定理，等號(hào)右邊的式了稱為(〃十))〃的二項(xiàng)展開式，(&十〃)”的二項(xiàng)展開式共有〃+1項(xiàng)，其中各

項(xiàng)的系數(shù)C：(正｛0,1,2,…，叫叫做二項(xiàng)式系數(shù)，C”“A稱為二項(xiàng)展開式的第Z+1項(xiàng)，又稱為

二求展開式的通項(xiàng)

(2)二項(xiàng)展開式的特征：

①二項(xiàng)展開式共有〃+1項(xiàng)；

②二項(xiàng)式系數(shù)依次為組合數(shù)G；CC，…，￡；，???，&；

③各項(xiàng)次數(shù)都等于二項(xiàng)式的基指數(shù)〃;

④字母〃的指數(shù)由〃開始按降幕排列到0,b的指數(shù)由0開始按升舞排列到〃

(3)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)式系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)指該項(xiàng)中除字母外的部分

(4)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等

增減性：當(dāng)小時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的

2

最大值：當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：取得最大值；當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二

n-1n+l

項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值

(5)二項(xiàng)式系數(shù)和:

①二項(xiàng)展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為2〃；

②在二項(xiàng)展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等且都等于.

5.離散型隨機(jī)變量

(1)離散型隨機(jī)變量的定義

如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變

量。

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列

設(shè)離散型隨機(jī)變量4所有可能取得的值為X1,X2,…,心,…Xn,若4取每一個(gè)值Xi(i=l,2,…，n)

的概率為p(g=W)=6，則稱表

??????

X1X2XiXn

PPlP2???Pi???Pn

為隨機(jī)變量4的概率分布，簡(jiǎn)稱4的分布列.該分布列具有如下性質(zhì):

①R20,i=1,2,…，n；

②P1+P2+…+P產(chǎn)1

(3)離散型隨機(jī)變量的分布列的求法

①要確定隨機(jī)變量J的可能取值有哪些.明確取每個(gè)值所表示的意義；

②分清概率類型，計(jì)算4取得每一個(gè)值時(shí)的概率；

③列表對(duì)應(yīng)，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證.

6.二項(xiàng)分布

（1）二項(xiàng)分布的定義

在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在八次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)

4是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是〃，則此事件不發(fā)生的概

率為4=1-〃，那么在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率是

*=k）=2伏）=C：pkqi,（攵=）.

于是得到離散型隨機(jī)變量4的概率分布如下：

01???k???n

Pc>VcA*??????C：p"q。

由于表中第二行恰好是二項(xiàng)展開式

①+〃）“=C；P%"++…+C：〃，尸+…+C：pZ0中各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值,所以稱這樣的

隨機(jī)變量4服從參數(shù)為〃，〃的二項(xiàng)分布，記作。?伏〃,〃）.

（2）如何求有關(guān)的二項(xiàng)分布

①分清楚在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，共進(jìn)行了多少次重復(fù)試驗(yàn)，即先確定n的值，然后確定在一

次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是多少，即確定p的值，最后再確定某事件A恰好發(fā)生了多少次，

即確定k的值；

②準(zhǔn)確算出每一種情況卜，某事件A發(fā)生的概率；

③用表格形式列出隨機(jī)變量的分布列.

7.正態(tài)分布

（1）正態(tài)變量的概率密度函數(shù)

正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：0)=7亞『6紡2(xwR),(b>0,Yov〃<M)

其中X是隨機(jī)變量的取值；□為正態(tài)變量的期望；。是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)正態(tài)分布

①正態(tài)分布的定義

如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)。力(?！戳﹄S機(jī)變量X滿足：尸(。<XW6)=f公,則稱隨機(jī)變量X

服從正態(tài)分布，記為xN(A，￡)

②正態(tài)分布的期望與方差

若X2,6),則X的期望與方差分別為：EX=〃，DX=a2

(3)正態(tài)曲線

1

如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為/(x)=-f^eMR),其中實(shí)數(shù)〃和。為參數(shù)

42m

(<T>0,-ox//<+a)),則稱函數(shù)/a)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.

(4)正態(tài)曲線的性質(zhì)

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對(duì)稱;

③曲線在x=〃時(shí)達(dá)到峰值

J27rb

④當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x

軸為漸近線，向它無限靠近；

⑤曲線與X軸之間的面積為1;

⑥”決定曲線的位置和對(duì)稱性

當(dāng)。一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由〃確定；如下圖所示，曲線隨著〃的變化而沿X軸平移;

⑦。確定曲線的形狀

當(dāng)，〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定。。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；。越

大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示.

8.油樣方式

（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N（N為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體,從中②逐個(gè)抽取n（1Wn<N）個(gè)個(gè)體作為

樣本

如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體

的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都③相等，我們內(nèi)④未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率

把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放

樣同簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲

得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

（2）分層抽樣

①分層隨機(jī)抽樣的定義

一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體,每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體,在

每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,

這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.

②比例分配

在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣木量都與層的大小成比例，那么稱這種樣木量的分配方式為比

例分配.

9.變量的相關(guān)關(guān)系

（1）相關(guān)關(guān)系的定義

兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為

相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

（2）散點(diǎn)圖

①散點(diǎn)圖

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.

②正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱

這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱

這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

斗r

0正相關(guān)*0負(fù)相關(guān)”

（3）線性相關(guān)

一股地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，則稱這兩個(gè)

變量線性相關(guān).

四、?？碱}型探究

考點(diǎn)一加法原理

例1.一個(gè)二層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物8本，英語類讀物9本,每本圖

書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（）

A.3種B.504種C.24種D.12種

例2.每天從甲地到乙地的飛機(jī)有5班，高鐵有10趟，動(dòng)車有6趟，公共汽車有12班.某人

某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有（）

A.22種B.33種C.300種D.3600種

【變式探究】如圖，已知每條線路僅含一條通路，當(dāng)一條電路從M處到N處接通時(shí)，不同的

線路可以有（）

A.5條B.6條C.7條D.8條

考點(diǎn)二乘法原理

例3.中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類.現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、

紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（）

A.3,種B.43種C.3x2x1種D.4x3x2種

例4.有3位高三學(xué)生參加4所重點(diǎn)院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學(xué)校的考

試，則不同的考試方法種數(shù)為.

【變式探究】集合A有m個(gè)元素，集合B有n個(gè)元素，從兩個(gè)集合中各取1個(gè)元素，不同方法

的種數(shù)是.

考點(diǎn)三排列原理

例5.求A；+A：的值為（）

A.12B.18C.24D.30

例6.為貫徹文明校園，東湖中學(xué)每周安排5名學(xué)生志愿者參加文明監(jiān)督鹵工作，若每周只值

3天班，每班1人，每人每周最多值一班，則不同的排班種類為（）

A.12B.45C.60D.90

【變式探究】用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四

位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則第85個(gè)數(shù)字為（）

A.2301B.2304C.2305D.2310

考點(diǎn)四組合原理

例7.計(jì)算C"C：+C；+C：=（)

A.34B.35C.36D.37

例8.已知C；6=C『2,則心.

【變式探究】若C°=C：,則g的值為.

考點(diǎn)五二項(xiàng)式定理

例9.在⑵-少的展開式/中含項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.-192B.-160C.240D.60

例10.若(1-2外5=4+4/+42/++%/，則生+/=(

A.100B.110C.120D.130

【變式探究】若（4+蛾］展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃=（）

A.9B.10C.11D.12

考點(diǎn)六離散型隨機(jī)變量

例1L設(shè)離散型隨機(jī)變量4的分布列如下表所示：

—0123

1

\_1\_2

1To

P55

10

則下列各式正確的是（）

24

A.P（^<3）=-B.^>1）=-

C.P（2<g<4）=：D.贈(zèng)<05）=0

例12.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X123

31

a

lo

P5

則；的數(shù)學(xué)期望石(x)=()

A.=3B.2C.51D.3

22

【變式探究】下表是離散型隨機(jī)變量X的分布列，則常數(shù)。的值是（）

考點(diǎn)七二項(xiàng)分布

例13.電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8,則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞

了一個(gè)的概率為（）

A.0.384B.1C.0.128D.0.104

例14.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布46,；）,則P（X=3）的值為（）

【變式探究】設(shè)隨機(jī)變量4*2,p）,若。（421）=[,則夕的值為,

考點(diǎn)八正態(tài)分布

例15.對(duì)力，少兩地國(guó)企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知兩地國(guó)企員工的上班遲到時(shí)間均符

合正態(tài)分布，其中4地員工的上班遲到時(shí)間為4（單位：min）,X:N（2,4）,對(duì)應(yīng)的曲線為C,

8地員工的上班遲到時(shí)間為】，（單位：min）,Y/vkl、，對(duì)應(yīng)的曲線為G,則下列圖象正確

/

的是（）

a

-ku-UL

O\o\

例16.若隨機(jī)變量X~N(30,/),jaP(30<X<40)=03,則P(X<20)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【變式探究】若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2Q2),P(X>4)=0.45,則P(XN0)=()

A.0.45B.0.55C.0.1D.0.9

例17.王老師對(duì)本班4（）名學(xué)生報(bào)名參與課外興趣小組（每位學(xué)生限報(bào)一個(gè)項(xiàng)目）的情況進(jìn)行

了統(tǒng)計(jì)，列出如下的統(tǒng)計(jì)表，則本班報(bào)名參加科技小組的人數(shù)是（）

組數(shù)學(xué)小寫作小體育小音樂小科技小

別組組組組組

頻

().10.2().3().150.25

率

A.10人B.9人C.8人D.7人

例18.在某知識(shí)競(jìng)賽中，共