天津市靜海區(qū)2025-2026學年高二數學第一學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，分別在雙曲線的左右兩支上，且關于原點對稱，的左焦點為，直線與的左支相交于另一點，若，且，則的離心率為（）A B.C. D.2．在三棱錐中，，D為上的點，且，則（）A. B.C. D.3．橢圓的左右兩焦點分別為，，過垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，，則橢圓C的離心率是（）A. B.C. D.4．設數列、都是等差數列，若，則等于（）A. B.C. D.5．設的內角的對邊分別為的面積，則（）A. B.C. D.6．如圖所示，已知三棱錐，點，分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.7．已知為等比數列的前n項和，，，則（）A.30 B.C. D.30或8．已知三棱柱的所有棱長均為2，平面，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．若點P在曲線上運動，則點P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.410．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點的個數是（）A.1 B.2C.3 D.411．數列中前項和滿足，若是遞增數列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果點在運動過程中，總滿足關系式，記滿足此條件的點M的軌跡為C，直線與C交于D，E，已知，則周長的最大值為______14．用一個平面去截半徑為5cm的球，截面面積是則球心到截面的距離為_______15．已知圓的圓心與點關于直線對稱，直線與圓相交于、兩點，且，則圓的方程為_________16．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.18．（12分）已知圓C經過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.19．（12分）已知焦點為F的拋物線上一點到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A，B位于x軸兩側），C的準線與x軸交于點E，直線與分別交于點M，N，若，證明：直線l過定點20．（12分）某企業(yè)搜集了某產品的投人成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）的六組數據，并將其繪制成如圖所示的散點圖.根據散點圖可以看出，y與x之間是線性相關的.（1）試用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬元，則可以根據（1）中的回歸方程估計產品銷售收入；若投入成本高于10萬元，投入成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間的關系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問該企業(yè)對該產品的投入成本選擇收人7萬元更好，還是選擇12萬元更好？說明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.參考數據：.21．（12分）在平面直角坐標系內，已知的三個頂點坐標分別為（1）求邊垂直平分線所在的直線的方程；（2）若的面積為5，求點的坐標22．（10分）已知拋物線C:（1）若拋物線C上一點P到F的距離是4，求P的坐標；（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且，求證：直線l過定點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據雙曲線的定義及，，應用勾股定理，可得關系，即可求解.【詳解】設雙曲線的右焦點為，連接,,,如圖：根據雙曲線的對稱性及可知，四邊形為矩形.設因為，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化簡可得，③把③代入①可得：，所以，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的簡單幾何性質，勾股定理，屬于難題.2、B【解析】根據幾何關系以及空間向量的線性運算即可解出【詳解】因為，所以，即故選：B3、C【解析】由題可得為等邊三角形，可得，即得.【詳解】∵過垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，∴為等邊三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故選：C.4、A【解析】設等差數列的公差為，根據數列是等差數列可求得，由此可得出，進而可求得所求代數式的值.【詳解】設等差數列的公差為，即，由于數列也為等差數列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數列為常數列，對任意的，，因此，.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數列基本量的求解，通過等差數列定義列等式求解公差是解題的關鍵，另外，在求解有關等差數列基本問題時，可充分利用等差數列的定義以及等差中項法來求解.5、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有，再由三角形內角的性質及余弦定理化簡求即可.【詳解】由，∴，在中，，∴，解得.故選：A.6、A【解析】連接，先根據已知條件表示出，再根據求得結果.【詳解】連接，如下圖所示：因為為的中點，所以，又因為為的中點，所以，所以，故選：A.7、A【解析】利用等比數列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A8、A【解析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解【詳解】以為坐標原點，平面內過點且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，∴，，∴，∴異面直線，所成角的余弦值為.故選：A9、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉化為求圓上的點到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關于軸成軸對稱，關于原點成中心對稱圖形，在第一象限內，方程化為，即，在第一象限內，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓?。ê鴺溯S上的點），實際上整個曲線就是這段圓弧及其關于坐標軸．原點對稱的圖形加上原點，點到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A10、B【解析】根據圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點有兩個.故選：B.11、B【解析】由已知求得，再根據當時，，，可求得范圍.【詳解】解：因為，則，兩式相減得，因為是遞增數列，所以當時，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.12、A【解析】根據橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】根據橢圓定義判斷出軌跡，分析條件結合橢圓定義可知當直線x=m過右焦點時，三角形ADE周長最大.【詳解】，到定點，的距離和等于常數，點軌跡C為橢圓，且故其方程為，則為左焦點，因為直線與C交于D，E，則，不妨設D在軸上方，E在軸下方，設橢圓右焦點為A'，連接DA'，EA'，因為DA'＋EA'≥DE，所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，所以△ADE的周長，當時取得最大值8，故答案為：814、4cm【解析】根據圓面積公式算出截面圓的半徑，利用球的截面圓性質與勾股定理算出球心到截面的距離【詳解】解：設截面圓的半徑為r，截面的面積是，，可得又球的半徑為5cm，根據球的截面圓性質，可得截面到球心的距離為故答案為：4cm【點睛】本題主要考查了球的截面圓性質、勾股定理等知識，考查了空間想象能力，屬于基礎題15、【解析】利用對稱條件求出圓心C的坐標，借助直線被圓所截弦長求出圓半徑即可寫出圓的方程.【詳解】設圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：16、【解析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有，命題q：，為真時，則有，即，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明，進而證明問題；（2）先證明平面，平面，進而證明點P在兩個平面的交線上，然后證得結論.【小問1詳解】連接分別是的中點，.在中，.所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理：，平面平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.18、（1）；（2）.【解析】（1）由題設知，設圓心，應用兩點距離公式列方程求參數a，進而確定圓心坐標、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質可得、，再應用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.19、（1）；（2）證明過程見解析.【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據一元二次方程的根與系數關系進行求解證明即可.【小問1詳解】該拋物線的準線方程為，因為點到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問2詳解】該拋物線的準線方程為，設直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，不妨設，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當時，，即，同理，因為，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過.【點睛】關鍵點睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數關系是解題的關鍵.20、（1）（2）該企業(yè)對該產品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由見解析.【解析】（1）根據公式計算出和，求出線性回歸方程；（2）分別求出投入成本7萬和12萬時的毛利率，比較出大小即可得到答案.【小問1詳解】，，，所以y關于x的線性回歸方程為；【小問2詳解】該企業(yè)對該產品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由如下：當時，，此時毛利率為×100％≈34％；當時，，此時毛利率為=40％，因為40％>34％，所以該企業(yè)對該產品的投入成本選擇收人12萬元更好.21、（1）；（2）或【解析】（1）由題意直線的斜率公式，兩直線垂直的性質，求出的斜率，再用點斜式求直線的方程（2）根據的面積為5，求得點到直線的距離，再利用點到直線的距離公式，求得的值【詳解】解：（1），，的中點的坐標為，又設邊的垂直平分線所在的直線的斜率為則，可得的方程為，即邊的垂直平分線所在的直線的方程（2）邊所在的直線方程為設邊上的高為