2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知命題p:3x∈(2,3),e?—x2—4<0,則p的否定是

A.3x∈(2,3),e?—x2-4≥0B.3x丈(2,3),e?—x2-4<0

C.Vx丈(2,3),e?—x2—4<0D.Vx∈(2,3),e?—x2—4≥0

2.已知全集U=R,集合A={-2,0,2,4},B={x|x2—2x-8<0},則A∩(CUB)=

A.{-2,0}B.{0,2}C.{2,4}D.{-2,4}

3.已知復(fù)數(shù)z滿足√2z=1+2i2023+3i2025(i為虛數(shù)單位),則z2026=

A.1B.-iC.iD.-1

4.已知函數(shù),則f'(1)=

A.eB.e+2CD

5.如圖，在△ABC中，CN=2NA,NM=2MB,則下列說(shuō)法正確的是

6.已知,則sin2α—3cos2α=

ABCD

7.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S,,a?+a?+a?=24,且S?=14,則a13=

A.24B.20C.16D.12

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))

8.已知函數(shù)若函數(shù)h(x)=f(x)一b有三個(gè)零點(diǎn)x?,x?,X?,

則x?+x?+x?的取值范圍是

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足c>1>b>a>0,則下列不等式一定成立的是

A.b>acB.b(c—a)>a(c—b)

C.log,c>logaCD.ca>c?

10.《易經(jīng)》是中華智慧的源頭活水.從太極混沌中孕育陰陽(yáng)兩儀，如天地初開；兩儀互動(dòng)，化

出四象，似四季輪轉(zhuǎn)；四象再演，生成八卦，如雷風(fēng)山水布列八方.一畫開天，萬(wàn)象生

輝——這不僅是符號(hào)的演化，更是古人讀懂宇宙的詩(shī)意密碼.如圖是根據(jù)八卦模型抽象

得到的正八邊形ABCDEFGH,其中|AB|=1,0是該正八邊形的中心，則下列結(jié)論正

確的是

A

A.AB與OF的夾角為45°B.OC+OF=BC

C.AE在AB方向上的投影向量為ABD.HD=√2A?

11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,函數(shù)y=f(2x-1)是奇函數(shù)，且滿足f(3—x)=f(x一

A.函數(shù)f(x)的周期為8

B.f(2026)=4

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[25,27]上的最大值為4

D

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù),若f(a)=2,則f(-a)=

13.如圖是函數(shù)的部分圖象，則f(x)的解析

式為

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

14.已知在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2,AD=4,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，沿直線BE進(jìn)行翻折，形

成四棱錐A'-BCDE如圖.則下列說(shuō)法正確是

①存在點(diǎn)A'使得BE⊥A'C;②三棱錐A'-BCE可以四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；③

點(diǎn)A在翻折過(guò)程中，存在三棱錐A'-BCE的表面積不變；④點(diǎn)A在翻折過(guò)程中，存在

三棱錐A'-BCE的體積為√2.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)已知在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=8,AD=AA′=6,點(diǎn)E為BC的中

點(diǎn)，點(diǎn)F為C'D'的中點(diǎn).

(1)求證：EF//平面BDD'B';

(2)求異面直線EF與A'D所成的角的余弦值.

16.(15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

(1)求證：數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

17.(15分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

asinA—csinC.

(1)求角A的大??；

(2)若a=2,D為邊BC的中點(diǎn)，AD=√3,求△ABC的面積.

18.(17分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形.AB//CD,∠ABC=

90°,2AB=2BC=CD=4,且平面PAB⊥平面ABCD.

(1)若△PAB是直角三角形，且∠PAB=90°,求證：AC⊥PD.

(2)若△PAB是等邊三角形，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

(3)若△PAB是等腰直角三角形，PA=PB,在線段PA上是否存在點(diǎn)M,使得直線BM

與平面PCD所成角的正弦值?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(17分)已知函數(shù)(a∈R).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的極值；

(3)當(dāng)x≥2時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見

1.D【解析】命題p:3x∈(2,3),e?-x2—4<0的否定是Vx∈(2,3),e2—x2-4≥0.故選D.

2.D【解析】由題意知，B={xlx2—2x-8<0}={x|(x-4)(x+2)<0}=(-2,4),

所以CUB=(一∞,-2)U[4,+∞),則A∩(CvB)={-2,4}.故選D.

3.C【解析】因?yàn)椤?z=1-2i+3i=1+i,所以,故選C.

4.B【解析】已知所以f'(1)=e+2,故選B.

5.C【解析】因

6.A【解析】因,即1+2tana=tanα-1,解得tanα=-2.

所以,故選A.

7.B【解析】因?yàn)镾?=14,所,所以a?=2.

又因?yàn)閍?+a?+a?=a?+a?+a=24,即3a?=24,解得a?=8.

所以3d=a?-a?=6,即d=2.所以a13=a?+6d=8+6×2=20.故選B.

8.D【解析】當(dāng)x≥-1時(shí)，f(x)=x2—4x-5=(x-2)2—9,其圖象是開口向上，對(duì)稱軸為x=2的拋物線的一部分，

當(dāng)x<-1時(shí)，f(x)=In(-1—x)單調(diào)遞減.

因?yàn)閔(x)=f(x)一b有三個(gè)零點(diǎn)x?,x?,x?,令x?<x?<x?,

所以h(x)=f(x)—b=0有三個(gè)不相等的根x?,x?,Z?,

即y=f(x)與y=b圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)x?,x?,x?,作出圖象如圖.

由圖象可知，b≤0.

因?yàn)閤?為方程In(-1-x)=b的根，所以(一1-x?)∈[0,1],即x?∈[-2,-1).

因?yàn)閤?,x?為方程x2—4x—5=b,即x2—4x—5-b=0的兩個(gè)不相等實(shí)根，所以x?+x?=4,

所以x?+x?+x?∈(2,3),故選D.

9.AB【解析】對(duì)于A,因?yàn)閏>1,所以y=x?單調(diào)遞增，又b>a,所以b‘>a?,故A正確；

對(duì)于B,b>a>0,c—a>c—b>0,由正數(shù)的同向可乘性b(c-a)>a(c—b),故B正確；

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)(共6頁(yè))

對(duì)于C,因?yàn)閏>1,所以y=logex單調(diào)遞增，又b>a,所以loga<log.b,1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閏>1,所以y=c2單調(diào)遞增，又因?yàn)閎>a,所以c<c?,故D錯(cuò)誤.故選AB.

10.BCD【解析】對(duì)于A,由題，,又因?yàn)镺F=BO,所以AB與OF的夾角為∠ABO的補(bǔ)角，為鈍

角，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,在正八邊形ABCDEFGH中，OC=OB+BC,OF=BO;

所以O(shè)C+OF=OB+BC+BO=BC,故B正確；

對(duì)于C,如圖，連接EB,則EB⊥AB,所以E的投影為點(diǎn)B,AE在AB方向的投影向量為AB,故C正確；

對(duì)于D,由題意，在正八邊形ABCDEFGH中，HD//AC,

且|AC|=√1OAl2+IOC2=√2|OAI,|HD|=2|OAI,

所以|HD|=√2|AC|,所以HD=√2AC,故D正確.故選BCD.

11.AC【解析】對(duì)于A,因?yàn)閥=f(2x—1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(一2x-1)+f(2x—1)=0,

所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)對(duì)稱，又因?yàn)閒(3-x)=f(x-1),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

所以f(x)的周期T=4[1—(一1)]=8,故A正確；

對(duì)于B,f(2026)=f(8×253+2)=f(2)=23-6×22+9×2=2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由T=8,得f(x)在[25,27]上的最值，即在[1,3]上的最值，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),

在[1,3]上，f'(x)≤0,所以f(x)單調(diào)遞減，最大值為f(1)=4,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閒(1)=4,f(2)=2,f(3)=0,f(4)=f(-2)=-f(0)=-f(2)=-2,同理f(5)=-4,

f(6)=-2,f(7)=0,f(8)=2,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0,

故選AC.

12.4【解析】設(shè),x∈R,則,所以g(x)+g(一x)=0,

所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(a)+g(一a)=0.因?yàn)閒(x)=g(x)+3,所以f(a)+f(一a)=6,

又因?yàn)閒(a)=2,所以f(一a)=4.

【解析】由圖象，函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為-3,又∵A>0,∴A=3.

又,∴T=8,..當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值3,

,k∈Z,又∵,∴令k=0,得

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)(共6頁(yè))

14.②④【解析】對(duì)于①,如圖，因?yàn)锳B=2,AD=4,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以AB=AE,取BE的中點(diǎn)M,連接

A'M,CM,所以A'M⊥BE.若BE⊥A'C成立，又因?yàn)锳'M∩A'C=A',所以BE⊥平面CMA',則CM⊥BE.

因?yàn)锽C≠CE,所以CM⊥BE不成立，矛盾，故①錯(cuò)誤.

C

對(duì)于②,不管A'在哪，△A'BE,△BEC都為直角三角形，當(dāng)A'C=2√3時(shí)，A'B=2,BC=4,A'E=2,CE=2

√2,所以△A'BC,△A'EC也都為直角三角形，此時(shí)四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，故②正確；

對(duì)于③,當(dāng)三棱錐A'-BCE的四個(gè)面都為直角三角形時(shí)，點(diǎn)A繼續(xù)翻折過(guò)程中∠A'BC與∠A'EC都為銳角，

且逐漸變小，所以,同理S△A'Ec也同時(shí)變小，而另兩個(gè)三角形面積不

變，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④,點(diǎn)A在翻折過(guò)程中，A'到底面BCE的距離最大為√2,所以最大體積為

④正確.故填②④.

15.(1)證明：如圖，取BD的中點(diǎn)M,連接D'M,EM1分

-c

因?yàn)镸,E分別為BD,BC的中點(diǎn)，所以ME//DC,

又因?yàn)镈',所以D'F//ME,D'F=ME,所以四邊形EMD'F為平行四邊形，……3分

所以EF//MD'4分

因?yàn)镋F丈平面BDD'B',D'MC平面BDD'B',所以EF//平面BDD'B'6分

(2)解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD′分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則E(3,8,0),F(0,4,6),A'(6,0,6),所以EF=(-3,-4,6),A'D=(-6,0,一6).………8分

設(shè)異面直線EF與A'D所成角為θ,

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)答案第3頁(yè)(共6頁(yè))

.……12分

所以異面直線EF與A'D所成的角的余弦值.……………………13分

16.(1)證明：∵3an+1=an+2n+3(n∈N'),∴3an+1—3n-3=an+2n+3—3n-3,

………3分

又∵,∴數(shù)列a—n}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.…………5分

…………………7分

∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和……………………15分

17.解：(1)因?yàn)?由正弦定理得

所以…………………3分

由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA,

所以A,tanA=√36分

又因?yàn)锳∈(0,π),所以.………………7分

(2)由(1)知,如圖，設(shè)∠ADB=θ,則∠ADC=π—0.

因?yàn)锽C=a=2,D為BC的中點(diǎn)，所以BD=CD=1.

又因?yàn)锳D=√3,所以由余弦定理得1+3-2×1×√3cosθ=c2,①10分

1+3-2×1×√3cos(π—θ)=b2,②

b2+c2—2bccosA=4,③13分

由①+②得b2+c2=8,代入③得bc=4,

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)答案第4頁(yè)(共6頁(yè))

所以…………15分

18.(1)證明：如圖，連接AC.

D

因?yàn)椤螾AB=90°,所以PA⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PAC平面

PAB,所以PA⊥平面ABCD2分

因?yàn)锳CC平面ABCD,所以PA⊥AC.

又因?yàn)榈酌鍭BCD是直角梯形，∠ABC=90°,2AB=2BC=CD=4,

所以AC=AD=2√2,AC2+AD2=CD2,所以AC⊥AD.

因?yàn)镻A,ADC平面PAD,PA∩AD=A,所以AC⊥平面PAD.

因?yàn)镻DC平面PAD,所以AC⊥PD5分

(2)解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC,BA分別為x,y軸，垂直于底面的直線為z軸，建立如圖所示的空間平面直

角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),A(0,2,0),D(2,4,0),C(2,0,0),P(0,1,√3),

CD=(0,4,0),DP=(-2,-3,√3).……………6分

易得，平面PAB的法向量為n=(1,0,0),7分

設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z),

令x=√3,則y=0,z=2,所以m=(√3,0,2)8分

設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為θ,

.……………10分

(3)解：假設(shè)在線段PA上存在點(diǎn)M,使得直線BM與平面PCD所成角的正弦值為.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線

BC,BA分別為x,y軸，垂直于底面的直線為z軸，建立如圖所示的空間平面直角坐標(biāo)系.

則B(0,0,0),A(0,2,0),D(2,4,0),C(2,0,0),P(0,1,1).

設(shè)M(0,a,2-a),1≤a≤2,

所以BM=(0,a,2-a),CD=(0,4,0),DP=(-2,-3,1).………………12分

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)答案第5頁(yè)(共6頁(yè))

設(shè)平面PCD的法向量為u=(a,b,c),則有

令a=1,則b=0,c=2,所以u(píng)=(1,0,2)·14分

設(shè)直線BM與平面PCD所成角為α,

,化簡(jiǎn)得2a2-9a+9=0,

解得或a=3(舍),

所以……………17分