專題05整式的加減章末56道壓軸題型專訓（7大題型）題型一整式的加減運算問題題型二整式加減中的化簡求值問題題型三整式加減中的無關型問題題型四整式加減的新定義問題題型五整式的加減規(guī)律探究問題題型六整式加減中的整體思想求值問題題型七整式加減的綜合應用【經(jīng)典例題一整式的加減運算問題】1．（24-25七年級上·福建福州·期中）a，b，c是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應點如圖所示，(1)用、填空___________(2)請化簡．2．（2025七年級上·全國·專題練習）定義：若，則稱A與B是“關于1的單位數(shù)”．已知，請判斷A與B是否是“關于1的單位數(shù)”，并說明理由．3．（24-25七年級上·全國·期中）某商場1月份的銷售額是m萬元，2月份的銷售額比1月份的2倍多1萬元，3月份的銷售額比1月份的3倍少4萬元．該商場第一季度的銷售額是多少萬元？計算當時，該商場第一季度的銷售額．4．（24-25七年級上·河南漯河·期末）要比較m，n的大小，可以先求出m與n的差，再看這個差是正數(shù)、負數(shù)還是零．若，則；若，則；若，則．由此可見，要判斷兩個式子值的大小，只要考慮它們的差就可以了．已知，，．請你按照上面文字提供的信息回答下列問題：(1)試比較A與的大小；(2)試比較與的大?。?．（24-25七年級上·陜西西安·階段練習）某同學化簡出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：原式第一步第二步第三步(1)該同學解答過程從第幾步開始出錯，錯誤原因是什么？(2)寫出此題正確的解答過程．6．（24-25七年級上·四川成都·期末）理解與思考：“整體思想”是中學數(shù)學解題中的一種重要思想，它在整式的化簡與求值中應用極為廣泛．例如：已知，求代數(shù)式的值．我們可以將作為一個整體代入：．請仿照上面的解題方法，完成下列問題：(1)已知，求代數(shù)式的值；(2)已知，求代數(shù)式的值．7．（24-25七年級上·湖北恩施·階段練習）將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，9，…排成如圖所示的數(shù)表．(1)這個十字框中五個數(shù)的和為．(2)設中間數(shù)為a，用代數(shù)式表示十字框中五個數(shù)之和為．(3)若將十字框上下左右移動，可框住另外五個數(shù)，這五個數(shù)還有上述的規(guī)律嗎？(4)十字框中的五個數(shù)之和能為2025嗎？這五個數(shù)之和能為2045嗎？8．（24-25七年級上·全國·期末）【數(shù)學背景】幻方是一種中國傳統(tǒng)益智游戲，它的規(guī)則是將數(shù)字安排在正方形格子中，使每行、每列及對角線上的數(shù)字和都相等．【問題提出】（1）如圖1，將1，2，3，4，5，6，7，8，9九個數(shù)填入到3×3的方格內，使每行、每列及每條對角線上的數(shù)字和都相等，則這個和是______；【問題探究】（2）在圖1中填入一種符合（1）要求的方法；【模型遷移】（3）圖2是顯示部分式子的幻方，用含的式子表示；（4）圖3是顯示部分式子的幻方，求的值．【經(jīng)典例題二整式加減中的化簡求值問題】9．（24-25七年級上·山東濟南·期中）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中是關于的多項式．請寫出多項式，并將該例題的解答過程補充完整．例：先化簡，再求值：，其中．解：____①____把代入上式，得：____②________③____其中____④____10．（24-25七年級上·廣東河源·期末）以下是一道例題的部分解答過程，其中A，B是兩個關于x，y的二項式：化簡：（注意：運算順序從左到右，逐個去掉括號）．(1)多項式A為________，多項式B為________，計算結果為________；(2)先化簡，再求值：，其中，．11．（24-25七年級上·湖北武漢·期末）小明在做一道題，由于粗心，將墨水灑在了作業(yè)上蓋住“”．另外又將“”看成“”，他憑著印象求出了解：．(1)求多項式；(2)當，求的值．12．（24-25七年級上·福建莆田·期中）小睿同學在做一道改編自課本上的習題時，解答過程如下：計算：解：原式．(1)小睿同學的解答正確嗎？如果正確，給出各步計算的依據(jù)；如果不正確，請給出正確的計算過程．(2)當時，求此代數(shù)式的值．13．（24-25七年級上·貴州·期末）我們知道，，類似的，我們把看成一個整體，則．“整體思想”是中學數(shù)學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛，請嘗試：(1)合并同類項：____________；把看成一個整體，合并的結果是____________；(2)已知，先化簡再求值：．14．（24-25七年級上·山西長治·期末）下面是小明同學進行整式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．．

第一步

第二步．

第三步任務：(1)以上化簡步驟中，第一步主要依據(jù)的運算律是______________．(2)以上化簡步驟中，第______________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是______________．(3)請寫出該整式正確的化簡過程，并計算當，時的值．15．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習）閱讀材料：我們知道，，類似的，我們把看成一個整體，則．“整體思想”是中學數(shù)學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛．(1)【簡單應用】①已知，則_____；②已知，求的值；(2)【拓展提高】已知，，求式子的值．16．（24-25七年級上·湖北恩施·期中）對于兩個有理數(shù)a，b的大小比較，有下面的方法：若，則；若，則；若，則；我們把這種比較兩個數(shù)大小的方法叫做“作差法”．(1)分別求出圖1中長方形A的周長和圖2中長方形B的周長；(2)若，請用“作差法”比較，的大小；(3)若，，直接寫出圖1與圖2中長方形的周長之和______．17．（24-25七年級上·江西吉安·期末）定義：若，則稱與是關于數(shù)的“平衡數(shù)”．比如3和是關于的“平衡數(shù)”，5與12是關于17的“平衡數(shù)”．現(xiàn)有與（為常數(shù)）始終是關于數(shù)的“平衡數(shù)”，求的值．18．（24-25七年級上·福建福州·期中）已知A=3a2b-2ab2+abc，小明同學錯將“2A-B”看成“2A+B”，算得結果為4a2b-3ab2+4abc．（1）求出2A-B的結果；（2）小強同學說（1）中的結果的大小與c的取值無關，正確嗎？若a=，b=，求（1）中式子的值．【經(jīng)典例題三整式加減中的無關型問題】19．（24-25七年級上·吉林長春·期中）某同學做一道數(shù)學題，已知兩個多項式A、B，其中，試求．這位同學把誤看成，結果求出的答案為．(1)請你替這位同學求出的正確答案；(2)若的值與x的取值無關，求y的值．20．（2025·廣東·模擬預測）【閱讀理解】已知，若F的值和x的取值無關，則，．所以當時，和x的取值無關．【知識應用】已知，．(1)用含m，n，x的式子表示；(2)若的值和x的取值無關，求的值．21．（2025七年級上·全國·專題練習）李老師在黑板上寫了一個含m，n的整式：．(1)化簡上式；(2)老師告訴同學們當m，n互為倒數(shù)時，式子的值為0，請你計算此時m，n的值；(3)李老師又將這個題進行了改編，當m取一個特殊的值時，式子的結果與無關，那么此時的值為多少？22．（2025七年級上·全國·專題練習）數(shù)學課上，李老師給同學們出了一道整式化簡求值的練習題：．李老師看著題目對同學們說：“大家任意給出x、y、z的一組值，我能馬上說出答案．”同學們不相信，小剛同學立刻站起來，但他剛說完“”后，李老師就說出了答案是，同學們都感到不可思議，計算速度也太快了吧，何況是這么復雜的一組數(shù)值呢！但李老師卻信心十足地說：“這個答案準確無誤．”同學們，你知道李老師為什么算得這么快嗎？23．（24-25七年級上·遼寧鞍山·期中）閱讀理解：已知；若值與字母的取值無關，解得，當時，值與字母的取值無關，知識應用：已知，，用含，的式子表示；若的值與字母的取值無關，求的值；知識拓展：春節(jié)快到了，某超市計劃購進甲、乙兩種羽絨服共件進行銷售，甲種羽絨服每件進價元，每件售價元，購進羽絨服后，返還顧客現(xiàn)金元，乙種羽絨服每件進價元，每件售價元．設購進甲種羽絨服件，當銷售完這件羽絨服的利潤與的值無關時，求的值．24．（24-25七年級上·貴州遵義·期末）閱讀理解：已知；若的值與字母的取值無關，則，解得．當時，的值與字母的取值無關．知識應用：（1）已知，．若的值與字母的取值無關，求的值；知識拓展：（2）小華用6張長為，寬為的長方形紙片按照如圖所示的方式不重疊地放在大長方形內，大長方形中有兩個部分未被覆蓋，設左上角部分的面積為，右下角部分的面積為．當?shù)拈L發(fā)生變化時，的值始終保持不變．請求出與之間的數(shù)量關系．【經(jīng)典例題四整式加減的新定義問題】25．（2025七年級上·全國·專題練習）中考新趨勢?新定義規(guī)定一種運算：，等號右邊是我們學過的加減運算，按前面的規(guī)定把展開，并合并同類項．26．（24-25七年級上·湖北恩施·期末）定義：對于任意一個兩位數(shù)，交換個位數(shù)字與十位數(shù)字的位置得到一個新數(shù)，我們把這樣的兩個數(shù)稱之為互為“友好數(shù)”；如的“友好數(shù)”是．(1)填空：、的“友好數(shù)”分別是___________；(2)對于任意一個兩位數(shù)，設它的個位數(shù)字為，十位數(shù)字為，試說明這個數(shù)與它的“友好數(shù)”之和一定能被整除．27．（24-25七年級上·四川成都·期中）新定義一種新運算“”，認真觀察，尋找規(guī)律：，，，，(1)直接寫出新定義運算律：______；(2)新運算“”是否滿足交換律？請說明理由；(3)先化簡，再求值：，其中28．（24-25七年級上·陜西寶雞·期末）定義：任意兩個數(shù)、，按規(guī)則擴充得到一個新數(shù)，稱所得的新數(shù)為“鴻蒙數(shù)”．(1)若，，求、的“鴻蒙數(shù)”；(2)若，，求、的“鴻蒙數(shù)”；并比較，的大?。?9．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）定義一種新運算：觀察下列各式：，，，．(1)請你想想：；(2)若那么（填“”或“”）；(3)先化簡，再求值：，其中30．（24-25七年級上·湖南衡陽·期末）定義一種新運算：對任意有理數(shù)a，b都有，例如：．(1)求的值；(2)化簡并求值：，其中a，b互為相反數(shù)，x是最大的負整數(shù)．(3)已知與的差中不含項，求a的值．31．（24-25七年級上·湖北武漢·期末）定義：一個三位正整數(shù)，如果十位數(shù)字恰好等于百位數(shù)字與個位數(shù)字之和的一半，我們稱這個三位正整數(shù)為“半和數(shù)”．例如三位正整數(shù)中，，所以，是半和數(shù)；又如中，，所以，也是半和數(shù)．…任務：(1)已知一個三位數(shù)是“半和數(shù)”，若它的百位數(shù)字是7，個位數(shù)字是1，則這個數(shù)是；若它的百位數(shù)字為a，個位數(shù)字為0，則十位數(shù)字為；這個數(shù)為；(用含a的代數(shù)式表示）；(2)任意一個“半和數(shù)”的個位和百位數(shù)字調換得到一個新“半和數(shù)”，然后將新“半和數(shù)”與原“半和數(shù)”相加，結果是的倍數(shù)．請你判斷這一結論是否正確，并說明理由．32．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）【閱讀材料】在某數(shù)學興趣小組集中學習時，碰到如下新定義：對于給定的兩個大小不等的整數(shù)a、b，若，則記表示與之間（包括和）所有整數(shù)的和．如，．【知識應用】如圖，已知數(shù)軸上有A、B兩點，分別表示的數(shù)為，8，(1)直接寫出的值是______；(2)若點A、B均以每秒2個單位長度的速度向右勻速運動，運動（為正整數(shù)）秒后，點到達所在位置的點表示的數(shù)為，點到達所在位置的點表示的數(shù)為，試計算的值；（用含的代數(shù)式表示）(3)將（2）中的點改為向左運動，其余條件不變，計算的值．（用含的代數(shù)式表示）【經(jīng)典例題五整式的加減規(guī)律探究問題】33．（24-25七年級上·甘肅張掖·期末）觀察下列算式，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題：，，，……(1)請另外寫出一個符合上述規(guī)律的算式；(2)設算式中第一個兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，請用含a和b的式子表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；34．（24-25七年級上·上海奉賢·階段練習）觀察下列各式：；；；；；；；(1)請用文字補全上述規(guī)律：把一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置，原來兩位數(shù)與新的兩位數(shù)的差是_________________________；(2)你能用所學知識解釋這個規(guī)律嗎？解：設原來兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，原來兩位數(shù)可表示為，則新的兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，新兩位數(shù)可表示為__________，(在下面空白處，請繼續(xù)完成解釋該規(guī)律的理由)35．（2025·安徽六安·模擬預測）閱讀材料：小學階段我們學習過被3整除的數(shù)的規(guī)律，初中階段可以論證結論的正確性．以三位數(shù)為例，設是一個三位數(shù)，若可以被3整除，則這個數(shù)可以被3整除．論證過程如下：，顯然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．設是一個四位數(shù)，應用上述材料解答下列問題：(1)直接寫出滿足什么條件時，它可以被5整除；(2)猜想滿足什么條件時，它可以被4整除，并說明理由．36．（2025·安徽·模擬預測）【觀察思考】同樣大小的★按如圖所示的規(guī)律擺放：【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第5個圖形中有______顆（★）；第8個圖形比第6個圖形多______顆星（★）；（填數(shù)字）（2）第個圖形比第n個圖形中多______（用含n的代數(shù)式表示）顆（★）．【規(guī)律應用】（3）請分析第個圖形能否比第n個圖形中的星（★）恰好多2024顆．37．（24-25七年級上·遼寧鞍山·期中）將正整數(shù)，…，排成如圖所示的數(shù)表．(1)根據(jù)規(guī)律，數(shù)24位于第4行第3列，那么數(shù)100位于第行第列；(2)數(shù)表中第行第1列的數(shù)是；(3)如圖，“”字型分別框出一橫行左右相鄰的三個數(shù)和一豎列上下相鄰的三個數(shù)，容易求出橫行三個數(shù)的和與豎列三個數(shù)的和，分別記為．①猜想之間的關系．②任意平移“”字型的位置，與之間的關系還成立嗎？若成立，請通過計算說明理由；若不成立，請舉例說明．38．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）一個三位數(shù)，百位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，個位上的數(shù)字為c，這個三位數(shù)可以用代數(shù)式表示為．接下來我們探究能被9整除的三位數(shù)的數(shù)的特征．(1)【舉例說明】請寫出兩個能被9整除的三位數(shù)、；(2)【一般探究】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么這個三位數(shù)能被9整除．

請在下列括號內填空，補全下面的推理過程：①因為能被9整除，并且①式是9的倍數(shù)，也能被9整除，所以它們的和一定能被9整除，因此猜想成立．(3)【類比推廣】繼續(xù)探索能被9整除的多位數(shù)的數(shù)的特征，寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．（不需要說明理由）39．（2025·安徽亳州·模擬預測）數(shù)學興趣小組開展探究活動：研究一個判斷正整數(shù)能否被7整除的規(guī)律．觀察歸納：；；．；；．；；．；；．…規(guī)律發(fā)現(xiàn)：對于一個正整數(shù)x，有如下判斷正整數(shù)x能否被7整除的方法：劃掉該數(shù)的最后一位數(shù)字，將剩下的數(shù)與劃掉的數(shù)字的兩倍相減得到它們的差．若該差能被7整除，則正整數(shù)x能被7整除．否則，正整數(shù)x不能被7整除．規(guī)律應用：(1)請用上述方法驗證266能否被7整除．(2)興趣小組的同學按規(guī)律把一些三位數(shù)整理成如下表格，請你填寫表格中橫線上的內容：xx的表示按（2）中操作得到的差，記為M（x）217

945____________………(3)表示，其中，，，且a，b，c均為整數(shù)．利用以上信息說明：當能被7整除時，也能被7整除．40．（24-25七年級上·湖北十堰·期末）若干個“△”和“★”按照一定規(guī)律排列成下列圖形．圖中“△”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為；圖中“△”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為；圖中“△”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為，…，(1)按上圖所示規(guī)律，圖6中有_________個“△”，圖6中有_________個“★”；(2)按上圖所示規(guī)律，圖n中有_________個“△”，圖n中有_________個“★”；(3)設圖中有個“△”，個“★”．①當時，的值是多少？②試求與之間的數(shù)量關系．【經(jīng)典例題六整式加減中的整體思想求值問題】41．（24-25七年級上·陜西安康·階段練習）閱讀材料：“整體思想”是中學數(shù)學解題中的一種重要的思想方法，如把某個多項式看成一個整體進行合理變形，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛．例：化簡．解：原式．參照本題閱讀材料的做法解答：(1)把看成一個整體，合并的結果是；(2)已知，求的值；(3)已知，，，求的值．42．（24-25七年級上·江蘇常州·期中）閱讀材料：我們知道，類似地，我們把看成一個整體，則，“整體思想”是一種重要的數(shù)學思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛，(1)嘗試應用：把看成一個整體，合并______；(2)已知，求的值；(3)拓展探索：已知，，，求的值．43．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）閱讀材料：“整體思想”是中學數(shù)學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛，如我們把看成一個整體，．嘗試應用：（1）把看成一個整體，合并的結果是______．（2）已知，求的值．拓廣探索：（3）已知，，，求的值．44．（24-25七年級上·廣西南寧·階段練習）人教版七年級上冊數(shù)學教材109頁的部分內容如下：把和各看作一個整體，對下列式子進行化簡：，“整體思想”是中學數(shù)學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛．(1)【問題解決】把看成一個整體，求將合并的結果______；(2)【簡單應用】①已知，則______；②已知，求的值；(3)【拓展提高】已知，，求代數(shù)式的值．45．（24-25七年級上·四川廣元·期中）【閱讀理解】“整體思想”是一種重要的數(shù)學思想方法，在多項式的化簡求值中應用極為廣泛．例如：已知，求的值．我們將作為一個整體代入，則原式．【嘗試應用】仿照上面的解題方法，完成下面的問題：（1）若，則__________；（2）如果，求的值．【拓展探索】（3）若，，求的值．46．（24-25七年級上·四川德陽·期中）整體思想是中學數(shù)學解題中的一種重要思想，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛，仿照下面的解題方法，完成后面的問題：如果代數(shù)式的值為3，那么代數(shù)式的值是多少？愛動腦筋的小郭同學這樣來解：原式．我們把看成一個整體，把式子兩邊乘2，得．【簡單運用】（1）若，則______；（2）若，求的值；【拓展提高】（3）已知，求代數(shù)式的值．47．（24-25七年級上·遼寧朝陽·期中）【知識呈現(xiàn)】我們可把中的“”看成一個字母a，使這個代數(shù)式簡化為，“整體思想”是中學教學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛，在數(shù)學中，常常用這樣的方法把復雜的問題轉化為簡單問題．【解決問題】（1）上面【知識呈現(xiàn)】中的問題的化簡結果為_____；（用含的式子表示）（2）若代數(shù)式的值為4，則代數(shù)式的值為______；【靈活運用】應用【知識呈現(xiàn)】中的方法解答下列問題：（3）已知，的值為最大的負整數(shù)，求的值．48．（24-25七年級上·江蘇蘇州·期中）數(shù)學課本上有這樣一道題“如果代數(shù)式的值為，那么代數(shù)式：的值是多少？”小明同學解題過程如下：解：原式因為所以原式＝．小明同學把作為一個整體進行代入求值，像這樣的求解方法稱為“整體思想”，這是數(shù)學解題中的一種重要思想方法，請仿照上面的解題方法，完成下面問題：【簡單應用】（1）已知，則＝______；（2）已知，求的值；【拓展提高】（3）若，，則代數(shù)式：______．【經(jīng)典例題七整式加減的綜合應用】49．（24-25七年級上·安徽淮南·階段練習）材料：“作差法比較大小”．根據(jù)不等式和等式的基本性質，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：若，則；若，則；若，則．反之也成立，這種比較大小的方法稱為“作差法比較大小”．根據(jù)材料解答下列問題：(1)若，則______（填“＞”，“＝”或“＜”）；(2)若，，試比較，的大小，并說明理由．50．（24-25七年級上·重慶·階段練習）閱讀材料：材料1：如果一個三位數(shù)為（表示百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為的三位數(shù)），我們可以將其表示為：；材料2：如果一個三位數(shù)，滿足且，則稱這個三位數(shù)為“谷數(shù)”．例如：427；515；109均為“谷數(shù)”；材料3：如果一個三位數(shù)，滿足且，則稱這個三位數(shù)為“峰數(shù)”．例如：285；687，121均為“峰數(shù)”；(1)已知：三位數(shù)可表示為；三位數(shù)可表示為；=；(2)已知：三位數(shù)比三位數(shù)小284，求這兩個三位數(shù)；(3)求三位數(shù)是峰數(shù)的一共有多少個，三位數(shù)是谷數(shù)的一共有多少個（直接寫出答案）．51．（24-25七年級上·四川成都·期中）理解與思考．整體代換是數(shù)學的一種思想方法，在求代數(shù)式的值中，整體代換思想非常常用．例如：，求的值．我們將作為一個整體代入，則原式．仿照上面的解題方法，完成下面的問題：（1）若，則______．（2）如果，求的值．（3）若，，求的值．52．（24-25七年級上·甘肅蘭州·期末）如圖是某市民健身廣場的平面示意圖，它是由個等邊三角形（注：等邊三角形就是三條邊都相等的三角形）拼成的六邊形．(1)已知中間最小的等邊三角形的邊長是，若設圖中最大等邊三角形的邊長是米，請用含的代數(shù)式分別表示出等邊三角形和的邊長分別為：，，．(2)再（）的條件下，觀察圖形的特點可知，六邊形廣場的周長（最外面一圈的長）可以用含的代數(shù)式表示為．(3)因城市規(guī)劃的需要，市政府設想把這個六邊形廣場改建為一個正方形廣場，改建之后讓這兩個廣場的周長保持不變，若等邊三角形的邊長為米，此時你能求出改建之后的正方形廣場