第六章數(shù)列6.1數(shù)列的概念數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點1由an與Sn的關(guān)系求通項公式考點2由數(shù)列的遞推公式求通項公式0102考點3數(shù)列的性質(zhì)03課時作業(yè)第三部分高考創(chuàng)新方向多想少算041．了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表法、圖象法、公式法).2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識回顧第分部一1．數(shù)列的概念教材回扣概念含義數(shù)列按照__________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，其中第1項也叫____通項公式如果數(shù)列{an}的第n項__與它的序號n之間的________可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn確定的順序首項an對應(yīng)關(guān)系2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)____無窮數(shù)列項數(shù)____項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1__an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1__an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列有限無限><3.數(shù)列的表示方法表示方法定義列表法列出表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點__________畫在平面直角坐標系中公式法通項公式把數(shù)列的通項用公式表示遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的________(n，an)遞推公式4.an與Sn的關(guān)系S1Sn－Sn－11．判斷(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．(

)(2)1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個數(shù)列．(

)(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．(

)(4)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)基礎(chǔ)檢測×××√2．(人教A版選擇性必修第二冊P9T4改編)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an(n為正整數(shù))，則a308＝__．解析：a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，即a7＝a1，a8＝a2，所以{an}是周期為6的數(shù)列，因為308＝6×51＋2，所以a308＝a2＝6.63．(人教A版選擇性必修第二冊P8T4改編)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋3n－1，則它的通項公式為an＝______________．解析：由Sn＝n2＋3n－1，可得當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n－1－(n－1)2－3(n－1)＋1＝2n＋2，此時，令n＝1，則2n＋2＝4≠3＝a1.互動探究·考點精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點1由an與Sn的關(guān)系求通項公式【例1】

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2－4n＋1，則an＝_______________．【解析】當n＝1時，a1＝S1＝－2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5.此時，a1＝－2不符合上式．2n＋1規(guī)律總結(jié)2．Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【對點訓(xùn)練1】

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2＋3n，則數(shù)列{an}的通項公式為____________．解析：數(shù)列{an}中，Sn＝n2＋3n，a1＝S1＝4，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2，顯然a1＝4滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2.an＝2n＋2考點2由數(shù)列的遞推公式求通項公式命題角度1累加法【例2】

(2024·陜西咸陽三模)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，則a7＝(

)A．43 B．46C．37 D．36C命題角度2累乘法【例3】

(2024·四川瀘州三模)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，則an＝____________．(n＋1)·2n-2規(guī)律總結(jié)【對點訓(xùn)練2】

(1)若數(shù)列{an}滿足a1＝12，an＋1＝an＋2n(n≥1，n∈N)，則數(shù)列{an}的通項公式是________________．a(chǎn)n＝n2－n＋12(2)數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，an＝2nan－1，則數(shù)列{an}的通項公式為________．考點3數(shù)列的性質(zhì)命題角度1斐波那契數(shù)列及數(shù)列的周期性【例4】

(1)(2024·山東濟寧三模)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，則a2024＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2【解析】由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1……則{an}是以6為周期的周期數(shù)列，所以a2024＝a337×6＋2＝a2＝1.故選C.C(2)(2024·新課標Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且當x<3時f(x)＝x，則下列結(jié)論中一定正確的是(

)A．f(10)>100 B．f(20)>1000C．f(10)<1000 D．f(20)<10000【解析】因為當x<3時，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.對于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8……不等式右側(cè)恰好是斐波那契數(shù)列從第3項起的各項：3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，顯然f(16)>1000，所以f(20)>1000.所以B正確，但無法證明A，C，D一定正確．故選B.B考教銜接斐波那契數(shù)列1．鏈接教材：(人教A版選擇性必修第二冊P10閱讀與思考斐波那契數(shù)列)斐波那契數(shù)列的定義：若一個數(shù)列，前兩項等于1，而從第3項起，每一項是之前兩項之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列．例：1，1，2，3，5，8，13，….4．斐波那契數(shù)列的性質(zhì)(2)F1＋F3＋F5＋…＋F2n－1＝F2n.(3)F2＋F4＋F6＋…＋F2n＝F2n＋1－1.(4)F1＋F2＋F3＋F4＋…＋Fn＝Sn＝Fn＋2－1(Sn為斐波那契數(shù)列的前n項和).

【典例】

(多選)若數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為90°的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以an為邊長的正方形中的扇形面積為bn，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn.下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)9＝34B．a(chǎn)2024是奇數(shù)C．a(chǎn)2＋a4＋a6＋…＋a2024＝a2025ABD命題角度2數(shù)列的單調(diào)性【例5】

(2024·浙江寧波二模)已知數(shù)列{an}滿足an＝λn2－n，對任意n∈{1，2，3}都有an>an＋1，且對任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an<an＋1，則實數(shù)λ的取值范圍是(

)C命題角度3數(shù)列的最值【例6】

(2024·遼寧大連一模)數(shù)列{an}中，a1＝5，a2＝9，若數(shù)列{an＋n2}是等差數(shù)列，則{an}的最大項為(

)A．3 B．3或4D【解析】若數(shù)列{an＋n2}是等差數(shù)列，則數(shù)列的首項為a1＋12＝6，公差為(a2＋22)－(a1＋12)＝7，所以an＋n2＝6＋(n－1)×7＝7n－1，則an＝－n2＋7n－1，所以an＋1－an＝[－(n＋1)2＋7(n＋1)－1]－(－n2＋7n－1)＝－2n＋6，則當n＝1，2，3時，an＋1－an≥0，則a4＝a3>a2>a1；當n≥4時，an＋1－an<0，故此時數(shù)列{an}單調(diào)遞減，則a4>a5>a6>a7>….綜上，{an}的最大項為a3＝a4＝11.故選D.規(guī)律總結(jié)1．解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或常數(shù)列．2．求數(shù)列的最大項或最小項的常用方法(1)函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．3．解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．【對點訓(xùn)練3】

(1)(2024·天津南開區(qū)二模)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2＋bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍為(

)A．(－3，＋∞) B．(－2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．[－3，＋∞)解析：由題意可得an＋1－an>0恒成立，即(n＋1)2＋b(n＋1)－n2－bn＝2n＋1＋b>0，即b>－2n－1，又n≥1，則－2n－1≤－3，故b∈(－3，＋∞).故選A.A(2)(2024·四川宜賓二模)在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＝1，且滿足an＋2＋an＝an＋1，則數(shù)列{an}的前2024項的和為(

)A．3 B．2C．1 D．0解析：由題意得an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，兩式相加可得an＋3＝－an，即an＋6＝－an＋3＝an，所以數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列．又a1＝2，a2＝1，所以a3＝－1，a4＝－2，a5＝－1，a6＝1.所以數(shù)列{an}的前2024項和S2024＝337(a1＋a2＋…＋a6)＋a1＋a2＝3.故選A.AD高考創(chuàng)新方向多想少算C創(chuàng)新解讀本題主要考查學(xué)生學(xué)習(xí)新概念，并利用新概念解題的能力，平穩(wěn)中有新意，靈活中見能力，實踐中出真知，體現(xiàn)新高考的變化和趨勢．課時作業(yè)38第分部三1．（5分）（2024·山東濟南三模）若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n(n＋1)，則a6＝(

)A．10

B．11

C．12

D．13解析：a6＝S6－S5＝6×7－5×6＝12.故選C.CD3．（5分）（2024·陜西榆林三模）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)進行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進行，當甲報出1，乙報出2后，之后每個人報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為(

)A．2 B．4C．6 D．8A解析：報出的數(shù)字依次是1，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8，2，6，…，除了首項以外是個周期為6的周期數(shù)列，去掉首項后的新數(shù)列第1項為2，因為2023＝337×6＋1，所以原數(shù)列第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為2.故選A.4．（5分）（2024·福建廈門一模）傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖所示的1，5，12，22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個數(shù)為(

)A．51 B．70C．92 D．117C解析：由題圖及五邊形數(shù)知后一個數(shù)與前一個數(shù)的差依次為4，7，10，13，16，19，22，…，所以五邊形數(shù)依次為1，5，12，22，35，51，70，92，…，即第8個數(shù)為92.故選C.5．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝9，an＋1－an＝2n，則a4＝(

)A．21 B．23C．25 D．27解析：由題設(shè)知an－an－1＝2(n－1)，…，a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1，累加可得an－a1＝2(n－1＋…＋2＋1)＝n(n－1)且n≥2，則an＝n2－n＋9，顯然a1＝9也滿足上式，所以a4＝42－4＋9＝21.故選A.AC7．（5分）已知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，其前n項和Sn＝－n2＋2n＋m，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)解析：當n＝1時，a1＝S1＝－12＋2＋m＝1＋m；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－(n－1)2＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3，∴當n≥2時，數(shù)列{an}中an隨著n的增大而減小，若使{an}為遞減數(shù)列，只需滿足a2<a1，即－2×2＋3<1＋m，解得m>－2.故選A.ABC9．（8分）（多選）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋an－1＝n2(n≥2，n∈N*)，Sn為其前n項和，則(

)A．a(chǎn)4－a2＝7 B．a(chǎn)10＝55C．S5＝35 D．a(chǎn)8＋a4＝28解析：因為a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52