微專題九圓錐曲線中的定點、定直線、定值問題數(shù)學(xué)內(nèi)容索引關(guān)鍵能力提升第一部分考點1定點問題考點2動點在定直線上的問題0102課時作業(yè)第二部分考點3定值問題03掌握解決定點、定直線和定值問題的一般方法，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．互動探究·考點精講關(guān)鍵能力提升第分部一考點1定點問題命題角度1直線過定點問題(1)求橢圓E的方程．(2)設(shè)過點M(2，0)的直線l（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓E交于不同的兩點A，C，與直線x＝16交于點P.點B在y軸上，D為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，四邊形ABCD是菱形．求證：直線PD過定點．規(guī)律總結(jié)直線過定點問題的常用方法(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明．(2)“一般推理，特殊求解”，即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點．(3)求證直線過定點(x0，y0)，常利用直線的點斜式方程y－y0＝k(x－x0)或斜截式方程y＝kx＋b來證明．命題角度2圓過定點問題規(guī)律總結(jié)圓錐曲線中圓過定點問題的解法：充分利用圓的幾何特征，即圓過定點，可依據(jù)直徑所對圓周角為直角，轉(zhuǎn)化為兩條線段的垂直，進而轉(zhuǎn)化為兩個向量垂直，即兩向量的數(shù)量積等于0，從而建立方程求解．(2)直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，若直線PA，PB的斜率互為倒數(shù)，求證：直線l過定點．解：證明：當(dāng)l斜率不存在時，顯然不滿足條件．當(dāng)l斜率存在時，設(shè)其方程為y＝kx＋m，與C的方程聯(lián)立，消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，由已知得k2≠4，且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0.考點2動點在定直線上的問題【例3】

（2024·湖南婁底一模）若拋物線Γ的方程為y2＝4x，焦點為F，設(shè)P，Q是拋物線Γ上兩個不同的動點．(1)若|PF|＝3，求直線PF的斜率；規(guī)律總結(jié)動點在定直線上問題的解題策略(1)從特殊入手，初步確定動點所在的直線，再證明一般情況下動點也在該定直線上即可．(2)從動點的坐標(biāo)入手，直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到動點的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系，進而得出定直線方程．(2)求證：點T在定直線上．考點3定值問題(2)過F2作垂直于x軸的直線l與橢圓交于E，F(xiàn)兩點（點E在第一象限），P，Q是橢圓C上位于直線l兩側(cè)的動點，始終保持∠QEF＝∠PEF，求證：直線PQ的斜率為定值．規(guī)律總結(jié)求定值問題常見類型及解題策略(1)常見類型①證明代數(shù)式為定值：依據(jù)題設(shè)條件，得出與代數(shù)式中參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式后再化簡，即可得出定值；②證明點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離解析式，再利用條件化簡，即可證明；③證明線段長度、斜率、圖形面積（或以上量的和、差、積、商）等為定值：寫出各量的目標(biāo)函數(shù)解析式，再消去參數(shù)即可．(2)常用策略①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【對點訓(xùn)練3】

（2024·山東濟南三模）如圖所示，拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線過點(－2，3).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若角α為銳角，以角α為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，作線段AB的垂直平分線l交x軸于點P，求證：|FP|－|FP|cos2α為定值，并求出此定值．課時作業(yè)63第分部二1．（15分）（2024·河南駐馬店三模）設(shè)A，B為曲線C：y2＝4x上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)若A與B的縱坐標(biāo)之和為4，求直線AB的方程；(2)求證：線段AB的垂直平分線過定點．解：存在．當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)其方程為x＝my＋2.由于直線與雙曲線有兩個交點，則直線不能與漸近線平行，漸近線斜率為±1，則m≠±1.(1)判斷直線l是否過x軸上的定點．若過，求出該定點；若不過，請說明理由．解：直線l過x軸上的定點．由題意可知A1(－1，0)，A2(1，0)，k≠0，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2).故直線l的方程為y＝k(x－2)，恒過點(2，0).(2)若M，N分別在第一和第四象限內(nèi)，求證：直線MA1與NA2的交點P在定直線上．解：如圖，設(shè)橢圓C的右頂點是A′，連接MA′，(2)若直線AM和AN分別與直線x＝4交于P，Q兩點，求證：以線段PQ為直徑的圓恒過兩個定點，并求出定點坐標(biāo)．所以以PQ為直徑