微專題5電磁場(chǎng)中的空間立體問(wèn)題和擺線問(wèn)題例1(1)R(2)6πmqB(3)(63[解析](1)依題意作出氘核在磁場(chǎng)Ⅱ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲所示軌跡與下邊界相切時(shí),Ⅱ區(qū)域厚度最小,由洛倫茲力提供向心力得qvB=mv解得r1=R由幾何關(guān)系可得最小厚度為L(zhǎng)min=r1=R(2)氘核在兩個(gè)磁場(chǎng)中往復(fù)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖乙所示氘核在磁場(chǎng)Ⅱ中每運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期后離開(kāi),隨后垂直射入磁場(chǎng)Ⅰ,每運(yùn)動(dòng)四分之一個(gè)周期后再垂直射入磁場(chǎng)Ⅱ.氘核在兩個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期均為T(mén)=2π氘核在磁場(chǎng)Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),滿足qvB=mv解得r2=R該氘核從出發(fā)到第二次回到磁場(chǎng)Ⅰ最低點(diǎn)需要的時(shí)間為t=4×T2+(3)氘核以2v的速度射入磁場(chǎng)Ⅱ時(shí),有q·2vB=m(2解得r1'=2R由幾何關(guān)系可知,氘核每次在磁場(chǎng)Ⅱ中的水平位移為x1=2r1'sinθ=23R氘核進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ后做等距螺旋運(yùn)動(dòng),將速度分解為與磁場(chǎng)Ⅰ垂直的分速度v1和與磁場(chǎng)Ⅰ平行的分速度v2,如圖丙所示由幾何關(guān)系可知,v1=2vsinθ=3v,v2=2vcosθ=v氘核以速度v1在磁場(chǎng)Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖丁所示由洛倫茲力提供向心力,有qv1B=mv解得r2'=3R由幾何關(guān)系得tanα=R解得α=30°氘核每次在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2=2α360°T氘核每次在磁場(chǎng)Ⅰ中的水平位移為x2=v2t2=π3根據(jù)運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性,從出發(fā)到第二次回到磁場(chǎng)Ⅰ最低點(diǎn)的水平位移為x總=3(x1+x2)=(63+π)R例2(1)mv0qB(2)qE[解析](1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由洛倫茲力提供向心力,有qv0B=mv解得r=m(2)粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng),沿x軸方向上有d1=12aqE=ma垂直于x軸方向上有R=v0t1聯(lián)立解得d1=qE(3)粒子回到x軸所用的最短時(shí)間為tmin=T=2π沿x軸方向上有d2=12aqE=ma聯(lián)立解得d2=2例3(1)Ev0g?(2)((3)①v02-2g?②[解析](1)由于小球所受電場(chǎng)力大小等于重力,即qE=mg,可知電場(chǎng)力與重力平衡,小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng),有qv0B=mv根據(jù)幾何關(guān)系有R=h解得B=E(2)當(dāng)小球沿第二象限中某一方向射出時(shí),可運(yùn)動(dòng)到左側(cè)最遠(yuǎn)落地點(diǎn),此時(shí)落地與O點(diǎn)連線為軌跡的直徑,由幾何關(guān)系可知,其水平位移x1=(2當(dāng)小球沿y軸負(fù)方向射出時(shí),可運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最遠(yuǎn)落地點(diǎn),此時(shí)軌跡與地面相切,由幾何關(guān)系可知,其水平位移x2=R則落地點(diǎn)區(qū)間的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=x1+x2聯(lián)立解得L=(3+1)h(3)①利用配速法,將小球在O點(diǎn)的速度v1分解為沿x軸正方向的速度v2和另一速度v,使qv1B=mg,則小球的運(yùn)動(dòng)可分解為以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)與以速度v2做勻速直線運(yùn)動(dòng),如圖所示則勻速直線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的速度v2=mgqB=勻速圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的速度v=v勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r=mv根據(jù)幾何關(guān)系有h=r+rcosθ其中cosθ=v聯(lián)立解得v1=v②小球速度達(dá)到最小時(shí)的位置之間的距離Δx=nv2T(n=1,2,3,…)其中周期T=2πRv解得Δx=2nπg(shù)【跟蹤訓(xùn)練】1.BD[解析]設(shè)圖甲中粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v,運(yùn)動(dòng)的半徑為R,在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng),由動(dòng)能定理得qE·d2=12mv2,在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由洛倫茲力提供向心力,有qvB=mv2R,由幾何關(guān)系可得R=d,聯(lián)立解得v=qBdm,E=qdB2m,粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)過(guò)程,在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1=d2v2=mqB,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2=14T=πm2qB,所以粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間為t=t1+t2=(π+2)m2qB,故A錯(cuò)誤;將圖乙中粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中某時(shí)刻的速度分解為向右和向下的分量vx、vy,再把粒子受到的洛倫茲力分別沿水平方向和豎直方向分解,兩個(gè)洛倫茲力的分量分別為Fx=qBvy,Fy=qBvx,設(shè)粒子在最低點(diǎn)N時(shí)的速度大小為v1,O、N兩點(diǎn)的豎直距離為y,水平方向上由動(dòng)量定理可得∑qBvyΔt=mv1-0,即qBy=mv1,由動(dòng)能定理可得qEy=12mv12,聯(lián)立解得v1=2Bqdm,y=2d,故B正確,C錯(cuò)誤;豎直方向上由動(dòng)量定理可得qEt2.(1)v024g(2)4πv0g(3)2v[解析](1)微粒在yOz平面左側(cè)做平拋運(yùn)動(dòng),由于經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)方向與x軸正方向的夾角為45°,則有vy=v0sin45°根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得vy2解得y=v(2)由于E=mgq,所以qE=mg由洛倫茲力提供向心力,微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng),有qv0B=mv圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0=2π解得R=mv0qB,T已知B0=mgqv0,t當(dāng)B=B0時(shí),R1=v02g,T當(dāng)B=B02時(shí),R2=2v02結(jié)合題中信息可知:0~t0時(shí)間內(nèi),微粒剛好轉(zhuǎn)過(guò)180°;t0~2t0時(shí)間內(nèi),微粒轉(zhuǎn)過(guò)90°;2t0~3t0時(shí)間內(nèi)與0~t0時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡大小一樣,只是偏轉(zhuǎn)方向不一樣;3t0~4t0時(shí)間內(nèi)與t0~2t0時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡大小一樣,只是偏轉(zhuǎn)方向不一樣,綜上所述,微粒一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示由圖可知T=2×T12+2×T(3)t=t02時(shí),把速度沿x軸方向和沿vx'=v0cos45°vy'=v0sin45°微粒在沿y方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng),則有vy2=2vy=gt2解得y2=v024g,微粒