連續(xù)介質(zhì)力學(xué)課件演講人：日期:目錄/CONTENTS2數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工具3基本守恒定律4本構(gòu)理論框架5典型介質(zhì)模型6數(shù)值實現(xiàn)基礎(chǔ)1基礎(chǔ)概念與假設(shè)基礎(chǔ)概念與假設(shè)PART01連續(xù)介質(zhì)假設(shè)忽略物質(zhì)微觀粒子結(jié)構(gòu)（如分子、原子間隙），將研究對象視為無限可分且連續(xù)分布的宏觀實體，適用于特征尺度遠大于分子平均自由程的力學(xué)問題。微觀與宏觀尺度區(qū)分假設(shè)密度、速度、應(yīng)力等物理量在介質(zhì)內(nèi)連續(xù)可微，允許使用微積分工具描述力學(xué)行為，但需注意在激波、裂紋等奇異區(qū)域可能失效。物理量連續(xù)性要求該假設(shè)在流體力學(xué)、固體力學(xué)中廣泛應(yīng)用，但在稀薄氣體、納米材料等微觀尺度問題中需改用分子動力學(xué)或統(tǒng)計力學(xué)方法。適用性與局限性010203連續(xù)介質(zhì)假設(shè)定義標(biāo)量場與矢量場場量間需通過本構(gòu)方程（如牛頓流體黏性定律、胡克彈性定律）建立聯(lián)系，反映材料特性對力學(xué)響應(yīng)的約束。本構(gòu)關(guān)系引入守恒定律表達質(zhì)量守恒（連續(xù)性方程）、動量守恒（Navier-Stokes方程）、能量守恒（熱力學(xué)第一定律）均以場量形式表述，構(gòu)成連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本控制方程。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，質(zhì)量密度（標(biāo)量場）、速度場（矢量場）、應(yīng)力張量場（二階張量場）是核心場量，需通過歐拉描述或拉格朗日描述定義其空間與時間依賴性。物理量與場量描述運動與構(gòu)型表述構(gòu)型轉(zhuǎn)換與雅可比行列式拉格朗日描述以當(dāng)前構(gòu)型為參考，關(guān)注空間固定點的物理量變化，適用于流體力學(xué)，需處理對流導(dǎo)數(shù)以體現(xiàn)質(zhì)點運動效應(yīng)。以初始構(gòu)型為參考，追蹤每個質(zhì)點的位移歷史，適用于固體力學(xué)中有限變形分析，需引入變形梯度張量描述局部形變。兩種描述通過雅可比行列式關(guān)聯(lián)，其值反映體積變化率，在質(zhì)量守恒和應(yīng)力功率計算中起關(guān)鍵作用。123歐拉描述數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工具PART02張量分析與運算張量是描述物理量在多維空間中變換規(guī)律的數(shù)學(xué)對象，包括標(biāo)量（零階張量）、矢量（一階張量）、二階張量及高階張量，需掌握其坐標(biāo)變換規(guī)律（協(xié)變與逆變分量）。張量的定義與分類涵蓋張量的加減、外積（并矢）、縮并、點積、雙點積等基本操作，以及對稱化、反對稱化等特殊運算，需注意指標(biāo)運算的Einstein求和約定。張量代數(shù)運算包括張量場的梯度（如速度梯度張量）、散度（如應(yīng)力張量的散度對應(yīng)平衡方程）、旋度等，需熟練掌握笛卡爾坐標(biāo)系與曲線坐標(biāo)系下的表達式轉(zhuǎn)換。微分運算與導(dǎo)數(shù)場論基本定理Gauss散度定理將體積分轉(zhuǎn)換為面積分，廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)（質(zhì)量守恒）和電磁學(xué)（Maxwell方程），需理解其物理意義及在非均勻介質(zhì)中的推廣形式。Reynolds輸運定理處理隨時間變化的控制體問題（如流體運動的Lagrange-Euler描述轉(zhuǎn)換），需區(qū)分局部導(dǎo)數(shù)與對流導(dǎo)數(shù)的物理含義。Stokes旋度定理將曲面積分轉(zhuǎn)換為線積分，用于描述渦量場（如渦旋流動）和電磁感應(yīng)，需掌握其在曲面參數(shù)化下的具體應(yīng)用。積分轉(zhuǎn)換公式體積分-面積分轉(zhuǎn)換除Gauss定理外，還需掌握廣義的Green公式（如標(biāo)量場的Laplacian積分轉(zhuǎn)換），適用于勢場理論及熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)。曲線積分-曲面積分轉(zhuǎn)換包括Stokes定理的二維形式（Green公式）及高階推廣，用于求解環(huán)量、通量等問題。坐標(biāo)系變換下的積分轉(zhuǎn)換涉及Jacobian行列式的計算（如球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)下的體積元轉(zhuǎn)換），需注意非線性變換中的尺度因子修正?；臼睾愣蒔ART03質(zhì)量守恒方程基于雷諾輸運定理，通過控制體分析得出微分形式的連續(xù)性方程?ρ/?t+?·(ρv)=0，其中ρ為密度場，v為速度場，該方程描述流體微團質(zhì)量隨時間的變化規(guī)律。連續(xù)性方程推導(dǎo)當(dāng)流體密度為常數(shù)時，連續(xù)性方程簡化為?·v=0，表明速度場的散度為零，這是Navier-Stokes方程求解的重要前提條件。不可壓縮流體特例對于含相變的復(fù)雜系統(tǒng)，需引入相分?jǐn)?shù)變量α，建立?(αρ)/?t+?·(αρv)=Γ形式的方程，其中Γ代表相間質(zhì)量傳遞率。多相流擴展形式動量平衡方程柯西動量方程基于牛頓第二定律建立ρ(?v/?t+v·?v)=?·σ+ρb，其中σ為柯西應(yīng)力張量，b為體積力，該方程構(gòu)成所有流體力學(xué)問題的核心控制方程。本構(gòu)關(guān)系耦合對于牛頓流體，應(yīng)力張量可分解為σ=-pI+μ(?v+(?v)^T)，其中p為靜壓，μ為動力粘度，此本構(gòu)關(guān)系使動量方程封閉可解。湍流建模需求當(dāng)雷諾數(shù)較高時，需引入RANS方程或LES方法，通過附加湍流粘度項μ_t來模擬脈動應(yīng)力，典型模型包括k-ε模型和S-A模型。能量守恒原理總能量方程形式建立ρ(?e/?t+v·?e)=-?·q+σ:?v+ρr，其中e為單位質(zhì)量內(nèi)能，q為熱流矢量，r為輻射源項，":"表示張量雙點積運算。焓形式轉(zhuǎn)換對于恒壓過程常轉(zhuǎn)換為焓方程ρc_p(?T/?t+v·?T)=?·(k?T)+Φ，其中Φ為粘性耗散函數(shù)，k為熱導(dǎo)率，該形式更便于傳熱問題求解。耦合求解策略在高速流動中需與動量方程強耦合求解，特別在激波捕捉時需要引入人工粘性或通量限制器保證數(shù)值穩(wěn)定性。本構(gòu)理論框架PART04彈性材料塑性材料在小變形條件下應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系（胡克定律），適用于金屬、陶瓷等各向同性材料；大變形時需采用超彈性模型（如橡膠類材料）。存在屈服極限，變形不可逆，需考慮硬化效應(yīng)（各向同性硬化、隨動硬化）和流動法則（如Mises準(zhǔn)則）。材料分類與特性粘彈性材料兼具彈性和粘性特性（如聚合物），需通過蠕變試驗或松弛試驗確定Prony級數(shù)等參數(shù)。多孔介質(zhì)與復(fù)合材料需考慮孔隙率、纖維取向等微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)，本構(gòu)關(guān)系常通過均勻化理論或細(xì)觀力學(xué)模型建立。本構(gòu)方程建立原則客觀性原理本構(gòu)方程必須與觀察者參考系無關(guān)，通常通過客觀應(yīng)力率（如Jaumann率、Truesdell率）實現(xiàn)。01局部作用假設(shè)材料某點的應(yīng)力僅取決于該點鄰域的變形歷史（非局部理論除外），簡化了本構(gòu)方程的數(shù)學(xué)表達。材料對稱性約束各向異性材料（如晶體、層合板）需通過結(jié)構(gòu)張量表征對稱群，減少獨立本構(gòu)參數(shù)數(shù)量。熱力學(xué)一致性本構(gòu)方程需滿足熵不等式（Clausius-Duhem不等式），確保能量耗散非負(fù)。020304熱力學(xué)約束條件能量守恒方程結(jié)合熱傳導(dǎo)方程（Fourier定律）與機械能平衡，推導(dǎo)出內(nèi)能演化方程，耦合溫度場與變形場。通過耗散勢函數(shù)（如塑性耗散、粘性耗散）量化不可逆過程，確保本構(gòu)模型符合熱力學(xué)第二定律。需合理定義內(nèi)變量（如塑性應(yīng)變、損傷變量）以描述材料內(nèi)部狀態(tài)變化，其演化方程需滿足熱力學(xué)共軛關(guān)系。涉及多相材料（如形狀記憶合金）時，需引入化學(xué)勢和相場變量，建立多物理場耦合本構(gòu)模型。熵增原理狀態(tài)變量選取相變與化學(xué)反應(yīng)耦合典型介質(zhì)模型PART05廣義胡克定律描述線性彈性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，通過彈性張量建立各向同性或各向異性材料的本構(gòu)方程，涵蓋楊氏模量、泊松比等關(guān)鍵參數(shù)。彈性固體本構(gòu)建模超彈性模型適用于大變形場景，基于應(yīng)變能密度函數(shù)推導(dǎo)應(yīng)力響應(yīng)，常見模型包括Neo-Hookean、Mooney-Rivlin等，用于橡膠類材料模擬。黏彈性理論結(jié)合彈性與黏性行為，通過積分型本構(gòu)方程（如Boltzmann疊加原理）或微分型模型（如Maxwell、Kelvin-Voigt）描述時間依賴性變形。牛頓流體運動方程基于動量守恒定律，建立不可壓縮牛頓流體的控制方程，包含黏性項、壓力梯度及慣性力項，是流體動力學(xué)分析的核心。納維-斯托克斯方程牛頓流體假設(shè)剪應(yīng)力與剪切速率呈線性關(guān)系，黏度為常數(shù)，適用于水、空氣等常見流體，但需注意高剪切速率下的非牛頓效應(yīng)。本構(gòu)關(guān)系簡化明確無滑移條件、自由表面條件或周期性邊界條件，結(jié)合數(shù)值方法（如有限體積法）求解復(fù)雜流動問題。邊界條件處理屈服準(zhǔn)則通過VonMises或Tresca準(zhǔn)則判斷材料是否進入塑性階段，定義屈服面及硬化規(guī)律（各向同性硬化、隨動硬化）。流動法則基于關(guān)聯(lián)或非關(guān)聯(lián)流動法則描述塑性應(yīng)變增量方向，結(jié)合一致性條件確保應(yīng)力狀態(tài)始終位于屈服面上。硬化模型引入等向硬化、運動硬化或混合硬化模型，模擬材料在塑性變形過程中的強度變化，適用于金屬成型、地質(zhì)材料分析等場景。塑性變形理論要點數(shù)值實現(xiàn)基礎(chǔ)PART06控制方程離散化時間離散策略通過顯式或隱式時間積分方法（如歐拉法、龍格-庫塔法）處理瞬態(tài)問題，需權(quán)衡計算效率與穩(wěn)定性條件（如CFL數(shù)限制）。03非線性項處理針對對流項等非線性問題，引入迎風(fēng)格式、通量限制器或Newton-Raphson迭代，確保數(shù)值解的物理合理性與收斂性。0201空間離散方法采用有限差分、有限體積或有限元法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，需考慮網(wǎng)格類型（結(jié)構(gòu)化/非結(jié)構(gòu)化）和離散精度（一階/高階格式）對計算結(jié)果的影響。有限元法基本原理弱形式推導(dǎo)基于加權(quán)殘值法或變分原理將強形式方程轉(zhuǎn)化為積分形式，利用分部積分降低導(dǎo)數(shù)階數(shù)，適應(yīng)低連續(xù)性基函數(shù)。剛度矩陣組裝通過高斯積分計算單元剛度矩陣，疊加至全局矩陣時需處理邊界條件（如Dirichlet約束的置大數(shù)法或降階法）。采用Lagrange或Hermite型形函數(shù)在單元局部坐標(biāo)系下逼近場變量，需滿足完備性（常應(yīng)變條件）和協(xié)調(diào)性（節(jié)點連續(xù)性）要求。單元插值與形函