2026年成人高考高起專數(shù)學(xué)(理)練習(xí)題及答案(回憶版)一、選擇題（每小題5分，共60分。每題只有一個正確答案，請將正確選項的字母填在括號內(nèi)）1.已知集合A={x|x2?3x+2=0}，B={x|x2?5x+6=0}，則A∩B為（）A.{1,2}??B.{2,3}??C.{2}??D.?答案：C解析：A={1,2}，B={2,3}，交集為{2}。2.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點為(1,?4)，則下列結(jié)論正確的是（）A.a<0??B.b=?2a??C.c=?4??D.判別式Δ<0答案：B解析：頂點橫坐標(biāo)x=?b/(2a)=1?b=?2a。3.已知復(fù)數(shù)z滿足z·(1+i)=2?i，則|z|等于（）A.√5??B.√10/2??C.5/2??D.3答案：B解析：z=(2?i)/(1+i)=(2?i)(1?i)/[(1+i)(1?i)]=(1?3i)/2，|z|=√(12+32)/2=√10/2。4.若向量a=(2,?1)，b=(x,3)，且a⊥b，則x的值為（）A.3??B.?3??C.1.5??D.?1.5答案：D解析：a·b=2x?3=0?x=1.5。5.已知等差數(shù)列{an}中，a?=7，a?=19，則a??為（）A.25??B.28??C.31??D.34答案：C解析：公差d=(19?7)/(7?3)=3，a??=a?+3d=19+9=28。6.若函數(shù)y=ln(x2+1)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.(?∞,0)??B.(0,+∞)??C.(?1,1)??D.R答案：B解析：y′=2x/(x2+1)，當(dāng)x>0時y′>0。7.已知隨機變量X服從參數(shù)λ=2的泊松分布，則P(X=1)等于（）A.2e?2??B.e?2??C.4e?2??D.0.5e?2答案：A解析：P(X=k)=λ?e?λ/k!，k=1時得2e?2。8.若直線l:y=kx+1與圓C:x2+y2=5相切，則k的值為（）A.±2??B.±√5??C.±√6??D.±3答案：C解析：圓心到直線距離|k·0?0+1|/√(k2+1)=√5?1/√(k2+1)=√5?k2=6。9.已知函數(shù)f(x)=|x?2|+|x+1|的最小值為（）A.0??B.1??C.2??D.3答案：D解析：分段討論得最小值在x∈[?1,2]內(nèi)恒為3。10.若tanθ=3/4，且θ∈(π,3π/2)，則sinθ+cosθ等于（）A.?1/5??B.?7/5??C.1/5??D.7/5答案：B解析：第三象限sinθ=?3/5，cosθ=?4/5，和為?7/5。11.已知函數(shù)f(x)=x3?3x2+2在區(qū)間[0,3]上的最大值為（）A.0??B.2??C.4??D.6答案：C解析：f′(x)=3x2?6x，臨界點x=0,2；f(0)=2，f(2)=?2，f(3)=2，最大值為2，但端點f(0)=2，f(3)=2，需重新驗算：f(1)=0，f(2)=?2，f(0)=2，f(3)=2，最大值為2，但選項無2，重新檢查：f(?1)=?2，f(4)=18，題目區(qū)間[0,3]，最大值為2，選項B。12.若矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則A?1為（）A.[[?2,1],[1.5,?0.5]]??B.[[4,?2],[?3,1]]??C.[[?4,2],[3,?1]]??D.[[2,?1],[?1.5,0.5]]答案：A解析：detA=?2，伴隨矩陣[[4,?2],[?3,1]]，逆矩陣為?1/2倍伴隨矩陣。二、填空題（每小題4分，共20分）13.已知函數(shù)f(x)=e2?，則f′(ln2)=________。答案：8解析：f′(x)=2e2?，f′(ln2)=2e^{2ln2}=2·4=8。14.若拋物線y2=4x的焦點為F，過F作傾斜角為60°的直線交拋物線于A,B兩點，則|AB|=________。答案：16/3解析：焦點F(1,0)，直線y=√3(x?1)，代入y2=4x得3(x?1)2=4x?3x2?10x+3=0，弦長公式|AB|=√(1+k2)|x??x?|=2·√(100?36)/3=16/3。15.已知隨機變量X的密度函數(shù)f(x)=k(1?x2)，x∈[?1,1]，則常數(shù)k=________。答案：3/4解析：∫_{?1}^{1}k(1?x2)dx=1?k[x?x3/3]_{?1}^{1}=1?k(4/3)=1?k=3/4。16.若復(fù)數(shù)z滿足z+2|z|=2+4i，則z=________。答案：1+2i解析：設(shè)z=a+bi，則a+bi+2√(a2+b2)=2+4i，比較虛部得b=4，代入得a+2√(a2+16)=2，解得a=1。17.已知數(shù)列{an}滿足a?=1，a_{n+1}=2a_n+3，則通項公式an=________。答案：2^{n+1}?3解析：構(gòu)造法，設(shè)a_n+3=2(a_{n?1}+3)，得等比數(shù)列，a_n+3=2^{n?1}·4?a_n=2^{n+1}?3。三、解答題（共70分）18.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=x3?3x+1。（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）證明方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有且僅有一個實根。解：（1）f′(x)=3x2?3=3(x2?1)，臨界點x=±1。x∈(?∞,?1)時f′>0，增；x∈(?1,1)時f′<0，減；x∈(1,+∞)時f′>0，增。極大值f(?1)=3，極小值f(1)=?1。（2）f(0)=1>0，f(1)=?1<0，且f在[0,1]連續(xù)單調(diào)減，由零點定理及單調(diào)性知存在唯一根。19.（12分）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D在BC上，且BD:DC=2:1。（1）求AD的長；（2）求cos∠BAD。解：（1）建立坐標(biāo)系：B(0,0)，C(6,0)，A(3,4)。D分BC為2:1?D(4,0)。AD=√[(4?3)2+(0?4)2]=√17。（2）向量AB=(?3,?4)，AD=(1,?4)，cos∠BAD=(AB·AD)/(|AB||AD|)=(?3+16)/(5·√17)=13/(5√17)。20.（12分）某工廠生產(chǎn)零件，長度X~N(μ,σ2)。抽取9件，測得x?=50.2mm，s=0.3mm。（1）求μ的95%置信區(qū)間；（2）若要求誤差不超過0.1mm，求最小樣本量。（t_{0.025}(8)=2.306）解：（1）置信區(qū)間x?±t·s/√n=50.2±2.306·0.3/3=50.2±0.2306，即(49.9694,50.4306)mm。（2）n≥(t·s/E)2=(2.306·0.3/0.1)2=47.8，取48。21.（12分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)?x+ax2。（1）若x→0時f(x)為x3的高階無窮小，求a；（2）求f(x)的麥克勞林展開至x3項。解：（1）泰勒展開ln(1+x)=x?x2/2+x3/3+o(x3)，代入得f(x)=(a?1/2)x2+(1/3)x3+o(x3)，高階無窮小要求a?1/2=0?a=1/2。（2）代入a=1/2，f(x)=(1/3)x3?(1/4)x?+o(x?)，至x3項為(1/3)x3。22.（10分）設(shè)矩陣A=[[2,1],[1,2]]，求正交矩陣P使P?AP為對角矩陣，并寫出對角矩陣。解：特征方程|A?λI|=0?λ2?4λ+3=0?λ?=1,λ?=3。λ=1時，特征向量v?=(1,?1)/√2；λ=3時，v?=(1,1)/√2。P=[[1/√2,1/√2],[?1/√2,1/√2]]，對角矩陣diag(1,3)。23.（12分）已知曲線C:y=lnx與直線l:y=kx相切。（1）求切點坐標(biāo)及k；（2）求C與l及x軸圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積。解：（1）設(shè)切點(x?