高中2025北京大興高一（下）期末數學2025.07本試卷共4頁，150分.考試時間120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.（）A. B. C. D.2.已知復數，則（）A. B.2 C. D.3.某學校有高中學生500人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數分別為160，150，190，為調查學生參加“社區(qū)志愿服務”的意向，現采用按比例分層抽樣的方法從中抽取一個容量為50的樣本，那么應抽取高二年級的人數為（）A.15 B.16 C.19 D.324.已知向量，，且，則（）A. B.0 C.1 D.25.從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲、乙兩人中至少一人被選中的概率為（）A. B. C. D.6.設，為兩個不同的平面，則“”是“內有無數條直線與平行”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若向量與滿足，且，則在上的投影向量的模為（）A.2 B.4 C.5 D.88.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，且，則.其中真命題的個數是（）A.0 B.1 C.2 D.39.在銳角中，為的面積，，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.在編號分別為的n名同學中挑選一人參加某項活動，挑選方法如下：拋擲兩枚骰子，將兩枚骰子的點數之和除以n所得的余數如果恰好為i，則選編號為i的同學．下列哪種情況是不公平的挑選方法（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若兩條不同直線，沒有公共點，則，所有可能的位置關系是______.12.若非零向量與滿足，則與夾角的大小為______.13.某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如表所示．賠付金額/元01000200030004500車輛數/輛6008011012090若每輛車的投保金額均為2500元，估計賠付金額大于投保金額的概率為______；在樣本車輛中，車主是新司機的占15%，在賠付金額為4500元的樣本車輛中，車主是新司機的占30%，估計在已投保的新司機中，獲賠金額為4500元的概率為______．14.已知直角三角形的兩條直角邊長分別為3，4，分別以兩條直角邊和斜邊所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成三個幾何體，則這三個幾何體中，體積的最大值是______；表面積的最小值是______.15.如圖，正四面體的所有棱長為1、、分別是棱、上的點，且，，給出下列四個結論：①存在、使得平面；②存在，使得；③不存在，使得平面平面；④三棱錐體積的最大值為.其中所有正確結論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知復數，，.（1）若是實數，求的值；（2）若復數在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍.17.小明利用地圖軟件統(tǒng)計出他近期100次早上從家到公司的導航過程中的紅燈等待時間，他將數據分成了，，，，（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示.（1）求圖中的值；（2）估計小明紅燈等待時間的第60百分位數（結果精確到0.1）；（3）根據以上數據，估計小明在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時間低于85秒的次數.18.在中，.（1）求的值；（2）若，再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.19.一個口袋中有質地和大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲，甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數算甲贏，否則算乙贏.（1）求編號和為5的事件發(fā)生的概率；（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？說明理由；（3）如果甲摸出球后不放回，則游戲對誰有利？20.《九章算術》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”，這里所謂的“陽馬”，就是底面是矩形且一條側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐為陽馬，底面，，，分別為，的中點.（1）證明：平面；（2）證明：平面.21.類比二維平面內的余弦定理，三維空間中有三面角余弦定理：如圖1，由射線，，構成的三面角，記，，，二面角的大小為，則.如圖2，四棱錐中，底面為菱形，，，，且.（1）在圖2中，用三面角余弦定理求的值；（2）在圖2中，線段上是否存在一點，使得，若存在，求值；若不存在，說明理由；（3）在圖2中，直線與平面內任意一條直線的夾角為，證明：.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.12345678910ADABDACDDC第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.1112131415平行或異面##①.0.21##②.0.18##①.②.①③④三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（1）（2）17.（1）（2）（3）718.（1）（2）若選擇條件①：c=2由余弦定理b2=整理可得a2?4即條件①使ABC不存在；若選擇條件②：a由正弦定理bsinB聯立asinA=由a2=b2解得c=5或c=-3(舍),此時條件②使ABC存在且唯一，符合題意；所以其面積為1若選擇條件③：cos易知sin利用正弦定理bsin由a2=b2解得c=5或c=-3(舍),此時條件③使ABC存在且唯一，符合題意；所以其面積為119.（1）（2）不公平；理由：易知兩個編號的和為偶數的情況共有13種，如果兩個編號的和為偶數算甲贏，則甲贏的概率為P則乙贏的概率為P顯然兩人贏的概率并不相等，因此這種游戲規(guī)則不公平.（3）對乙有利；20.（1）取PD的中點G,連接AG,FG.在△PCD中,PG=GD,PF=FC,所以GF‖CD,GF=因為AB∥DC,AB=DC,AE=EB,所以GF∥AE,GF=AE,所以四邊形AEFG為平行四邊形,所以EF∥GA,又GA?平面PAD,而EF不在平面PAD內,所以EF∥平面PAD.（2）連接PE,CE.在△PAD中,PA=AD,PG=GD,所以AG⊥PD.由(1)知EF∥AG,所以EF⊥PD.因為PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.根據勾股定理得PE=而EC=所以PE=EC,又PF=CF,所以EF⊥PC.又PC○PD=P,PC,