第一章空間向量與立體幾何

1.1.1

空間向量及其線性運(yùn)算知識(shí)回顧1平面向量的概念定義既有大小又有方向的量叫做向量長(zhǎng)度/模向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）表示法幾何表示法字母表示法用有向線段表示ABCD

知識(shí)回顧2幾類特殊的平面向量零向量單位向量相等向量相反向量模長(zhǎng)為1的的向量叫單位向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量共線向量

方向相同或相反的非零向量規(guī)定：零向量與任意向量平行知識(shí)回顧3平面向量的線性運(yùn)算加法減法

三角形法則

平行四邊形法則

三角形法則數(shù)乘

知識(shí)回顧3平面向量的線性運(yùn)算

加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：知識(shí)回顧3平面向量的線性運(yùn)算情境：生活中的空間向量

F1F2F3圖1

線纜同時(shí)受到來(lái)自不同方向的支持力圖2跳傘運(yùn)動(dòng)員同時(shí)受到重力、風(fēng)力、繩索牽拉力圖3水平抬起鋼板，鋼板受到來(lái)自不同方向上的作用力思考：每個(gè)場(chǎng)景中的力都能用平面向量表示嗎？知識(shí)點(diǎn)一

空間向量的有關(guān)概念定義與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.長(zhǎng)度/模

有向線段

AB

表示法幾何表示法字母表示法知識(shí)點(diǎn)一

空間向量的有關(guān)概念平面向量空間向量零向量單位向量相反向量相等向量共線向量要點(diǎn)辨析①零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線；②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1；③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；

反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，而且方向也相同.辨析：判斷正誤.(1)空間兩個(gè)向量方向相反時(shí)，它們互為相反向量

（

）(2)若空間兩個(gè)向量相等，則它們方向相同，且起點(diǎn)相同

（）(3)若空間兩個(gè)向量起點(diǎn)相同且長(zhǎng)度相等，則這兩個(gè)向量相等（）空間向量可平行移動(dòng)，相等向量起點(diǎn)可以不同．缺少另一條件：方向相同．缺少另一條件：長(zhǎng)度相等．×××1、下列說(shuō)法正確的是

()A．向量與的長(zhǎng)度相等B．將空間中所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)

成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等AD2.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是(

)A.a＝b B.a＋b為實(shí)數(shù)0C.a與b方向相同 D.|a|＝3√√√××××1.如圖，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，例題講解(1)試寫出與向量相等的向量；(2)試寫出向量的相反向量；(3)若AB=AD=2，AA1=1，求向量

的模.

（要求寫出所有適合條件的向量）練一練對(duì)于空間中的任意兩個(gè)非零向量，我們可以通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合。也就是說(shuō)，任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量..Oα知識(shí)點(diǎn)二

空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律轉(zhuǎn)化平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算三角形法則首尾相連平行四邊形法則共起點(diǎn)減法法則共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指被減知識(shí)點(diǎn)二

空間向量的加減運(yùn)算

與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝______.②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；

當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向

；

當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.相反|λ||a|知識(shí)點(diǎn)二

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算

①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.知識(shí)點(diǎn)二

空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算

①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.知識(shí)點(diǎn)二

空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律一致43.例3：如圖，已知平行六面體ABCD-A‘B’C‘D’，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式.例題講解例題講解ABCDEF

（1）（2）（3）（4）ABCDA1B1C1D1練一練1.如圖，已知四面體ABCD，E、F分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.ABECFD如圖,在平行六面體

中,分別標(biāo)出

表示的向量.三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系?ABCD平行六面體法則：共起點(diǎn)，連對(duì)角

例題講解ABCD圖1.1-6練一練知識(shí)點(diǎn)三

空間向量的共線向量定理

知識(shí)點(diǎn)四

共面向量

平行于同一平面的向量，叫做共面向量.注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量既可能共面，也可能不共面.知識(shí)點(diǎn)五

空間向量的共面向量定理

A、B、P三點(diǎn)共線A、B、C、P四點(diǎn)共面

共面向量定理推論：OACBP①空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件

是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使②P、A、B、C四點(diǎn)共面的充要條件是對(duì)空間任意一點(diǎn)O，

證明空間向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)不共線向量的線性組合，即若p=xa＋yb(a，b不共線)，則向量p，a，b共面.(3)利用平面：尋找一個(gè)平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行.(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，x)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O，有

且x+y+z=1成立，則P、A、B、C四點(diǎn)共面.方法歸納1．對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b，2a－b，它們一定是(

)A．共面向量 B．共線向量C．不共面向量 D．既不共線也不共面的向量

AC3.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有

，則x的值為()A．1B．0C．3D.(