專題04特殊平行四邊形梯形壓軸題(六大題型)

目錄：

題型1：解答證明題

題型2：最值問(wèn)題

題型3：四邊形與平面直角坐標(biāo)系

題型4：四邊形與列函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題

題型5：動(dòng)態(tài)問(wèn)題(動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、折疊)

題型6；定值問(wèn)題

題型1:解答證明題

1.在平行四邊形A8CO中，/胡。的平分線交邊8c于點(diǎn)E,交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

(2)如圖2,FG//BC,FG=EC,連接QG、EG,當(dāng)NABC=120。時(shí)，求證：ZBDG=60°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)4E=2CE,AE=46時(shí)，求線段80的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)BD=2"

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得N1=N2,然后再運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)說(shuō)明/2=/3,/1=//，進(jìn)

一步說(shuō)明/3=//，最后運(yùn)用等邊對(duì)等角即可證明結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)4B、FG交于點(diǎn)H，連接DH,可證得四邊形人〃FO是平行四邊形，四邊形A/7FO是菱形，推出

和加?！倍际堑冗吶切?，再證明田。以近0。〃4(SAS),得出臥'DG=I3”Q8,進(jìn)而證得結(jié)論；

(3)如圖3,連接DE,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)可得NAAE=44科=幽二^竺^70。，過(guò)點(diǎn)

2

8作8WL4E于點(diǎn)M,可得氏2石，利用勾股定理求得AB=CD=8氏4,過(guò)點(diǎn)。作。M的C于點(diǎn)M

結(jié)合勾股定理即可解答.

【解析】(1)明：如圖1：?4尸是/BAD平分線.

0Z1=Z2

團(tuán)ABCQ是平行四邊形.

^AD//BC.AB//CD

0Z2=Z3,Z1=ZF,

0Z3=ZF,

^CE=CF.

(2)證明：如圖2;延長(zhǎng)AB、FG交于點(diǎn)H,連接?！?

0FG〃CE、CE//AD,

^FH//BC//AD,

^AH//DF,

團(tuán)四邊形AHFD是平:行四邊形，

^DFA=^FAB=^DAF,

^DA=DF,

團(tuán)四邊形A”尸。是菱形，

中FD=FH,AD=AH,

回財(cái)8C=120°,

00DFH=0DAH=6O0,

00TOH和斯?！倍际堑冗吶切?，

^WFG=^DHB=^FDH=6Q°,FD=HD,

團(tuán)四邊形BC"/是平行四邊形，

國(guó)BH=CF,

?FG=CE,CE=CF,

中FG=BH,

在（2。/7G和中,

FG=BH

NGFD=NBHD

FD=HD

00DFG00Z)?(SAS)z

00FDG=H//DB,

^BDG=^HDB+^HDG=^'DG+WDG=^DH=60°.

(3)解：如圖3,連接。區(qū)

團(tuán)四邊形A5C。是平行四邊形，

^AB//CD,AD〃BC,

o

^DAE=^AEBf0DCB=18O°-[MfiC=6O,

a4E平分團(tuán)BA。，

WAE=QDAE.

團(tuán)/BAE=ZAEB=蜴吐/.嗎=3QO

2

過(guò)點(diǎn)B作aWME于點(diǎn)”

⑦EM=；AE=26

在R眼BME中

圓汕￡M=30°

?BM=3BE

⑦BE—BM'EM?

國(guó)8厘一(；8石)2=(2G)2,解得：BE=4

色BE=2CE

0CE=2

過(guò)點(diǎn)D作OM2BC于點(diǎn)N,則團(tuán)NOC=90。-團(tuán)DCB=30。

⑦CN=3CD=2=CE

團(tuán)點(diǎn)N與點(diǎn)七重合

00DEC=9O°

^DE2=CD2-CE2=42-22=12

⑦BD=dDE、BE2=J12+16=2".

圖3

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三

角形的判定與性質(zhì)、含30。的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確地作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

2.如圖，已知在正方形A8C。中，A3=4,點(diǎn)P是邊CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C、。重合)，連接AP交8。于

點(diǎn)E,延長(zhǎng)加＞交N8C。的外角角平分線于點(diǎn)尸，連接。尸.

(1)當(dāng)C/=2a時(shí)，求△A。/7的面積；

(2)求證：AE=EF；

(3)連接C￡,當(dāng)CE〃。/時(shí)，求C廠的長(zhǎng).

【答案】⑴4

(2)見(jiàn)解析

⑶蟲(chóng)或逑

33

【分析】(1)如圖1,作/G_L8C于點(diǎn)G,延長(zhǎng)A。，G尸延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，得四邊形￡>CG”是矩形，然

后證明AFCG是等腰直角三角形，得HF=GH-FG=2,進(jìn)而可以解決問(wèn)題；

(2)如圖2,延長(zhǎng)CF,AD交于點(diǎn)R,證明△OCR是等腰直角三角形，BD〃CR,作FM〃AD交BD于

M,則四邊形。MFK是平行四邊形，證明△4。萬(wàn)且△外龍，進(jìn)而可得結(jié)論；

(3)如圖3,證明四邊形?！陘才是平行四邊形，可得EP=FP,DP=CP=2,EC=DF,根據(jù)正方形的性

質(zhì)，結(jié)優(yōu)(2)利用勾股定理可得AE=CE=DF=+6,設(shè)CG=FG=X,則b—得DH=CG=x,

3

FH=GH-FG=4-x,再利用勾股定理列出方程求出》的值，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【解析】(1)解：???四邊形ABCO是正方形，

.\AB=CD=AD=4,ZADC=ZDCB=9G。，

如圖1,作FGtBC于點(diǎn)、G,延長(zhǎng)A。，G/延長(zhǎng)線交于點(diǎn)〃,

/.ZCGH=ZDCG=ZHDC=90°.

???四邊形OCG〃是矩形，

，GH=CD=4,

???C”是N4CO的外角NOCG的平分線，

ZGCF=-ZDCG=45°,

2

.?.△”G是等腰直角三角形，

???CF-272，

?.CO=r(j=---CF=2，

2

:.HF=GH-FG=2,

：.^ADF的面積=JAO-/?7/=gx4x2=4；

(2)證明：如圖2,延長(zhǎng)。尸，入。交于點(diǎn)R,

CF是NBCD的外角ZDCG的平分線，

/.ZDCT=-ZDCG=45°,

2

」.△DCR是等腰直角三角形,

,.DC=DR=AD,

ZADB=/DCR=/R=45°,

:.CR//BDt

作BW〃A。交于M,

則四邊形DMFR是平行四邊形，^DAF=NMFE,ZADE=NFME,

:?FM=DR=AD,

:.4ADEW4FME,

(3)解：如圖3,由(2)知：CF〃BD,

\CF//DF,

???四邊形OEW是平行四邊形，

:.EP=FP,DP=CP=2,EC=DF,

：.AP=yJAD2+PD2=V42+22=2石，

?;AE=EF,EP=FP,

AP=3EP=20

”_26

3

4Js

AE=EF=2EP=—^-

3

?,-AB=BC,ZABE=/CBE,BE=BE,

AE=CE,

4x/5

AE=CE=DF=

3

設(shè)CG=FG=x,則CF=&x,

：.DH=CG=X,FH=GH-FG=4-x,

在RtZ\。"/中,根據(jù)勾股定理得：DH?+FH2=DF2，

A2+(4-x)2=

整理得9/一36工+32=0,

84

,6=缶=辿或逑

33

.?.cr的長(zhǎng)為辿或逑.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形

的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線、熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.如圖1,四邊形A8C。中，ZBAD=ZABC=90°,M是邊CO的中點(diǎn).已知AO=2,CD=4.

D

圖2

(1)連接AM,求證NZMW=NM5C；

(2)如圖2,當(dāng)NC=50。時(shí)，求N8W。的度數(shù);

⑶當(dāng)△4QM為直角三角形時(shí)，求邊8c的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）75°

⑶4或1+如

【分析】（1）連接AM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于E,判斷出△WM（3Z\ECM（A4S）,得出=進(jìn)而

判斷出NM?C=NE,即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出A￡>=ZW,得出ND4M=NAM￡>=25。，再判斷出NABM=N8AA7,即可求出答案；

（3）分兩種情況①當(dāng)N8ZW=90。時(shí)，判斷出心△A3?；匦摹鱉B。，得出NA80=NM80,進(jìn)而判斷出

NCBM=30。,即可得出答案；②當(dāng)N8DM=90。時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。定BC于點(diǎn)八，設(shè)BC=x,根據(jù)勾股定

理即可列出關(guān)于x的方程，即可求出答案.

【解析】（1）證明：如圖1,

圖i

連接AM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線J--E,

ZBAD=ZABC=^f,

.-.Z5AD+ZABC=180o,

.\AD//BC,

:.ZDAM=ZE,Q=/ECM,

???點(diǎn)M是C。的中點(diǎn)，

:.DM=CM,

;JDM04ECM(A4S),

：.AM=EM，

=EM=-AE,

2

...ZMBC=NE,

:.ZDAM=ZMBC；

(2)解：-.-AD//BC,/BCD=50。,

.?.ZD=180°-ZBCD=130°,

?.?點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，CD=4,

:.DM=-CD=2,

2

人。=2,

/.AD=DM,

/.NOAM=ZAMD=：(180。-NO)=25°,

/.NBAM=90°-ADAM=65°,

由(1)知，AM=EM,

：.AM=BM，

:.ZABM=NBAM,

ZAMB=180°-24BAM=50°,

￡BMD=ZAMB+ZAMD=75°；

(3)(3)???△加)”是直角三角形，

二?①當(dāng)NZM〃)=90。時(shí)，如圖2,

*：DM=CM,

:.BD=BC,

;.NCBM=NDBM,

在kAABD和RjMBD中,

(AD=DM

\BD=BD'

...即△AAQI3RsMBD(HL),

.?.ZABD=NMBD,

ZABD=ZMBD=NCBM,

ZABC=90°,

ZCBM=30°,

/.BC=2CM=4；

②當(dāng)/印加=90。時(shí)，如圖3,這點(diǎn)。作。nBC于點(diǎn)F,

圖3

設(shè)BC=x,

由題意，四邊形ABFO是矩形，

BAR=DF,Br=AD=2,

0FC=x-2,

在R/0DFC中，。/2=。。2一/。2=16一（X一2）2；

4序=16-（工-21，

在RrtaBD。中，BD2=BC2-DC2=x2-i6,

在RtmABD中，AB1=BD2-AD2=x2-16-4=x2-20,

0x:-2O=16-（x-2）2,

/.A2-16=2x?

：.x=\+y/\l（舍去負(fù)值），

③回。4M=90。時(shí)，不符合題意；

綜上所述3c的長(zhǎng)為4或1+折.

題型2：最值問(wèn)題

4.在正方形A8CO中，點(diǎn)E為射線8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/在射線CO上，且NE4〃=45。.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡往邊4c上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出加、D卜、￡/，二:條線段之間的數(shù)量關(guān)系；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊8c的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你判斷的、DF、所三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,若AB=6,點(diǎn)G在邊八8上，且AG=2,點(diǎn)尸為AF的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)8沿射線BC運(yùn)動(dòng)的過(guò)

程中，△PAG的周長(zhǎng)的最小值為(直接寫(xiě)出結(jié)果).

【答案】(1)所=85+。尸

(2)f3E=EF+DF,理由見(jiàn)詳解

(3)2+2710

【分析】(1)延長(zhǎng)￡3到戶,使BF，=DF，連接A9,由正方形的性質(zhì)得出A3=A。，

ZB4Z>=ZD=ZA0C=ZABr=9O°,由SAS證明尸9AA￡>F,得出N84F=ND4F,AFf=AF,證出

ZEAF=ZEAF,由SAS證明△如產(chǎn)名△旦/,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；

(2)在8c上截取BH=DF,連接4月,.同(1)法可證△^AZADF(SAS)，所以AH=A/，/BAH=ZDAF,

再證明/以〃=/￡4尸=45。，然后證明△E4”四△EAE(SAS),得EH=EF,即可得出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作直線PN〃A8交人。于N,當(dāng)G與點(diǎn)尸關(guān)于PN對(duì)稱時(shí)，PG=PF,PA+尸G最小，最小值

為AF，即可獲得答案.

【解析】(1)解：EF=BE+DF,理由如下：

延長(zhǎng)E8到廣，使BF'=DF，連接49，如下圖，

團(tuán)四邊形A8C。是正方形,

^AB=AD,ZBAD=ZD=ZABC=ZABF,=9(r,

在和△AOF中，

AB=AD

,ZABr=ZD=90°,

BF'=DF

^AADF(SAS),

^ZBAF=ZDAF,AFf=AF,

0Z￡4F=45°,

團(tuán)ZBAE+NDAF=90°-AEAF=45°,

回4AE+N8A"'=45。，即NE4尸=45。=NEA/7,

在4￡49和△外￡中，

AF^AF

NEAF=NEAF,

AE=AE

(3AE4尸'^AEAF(SAS),

也EF，=EF,

EF=EF=BE+RR=BE+DF

(2)BE=EF+DF,理由如下：

在BC上截取凡連接AH,如下圖，

團(tuán)四邊形A8CQ是正方形，

(343=4),ZB=ZADF=ZJW5=90°,

在AABH和△AZ)”中，

AB=AD

<NABH=NADF,

BH=DF

HAABHg△人。尸(SAS),

^AH=AF,/BAH=NDAF，

^ZBAH+ZDAH=ZHAD=9(rf

13mlF+NOW="4〃=90。，

0ZEA尸+ZEAH=ZFAH=90°，

[3NE4尸=45。，

0ZE47/=ZE4F=45°,

在AEAH和產(chǎn)中，

AH=AF

NEAH=Z.EAF,

AE=AE

^AE4F(SAS),

團(tuán)EH=EF,

^BE=BH+EH=DF+EF；

(3)解：過(guò)點(diǎn)P作直線尸N〃A8交AO于N,如下圖,

dIND

當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)?在PN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸在射線C。上運(yùn)動(dòng)，

團(tuán)四邊形A8co為正方形，

^AB//CD,CD=AB=AD=6,ZD=ZA=90°,

因「N〃A8,

0P.VAAD,

當(dāng)G與點(diǎn)尸關(guān)于尸N對(duì)稱時(shí)，PG=PF,A4+PG最小，最小值為A尸，

0￡)F=AG=2,由勾股定理得AF=JAD2+DF2=162+2?=2而，

0APAG的周長(zhǎng)=AG+AP+PG=AG+AP+尸產(chǎn)=AG+A尸，

團(tuán)當(dāng)R4+PG最小，此時(shí)，△PAG的周長(zhǎng)的最小，

團(tuán)APAG的周長(zhǎng)的最小值=47+4/=2+2面.

故答案為：2+2>/ii.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、最短距離問(wèn)題、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

5.在矩形A8C。中，A4=6,4C=8.

圖③

⑴將矩形紙片沿30折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處（如圖①），設(shè)OF與8C相交于點(diǎn)G,求證：BG=DG；

⑵將矩形沿直線石尸折疊，使點(diǎn)8的對(duì)?應(yīng)點(diǎn)8’落在CQ邊上（如圖②），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,連接交EF

于點(diǎn)0.當(dāng)。9=2時(shí)，求EF、OF的長(zhǎng);

⑶點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段8c上,（如圖③）若按MN折疊后，點(diǎn)B落在矩形A8CD的47）邊.上〃點(diǎn),

請(qǐng)求AH的最大值和最小值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解答

⑵斯的長(zhǎng)是3石，0P的長(zhǎng)是&

（3）AH的最大值為6,最小值為8-2萬(wàn)

[分析J（1）由矩形的性質(zhì)得BC//AD,則NCBD=ZADB，由折疊得Z.FDB=ZADB,所以NCBD=NFDB,

則BG=OG；

（2）連接8E、8E，由CD=A5=6,AO=3C=&O8'=2,得DE=8-AE,CB，=4,則

8+5=45因?yàn)樗拇怪逼椒諦B'，所以B'E=BE,B'F=BF=8-CF,由勾股定理得

22+（8-AE）2=AE2+62,CF2+42=（8-CF）2,求得4E=2,CF=3,貝I]￡>E=6,8尸=5,由g

x4石所=6x8—gx6x2—Jx6x2—gx4x3=S四邊形8即,F，求得EF=3不，而N4O尸=90。,04==2石,

則OF一也產(chǎn)-OB?-B

（3）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，4〃的值最小，由MC垂直平分3H,得HC=BC=8,則。〃=

年2-5=25，所以44=8-2"；當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，A〃的值最大，MAH=AB=6,所以A"

的最大值為6,最小值為8-2彼.

【解析】（1）證明：回四邊形A8CO是矩形，

BC〃AD,

/CBD=/ADB,

由折疊得Z.FDB=ZADB,

/.NCBD=/FDB,

：.BG=DG.

（2）解：如圖②，連接跖、BE，

QA3=6,BC=8,DB'=2,

：.CD=AB=6,AD=BC=^

：.DE=S-AE,CB,=CD-DB1=6-2=4,

BB'=yjBC2+CB,2=A/82+42=475,

由折疊得點(diǎn)3'與點(diǎn)B關(guān)于直線E尸對(duì)稱，

.?.)垂直平分用工

B'E=BE.B'F=BF=8-CF.

/.ZA=ZD=ZC=90°,

...DB,2+DE2=B'E2=BE2=AE2+AB2,CF2+CB,2=B，F(xiàn)2,

：.22+(8-AE)2=AE2+62,CF2+42=(8-CF\

解得4E=2,C尸=3,

.?.OE=8-2=6,M=8-3=5,

；BB‘?EF=AB?BC-gAB?AE-；DE?CF=Sa如F，

/.-x4x/5EF=6x8--x6x2--x6x2--x4x3,

2222

解得E尸=3后，

:.NBOF=90。,OB=0^=-BB'=2氐

...OF=dBF2-OB'=對(duì)-(2府=6

團(tuán)日：的長(zhǎng)是3石，村的長(zhǎng)是石.

(3)解：如圖③，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，AH的值最小,

4_臬------\D

//、、

、、、

/、、、

/

BC(N)

圖③

回點(diǎn)〃與點(diǎn)6關(guān)于直線MC對(duì)?稱，

團(tuán)MC垂直平分8”,

:.HC=BC=8、

DH=dHC2s=V82-62=2幣,

：.AH=AD-DH=S-2xfli

如圖④，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，A”的值最大,

圖④

QMH=MB,且MH=AH,MB=AB.

：.AH=AB=6,

(3AH的最大值為6,最小值為8-2".

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式

求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題.

6.如圖，在長(zhǎng)方形A4CO中，AB//CD,BC//AD,?B90?,AB=6,AO=8,點(diǎn)P在邊上，且不

與點(diǎn)8、。重合，直線AP與。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)足

⑴當(dāng)點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：A48上△ECQ；

（2）將ZW右沿直線AP折疊得到△AP8'，點(diǎn)落在長(zhǎng)方形A8C。的內(nèi)部，延長(zhǎng)29交直線人。于點(diǎn)F.

①證明E4=Q,并求出在（1）條件下人F的值；

②連接8'C,直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵①證明見(jiàn)解析，AF=y；②△PC廳周長(zhǎng)的最小值為12

【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形A8C。的性質(zhì)得AB〃C。，可得N3AP=NENB=NBCE,利用AAS即可得出結(jié)

論；

（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出NE4尸=NW,等角對(duì)等邊即可得￡4=b,設(shè)￡4=x,則

13|3

FP=x,FBf=x-4,在ROA?"中，由勾股定理得x=不即"=耳；

②可得的周長(zhǎng)=cp+Hr+or=C3+c*=8+or,當(dāng)點(diǎn)"恰好位于對(duì)角線AC上時(shí)，最

小，在RtZSABC中，由勾股定理得AC=10,則C9的最小值=47-人9=4,即可得△月09周長(zhǎng)的最小值.

【解析】（1）證明：,??在長(zhǎng)方形ABC。中，AB//CD

：.ZBAP=ZE,/B=NBCE,

???點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，

:.BP=CP,

.?.△ABP^AECP（AAS）:

（2）解：①?.?在長(zhǎng)方形A8CO中，AD〃BC,

:.ZAPB=NFAP,

由折疊得NAM=NA比，

,-.ZMP=ZAPF,

：.FA=FP,

在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=6,AO=8,

BC=AD=8,

???點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

;.BP=CP=4,

由折疊得AB'=A8=6,PB'=PB=4,ZB=ZAB,P=ZAB,F=90°,

設(shè)E4=x,則尸產(chǎn)=x,

..FB,=x-4,

在RIZXA8T中，4/2=夕尸2+8為2,

/.x2=(x-4)2+62,

1313

解得工=彳，即AF=W；

22

②由折疊得A*=AA=6，PB=PB=4,

.?.△PC8'的周長(zhǎng)=CP+尸&+8=C3+C8'=8+，

連接EC,AC,

?.?AB,+B,C>AC,

「?當(dāng)點(diǎn)B’恰好位于對(duì)角線AC上時(shí)，CB'+AB1最小,

在RtzMBC1中，A8=6,8c=8,

/.AC=762+82=10?

??.。”的最小值=47-何=4.

(3「.APC8周長(zhǎng)的最d、值=8+3=8+4=12.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角

形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，掌握折疊是一種軸對(duì)稱，折疊前后的圖形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，

靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型3:四邊形與平面直角坐標(biāo)系

7.如圖，邊長(zhǎng)為5的菱形A38如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系xOyW，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)。在x

軸負(fù)半軸上，點(diǎn)8(0,4).

(2)如果直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與直線)=工平行，點(diǎn)P(Oj)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)。在線段。8上(點(diǎn)P不與。、B重合)，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線分別交線段AB于M、交直線

/于N.設(shè)線段MN的長(zhǎng)度為d,求d關(guān)于，的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；

②當(dāng)點(diǎn)尸在)，軸正半軸上，如是等腰三角形，求，的值.

4

【答案】⑴產(chǎn)一了用：

737

(2)①d=12-『(0<7<4)；②/的值為1或4或歷.

【分析】(1)利用菱形的性質(zhì)及B點(diǎn)坐標(biāo)，在陽(yáng)回408中由勾股定理可求得OA的長(zhǎng)，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo),

利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式；

(2)①由菱形的性質(zhì)可求得。點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得直線/的解析式，從而可用，分別表示出M、N的坐標(biāo)，

則可得到d關(guān)于/的函數(shù)解析式，結(jié)合P在線段0B上可求得，的取值范圍；

②用，可分別表示出PC、尸。的長(zhǎng)，結(jié)合C、。坐標(biāo)可求得C。的長(zhǎng)，分PD=PC、尸/XC。和PC=C。三種

情況可分別得到關(guān)于，的方程，可求得，的值.

【解析】(1)解：瞅0,4),

(3OB=4,

回四邊形A6c。為菱形，且邊長(zhǎng)為5,

BAB=AD=BC=CD=5,

在R/0AOB中，由勾股定理可得0A=3,

血(3,0),

設(shè)AB所在直線解析式為廣質(zhì)+仇

Z?=4k一

團(tuán)3八)=?！獾?

b=4

4

財(cái)8所在直線的解析式為產(chǎn)-耳戶4；

(2)解：①由題意可知C(-5,4),

團(tuán)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與直線y=x平行，

13可設(shè)直線/解析式為產(chǎn)x+機(jī)，

04=-5+w,解得機(jī)=9,

團(tuán)直線/解析式為產(chǎn)x+9,

團(tuán)過(guò)點(diǎn)P作平行于工軸的直線分別交A8于M、交直線，于N,且P(0,f),

團(tuán)M、N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，

43

在？=-不]+4中，令產(chǎn)Z,可解得x=3-:],

34

在產(chǎn)x+9中,令y=t可得x=t-9,

37

團(tuán)d=3--—(f-9)=12--I,

44

團(tuán)點(diǎn)戶在線段08上(點(diǎn)P不與。、8重合)，

團(tuán)0</<4；

@514(3,0),AD=5,

(210(-2,0),且C(-5,4),P(0,小

□PC2=52+(r-4)2=/2-8r+41,PD2=22+/2=/2+4,CD2=(-5+2)2+42=25,

釀PCQ為等腰三角形，

團(tuán)有POP。、PC=CD和PD=CD三種情況，

37

當(dāng)PC=PD時(shí),則有/-8/+41=/2+4,解得仁二；

8

當(dāng)POCQ時(shí)，則有12-8什4寸=25,解得/=4；

當(dāng)PQ=CO時(shí)，則"+4=25,解得/=&TV或/=-歷(舍去)；

綜上可知當(dāng)團(tuán)PC/)是等腰三角形時(shí)，，的值為、■或4或后.

O

【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及菱形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、等腰

三角形的性質(zhì)、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí).在(1)中求得A點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在(2)①中用

，表示出M、N的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在(2)②中利用，分別表示出PQ、PC和C。的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵,

注意分情況討論.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中.

8.如圖，已知點(diǎn)A。,。)，點(diǎn)氏4,0),點(diǎn)C在>軸負(fù)半軸上，S：=6,點(diǎn)。為直線8c上一點(diǎn).

⑴求直線BC的解析?式:

⑵點(diǎn)。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、8、尸、Q為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

⑶當(dāng)直線AP與直線8C的夾角等于/AC8的2倍時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴y=x-4

⑶、曲17一布23）1或/3［帝333-7)

10io>

【分析】（1）根據(jù)?ABC=6,求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，求出直線C8的解析式即可.

（2）分AB是正方形的邊、4B是正方形的對(duì)角線兩種情況，利用正方形性質(zhì)即可求解.

（3）當(dāng)AP=CP時(shí)，ZAPB=2ZACB,利用兩點(diǎn)間距高可求夕點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)人「二科時(shí)，NAP8=ZA產(chǎn)C,

此時(shí)NAPC=2NACB,過(guò)點(diǎn)A作交于過(guò)點(diǎn)“作MN_Lx軸交于N,由△A4/W是等腰直角三

（53、

角形，求出M-,再由“是尸尸的中點(diǎn)，求出/，的另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)即可.

IN乙）

【解析】（1）解：???A（LO）,點(diǎn)磯4,0）,

AB=3,

8c=6，

.?-54OC=-XABXOC=-X3XOC=6.

.-.0C=4,

?.?點(diǎn)c在y軸負(fù)半軸上，

/.C(0,-4),

設(shè)直線3c的解析式是，=丘+。，

4&+b=0

"Z?=-4，

解味\k=一\

.??直線8c的解析式為)，=x-4；

(2)解：①當(dāng)人5是正方形的邊時(shí)，對(duì)應(yīng)的正方形為A產(chǎn)。8,

V,AB=3,8(4,0),

???。(4,-3)；

②當(dāng)AB是正方形的對(duì)角線時(shí)，對(duì)應(yīng)的矩形為APBQ,

???9、是正方形對(duì)角線，

二?線段AB和線段PQ互相垂直平分，

1+45

???點(diǎn)。、。的橫坐標(biāo)為芋=1,

綜上所述：。點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,-3)或母|

(3)解:設(shè)尸值"4),

「.(IT)?+(-4尸=2產(chǎn)，

17

■z=io'

(1010J

②當(dāng)時(shí)，ZAPB=^APC,

此時(shí)ZAP,C=2^ACB,

.?.△AP尸是等腰三角形，

過(guò)點(diǎn)A作AM_LBC交于例，過(guò)點(diǎn)“作MN_Lx軸交于N,

,/0A=OB=4,

/.ZABC=45°,

.?.△ABM是等腰直角三角形，

??.W是AB的中點(diǎn)，

3

:.AN=MN=士,

2

是PP的中點(diǎn),

“史，上；

（1010j,

綜上所述：.點(diǎn)坐標(biāo)為（|歷17一23、同（『33歷7］A

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角的判定與性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)犍.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（0,4）,點(diǎn)?是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等

⑴求點(diǎn)△的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與0重合）時(shí)，求證：480=90%

⑶是否存在點(diǎn)P，使得以A、。、Q、“為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）8（26,2）

⑵見(jiàn)解析

（3）存在,（-2后,0）或（4月,0）

【分析】（1）根據(jù)題意作輔助線過(guò)點(diǎn)/H乍軸于點(diǎn)C,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出點(diǎn)“

的坐標(biāo)，

（2）根據(jù)/幺Q=NOlB=60°,可知N尸八O=/QAA,得出桎運(yùn)△AQB總成立，得出當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)

動(dòng)伊不與。重合）時(shí)，NABQ為90。；

（3）根據(jù)點(diǎn)/,在尤的正半軸還是負(fù)半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【解析】（1）解：過(guò)點(diǎn)8作8C_Ly軸于點(diǎn)C,

.-.AB=O/3=4tZBOA=60°,

回/08。=30。，

0OC=AC=2?

.?./?C=V42-22=2x/3?

即B(2x/3.2)：

(2)證明：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)(P不與。重合)時(shí),

NPAQ=NQAB=60。，

/.NPAO=NQAB,

在和中，

AP=AQ

?々PAO-Z.QAB

AO=AB

△APO絲44QB(SAS),

（3）由（2）可知，點(diǎn)?？傇谶^(guò)點(diǎn)8且與A8垂直的直線上，可見(jiàn)AO與8Q不平行.

①當(dāng)點(diǎn)尸在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)。在點(diǎn)8的下方，

此時(shí)，若A8〃OQ,四邊形AOQ3即是梯形，

當(dāng)A4/7OQ時(shí)，/BQO=90。,/BOQ=NABO=&）。.

又OB=OA=4,可求得8Q=與x百=2有，

由（2）可知，^APO^Z\AQB,

;.0P=BQ=2也,

.?.此時(shí)尸的坐標(biāo)為（-2A/3,0）.

②當(dāng)點(diǎn)尸在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)。在方的上方，

此時(shí)，若4Q〃O8,四邊形AO8Q即是梯形，

當(dāng)AQ〃O8時(shí)，Z48Q=90。，ZQAB=ZABO=ar.

又A3=4,可求得8Q=GA8=4K,

由（2）可知，△APO^AQB,

OP=BQ=46，

.?.此時(shí)尸的坐標(biāo)為（46,0）.

綜上，尸的坐標(biāo)為（-26,0）或（4百,0）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定及性質(zhì)，難度適中.

題型4：四邊形與列函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題

10.如圖1,在菱形A8CO中，AB=4,AC=4G，點(diǎn)M是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)N在射線CB上，且MB=MN,

聯(lián)結(jié)。N,設(shè)AM=x.

BB

⑴當(dāng)點(diǎn)M、N（N在邊8C上）運(yùn)動(dòng)時(shí)，團(tuán)MN。的大小是否會(huì)變化？若不變請(qǐng)求出度數(shù)，若變化請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)WM;V=30°,求AM的值.

⑶當(dāng)N在線段8C上時(shí)，設(shè)DN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域.

【答案】⑴不變，IWNZ）=30°；

(2)AM的長(zhǎng)為2G-2或4G-4；

(3)y=加-12氐+48件“岑）

［分析】（1）聯(lián)結(jié)。仞，設(shè)國(guó)M80=a,可表示出團(tuán)。MM團(tuán)CDW,國(guó)CM8,?CMN,進(jìn)而計(jì)算求得習(xí)。MN=120。,

從而求得結(jié)果；

（2）分點(diǎn)N在邊BC上和點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況討論，進(jìn)而求得結(jié)果：

（3）作MfiQAB于E,MFJ3DN,在zVlBM中表示出MB,進(jìn)而表示出MM進(jìn)?步表示出DM從而求得結(jié)

果.

【解析】（1）解：如圖1，

聯(lián)結(jié)DM，

回四邊形48C。是菱形,

財(cái)680,OA=OC=-AC=143BD=2OD=2OB,AD=AB,

配0D=0B=]AD?_0#=2,

叫D=4,

^AD=AB=I3Df

團(tuán)團(tuán)8c0=(3540=60°,0CBD=6O0,

(3(?L4CD=-05CD=30o,

2

設(shè)RMB。％

團(tuán)MN=MB,

[3(3MBN=[3MN8=(3DBC+[3MBO=6(r+a,

在AC8M中，

□GV/Z?=18O0-EACT-0CT/W=18O<>-3OO-(G0°+a)=90°-a,

00GWD=0CA//?=9O°-?,

在AMNO中，

團(tuán)B/4N=180°-aA/8N-EA/N8=1800?2(60°+a)=60°-2a,

^CMN=^CMB-^BMN=90°-a-(60°-2a)=30°+(z,

00DM/V=0CM/V+0CMD=(30°+?)+(90°-a)=120°,

電BM=DM=MN,

^MND=^MDN=180°一々MN=§0c

2

(2)解：當(dāng)點(diǎn)N在邊8c上時(shí)，

在aW5N和△C8M中，

^BMN=^ACB=30°,

團(tuán)C8M=0A〃W,

回回CMB=(W8N,

國(guó)MB=MN,

釀MBNWMNB,

[313CBM=[3M8N,

(3CM=CB=4,

tM/^MC-CA/-475-4；

當(dāng)點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)M作MQ3BN于點(diǎn)G,

團(tuán)MB=MN,

團(tuán)圓-x300=15o,

2

00GMC=18OO-9O°-3O0=6O<>,

(3團(tuán)8Mo=45°,

(3ZkO/3M是等腰直角三角形，

⑦0B=0M=2,

MM=A0-0M=2百-2；

綜上，AM的長(zhǎng)為26-2或46-4：

(3)解：如圖2,

作于E,M/W)M

00CAB=3O°,

^E14--AM--

22

(M￡=y/AM2-EM2=—x,

2

團(tuán)B￡=AB-AE=4?立x,

2

在RfABEM中,

BM=弋BE?+EM)=J(4一乎x)2+(1x)2=4Gx+16，

在RsMNF中,

同理可得：NF二曰MN=乎V-'2-4\/3x+16,

國(guó)DN=2NF,

0y=V3-\]x2-4\/3x+16=\)3x2-12Gx+48^x<.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)角,

通過(guò)計(jì)算才找知的數(shù)量關(guān)系.

11.在梯形ABCO中，AD^BC,05=90°,0C=45°,AB=8,BC=14,點(diǎn)、E、/分別在邊A8、CDk,EF^AD,

點(diǎn)P與AQ在直線石產(chǎn)的兩側(cè)，BEPF=90°,PE=PF,射線EP、尸。與邊4C分別相交于點(diǎn)M、N,設(shè)AE=

x,MN=y.

⑴求邊人。的長(zhǎng);

⑵如圖，當(dāng)點(diǎn)。在梯形人8C。內(nèi)部時(shí)，求），關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域;

⑶如果MN的長(zhǎng)為2,求梯形AEFQ的面積.

【答案】（1）AO=6

（2）y關(guān)于式的函數(shù)解析式為產(chǎn)-3A+10.定義域?yàn)?<A-<y.

⑶梯形AEFD的面積為空或32

【分析】（1）過(guò)。作。M38C,DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H,判定四邊形4B，。是矩形，ffiRt^DHC

中求出CH的長(zhǎng)，利用AO=B〃=BC-C”求出A。的長(zhǎng);

（2）首先確定PM=PN,過(guò)點(diǎn)。作QM3E凡QR與EF、MN分別相交于Q、R,根據(jù)團(tuán)/=90。，

Q艙MN,可表示出尸Q、PR,從而得出），關(guān)于x的函數(shù)解析式，也能得出定義域；

Q

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在梯形48CO內(nèi)部時(shí)，由MN=2及（2）的結(jié)論得2=-3K+10,AE=x=-t可求得梯形的

面積；②當(dāng)點(diǎn)P在梯形A8CO外部時(shí)，由MN=2及與（2）相同的方法得：；（x+6）-Jx2=8-x,AE=x

=4,可求得梯形的面積.

【解析】（1）解：過(guò)。作。碓8C,DH與EF、分別相交于點(diǎn)G、H,如圖所示

團(tuán)梯形4BCO中，08=90°,

回。/瘋鉆，

乂(L4Q0BC,

回四邊形48”。是矩形，

團(tuán)團(tuán)C=45°,

酶CQ，=45°,

^CH=DH=AB=S,

[AAD=BH=BC-CH=6.

(2)解：^DMEF,⑦DFE=?C=EFDG=45°,

^FG=DG=AE=x,

(3EG=AQ=6,

0EF=.r+6,

^PFE=^PEF=^PMN=^PNM,

?PM=PN,

過(guò)點(diǎn)P作QR3EF,QR與EF、MN分別相交于Q、R,如圖所示

AD

^MPN=^EPF=90\Q/^MN,

^PQ=EF=-（x+6）,PR=；MN=；y,

22

團(tuán)QR=BE=8-x,

（3—（x+6）+—y=8-x,

助關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-3.X+10.定義域?yàn)?眾＜y.

Q

（3）解：當(dāng)點(diǎn)戶在梯形A8CO內(nèi)部時(shí)，由MN=2及（2）的結(jié)論得2=-3x+10,AE=x=~,

01、I。/8、8176

團(tuán)S相形人口=5（AD+EF）?A￡=-|6+6+-Jx-=—,

當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABC。外部時(shí)，由WN=2及與（2）相同的方法得：g（x+6）—；x2=8—x,AE=x=4,

團(tuán)S陽(yáng)形（AZXEF）?AE=：〔6+6+4）X4=32.

【點(diǎn)睛】本題考查梯形及有實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)關(guān)系式的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，對(duì)于此類(lèi)題目，要學(xué)會(huì)由小

及大，將所求的問(wèn)題縮小，一步一步求解.

12.如圖1,在正方形A8Q9中，A8=8,點(diǎn)E在C8的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在邊上（點(diǎn)尸與C、。不重合），

且聯(lián)結(jié)石廠.

ADADAD

0J]

EBCEBCEBC

圖1圖2備用圖

（1）求/A莊的度數(shù)；

（2）聯(lián)結(jié)8。交石廠于點(diǎn)M,

①如圖2,如果尸C=3。尸，求F”的長(zhǎng)：

②設(shè)%：=x,BM-y,直接寫(xiě)出），關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域?

【答案】⑴45。；（2）①后；②0<xv8

【分析】（1）證明A4BEWAAD/可得/坨=■,從而AAE戶是等腰直角三角形，即可得NA莊=45。；

（2）①過(guò)“作PG//BC交8力于G,證明=AMPG,可得FM=A/E=J七/，在RtaEC尸中，可得

EF=>IEC2+FC2=2VS?即可求出產(chǎn)M=（￡尸=后；

②過(guò)尸作/G//BC交8。于G,過(guò)M作于N,先證明MN是ACEF的中位線，得MN=：C/，

再由已知得b=C。-。/=8-x,MN=」廠，而ABMN是等腰直角三角形，BM=CMN，即可得

丫=爭(zhēng)87）=-冬+4五，由。<0F<8可得0<x<8.

【解析】解：（1）?.?四邊形A8C。是正方形，

:.AD=AB,ZD=ZABC=Z5AD=90°,

.,?Z4B￡=ZD=9O0,

\-FAlAE,

￡EAB=90°-/BAF=ZDAF,

在AA8E和A4O9中，

/ABE=ND

AB=AD,

NEAB=ZDAF

:./SABE^^ADF{ASA),

.,.AE=AF,

.?.AA樣是等腰直角三角形，

.,.Z4?E=45。；

(2)①過(guò)“作尸G//8C交8。于G,如圖:

,.,FGUBC,ZC=90°,

/.ZGFD=90°,/GFM=/MEB,

?.?四邊形48co是正方形，

.\ZG￡>F=45°,

.?.△GO廠是等腰直角三角形，

:.DF=GF,

由(1)知：二AADF,

：.BE=DF,

;.GF=BE,

在和AMFG中，

NGMF=NBME

?GF=BE,

NGFM=NMEB

^MEB三AMFG(AAS),

:.FM=ME=-EF,

而A3=8,FC=3DF,

3311

:.FC=-CD=-AB=6BE=DF=-CD=-AB=2,

44t44

EC=BC+BE=AB+BE=10,

RtDECF中，EF=y/EC2+FC2=2x/S，

:.FM='EF=5；

②過(guò)尸作尸6//8。交8。于G,過(guò)M作MN工8c于N,如圖:

由①知：M4EB三M4FG,FM=ME,

.?.M為瓦'的中點(diǎn)，

MN±BC,

：.MN//CF,

AW是ACE尸的中位線，

:.MN=-CF

2t

\'DF=BE=x,CD=AB=St

.\CF=CD-DF=S-x,

....8-x

MN-----,

2

?.?四邊形ABCD是正方形，

.?.NM8N=45。，

.?.ABMN是等腰直角三角形，

:.BM=6MN，

y=(8—r)=—x+4A/2,

?.?BE=DF,0<DF<8,

/.0<x<8.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形、中位線.

13.如圖，己知直角梯形ABC。，AD//BC,/拉。8=90。，過(guò)點(diǎn)A作A"_L8C,垂足為點(diǎn)“，8=4,BH=2,

點(diǎn)尸是CD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作線段48的垂直平分線，交AB于點(diǎn)E,并交射線于點(diǎn)G.

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，求8c的長(zhǎng)；

(2)設(shè)AD=x,DF=y,求V與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；

【分析】(1)根據(jù)垂百平分線性質(zhì)可知8C=AC,i^AD=HC=x,AC=BC=2+x,在?△APC中用勾

股定理求出工=3,即可解答；

(2)聯(lián)結(jié)A產(chǎn)，BF,在放產(chǎn)中，AF2=x2+y2,在