第二課時

函數(shù)

的圖象與性質1.會用“五點法”畫函數(shù)

的圖象.2.掌握函數(shù)

的圖象與性質，并能解決有關問題.(重點)3.能夠利用函數(shù)

解決實際問題.(重點、難點)

利用“五點法”作出函數(shù)

(A>0，ω>0)在一個周期上的圖象，要經(jīng)過“取值、列表、描點、連線”這四個步驟.請完成下面的填空.ωx＋φ0π2πxy

0A0－A0“五點法”作

的圖象

例1.用“五點法”畫函數(shù)

在一個周期內(nèi)的圖象.0π2πx2π5πy020－20解：先列表，將

看成一個整體，令

分別等于0，

，π，

，2π.描點連線(如圖所示)：2-2“五點法”作

y=

Asin(ωx+φ)的圖象“五點法”作圖時，五點的確定，應先令

分別為0、

、π、

、2π、解出x，從而確定這五點1.用五點法作函數(shù)

的圖象時，首先應描出的五點的橫坐標可以是()A.B.C.D.這里我們先只討論

，

時的情形：三角函數(shù)對稱性、單調(diào)性的求法

函數(shù)對稱軸對稱中心令

，

，求對稱軸令

，

，求對稱軸無令

，

，求對稱中心橫坐標令

，

，求對稱中心橫坐標令

，

，求對稱中心橫坐標函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間令

，

，解

x的范圍令

，

，解

x的范圍令

，

，解

x的范圍令

，

，解

x的范圍令

，

，解

x的范圍無函數(shù)最大值最小值令

，

，解得最大值點橫坐標令

，

，解得最大值點橫坐標令

，

，解得最小值點橫坐標令

，

，解得最小值點橫坐標無無函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間令

，

，解

x的范圍令

，

，解

x的范圍令

，

，解

x的范圍令

，

，解

x的范圍令

，

，解

x的范圍無注：(1)采用換元法整體代換，將

看作一個整體，代入

的單調(diào)區(qū)間；(2)若

，則可利用誘導公式先將x的系數(shù)轉變?yōu)檎龜?shù)，再進行對稱性、單調(diào)性求解.例2已知函數(shù).(1)求

的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求

的對稱軸方程和對稱中心；(3)求

的最小值及取得最小值時x的取值集合.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與有關性質確定函數(shù)

的有關性質，一定要采用整體法，即：將

看作一個整體，然后類比

的性質求解即可.所以我們必須熟記正弦曲線、余弦曲線的圖象及性質.2.把函數(shù)

的圖象向左平移

個單位長度，再把所有的點的橫坐標縮小到原來的

，縱坐標不變，得到

的圖象.(1)求

的解析式；(2)求

的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間.已知函數(shù)的性質求參數(shù)

已知函數(shù)的性質求參數(shù)是逆向問題，正向求解(整體法)頗具難度，這里可以采用代入法，要注意知識點之間的聯(lián)動：(1)對稱軸過最值點；(2)對稱中心過零點.函數(shù)為奇函數(shù)為偶函數(shù)?

??

?

不存在??

?

或

??

或

?函數(shù)關于(x0，0)對稱關于x=x0對稱?

??

?

不存在??

?

或

??

或

?函數(shù)

或

的奇偶性.①函數(shù)

是奇函數(shù)?

的圖象關于原點對稱?

?.②函數(shù)

是偶函數(shù)?

的圖象關于y軸對稱?

或

?.③函數(shù)

是奇函數(shù)?

的圖象關于原點對稱?

?.④函數(shù)

是偶函數(shù)?的圖象關于y軸對稱?

或

?.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱性.①函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于點(x0,0)中心對稱當且僅當f(x0)＝0.②函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于直線x＝x0軸對稱當且僅當f(x0)＝A或f(x0)＝－A.上述結論若換成函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)同樣成立.例3將函數(shù)

的圖象沿x軸向左平移

個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為()A.B.C.0D.已知函數(shù)性質求參數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)不一定具備奇偶性，要由φ的值決定.對于函數(shù)

，當

，

時為奇函數(shù)；

當

，

時為偶函數(shù).對于函數(shù)

，當

，

時為奇函數(shù)；

當

，

時為偶函數(shù).3.函數(shù)

的圖象向左平移

個單位長度后，得到的圖象恰好關于直線

對稱，則φ的最小值為_______.函數(shù)

的圖象與周期

函數(shù)的對稱軸、對稱中心、最值、零點與周期有很強的聯(lián)系：(1)函數(shù)在圖象的對稱軸處取得最大值或最小值，相鄰的最大值和最小值點的橫坐標距離為

，如果沒有明確相鄰，那么最值點橫坐標的間距為

，

；(2)函數(shù)圖象與x軸的交點為對稱中心，相鄰的兩對稱中心的距離為

，如果沒有明確相鄰，那么對稱中心的間距為

，

；(3)函數(shù)圖象的最值點與相鄰的對稱中心的橫坐標間距為

，如果沒有明確相鄰，那么最值點與對稱中心的橫坐標間距為

，.例4函數(shù)

(，

)的圖象如圖，試確定其一個函數(shù)解析式.解：方法一：特殊點代入法由圖象知振幅,由

，則

，又圖象過點

，得

，取

，故.注意：這里選擇特殊點代入，選取的是最高點，因為一個周期內(nèi)只有一個最大值，但是零點卻不止一個，選擇零點有可能產(chǎn)生多解.方法二：五點法由圖象知振幅,又圖象過點

和

，根據(jù)五點作圖法，有

，解得

，

，故.方法三：圖象變換法由圖象知,，則

，又圖象過點

，則所求圖象由

的圖象向左平移

個單位長度得到，故

，即.(1)由最大值、最小值確定振幅

A.(2)由圖象上五個關鍵點的橫坐標及其差值確定周期，進而求ω的值.(3)由特殊點的坐標求初相

φ.特殊點可以是五個關鍵點，也可以是圖象上的其他點.注：A，ω的值是唯一的，初相

φ的值不唯一，一般取絕對值較小的

φ值.確定

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的步驟確定函數(shù)

的解析式的關鍵是φ的確定，常用方法有：(1)代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時，A、ω已知)或代入圖象與x軸的交點求解．(利用零點確定

φ的值，需要將已知函數(shù)的圖象形狀與函數(shù)

在相應的一個周期內(nèi)的圖象相比較，認清該零點為三個零點中的第幾個零點.第一個零點為圖象上升時與

x軸的交點，即

；第二個零點為圖象下降時與

x軸的交點，即

；第三個零點為.但是最高點與最低點都只有一個，因此將最值點代入，一般不易出錯.)三角函數(shù)式中確定

φ

的方法三角函數(shù)式中確定

φ

的方法(2)五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口．“五點”的