5.3.1函數(shù)的單調(diào)性5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用復(fù)習(xí)鞏固：函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于屬于區(qū)間D的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，有

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

在必修第一冊中，我們通過圖象直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性質(zhì).

在本章前兩節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和運算，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化.能否利用導(dǎo)數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢?本節(jié)我們就來討論這個問題.

我們先來研究前面學(xué)習(xí)過的高臺跳水問題.thaOb(1)thaOb(2)思考1

圖(1)是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象，圖(2)是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的圖象.運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別?觀察圖象可以發(fā)現(xiàn):

(1)從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即h(t)單調(diào)遞增.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)>0.

(2)從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而減小，即h(t)單調(diào)遞減.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)<0.思考2我們看到，函數(shù)h(t)的單調(diào)性與h'(t)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由h'(t)的正負(fù)來判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢?

對于高臺跳水問題，可以發(fā)現(xiàn):

當(dāng)t∈(0,a)時，h′(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0,a)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)t∈(a,b)時，h'(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.

這種情況是否具有一般性呢?thaOb(1)thaOb(2)思考3

觀察下面一些函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系：

如圖示，導(dǎo)數(shù)f'(x0)表示函數(shù)y=f(x)的圖象在點(x0,f(x0))處的切線的斜率，可以發(fā)現(xiàn):

在x=x0處，f'(x0)>0，切線是“左下右上”的上升式，函數(shù)f(x)的圖象也是上升的，函數(shù)f(x)在x=x0附近單調(diào)遞增；在x=x1處，f'(x1)<0，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)f(x)的圖象也是下降的，函數(shù)f(x)在x=x1附近單調(diào)遞減.xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：

一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系:

在某個區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;

在某個區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.思考1

如果在某個區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性?函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).思考2存在有限個點使得f'(x)=0,其余點都恒有f′(x)>0,則f(x)有什么特性?f(x)仍為增函數(shù).

例如:對于函數(shù)y=x3，y′=3x2.當(dāng)x=0時，y′=0，當(dāng)x>0時，y′>0，

而函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增.xyO例題講解

例1利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性

①求出函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f

(x)；③判定導(dǎo)數(shù)f

(x)的符號；④確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.判定函數(shù)單調(diào)性的步驟：例題講解

鞏固訓(xùn)練1例題講解

例2求函數(shù)的單調(diào)性

解：x(－∞,－1)－1(－1,2)2(2,－∞)f′(x)f(x)xyO-11?2?判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的步驟：

第1步，確定函數(shù)的定義域；

第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點；

第3步，用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.例題講解

鞏固訓(xùn)練21.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間:例題講解

例3導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的關(guān)系

xyO14解：xyOabcxyOabc研究函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系的著手點

對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)上升，在哪個區(qū)間內(nèi)下降：對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零、在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致。利用導(dǎo)函數(shù)f'(x)的單調(diào)性可以判斷原函數(shù)f(x)圖象的凸性：

若f'(x)>0且單調(diào)遞增，則原函數(shù)f(x)的圖象上升且下凸；

若f'(x)>0且單調(diào)遞減，則原函數(shù)f(x)的圖象上升且上凸；

若f'(x)<0且單調(diào)遞增，則原函數(shù)f(x)的圖象下降且下凸；

若f'(x)<0且單調(diào)遞減，則原函數(shù)f(x)的圓象下降且上凸.

已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是(

)√1.函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)>0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．2.函數(shù)圖象變化得越快，f′(x)的絕對值越大，不是f′(x)的值越大．

總結(jié)：例題講解

鞏固訓(xùn)練3√變式2A例題講解

例4含參函數(shù)的單調(diào)性解：解：例題講解

鞏固訓(xùn)練4例題講解

例5已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍1.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1,＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是____________．解：f′(x)＝3x2＋a.∵f(x)在(1,＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，∴3x2＋a≥0對x∈(1,＋∞)恒成立，

即a≥－3x2對x∈(1,＋∞)恒成立.又當(dāng)x∈(1,＋∞)時，－3x2<－3，

∴a≥－3.[－3,＋∞)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系：注意：此關(guān)系常常用于已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)反之例題講解

鞏固訓(xùn)練5例題講解

例6利用導(dǎo)數(shù)比較大小或證明，解不等式例題講解

鞏固訓(xùn)練6探究研究對數(shù)函數(shù)y=lnx與冪函數(shù)y=x3在區(qū)間(0,＋∞)上增長快慢的情況.xyO(2)xyO1?(1)一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.例4xyO1?解：思考

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，思考在某個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)y=f(x)的平均變化率的幾何意義與f'(x)的正負(fù)的關(guān)系.一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間MA，在區(qū)間M中任取兩個值x1,x2，當(dāng)改變量?x=x2-x1>0時，有?y=f(x2)-f(x1)>0，那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù).

如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性.

在區(qū)間