第五節(jié)條件概率與全概率公式

考試要求：理解條件概率和全概率公式，并能利用條件概率公式與全概率公式解

決一些簡單的實(shí)際問題.

----------\必備知識?回顧教材重“四基”/-----------

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.條件概率

條件概率設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件，且尸(A)>0,稱P(B|A)=鬻為在事件

的定義A發(fā)生的條件下，事件4發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率

條件概率(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC\A)=P(B\AH

的性質(zhì)P(C\A)；

(3)設(shè)月與B互為對立事件,則P(B\A)=\-P(B\A)

微提醒■■■

(1)所謂的條件概率，是試瞼結(jié)果的一部分信息已知，求另一事件在此條件下發(fā)生

的概率.

(2)由條件概率的概念可知，P(B|A)與P(A|B)是不一定相同的.另外，在事件A發(fā)

生的條件下，事件B發(fā)生的概率不一定是P(5),即尸(3|A)與P(3)不一定相等.

2.全概率公式

一般地，設(shè)Ai,A2,…,A”是一組兩兩互斥的事件,4UAzU…UA〃=。,且P(A,)>0,

i=l,2,…，〃，則對任意的事件5G。有P(B)=

n

WP(4)P(8I4)

i=l

,稱上面的公式為全概率公式.

3.貝葉斯公式

設(shè)Al,A2,…，An是一組兩兩互斥的事件，A1UA2U…UA〃=O,且尸(4)>0,

z=l,2,…，小則對任意的事件BG。，P(B)>0,

小，、P(A,)P(13|A,)

有尸(4招)=2鬻&=V,i=1,2,?n.

P⑻2P(八QP(8|AQ

K=i

二、基本技能-思想-活動經(jīng)驗(yàn)

1.判斷下列說法的正誤，對的畫“J”，錯的畫“X”.

(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.(X)

(2)對于任意兩個事件，公式P(人硝=尸(八*但)都成立.(X)

(3)P(用A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件4,

B同時發(fā)生的概率.(J)

(4)若事件A,B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(8).(V)

2.已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們的大小和形狀完全相同.甲

每次從中任取一個球不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球

的概率為()

A.-B.-C.-D.-

10389

B解析：設(shè)“第一次拿到白球”為事件A,“第二次拿到紅球”為事件跟依

題意P(4)=卷三，P(AB)=^=^.

故在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率P(陰八)=咕=].

P(4)3

3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則在點(diǎn)數(shù)之和為6的條件下.其中一枚點(diǎn)數(shù)為2

的概率為()

A.—B.-C.—D.-

185363

B解析：設(shè)“拋梆兩枚骰子，兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”為事件A,“拋擲兩

枚骰子，其中一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為2”為事件B,則P(A)=IP(AB)=J所以

3636

p(D|4\—P(A8)—36—2

尸(8如一可一亳

4.(2022?濟(jì)南月考)拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于3”；

事件8：“甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于8”，則P(8|A)的值等于.

7解析：由題意得，尸(8|A)為拋擲甲，乙兩顆骰子，甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于3時，甲、

乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于8的概率.

因?yàn)閽仈S甲、乙兩骰子，甲骰子點(diǎn)數(shù)大于3的樣本點(diǎn)有3X6=18個,

甲骰子點(diǎn)數(shù)大于3時，甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于8,樣本點(diǎn)有(4,4),(5,

3),(6,2),共3個，所以P(3|A)=?普

r\A)loO

---------、關(guān)鍵能力?研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”/----------

考點(diǎn)I條件概率——基礎(chǔ)性

I典例引領(lǐng)」

例。，(1)現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁和4個需要援助的國家可供選擇，每

個醫(yī)療小組只去一個國家.設(shè)事件A="4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事

件8="小組甲獨(dú)自去一個國家”，則P(A|B)=()

A.-B.-C.-D.-

9399

A解析：事件A="4個醫(yī)療小組去的國家各不相同"，事件8="小組甲獨(dú)

自去一個國家”，

則P(A8)="彳，P(B)=竽磊

「(A|B)=需/故選A.

⑵從混有5張假鈔的2()張百元鈔票中任意抽出2張，將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上

檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，則另1張也是假鈔的概率為()

A.-B.-C.—D.—

19191738

C解析：記事件A:抽到的至少1張鈔票是假鈔，記事件3:抽到的2張鈔票

都是假鈔,

則P⑷=岑尹1=瑞=￡,尸(43)=等=1

L?2QAVUk5oL2019

''1'P(A)191717

解題通法

根據(jù)條件概.率的概念(公式)計笄條件概率的兩種方法：

⑴在縮小后的樣本空間QA中計算事件B發(fā)生的概,率，即尸(8|川=

事件48所含樣本點(diǎn)的個數(shù)

事件」所含樣本點(diǎn)的個數(shù).

(2)在原樣本空間。中，先計算尸(AB),尸(A),再由公式P(8|A)=q^,計算求得

PQ4)

P(5|A).

「多維訓(xùn)練」

1.已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口

向下放著.現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他

第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()

A.—B.-C.-D.-

10989

D解析：設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的

是卡口燈泡”，則PC4)=N,P(AB)=-X-=—,則所求的概率為P(B|A)=乎?

1010930P)

2.將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件A為“三個點(diǎn)數(shù)都不相同”，8為“至少出現(xiàn)

一個6點(diǎn)”，則條件概率P(A|8)=,P(B\A)=.

黑|解析：P(A|8)的含義是在事件8發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，即在

“至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)”的條件下，“三個點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率.因?yàn)椤爸辽俪?/p>

現(xiàn)一個6點(diǎn)”有6X6X6-5X5X5=91(種)情況，“至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)且三個點(diǎn)

數(shù)都不相同”共有禺X5X4=60(種)情況，所以P(A|8)=黑

P(用A)的含義是在事件A發(fā)生的條件下，事件3發(fā)生的概率，即在“三個點(diǎn)數(shù)都

不相同”的條件下，“至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)”的概率.因?yàn)椤叭齻€點(diǎn)數(shù)都不相同”

有6X5X4=120(種)情況，所以P(B|A)=：.

考點(diǎn)2全概率公式——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

例?*(1)設(shè)某醫(yī)院倉庫中有1()盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、

2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品

率依次為L2，￡現(xiàn)從這1。盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則

JLUXO/U

取得的X光片是次品的概率為()

A.().08B.0.1C.().15D.().2

A解析：以4,42,方分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)

的，

8表示取得的X光片為次品，P(4)=1,P(A2)得,P(A3)=|,

P(B|4)=?,尸(即12)=3,P(陰A3)=?.

則由全概率公式，所求概率為P(8)=P(AI)P(8|4)+P(A2)P(5|A2)+P(A3)P(身心)=

—X—d---X—H---X—=0.08.

101010151020

(2)2021年初胡蘆山莊播種用的一等亞腰胡盧種子中混有2%的二等種子，1.5%

的三等種子，1%的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以

上果實(shí)的概率分別為0.5,0.15,().1,0.05,則這批種子所生長出葫蘆秧結(jié)出50

顆以上果實(shí)的概率為.

0.4825解析：設(shè)這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件是4,A2,

小，4,則0=AIUA2UA3UA4,且4,42,4,4兩兩互斥，設(shè)8=從這批種

子中任選一顆，所生長出葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實(shí)，

則P(B)=P(AI)P(8|AI)+P(A2)P(5|A2)+P(A3)?尸(8依3)+4(4*(陰4)

=95.5%X0.5+2%X0.15+1.5%X0.1+1%X0.05=0.4825.

解題通法

利用全概率公式求概率的一般步驟

(1)找出條件事件里的某一個完備事件，分別命名4.

(2)命名目標(biāo)的概率事件為事件8.

(3)代入全概率公式求解.

「多維訓(xùn)練」

一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次，求

第二次取到白球的概率.

解：4=｛第一次取到白球｝,8=｛第二次取到白尿｝.

因?yàn)锽=AB\JAB,且A3與互斥，所以尸(6MaAB+aABjMPOQPlBIA)

+P(才)?P(B|A)=-X-+—X-=0.6.

、109109

考點(diǎn)3貝葉斯公式——應(yīng)用性

典例引領(lǐng)

例??根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以4表示

事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A\C)

=0.9,P(A\C)=0.9,現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為

0.01,即P(C)=0.01,則P(C|A)=.

看解析：因?yàn)镻(才⑹=0.9,所以P(A|C)=1—PMlG=l—0.9=01.因?yàn)镻(C)

=0.01,所以P(G=0.99.由全概率公式可得尸(A)=P(A|0P(C)+PC4|GPC),

因?yàn)镻(AC)=P(Q4)?P(A)=P(4|0P(0,所以尸(C|A)=⑹=

PG4)

______P(i4|C)P(C)________0.9x0.01_1

p(i4|C)p(c)+p(i4|C)p(O-0-9x001+01x0""i2,

解題通法

1.全概率公式常用來計算復(fù)雜事件的概率，而貝葉斯公式是用來計算簡單條件

下發(fā)生的復(fù)雜事件的概率.

2.在運(yùn)用貝葉斯公式時，一般已知、未知條件為：

(1)事件B的多種情況中到底哪種情況發(fā)生了是未知的，但是每種情況發(fā)生的概

率已知,即P(助,7=1,2,…,

(2)事件A是已經(jīng)發(fā)生的確定事實(shí)，且已知每種事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的

概率，即尸(川劭，j=l,2,…，兒

(3)P(A)未知，需要使用全概率公式計笄得到.

「多維訓(xùn)練」

某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書籍，共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、

3箱語文書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下9箱中任

意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為()

A.-B.-C.—D.-

98128

B解析：用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用&表示丟失的一箱為k,

k=1,2,3分別表示英語書、數(shù)學(xué)書、語文書.由全概率公式得P(A)=

H-iP(a)P(A|a)=Nx\+)x[+3x1=2,

J"】''I02Cl5Cl10C136’

P@|A尸華誓=駕=-?故選B.

1'P(4)P(4)36368

課時質(zhì)量評價(六十)

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.(2022?宜賓期末)某地氣象局統(tǒng)計，當(dāng)?shù)啬砇刮風(fēng)的概率為既刮風(fēng)又下雨

的概率為點(diǎn)則該地在刮風(fēng)天里，下雨的概率為()

A.-B.-C.-D.i

4832

B解析：由題意，記“該地區(qū)刮風(fēng)”為事件A,“該地區(qū)下雨”為事件8,

1

則P(A)==P(A8)=2,所以該地在刮風(fēng)天里，下雨的概率為尸(母4)=當(dāng)孚=奈=

52P(A)-

5

8,

2.某乒乓球訓(xùn)練館使用的球是A,B,C三種不同品牌標(biāo)準(zhǔn)比賽球，根據(jù)以往使

用的記錄數(shù)據(jù)：

品牌名稱合格率購買球占比

A98%0.2

B99%0.6

C97%().2

若這些球在盒子中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)地取一只球

用干訓(xùn)練，則它是合格品的概率為()

A.0.986B.0.984C.0.982D.0.980

B解析：將A,B,C分別記為第1,第2,第3個品牌，設(shè)事件M■表示“取到

的球是第i個品牌(i=l,2,3),事件N表示“取到的是一個合格品”，其中Mi,

M2,M3兩兩互斥,所以P(M=P(M\N)++P(M3N)=P(Mi)P(N|Mi)+

P(M2)P(N\M?+P(M3)P(MM3)=0.98X0.2+0.99X0.6+0.97X0.2=0.984，所以它

是合格品的概率為0.984.故選B.

3.某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5,知道正確

答案時，答對的概率為100%,而不知道正確答案時猜對的概率為0.25,那么他

答對題目的概率為()

A.0.625B.0.75C.0.5D.0

A解析：用A表示事件“考生答對了”，用8表示事件“考生知道正確答案”，

用后表示事件“考生不知道正確答案”，

則P(8)=0.5,P(月)=0.5,PQ4|B)=1,P(4|F)=0.25,

則0(A)=P(A8)+P(4^)=PG4[8)P(8)+P(A|月)?P(月)=1XO.5+0.25義0.5=

0.625.

4.為適應(yīng)人民幣流通使用的發(fā)展變化，提升人民幣整體防偽能力，保持人民幣

系列化，中國人民銀行發(fā)行了2019年版第五套人民幣5()元、2()元、1()元、1元

紙幣和1元、5角、1角硬幣，同時升級了原有的驗(yàn)鈔機(jī)現(xiàn)從混有4張假鈔的10

張50元鈔票中任取兩張，在其中一張是假鈔的條件下，兩張都是假鈔的概率是

()

A.-B.-C.-D.-

6535

B解析：設(shè)事件A表示“兩張都是假鈔“，事件8表示“兩張中至少有一張是

假鈔”，則

P(A6)=字-=9=2P(6)=筆運(yùn)=4

Cf04515Cf03

所以P(A|B)=學(xué)3=享=:所以所求概率為上

P(8)-55

5.(2023?日照模擬)甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊一次，已知甲命中目標(biāo)的概率

為0.6,乙命中目標(biāo)的概率為0.5,已知目標(biāo)至少被命中1次，則乙命中目標(biāo)的概

率為.

0.625解析：記事件A為“乙命中目標(biāo)”，事件6為“目標(biāo)至少被命中1次”，

則P(B)=1-(1-0.6)X(l-0.5)=0.8,P(AB)=0.5X(1-0.6)+0.6X0.5=0.5,

P(A|B)=^=—=0.625.

'P(B)0.8

6.1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球.現(xiàn)隨機(jī)地

從1號箱中取出1個球放入2號箱，然后從2號箱中隨機(jī)取出1個球，則從2號

箱取出紅球的概率是________.

||解析：設(shè)4="從2號箱中取出的是紅球"，8="從1號箱中取出的是紅

球”，

.42—1

則尸(8)=下=mP(B)=l—P(8)=m

3+14-31

所以P(A)=P(48LM月)=PG48)+P(A月)=P(4|8)?P(8)+P(AE)P(月)

一4乂2~11-11

——zx-T-zx———?

933327

7.甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲、乙兩支代表隊，首

輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得。分，已知甲隊3

人每人答對的概率分別為"乙隊每人答對的概率都是;.設(shè)每人回答正確

4323

與否相互之間沒有影響，用^表示甲隊總得分.

(1)求2的概率;

(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.

解：(1)P(c=2)=—X—X—4--X—X—4~~X—X—=—?.

43243243224

(2)P(c=i)=-x-x-4-ix-x-4-ix-x-=-,

4324324324

4211

P(f=3)=￡x1xl=i

設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件3,則

322

P(A)=lxC3g)+Sxc|g)xl+lxci(|)x(|)=l

P(AB)=lxClg)x(l)2=±

所以p(用A)=郊=i=，.

8.某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)，在試產(chǎn)初期，該款芯片的生產(chǎn)有

四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動

檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為丹=2,

尸2得，尸3福.

(1)求該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)入第四道工序前的次品率;

⑵如果第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進(jìn)

入流水線并由工人進(jìn)行人工抽查檢驗(yàn).在芯片智能自動檢測顯示合格率為90%

的條件下，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率.

解：(1)因?yàn)榍叭拦ば虻拇纹仿史謩e為

P尸看,尸2=2,P3=g,

所以該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)入第四道工序前的次品率為P=l-[(l-P0(l-P2Xl-

八、i,98、/73

尸3)]=1——X-X-=—.

〃109810

(2)設(shè)“該款芯片智能自動檢測合格”為事件A,

“人工抽檢合格”為事件3,

由已知得P(A)=t，P(AB)=1一2=1一總=(，

記工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，

抽檢一個芯片恰為合格品為事件B\A,

所以P(8|A)=綃=：><U=Z.

P(A)1099

B組新高考培優(yōu)練

9.學(xué)校有A,B兩個餐廳，如果王同學(xué)早餐在A餐廳用餐，那么他午餐也在A

餐廳用餐的概率是?如果他早餐在B餐廳用餐，那么他午餐在A餐廳用餐的概

率是:.若王同學(xué)早餐在A餐廳用餐的概率是；，那么他午餐在B餐廳用餐的概

44

率是()

A.-88B.-1C6.—D16.—

B解析：設(shè)4表示早餐去A餐廳用餐，與表示早餐去B餐廳用在，4表示午

餐去A餐廳用餐，且P(4)+P(田)=1,根據(jù)題意得P(4)==P(Bi)=i,P(4|4)

44

=；3,P(A2B)=1；,

44

由全概,率公式可得P(42)=尸(4)P(A2|4)+P(8I)?P(A2|Bi)=-X-+-xi=-.故選

44448

B.

10.(多選題)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增

進(jìn)全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以

支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不

放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件8為

“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是()

33

A.P(A)=：B.

C.P(B\A)=\D.P(B\A)=\

ABC解析：對于A,P(A)=胃==故選項A正確.

5

對于B,P(A8)=需=。，故選項B正確.

c5c410

3

對于C,P(B|A)=2?=乎="故選項c正確.

PG)72

對于D,P(J)=^=|,P(48)=黑

所以P(陰4)=需=曰=*故選項D錯誤.

11.從3,4,5,6,7,8,9,1(),11,12這1()個數(shù)中不放回地依次取2個數(shù)，

事件A為“第一次取到的數(shù)是偶數(shù)”，事件5為“第二次取到的數(shù)是3的整數(shù)

倍”，貝iJP(5|A)=()

1212

A.-B.-C.-D.-

3355

D解析：根據(jù)題意，3,4,5,6,7,8,9,10,11,12這10個數(shù)中，有5個

偶數(shù)，

則P(A)=》,事件AGB為“第一次取到的數(shù)是偶數(shù)且第二次取到的數(shù)是3的整

數(shù)倍”，

若第一次取到的數(shù)為6或12,則第二次有3種情況；若第一次取到的數(shù)為4,8,

10,則第二次有4種情況，則事件AG8共有2X3+3X4=18種情況.

所以P(An8)=^=g,故P(8|A)=?嫖=|.

12.(多選題)甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球.先

從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以4,A2表示由甲箱中取出的是白球

和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以8表示從乙箱中取出的球是黑球的

事件，則下列結(jié)論正確的是()

A.Ai,4兩兩互斥

B.P(B\Ai)=l

C.事件8與事件4相互獨(dú)立

D.P(8)=總

AD解析；因?yàn)槊看稳∫磺?，所?,A2是兩兩互斥的事件，故A項正確；

因?yàn)镻(4)=P(A2)=；,P(5|42)=哭卓="故B項錯誤；

2P(.A2)7

又P(陰4)=華，=±,所以P(B)=P(BAi)+P(BA2)=-xi4--X-=—,故D項正

P(41)7272714

確.

從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變?yōu)?個，取出黑球概率發(fā)生變

化，所以事件B與事件4不相互獨(dú)立，故C項錯誤.

13.某保險公司把被保險人分為3類：“謹(jǐn)慎的”“一般的”“冒失的”.統(tǒng)計

資料表明，這3類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為().05,().15和().3.