考點鞏固卷12平面向量（十二大考點）

京考點預(yù)覽

考點01平面向量的基本概念

/考點02平面向量的線性運算

，考點03向量共線與三點共線

“考點04平面向量共線定理的推論

/考熱05平面向量基本定理

//考點06平面向量的坐標運算

平.向■專］考點07求數(shù)量積

考點08垂直關(guān)系的判斷及應(yīng)用

考點09向量的模

R考點10求兩個向量的夾角

'考點11求投影向量

、考點12最值、范圍問題

土考點訓(xùn)薛

考點01平面向量的基本概念

1.下列說法錯誤的是（）

A.向量從口與面的長度相等B.兩個相等向量若起點相同，則終點相同

C.共線的單位向量都相等D.只有零向量的膜等于0

【答案】C

【分析】根據(jù)相反向量、相等向量、單位向量和零向量的定義判斷各個選項.

【詳解】對于A,向量血與麗互為相反向量，其長度相等，故A正確；

對于B,因為相等向量的方向相同，長度相等，則兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同，故B正

確；

對于C,共線的單位向量可以是相反向量，故C錯誤；

對干D,因為模長為0的向量為零向量，所以只有零向量的模長等于0,故D正確.

故選:C.

2.給出下列3個命題，①相等向量是共線向量；（2）若Z與B不相等，則向量Z與分是不共線向量：③平行

于同一個向量的兩個向量是共線向量；其中真命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)相等向量、共線向量的定義判斷即可.

【詳解】長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共線向量，即①正確；

若Z與否不相等，則向量Z與否也可以共線，只要2與5模不同因可，故②錯誤；

平行了同一個向量的兩個向量不一定是共線向最，如10,%：），c=6，

此時）4,百巾，但是2與辦不一定共線，故③錯誤；即真命題只有1個.

故選：B

3.（多選）下列敘述中正確的是（）

A.若a〃5,5〃d,則a〃c

B.若1=萬，則3辦潺

C.已知非零向量Z與5且則2與B的方向相同或相反

D.對任一非零向量&尚［是一個單位向量

【答案】CD

【分析】A注意各=0即可判斷；B根據(jù)向量的性質(zhì)判斷：C由關(guān)線向量的定義判斷：D由單位向量的定義

判斷.

【詳解】A：若辦=0時，涼?、橛植灰欢ㄓ?〃/：,,錯誤：

B：向量不能比較大小，錯誤；

C：非零向量Z與萬且Z〃萬，則Z與8的方向相同或相反，正確:

D：非零向量3,則FJ是一個單位向量，正確.

故選：CD

4.（多選）下列說法正確的有（）

B.入〃為非零實數(shù)，若義￡二〃九則2與辦共線

C.兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小

D.若平面內(nèi)有四個點A、B、。、D,則必有46+加=城+45

【答案】BCD

【分析】利用向量數(shù)量積的定義可判斷A；利用向量共線定理可判斷B：根據(jù)向量的概念可判斷C；利用向

量的減法運算可判斷D.

【詳解】對于A選項，a-a-a=\^a,故錯誤；

對于B選項，因為44為非零實數(shù)，且=2與5一定共線，故正確；

對于C選項，向量不能比較大小；向量的模可比較大小，故正確；

對干D選項，由8力-1=A/i-AC，所以4右+南=8《+4力，故正確.

故選:BCD.

5.（多選）下列關(guān)于平面向量的說法中不巧確的是（）

A.已知非零向量a，b,c?若〃〃b,〃〃c’則a〃c

B.若福=也，則ABC。為平行四邊形

C.若aN=5.乙且1工。，則力=6

D.若點G為“WC的重心，則65+而+覺=0

【答案】BC

【分析】根據(jù)向量共線的概念可判斷選項A,B；利用向量垂直的數(shù)顯積關(guān)系即可判斷C錯誤；利用三角形

重心的結(jié)論即可判斷選項D.

【詳解】對于選項A,對于非零向量2,…,由嬴,E3且丐為非零向量，可知：〃/；?，選項A正確；

對于選項B,因為而二前，則A8.C,。四點可能共線，所以A8C。不?定為平行四邊形，故選項B錯誤;

對于選項c,由小乙=別0可得m-B)T=o,則5-歷，八不一定/=凡故選項c錯誤;

對于選項D,由平面向量中三角形重心的結(jié)論可知，若點G為“8。的重心,則見+而+交=0,故選項

D正確，

故選項：BC.

考點02平面向量的線性運算

6.如圖，向量A月=￡,AC=b，也=入則向量方力=()

D

,a

a

ii?iiiii?ii1

A.a+b—cB.a—b+cC.h—?+cD.b—a1-。

【答案】c

【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.

【詳解】依題意，得而=而一通=/+詼一通=6+5—d，

故選:C.

7.在正六邊形ABCDEF中,AB+FE+CD=()

A.ACB.AEC.ADD.A尸

【答案】c

【分析】根據(jù)平面向量運算求得正確答案.

【詳解】依題意，AB+FE+CD=AB+BC+CD=AD.

故選：C

FE

8.(福建省普通高中2022-2023學(xué)年高二6月學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題)如圖所示，AB=d,AC=b,

〃為4B的中點，貝IJW為()

c

AM*

11

A.—G+bB.-G-b

22

r1r1-

C.a+—bD.a——b

22

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法列式作答.

【詳解】人8=。，=BM為A3的中點，

所以函=次+而=-/+」而」￡-尻

22

故選：B

。為'設(shè)面+而=由'

9.在如圖所示的五角星中，以A、B、C、O、E為頂點的多邊形為正五邊形，且有=

則兒二()

A

W

*\/5+1R6+1p\—>/5口\/5—!

2222

【答案】c

【分析】將反+可轉(zhuǎn)化為前+說，結(jié)合已知可得.

【詳解】在五角星中，屈=前,PA=CQ,則ES+E4=RC+CO=R0.

，,行=在里送，

2

...麗=與1而，

，和=方=?而=匕直而，

V5+I22

.?"=匕亞

2

故選:C.

10.（多選）如圖，。是正六邊形A8CDE/的中心，則（）

A.AB-AF=AOB.AC+AE=3AD

C.OAOC=OBODD.而在質(zhì)上的投影向量為通

【答案】CD

【分析】根據(jù)向量的線性運算怙則，可判定A、B不正確，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義域運算，可判定C正

確，結(jié)合向量的投影的定義與運算，可判定D正確.

【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運算法則，可得：

對于A中，由福-麗=而工而，所以A不正確；

對干B中，由AC+AQ=；45+Od+A0+O卮=2A5+OC+o￡=2ACUO￡i=3A。，所以B不正確；

對于C中，設(shè)正六邊形的邊長為。，可得方灰=lxlxcosl20=-L,OB-OD=\x\xcos\20所以

22

OAOC=OBOD^所以C正確；

對于D中，如圖所示，連接B。,可得BDJ.AB,

可得|同cos/D4B=|同，所以而在向后加上的投影向最為網(wǎng)?扇二麗，所以D正確.

故選:CD.

11.在dBC中，E為AC上一點，AC=3AE，。為線段3七上任一點，若Q=x通+y而，則’的最小

%）'

值是（）

A.3+2>/2B.4+273C.6D.8

【答案】B

【分析】由題可得3y+x=l,后由基本不等式可得答案.

【詳解】由題可得B,P，E三點共線,則而=1荏+(——)而.

——一一匹v

又入戶=*AG+yAC,AC=3AE>則入戶=可AC+(1一義)八"3=>3y+x=I,則

3[\-A=x

l+l=(x+3y)f-+-]=4+^+->4+2代.土=4+2百.

xy(xy)xyVxy

當(dāng)且僅當(dāng)型=2,即),==避二1時取等號.

Xy62

故選：B

考點03向量共線與三點共線

12.設(shè)鼻，不是兩個不共線的向量，關(guān)于向量Z,日有①Z=21,6=-加丁②3=冢-4，6=-2《+陽；

__?—--1—一一一一一一

③〃=40-1％；…飛―④〃=q+g；b=2e1-2e2.其中乙方共線的有.(填序號)

【答案】①②③

【分析】根據(jù)向量共線的條件對各選項逐一判斷即可.

【詳解】①2=-5,共線;

②2=-；石，共線：

③〃=45,共線；

④〉和分無法表示成3=4,所以不共線.

故答案為：①②③

13.如圖，在△。48中，。是的中點，。是線段。8上靠近點O的三等分點，設(shè)。4=%0月=6.

B

⑴用向量不與日表示向量反，而：

(2)若?！?goC,求證：ARE三點共線.

【答案】⑴玩二%+勵，CD=--a--b

2V726

⑵證明見解析

【分析】(1)利用向量的線性運算及平面向量的基本定理即可求解；

(2)利用向量的線性運算及向量共線的充要條件即可求解.

【詳解】(1)?.?況=%麗=瓦。是A8的中點,

.?.能=g(OA+O8)=；(2+B)：

W=OD-OC=-b--(b+a]=--a--b.

32、f26

(2)\'AD=OD-OA=-b-a,

3

A￡=OE-OA=-x-x(d+b]-d=--a+-b=-AD

22、)444

二.荏與而平行，

又「通與而有公共點A,

??.ARE三點共線.

14.設(shè)不，馬是不共線的兩個向量，而=%+%,而=4+3號,而二2耳一段.若A4,。三點共線，則k的值為

【答案】-4

【分析】根據(jù)三點共線可得向量共線，由此利用向量共線定理可列出向量等式，即可求得答案.

【詳解】因為A3,。三點共線，故而〃前，

則使得麗=義麗，

乂麗=加?麗=再一m_（不+電）=不一4石，

2=1

故4+心2=〃耳一44）,則〈一，，解得太=-4.

-4Z=k

故答案為：-4

—3—1—

15.在AA8。中，BE=2EC，且八七二二48+二AC,則見=________.

44

【答案】；

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求解即可.

【詳解】:AE=-AB+-AC,:.-AE--AB=-AC--AE,

444444

3—1一一1—.1

即18E=-EC,:.BE=-EC,2=".

4433

故答案為：

ab

16.已知人行是平面上的非零向量，則“存在實數(shù)4，使得3=加'是“甲W”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分性必要性的定義，結(jié)合向量共線的結(jié)論進行判斷.

—T-*—?

ab-ab

【詳解】因為口，同分別表示與口方方向相同的單位向量，所以由同調(diào)可知，。，力方向相同;

“存在實數(shù)4,使得3=4”即3萬共線，包含方向相同或方向相反兩種情況.

ab

所以，”存在實數(shù)義，使得力加'不能推出是“同=同”;

ab

可以推出“存在實數(shù)2，使得2=4”，

ab

所以“存在實數(shù)；I，使得2="”是“甲同”的必要不充分條件.

故選:B.

17.已知4,五是不共線的向量，JiAB=3?+4b,BC=-2a-6b,CD=2a-4b,則()

A.A、B、。三點共線B.A、B、C三點共線

C.B、C、。三點共線D.4、C、。三點共線

【答案】D

【分析】利用平面向量共線向量定理求解.

【詳解】因為A月=3￡+4b,IiC=—2a-6h,CD=2ci—4b,

所以而=32-66,

若A、8、。三點共線，則標=4而，而々無解，故A錯誤;

4=-64

因為八片=3d+4￡BC=-2aCD=2^i-4b,

所以k=3—2日，

3=2

若A、B、C三點共線，則通=4近，而/力無解，故B錯誤;

4=-2Z

因為A*=3a+4/7,BC=-2a-6h,CD=2d-4b,

所以6萬=BC+C力=-I(必,

f-2=0

若B、。、。三點共線，則=而'<si無解，故C錯誤;

-o=-IUX

因為=32+4反BC=-2a-6t?.CD=2(i-4b,

所以XC=，-2AA/5=3￡-3,

g|JAC=jAD,所以4、C、。三點共線，故D正確.

故選：D

考點04平面向量共線定理的推論

18.如圖所示，在中，麗=1標"是用V上的一點，^AP=^-AB^mAC,則實數(shù)〃?的值為（）.

411

A

N

B

【答案】D

【分析】利用共線定理的推論可得.

【詳解】因為AN=!NC,所以*=5初，

所以A戶=^A月+mAC=白A8+5mAN,

因為尸,B,N三點共線，所以，+5刑=1,解得機=2

故選:D

19.如圖，在“BC中，點P在邊8c上，且BP=2PC,過點。的直線/與射線A8,AC分別交于不同的兩

點時，N,若麗=；麗，AE="以耳，則實數(shù)川的值是（）

【答案】B

【分析】結(jié)合向量的運算可得Q1麗？+；0小麗，然后由RA1,N三點共線得1:+9；〃?=1,可得答案.

6363

【詳解】由題意知：麗=麗+麗=通+,肥=通+|（而一礪）=g而十|記，

一I____1___2__

又A8=-AM,AC=AN，HRAP=-AM+-mAN,

2m63

I25

由P,M,N三點共線，可得：+!〃z=l,即〃?=V

634

故選:B.

20.己知長方形ABC。中，AB=2AD,E是線段48的中點，r是線段4。上靠近。的三等分點，線段力石,

CF交于點G,則而=（）

1—55—1

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

7777

1—3-5—3—

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

7777

【答案】A

【分析】設(shè)詼=4萬反而=〃房九〃?0,1）,根據(jù)平面向量線性運算及平面共線定理的推論以4萬4乩

結(jié)合平面向量基本定理，即可求得的值，從而得結(jié)論.

【詳解】由題可知點反而T從，

設(shè)詼=4DE,而=〃叱4〃?0,1)

l)\\\AG=Ab+l)G=AD+ADE=AD+^AE-Ai5)

=/lAE+(l-A)A￡j=^/l^+(l-2)AD,

又而=而+而=§而+〃定=§而+〃(而+砌

=：A力+A/5+A8)=AD+/.iAB,

—2=f.i

所以『，解得4=,,〃=；,所以啟十1A/5.

1—A=—+―//

故選:A.

21.在^ABC中，點。滿足CO=20B，過點。的直線分別交射線片&4C于點M,N,且AM=mAR?AN=nAC，

則加+2〃的最小值為（）

A.—B.—C.3D.4

33

【答案】A

21

【分析】利用共線定理的推論可得三+4=1,然后妙用可得.

3m3〃

【詳解】由題可知，加>0,〃>0,

因為戒=機而，AN=nAC，所以=

tnn

XCO=20B?所以配一女=2而-2而，

2_i_2_i_

所以—AM\—AN,

333〃？3〃

?!

因為〃,O,N三點共線，所以丁+h=1,

3〃？3〃

s?,，,21、4〃？4〃43標8

月1■以〃1+2〃=(〃]+2〃)(丁+丁)=；+丁+丁之三+2丘二1

3m3〃33〃3m3V93

m=4〃-

當(dāng)且僅當(dāng)F；3：，即加=[,〃=；時，等號成立.

—+—=133

.3〃？3〃

Q

所以〃2+2〃的最小值為:

22.已知4,B,尸是直線/上不同的三點,點0在直線/外，若。戶=〃*戶+(2〃-3)0政〃?eR),)

A.2B.-jC.3D.-

J

【答案】A

【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合向量減法法則化簡而=*況+士弁礪，而A8,P三點共線，可得

m-l加一1

y+Nl=i,解得〃，的值，設(shè)P月=2雨，可得加=工8-717at所以3=2,從而求出4的值.

m-1m-1X-1A-\A-i

【詳解】AP=OP-OA^OP=mAP+(2m-3)OB=m(OP-OA)+(2m-3)OB,

整理得，(/n-1)0P=mOA+(3-2m)0ii,

當(dāng)皿=1時，0=赤+而顯然不成立，故

所以。戶=*一)十三也面，

m-1m-\

?.?/，B,尸是直線/上不同的三點，

_^+2z2^=i,解得〃?=2,OP=2OA-OB^

m-1ni-\

設(shè)P月=2Pd，,?OB-OP=MOA-OP),

()P=——OA----OB,

2-12-1

.?.1=2,解得4=2,即鬻=2.

x-1IPA\

故選：A.

23.在中，點M是邊8C所在直線上的一點，且麗=2元，點P在直線AM上，若向量

笈戶=4胡+〃8。（2>0,〃>0）,則彳+一的最小值為（）

A.3B.4C.3+2夜D.9

【答案】B

【分析】由題意可得8戶=的+?山W,又點A,P,M三點共線，所以之+權(quán)=1,再利用T的代換，結(jié)

合基本不等式求解即可.

【詳解】?,=2瓦,=,

,Bp=2BA+//Be=&BA+；xBM-,

???點A,P,M三點共線，

z+—//=1,

X-;2>0,〃>0,

12（I11〃222/1」

二.-+—=—+-IA+―//1=2+-4-->2+2（—,—=4,

當(dāng)且僅當(dāng)《="，即〃=1時，等號成立，

2N〃2

7+~的最小值為4.

Z7/

故透:B.

考點05平面向量基本定理

24.（多選）已知M為aABC的重心，。為邊8C的中點，則（）

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC=O

C.BM=-BA+-BDD.AB+AC=2^MB+MC)

33

【答案】ABC

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及向量的線性運算、基本定理一一判定即可.

【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得硒+雨=2而，故A正確;

由題意得M為線段八D的靠近點的三等分點，所以稱=-2而萬，

又M方+祝=2函，所以訪1+初8+碇=0，故B正確；

BM=BA+=-AD=BA+^BD-BA）=-BA+=-BD,故C正確；

3333

~AB+AC=2ADfMB+MC=2MD\又而=3而，所以通+/=3（麗+雨），故D錯誤.

故迄ABC

25.如圖，在6x6的方格中，已知向量0/；,c：的起點和終點均在格點，且滿足3=3+,（為盡1＜）,那么工+產(chǎn)

【答案】1

【分析】可作單位向量7,1,從而可用7）表示向量2瓦工，根據(jù)平面向量基本定理即可得出關(guān)于x，y的方程

組，求解即可.

【詳解】如圖所示，作單位向量i1,

貝lja=2i-j,b=2/+2j,c=2i-4j,

所以H+R=（2X+2），）；+（2A4）：），.

乂"=口+江，所以27-]=（2X+2），）；+（2X-4），）7,

2x+2y=2

所以《解得x=

2x-4y=-\

所以x+y=l.

故答案為:1.

26.在AABC中8巨=3七已8戶=g（84+8C）,點P為AE與M的交點，AP=XAB+//AC,則義―〃=（）

A.0B.—C.~D.一

424

【答案】B

【分析】利用平面向量基本定理得到"=（1-…月+；&衣，八戶=；〃*6+芻〃也從而列出方程組，求

出心切，得到4=;,〃=;,求出答案.

【詳解】因為旃=g（而+肥），所以尸為AC中點，

8,P,廣三點共線，故可設(shè)麗=4而，即Q—通=左（而一麗）：

整理得彳聲二左而+（1-攵）43=（1一%）而+3左/，

因為萬應(yīng)=,E。，所以AE-AQulACf-LA爐，AE=-AC+-ABf

22233

AP,E三點共線，

12、12

-AC+-AB\=-mAC+-mAB,

（33,33

2m..[,1

——=1-Kk=—

所以?，解得｛7

m1,3

—=—km=—

324

可得衣=:而+；*，則4=g,〃=；,%_〃=；.

故選:B

27.如果｛,晟｝表示平面內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是（）

A..、ex-2e2B.q+見、e2+2et

—?—?—*—?

-

C.et-3e2>6e2-2etD.et—e2、q3^2

【答案】C

【分析】利用平面向量基底的定義逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，設(shè)4—2%=/￡（/￡R）,

一一fl=0

因為6、々不共線，貝丹O，顯然不成立，人中的兩個向量可作一個基底;

對于B選項，設(shè)4+2&=%（2e；+B）=24冢+R）,

一一[2A=1

因為6、與不共線，則,，顯然不成立，B中的兩個向量可作一個基底；

對于C選項，因為6耳-21=-2伍-3磯，C中的兩個向量不能作一個基底；

對于D選項，設(shè)1-31=彳（冢一可=,

1”,顯然不成立，D中的兩個向量可作一個基底.

因為4、1不共線，則

=-3

故選：C.

28.如圖，在梯形A3CQ中，荏=4反，￡,少分別是反，5c的中點，4C與QE相交于點0,設(shè)通=￡,

AD=b.

D.__C

（1）用Z，（表示麗;

（2）用Z，B表示爐.

一1-1一

【答案】（1）￡/=7。+不6

o2

—11-1-

（2）OF=—a——b

246

【分析】（1）由題設(shè)知比〃4cH.七/二gAC,根據(jù)三戶=；4。用而，而表示出麗即可；

（2）由題意可得第=第=:,再用而，而表示出爐即可.

AEOE2

【詳解】（1）在“8C中，因為E,“分別是A44C的中點，所以即〃AC,且七產(chǎn)=gAC\

故而而+比)=g(而+;而)=g而+(通=:々+3"

(2)因為A8//C7),所以△AOE?△C。/),則空=咨=1.

AEOE2

^dF=OE+EF=|D￡4-EF=|(AE-AD)+EF=|^AB-7\Z)j+EF

1-2-1-I-II-I-

=-a--b+-a+-b=—a--b.

3382246

29.如圖，在△ABC中，點3,上分別在邊8c＞和邊A3上，D,以分別為8C■和A4的三等分點，點。靠近

點8,點E靠近點A,AD交CE于點P,設(shè)8。=2，麗=九則8戶二（)

1-4

B.-ciH—br

77

、2-47

D.—a+—b

77

【答案】B

【分析】利用函,8。表示而，結(jié)合平面向量基本定理確定其表達式.

【詳解】設(shè)而=4而，E戶=〃E。，

所以乃戶二耳聲一42二義葡一AQ=4(BZ5-8A)-AB:

—1—

又BD=-BC，

3

所以4戶=(8仁+(1-/1)34,

2__

因為麻=3加，

所以/=屁+喬=§麗+〃豆=§而+〃阿-闞旗+〃反\

[2[.3

所以;2，解得；

-—-//=1-Zn——

__I_.4—14-

所以BP=彳BC+qBA=；a+，,

故選；B.

考點06平面向量的坐標運算

30.已知向量力=(2,sin2),B=(l,cos。)且不〃5，則ian?=()

A.—C.2D.—2

22

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標公式計算即可.

【詳解】因為M=(2,sin6),6=(l,cosO)且罰加，

所以2cos6=sin6,所以tan0=2.

故選:C.

31.若8(51),。為A〃的中點，。為AB上更靠近4的三等分點，則C的坐標為,D

的坐標為.

【答案】。，一?(1,-3)

【分析】根據(jù)中點的坐標公式求C的坐標，利用4萬=!從?求￡＞的坐標.

【詳解】根據(jù)中點坐標公式，C的坐標為［f-丁1+5，丁-4-卜U(2,-引5、，

通=(6,3),則而=；通=(2,1).因為加=函+而=(1,—3),所以。的坐標為(1,一3).

故答案為：(2,一斗，(1,-3)

32.在平面直角坐標系xQv中，八。，2),9一2,3),C(8,-5).

(1)若反=.?麗+丁而，求實數(shù)x,)，的值；

(2)若麗//(機函+而)，求實數(shù)〃［的值.

【答案】(1)工=2,)，=一3

(2).7：=1

【分析】(1)利用向量坐標化的線性運算即可得到關(guān)于x，y的方程組，解出即可；

⑵首先計算得，〃。4+。3=(〃?+82”5),再利用向量共線得到關(guān)于，〃的方程，解出即可.

【詳解】(1)由1=1麗+)，麗，有(8,-5)=x(1,2)+)，(—2,3),

x-2y=8,v=2,

解得，

2x+3y=-,5)'二-3,

故H=2,y=-3；

(2)由而=(-3,1),niOA+0C=ni(1,2)+(8,-5)=(in+8,2m-5),

又由而//(mOA+OC),有(+8)x1_(-3)x(2/??-5)=0,

解得〃7=1,故〃7=1.

33.已知邊長為1的正方形A8CO中，/W與x軸正半軸成30。角.求點B和點。的坐標和加與而的坐標

(答案JAB=,AD=(--,.c融9

22

【分析】根據(jù)題意，得々Av=30°,ZZMv=90o+30o=120°.由此結(jié)合三角函數(shù)的定義，算出點8、。兩點的

坐標，進而可得到與標的坐標.由向量相等即可求解C.

【詳解】由題意，點A在原點，A8與x軸正半軸成30。,

可得ZBAv=3(F,4Mt=90。+30°=⑵)。.

設(shè)8(%,乂)，y).

D(X2,2

則石=|八4|cos3()°=1x—=—,y=|AB\sin300=1x(=：,

2222

同理可得天骨4萬Icosl20°=lx(-J)=-：,y,=|4￡)|sinl20°=lx—^=—

22222

AAB=(—,?),AD=(~,—..

2222

由于力AC￥T^

34.已知日=(1,0),5=(2,1),c=(3,-4).

⑴若（依+5）傀,求攵的值;

⑵若都=2,+35，肥=4+〃石且A,B,C三點共線，求”的值.

【答案】⑴一日

【分析】(1)首先求出初+萬的坐標，再根據(jù)向量共線的坐標表示得到方程，解得即可；

(2)首先求出4月，起的坐標，依題意而〃就，根據(jù)向量共線的坐標表示得到方程，解得即可：

【詳解】(1)因為a=。,0),方=(2,1),所以總+B=(k+2,1),

因為(姐+B)//乙所以-4億+2)=3,解得我=-}

(2)因為A8=2G+3/?=(8,3),BC=a+mb=(\+2m,in),

q

因為A,B,。三點共線，所以而〃而，所以8〃?=3(z1+2〃?)，解得〃?二],

3

故川的值為

35.在矩形ABC。中，AB=6,4)=4，石為CO的中點，若爐=3而，/=7麗+〃而，則％+〃=.

【答案】59

0

【分析】建立如下圖的平面直角坐標系，求出各點坐標，由平面向量線性運算的坐標表示可得而的坐標,

由您;二(644〃)，列方程組，解方程組可得4和〃的值即可求解.

【詳解】建立如下圖的平面直角坐標系，

由已知得3（6,0）,0（0,4）,E（3,4）,￡B=（3,-4）,

由喬=3而得石尸=：石8=（力一3）

設(shè)F（x,y）,則（x-3,y-4）=（、,-3,

921

wr"3=4,解得廠二了，所以尸（知],"=律，1

|,y-4=-3|y=lU}U

乂因為"=%而+〃通="6,0）+〃（0,4）=（624〃），

719

所以021,解得4=三，則4+〃

62=—848

4

9

故答案為：—.

O

考點07求數(shù)量積

36.在平面直角坐標系X。)，中，設(shè)向量正=(sinx,-l),7=(6cosx,cos?x)

(1)當(dāng)％=；時，求而，3的值；

(2)若xe0,；］且〃；.,；=且■-!,求cos2］的值.

L4」22

(2)0

【分析】(1)根據(jù)特殊角的二角函數(shù)值代入計算可得;

(2)根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，利用二倍角公式、輔助角公式將式子化簡，即可得到sin(2,t-'］=且，從

(612

而求出x,即可得解.

【詳解】(1)因為正=(sinx,-l),〃=(J5cosx,cos2x)

當(dāng)”三時凱吟=日一Vj

(2)Vnz=(sinx,-l),n=(\/3cosx,cos2x),

.-1+cos2x

in-n=5/3sinxcosx-cos2x=4sin2x---------

~22

f_n^_l^_l

=sin2x6j2=22

2)=3,

6J2

71兀7124-3=?，解得

4653634

c兀八

??cos2x=cos—=0.

2

37.已知a=（Gsinx,l）,^=（l,-cosx）,xeR.

（1）若工=0,求ZB；

（2）設(shè)/（力=3尻求〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】（1）2出=一1

7t—,2兀-.

（2）——+2kn,—+2kTc,ZeZ.

【分析】（i）當(dāng)％=0時?，寫出向量2、6的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得7萬的值；

（2）利用平面向量數(shù)量積的坐標運算以及輔助角公式化簡函數(shù)/（X）的解析式，利川正弦型函數(shù)的單調(diào)性

可求得函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增M間.

【詳解】（1）解：當(dāng)4=0時，則7=（0,1）,5=（1,-1）,所以，ab=-\.

（2）解：因為/（x）=Z?〃=>/3sinx-cosx=2sin（x一三,

\6）

由---F2kn—0—F2kli,kwZ,

262

解得一二++keZ.

33

所以/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為一方+2E,,+2E,keZ.

38.已知同=4,間=2,且及與B夾角為120°求:

⑴ab

⑵伍-25）伍+5）

【答案】（1）-4

（2）12

【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積的定義求解即可；

（2）由平面向量的數(shù)最積的運算律求解即可.

【詳解】（I）因為同=4,忖=2,且萬與5夾角為120。，

所以不?.=|同?網(wǎng)cos120°=4x2xf--!-=-4.

k2，

（2）一25）（1+5）=萬2—萬.5-252=16+4-2x4=12.

39.如圖，設(shè)。,是平面內(nèi)相交成60角的兩條數(shù)軸，3、W分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向

量，若向量歷=.石+)Z，則把有序數(shù)對(xy)叫做向量歷在坐標系直為中的坐標.若在該坐標系中,

1(1,2),^=(-2,1),則21=.

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得?年的值，由題意得出1=鼻+2不，丐=-2冢+￡,利用平面向

量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得7b的值.

【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得=|而同COS60=l2xl=l,

由題意可得a=q+2/，石=一2，+不，

3

故答案為：_亍

40.已知四邊形ABCD是矩形，I禰1=4,|8。|=3,則瓦.加=()

A.25B.-7C.7D.-25

【答案】B

【詳解】利用平面向量數(shù)量積的運算律計算求值即可.

［分析］6?廊=_(而+品)?(通-砌=一(而+而)(訪一珂

=AD—AB=9-16=-7,

故選:B

41.如圖所示，正方形A8C。的邊長為2,E為8c的中點，尸為A8的中點，則爐.而=()

AFB

A.V2B.2

C.-V2D.-2

【答案】D

【分析】先將喬用福，亞表示，再根據(jù)數(shù)最積的運算律即可得解.

【詳解】由題意，F(xiàn)E=-EF=-[FB+BE）=~AB-^ADy

所以喬.麗而回.而=_；福而訪=0_2=_2.

故選：D.

考點08垂直關(guān)系的判斷及應(yīng)用

42.已知平面向量忖=1,忖=2,向量2與否的夾角為60。.

rr

⑴求7/；與。+38；

（2）求證：[a-b^La.

【答案】（1）7日=1；卜+3萬卜屈

（2）證明見解析

【分析】（1）代入向量數(shù)量積，以及模的計算公式，即可求解；

（2）要證明向量垂直，轉(zhuǎn)化為證明（1萬”=0.

【詳解】（1）由題意，</^=p|-|z；|