高數(shù)自考試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)y=ln(x-1)+√(4-x)的定義域是？A.(1,4)B.[1,4)C.(1,4]D.[1,4]2.lim(x→0)sinx/x的值是？A.0B.1C.eD.∞3.曲線y=e^x在點(0,1)處的切線斜率是？A.0B.1C.eD.-14.不定積分∫x2dx的結(jié)果是？A.x3+CB.(1/3)x3C.(1/3)x3+CD.3x3+C5.定積分∫?^πsinxdx的值是？A.0B.1C.2D.π6.微分方程y’=2x的通解是？A.y=x2B.y=x2+CC.y=2x+CD.y=2x2+C7.函數(shù)z=xy2的偏導(dǎo)數(shù)?z/?x是？A.y2B.2xyC.xD.2y8.向量a=(1,0,0)，b=(0,1,0)，叉乘a×b的結(jié)果是？A.(0,0,1)B.(0,0,-1)C.(1,1,0)D.(1,1,1)9.下列級數(shù)收斂的是？A.∑1/nB.∑1/n2C.∑(-1)^nD.∑2^n10.概率密度函數(shù)f(x)必須滿足的條件是？A.f(x)≥0B.f(x)≤1C.∫?∞^∞f(x)dx=1D.A和C單項選擇題答案：1.C2.B3.B4.C5.C6.B7.A8.A9.B10.D多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有？A.f(x)=x3+xB.f(x)=sinxC.f(x)=ln(x+√(1+x2))D.f(x)=e^x-e^{-x}2.當(dāng)x→0時，極限存在的有？A.lim(x→0)sinx/xB.lim(x→0)e^{1/x}C.lim(x→∞)(1+1/x)^xD.lim(x→0)ln(1+x)3.關(guān)于函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，正確的有？A.可導(dǎo)必連續(xù)B.連續(xù)必可導(dǎo)C.可導(dǎo)點一定是連續(xù)點D.連續(xù)點一定可導(dǎo)4.下列等式成立的有？A.∫f’(x)dx=f(x)+CB.∫d[f(x)]=f(x)+CC.d[∫f(x)dx]=f(x)D.∫f(x)dx=∫f(x)dx+C5.向量a=(1,2,3)，b=(2,4,6)，則？A.a與b平行B.a與b垂直C.b=2aD.a·b=2+8+18=286.函數(shù)z=ln(x+y)的偏導(dǎo)數(shù)有？A.?z/?x=1/(x+y)B.?z/?y=1/(x+y)C.?2z/?x2=-1/(x+y)^2D.?2z/?y2=-1/(x+y)^27.定積分∫??f(x)dx的幾何意義包括？A.表示曲邊梯形面積（f(x)≥0）B.表示代數(shù)和（f(x)有正有負(fù)）C.當(dāng)f(x)為負(fù)時，結(jié)果為負(fù)D.等于被積函數(shù)與x軸圍成的所有面積之和8.下列級數(shù)收斂的有？A.∑1/n2B.∑1/nC.∑(-1)^n/nD.∑(-1)^n/n29.下列微分方程通解正確的有？A.y’=2x的通解y=x2+CB.y’=2y的通解y=Ce^{2x}C.y''=y的通解y=C1e^x+C2e^{-x}D.y''+y=0的通解y=C1cosx+C2sinx10.過點(0,1)且滿足y’=2x的曲線方程是？A.y=x2+1B.y=2x2+1C.滿足dy/dx=2xD.代入(0,1)得C=1多項選擇題答案：1.ABCD2.ACD3.AC4.ABC5.ACD6.ABCD7.ABC8.ACD9.ABCD10.AC判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)在某點極限存在，則函數(shù)在該點連續(xù)。2.導(dǎo)數(shù)存在的點一定是連續(xù)點。3.函數(shù)的極值點一定是導(dǎo)數(shù)為0的點。4.不定積分∫f(x)dx的導(dǎo)數(shù)等于f(x)。5.定積分∫??f(x)dx的值與積分變量的符號無關(guān)。6.向量a和向量b的叉乘結(jié)果的模等于|a||b|sinθ。7.若級數(shù)∑u_n收斂，則∑u_n2也收斂。8.微分方程的通解包含了所有解。9.多元函數(shù)在某點偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點可微。10.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上一定可積。判斷題答案：1.錯2.對3.錯4.對5.對6.對7.錯8.錯9.錯10.對簡答題（總4題，每題5分）1.求極限lim(x→0)(1-cosx)/x2。2.求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的單調(diào)區(qū)間和極值。3.計算定積分∫?^(π/2)sinxcosxdx。4.求微分方程y’-2y=e^x的通解。簡答題答案：1.解：利用等價無窮小1-cosx~x2/2，極限=lim(x→0)(x2/2)/x2=1/2。2.解：f’(x)=3(x-3)(x+1)，駐點x=-1,3。增區(qū)間(-∞,-1),(3,+∞)，減區(qū)間(-1,3)。極大值f(-1)=10，極小值f(3)=-22。3.解：令u=sinx，du=cosxdx，積分=∫?1udu=[u2/2]?1=1/2。4.解：積分因子μ=e^{-2x}，方程變?yōu)閐/dx(e^{-2x}y)=-e^{-x}，積分得e^{-2x}y=e^{-x}+C，故y=e^x+Ce^{2x}。討論題（總4題，每題5分）1.討論函數(shù)f(x)=x/(1+x2)的單調(diào)性、極值、凹凸性及漸近線。2.證明：當(dāng)x>0時，ln(1+x)<x。3.求由曲線y=x2，y=√x及直線x=0,x=1圍成圖形的面積及繞x軸旋轉(zhuǎn)體體積。4.設(shè)z=ue^{ax+y}，u滿足Δu=0，求a使Δz=0。討論題答案：1.解：f’(x)=(1-x2)/(1+x2)^2，駐點x=±1。增(-∞,-1),(1,+∞)，減(-1,1)。極大值1/2，極小值-1/2。f''(x)=2x(x2-3)/(1+x2)^3，凹凸區(qū)間(-∞,-√3)凸，(-√3,0)凹，(0,√3)凸，(√3,+∞)凹。水平漸近線y=0，無鉛直漸近線。2.證明：構(gòu)造f(x)=x-ln(1+x)，f’(x)=x/(1+x)>0，f(x)在x>0增，f(0)=0，故x>0時f(x)>0，即ln(1+x)<x。3.解：面積A=∫?1(√x-x2)dx=2/3-1/3=1/3。體積V=π∫?1(x-x?)dx=π(1/2-1/5)=3π