數(shù)學第二節(jié)數(shù)學抽象能力能力闡釋數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象,得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構,并用數(shù)學語言予以表達.通過高中數(shù)學課程的學習,學生能夠從具體情境中抽象出數(shù)學概念、命題、方法和體系,積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗;培養(yǎng)在日常生活中和實踐中進行一般性思考問題的習慣,把握事物的本質,以簡馭繁;運用數(shù)學抽象的思維方式來思考和解決問題.能力表現(xiàn)數(shù)學抽象貫穿于數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應用的全過程,是數(shù)學的基本思想,也是形成理性思維的重要基礎,反映了數(shù)學的本質特征.數(shù)學抽象使得數(shù)學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統(tǒng).進行數(shù)學抽象的思維路徑如下:

第三步:形成數(shù)學方法與思想函數(shù)思想是通過建立函數(shù)關系式或構造新函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性解決大小比較的問題.第四步:認識數(shù)學結構與體系能力評價水平質量描述水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學概念和規(guī)則,能夠在特例的基礎上,歸納并形成簡單的數(shù)學命題,能夠模仿學過的數(shù)學方法解決簡單問題.能夠解釋數(shù)學概念和規(guī)則的含義,了解數(shù)學命題的條件與結論;能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學問題.能夠了解用數(shù)學語言表達的推理和論證;能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學的通性通法,體會其中的數(shù)學思想.在交流的過程中,能夠結合實際情境解釋相關的抽象概念水平質量描述水平二能夠在關聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學概念和規(guī)則,能夠將已知數(shù)學命題推廣到更一般的情形,能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學方法解決問題.能夠用恰當?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學概念和規(guī)則;理解數(shù)學命題的條件與結論;能夠理解和構建相關數(shù)學知識之間的聯(lián)系.能夠理解用數(shù)學語言表達的概念、規(guī)則、推理和論證;能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學方法,理解其中的數(shù)學思想.在交流的過程中,能夠用一般的概念解釋具體現(xiàn)象水平質量描述水平三能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學問題,并用恰當?shù)臄?shù)學語言予以表達;能夠在得到的數(shù)學結論基礎上形成新命題;能夠針對具體問題運用或創(chuàng)造數(shù)學方法解決問題.能夠通過數(shù)學對象、運算或關系理解數(shù)學的抽象結構,能夠理解數(shù)學結論的一般性,能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學知識體系.在現(xiàn)實問題中,能夠把握研究對象的數(shù)學特征,并用準確的數(shù)學語言予以表達;能夠感悟通性通法的數(shù)學原理和其中蘊含的數(shù)學思想.在交流的過程中,能夠用數(shù)學原理解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象高考鏈接數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).作為六大數(shù)學核心素養(yǎng)之首,數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想,是形成理性思維的基礎.在眾多數(shù)學關鍵能力中,數(shù)學抽象作為數(shù)學學習的基礎,是形成數(shù)學概念、構建數(shù)學模型、提升數(shù)學思想、完成命題推演的必備能力.在高考中它常在函數(shù)與導數(shù)、平面解析幾何、數(shù)列、概率統(tǒng)計等多個知識模塊中進行考查.近三年高考中,考查數(shù)學抽象的試題分布情況如下:關鍵能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷全國乙卷數(shù)學抽象數(shù)量與數(shù)量關系的數(shù)學抽象3,5,6,8106,115,6理12,理1811,194,6,11,18理12,理17,理21理10,理16,理21關鍵能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷全國乙卷數(shù)學抽象圖形與圖形關系的數(shù)學抽象7,106,115,7,127,10文3,理3,理7,文10,理146,14,155,14,16理10,理11,理15理5,理8,理9,理11生活實踐情境的數(shù)學抽象614

4,18理171012

2.1數(shù)量與數(shù)量關系的數(shù)學抽象

例1

(2025天津卷,11)在(x-1)6的展開式中,x3的系數(shù)為

.

[思維路徑]

學友聊齋

[思維路徑]

學友聊齋

[思維路徑]

學友聊齋能

力訓

練A組

基礎性題組題號選題理由1通過數(shù)據(jù),利用平均數(shù)和中位數(shù)定義,進行相關計算2利用周期性和奇偶性把待求自變量轉化為[2,3]的范圍中求解3以分段函數(shù)為載體,由解析式抽象出圖形,由圖形得性質,利用性質解不等式4以復合函數(shù)為載體,抽象出同增異減法則,得出結果5利用賦值法可求a0,利用換元法結合賦值法可求a1+a2+a3+a4的值

B組

綜合性題組題號選題理由1根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結論抽象出算法,解決問題2抽象函數(shù)為載體,根據(jù)它運算,抽象出性質,利用性質比較大小3以抽象函數(shù)為載體,通過賦值法,抽象出性質,利用性質做出判斷4結合指數(shù)、對數(shù)的運算,抽象出指對函數(shù),利用它們的圖象解題

C組

應用性題組題號選題理由1在實際生活中考查百分位數(shù)的定義2根據(jù)實際問題抽象出數(shù)學模型,結合對數(shù)的運算性質即可求解3在實際問題中抽象出向量,考查向量的圖形運算和坐標運算4實際問題中的分組分配問題,應用排列組合知識解題5以天文學中天體明暗程度為背景,考查對數(shù)的運算

3.☆☆(2025新高考Ⅰ卷,6)帆船比賽中,運動員可借助風力計測定風速的大小與方向,測出的結果在航海學中稱為視風風速.視風風速對應的向量是真風風速對應的向量與船行風風速對應的向量之和,其中船行風風速對應的向量與船速對應的向量大小相等、方向相反.圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應關系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應的向量與船速對應的向量如圖2所示(線段長度代表速度大小,單位:m/s),級數(shù)名稱風速大小(單位:m/s)2輕風1.6~3.33微風3.4~5.44和風5.5~7.95勁風8.0~10.7圖1圖2

D組

創(chuàng)新性題組題號選題理由1由表格數(shù)據(jù)抽象出數(shù)學模型,進而做出判斷2根據(jù)條件抽象出點P的軌跡方程,利用圖形求最值3抽象出曲線C,再應用三角換元,結合點到直線距離公式及三角函數(shù)值域得出最大距離4根據(jù)題意作圖時,根據(jù)點與圓的位置關系進行討論,結合各曲線定義,得出軌跡方程5第(2)問由題目條件得2m+3m-10=0,抽象出對應函數(shù),結合函數(shù)的單調(diào)性可得結果

l0123WW00.5W00.25W00.125W0[解題過程]

由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足:第一,定義域為[0,3];第二,在定義域單調(diào)遞減且單位減少率變慢;第三,函數(shù)圖象過(0,W0).函數(shù)W=W0·log0.5(l+1)和W=0.5W0l圖象不過(0,W0),不符合條件,故B,C錯誤;函數(shù)W=W0+0.5l單調(diào)遞增,故A錯誤;D選項,W=W0·(0.5)l滿足上述條件,故D正確.故選D.

4.☆☆☆☆(2025吉林長春三模,多選題)在平面內(nèi),存在定圓M和定點A,點P是圓M上的動點,若線段PA的中垂線交直線PM于點Q,關于點Q軌跡敘述正確的是(

ABD

)A.當點A與圓心M重合時,點Q的軌跡為圓B.當點A在圓M內(nèi)且不與圓心M重合時,點Q的軌跡為橢圓C.當點A在圓M上時,點Q的軌跡為拋物線D.當點A在圓M外時,點Q的軌跡為雙曲線

當點A在圓M上時,如圖所示,根據(jù)圓的性質可知線段PA的中垂線與直線PM的交點Q即為圓心M,軌跡為一個點,故選項C錯誤;當點