數(shù)學(xué)2.2運(yùn)算路徑選擇能力運(yùn)算路徑選擇能力與運(yùn)算求解能力相輔相成,路徑選擇是合理運(yùn)算的前提,要想把題解得出、做得對(duì),路徑與運(yùn)算就要有高度的和諧與統(tǒng)一.若題目中只是某些數(shù)字改變,但它的分析思路不變,這時(shí)就要根據(jù)題目所給的條件通過(guò)分析與比較多種運(yùn)算路徑,做出合理的選擇.

[思維路徑](1)

(2)

學(xué)友聊齋

[思維路徑](1)(2)

學(xué)友聊齋例3

(2024新高考Ⅱ卷,16)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a3.(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.[思維路徑](1)(2)[解題過(guò)程](1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,e-2),切線斜率k=e-1,所以切線方程為y-(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0.(2)[方法1]因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=ex-a,若a≤0,則f'(x)>0對(duì)任意x∈R恒成立,可知f(x)在R上單調(diào)遞增,無(wú)極值,不符合題意;若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln

a;令f'(x)<0,解得x<ln

a,可知f(x)在區(qū)間(-∞,ln

a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增,

[方法2]因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=ex-a,若f(x)有極小值,則f'(x)=ex-a有零點(diǎn).令f'(x)=ex-a=0,可得ex=a,可知y=ex與y=a有交點(diǎn),則a>0.若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln

a;令f'(x)<0,解得x<ln

a,可知f(x)在區(qū)間(-∞,ln

a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)有極小值f(ln

a)=a-aln

a-a3,無(wú)極大值,符合題意.由題意可得,f(ln

a)=a-aln

a-a3<0,即a2+ln

a-1>0,構(gòu)建函數(shù)g(a)=a2+ln

a-1,a>0,因?yàn)閥=a2,y=ln

a-1在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,可知g(a)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g(1)=0,不等式a2+ln

a-1>0等價(jià)于g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范圍為(1,+∞).能

力訓(xùn)

練A組

基礎(chǔ)性題組題號(hào)選題理由1通過(guò)觀察條件式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),準(zhǔn)確選擇等差數(shù)列公式進(jìn)行求解2設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),正確求導(dǎo),列出方程組,考查運(yùn)算求解能力3考查直線和圓的位置關(guān)系,解題關(guān)鍵為求出點(diǎn)P的軌跡4合理選擇正弦定理、余弦定理解三角形

B組

綜合性題組題號(hào)選題理由1密切觀察函數(shù)解析式的特點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的奇偶性研究交點(diǎn)問(wèn)題2對(duì)等式恰當(dāng)?shù)刭x值,得出結(jié)論3合理選擇正弦定理、余弦定理解三角形4以三角復(fù)合函數(shù)為背景,研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題5以橢圓為背景,考查橢圓的幾何意義及直線與橢圓的位置關(guān)系,對(duì)運(yùn)算路徑和運(yùn)算方法的選擇要求較高

C組

應(yīng)用性題組題號(hào)選題理由1準(zhǔn)確把握條件式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),準(zhǔn)確求解向量的夾角2密切觀察條件式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角恒等變換公式求解問(wèn)題3考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)4考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而解不等式,由極值的情況求參數(shù)的取值范圍5以橢圓為背景,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,對(duì)運(yùn)算路徑和運(yùn)算方法的選擇要求較高

D組

創(chuàng)新性題組題號(hào)選題理由1通過(guò)合理手段,準(zhǔn)確計(jì)算不規(guī)則幾何體的體積2以“數(shù)字通信”為背景,問(wèn)題本質(zhì)為全概率公式3綜合考查雙曲線與拋物線的定義及幾何性質(zhì)4以含有三角的函數(shù)為背景,研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的恒成立問(wèn)題5綜合考查直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題及直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,對(duì)運(yùn)算路徑及運(yùn)算方法的選擇要求較高

5.☆☆☆(2025安徽六安毛坦廠中學(xué)考前適應(yīng)性考試)已知拋物線W:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線l1:x-y+1=0與W相切.(1)求W的方程.(2)過(guò)點(diǎn)F且與l1平行的直線l2與W相交于M,N兩點(diǎn),求|MN|.