山西省太原市2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．5．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，6．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．7．若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果滿足條件，，都有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的凸函數(shù).下列函數(shù)不是凸函數(shù)的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．不等式的解集為10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)且時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．不等式的解集是三、填空題12．函數(shù)且的圖象必過(guò)定點(diǎn)．13．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍.14．將基本不等式推廣可得正確結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.利用此結(jié)論解決問(wèn)題：已知，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．已知全集，，，.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．計(jì)算下列各式(1)；(2)；(3)已知，求的值.17．某蛋糕店銷(xiāo)售一種蛋糕.蛋糕店每日的固定成本為900元，每個(gè)蛋糕的制作成本是20元.該種蛋糕的日銷(xiāo)售量（單位：個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元）滿足.假設(shè)每日生產(chǎn)的蛋糕全部售完.(1)將每日利潤(rùn)表示為銷(xiāo)售單價(jià)的函數(shù)；(2)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，蛋糕店每日利潤(rùn)最大？其最大利潤(rùn)是多少元？(3)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，蛋糕店每個(gè)蛋糕的平均利潤(rùn)最大？并求出其最大值.18．已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)根據(jù)定義證明：是增函數(shù)；(3)解不等式：.19．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①對(duì)于任意的，都有；②對(duì)于任意的，，都有；③當(dāng)時(shí)，都有；④.(1)求的值；(2)證明：是減函數(shù)；(3)解不等式：.

參考答案1．A【詳解】由.故選：A2．D【詳解】當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，B錯(cuò)，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)，由，D對(duì).故選：D3．B【詳解】或，集合是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B4．C【詳解】由解析式知，可得且，故定義域?yàn)?故選：C5．B【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，則原命題的否定為，.故選：B6．C【詳解】由偶函數(shù)的對(duì)稱性，且在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又，則等價(jià)于或，所以或，故解集為.故選：C7．D【詳解】當(dāng)，則，在上顯然不成立，當(dāng)，則或，得或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D8．A【詳解】對(duì)于且，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，A不是；對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B是，對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C是；對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D是.故選：A9．BD【詳解】令，則，得，故，則，A錯(cuò)；所以函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，B對(duì)；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)；由或，故的解集為，D對(duì).故選：BD10．BC【詳解】當(dāng)，，A錯(cuò)，當(dāng)且，，B對(duì)，當(dāng)，，C對(duì)，當(dāng)，，D錯(cuò).故選：BC11．AC【詳解】由為的奇函數(shù)，則，A對(duì)，令，則，所以，B錯(cuò)，由，則，且，C對(duì)，當(dāng)，則，則，當(dāng)，則，則，，依次類(lèi)推，當(dāng)，，有，當(dāng)，，有，所以且，顯然，當(dāng)，，若，而，顯然在上恒成立，當(dāng)，，若，當(dāng)時(shí)，，則，顯然不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)不等式解集為，當(dāng)且，時(shí)，無(wú)解，綜上，的解集為，D錯(cuò).故選：AC12．【詳解】函數(shù)且，令，解得，所以，所以函數(shù)且的圖象必過(guò)定點(diǎn).故答案為：13．【詳解】對(duì)于的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于在R上單調(diào)遞減，而在R上為減函數(shù)，綜上，，可得.故答案為：14．【詳解】若，則恒成立，令，則可化為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得（負(fù)根舍去），代入中，可得，符合題意，故兩次取等條件均滿足，即，可得，解得.故答案為：15．(1)或；(2).【詳解】（1）或，，或或；（2）由（1）得，，分、兩種情況如下，或，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．(1)；(2)；(3).【詳解】（1）；（2）；（3），，則，.17．(1)，(2)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為60元時(shí)，每日的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是700元(3)，最大值20【詳解】（1）由題意得，.（2）由（1）得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值700，所以，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為60元時(shí)，每日的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是700元.（3）由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)元時(shí)，取得最大值20元.18．(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【詳解】（1）由題意的定義域是，是上的奇函數(shù)，，即，，則，，是上的奇函數(shù)，綜上，；（2），，且，則，，，，，，，，在上是增函數(shù)；（3）令，整理得，則，令，整理得，則，在上是增函數(shù)，原不等式的解集為.19．(1)2(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)于任意的，，都有，且，令，