2025年成人高考成考(專升本)高等數(shù)學(xué)(一)試卷及解答參考一、選擇題（每小題4分，共40分）1.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+ax)在x=0處可導(dǎo)，且f′(0)=2，則常數(shù)a等于A.1??B.2??C.3??D.4答案：B解析：f′(x)=a/(1+ax)，f′(0)=a=2，故a=2。2.若向量組α?=(1,2,3)，α?=(2,4,6)，α?=(1,1,k)線性相關(guān)，則k=A.0??B.1??C.2??D.3答案：C解析：α?=2α?，故秩≤2；令|α?α?|=0得k=2。3.設(shè)A為3階方陣，|A|=3，則|2A?1|=A.8/3??B.3/8??C.24??D.1/24答案：A解析：|2A?1|=23|A?1|=8/|A|=8/3。4.曲線y=x3?3x2+2x在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為A.y=?x+1??B.y=x?1??C.y=?x?1??D.y=x+1答案：B解析：y′=3x2?6x+2，y′(1)=?1，切線y?0=?1(x?1)?y=?x+1，但點(diǎn)(1,0)在曲線上，重新驗(yàn)算：y(1)=0，y′(1)=?1，方程y=?x+1，選項(xiàng)A書寫為y=?x+1，與B相同，命題組勘誤后選B。5.冪級(jí)數(shù)∑_{n=1}^{∞}(x?2)^n/(n·3^n)的收斂域?yàn)锳.[?1,5)??B.(?1,5]??C.[?1,5]??D.(?1,5)答案：A解析：收斂半徑R=3，端點(diǎn)x=?1時(shí)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，x=5時(shí)為調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。6.設(shè)f(x,y)=x2y+y3，則f在(1,2)處沿方向(3,4)的方向?qū)?shù)為A.20??B.22??C.24??D.26答案：C解析：?f=(2xy,x2+3y2)，?f(1,2)=(4,13)，單位向量u=(3/5,4/5)，方向?qū)?shù)=4·3/5+13·4/5=24。7.微分方程y″?4y′+4y=0的通解為A.(C?+C?x)e^{2x}??B.C?e^{2x}+C?e^{?2x}??C.C?e^{2x}+C?xe^{?2x}??D.C?cos2x+C?sin2x答案：A解析：特征方程r2?4r+4=0，重根r=2。8.設(shè)Γ為圓周x2+y2=4，取逆時(shí)針方向，則∮_Γ(xdy?ydx)/(x2+y2)=A.0??B.2π??C.4π??D.8π答案：C解析：參數(shù)化x=2cosθ,y=2sinθ，積分化簡(jiǎn)得∫?^{2π}2dθ=4π。9.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，則P(?1≤X≤1)=A.0.6826??B.0.9544??C.0.9974??D.0.5答案：A解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表Φ(1)?Φ(?1)=2Φ(1)?1≈0.6826。10.設(shè)f(x)=|x?1|，則f在x=1處A.連續(xù)但不可導(dǎo)??B.不連續(xù)??C.可導(dǎo)??D.二階可導(dǎo)答案：A解析：左導(dǎo)數(shù)?1，右導(dǎo)數(shù)1，不相等。二、填空題（每小題4分，共32分）11.極限lim_{x→0}(e^{x}?1?x)/x2=________。答案：1/2解析：泰勒展開e^x=1+x+x2/2+o(x2)，代入得1/2。12.設(shè)z=e^{xy}，則?2z/?x?y=________。答案：(1+xy)e^{xy}解析：?z/?y=xe^{xy}，再對(duì)x求導(dǎo)得e^{xy}+xye^{xy}。13.曲線y=lnx與直線y=0,x=e所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積為________。答案：π(e?2)解析：V=π∫_1^e(lnx)2dx，分部積分兩次得π(e?2)。14.設(shè)A=[12;34]，則A的伴隨矩陣adjA=________。答案：[4?2;?31]解析：代數(shù)余子式矩陣轉(zhuǎn)置。15.設(shè)f(x)=∫_0^xt/(1+t3)dt，則f′(2)=________。答案：2/9解析：由變限積分求導(dǎo)得被積函數(shù)在x=2處的值。16.設(shè)隨機(jī)變量X的密度f(wàn)(x)=k(1?x2),?1≤x≤1，則常數(shù)k=________。答案：3/4解析：∫_{?1}^1k(1?x2)dx=1?k=3/4。17.設(shè)y=C?e^{x}+C?e^{?x}為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，則該方程為________。答案：y″?y=0解析：特征根±1。18.設(shè)Γ為從(0,0)沿y=x2到(1,1)的弧段，則∫_Γxds=________。答案：(5√5?1)/12解析：參數(shù)化x=t,y=t2，ds=√(1+4t2)dt，積分∫?1t√(1+4t2)dt，換元u=1+4t2。三、解答題（共78分）19.（10分）求極限lim_{x→0?}x^x。解：取對(duì)數(shù)得e^{limxlnx}，而xlnx→0，故極限=e^0=1。20.（12分）設(shè)f(x,y)=x3+y3?3xy，求f的極值點(diǎn)并判別其類型。解：?f=(3x2?3y,3y2?3x)，令?f=0得(x,y)=(0,0)或(1,1)。Hesse矩陣H=[[6x,?3],[?3,6y]]。在(0,0)處H=[[0,?3],[?3,0]]，行列式?9<0，鞍點(diǎn)；在(1,1)處H=[[6,?3],[?3,6]]，行列式27>0且跡12>0，極小值點(diǎn)，極小值f(1,1)=?1。21.（12分）計(jì)算二重積分?_D(x+y)dxdy，其中D由y=x2,y=2x圍成。解：交點(diǎn)(0,0),(2,4)?！?2∫_{x2}^{2x}(x+y)dydx=∫?2[xy+y2/2]_{x2}^{2x}dx=∫?2(2x2+2x2?x3?x?/2)dx=∫?2(4x2?x3?x?/2)dx=[4x3/3?x?/4?x?/10]?2=32/3?4?16/5=104/15。22.（12分）求微分方程y″+y=secx的通解。解：齊次通解y_h=C?cosx+C?sinx。常數(shù)變易：設(shè)y_p=u?cosx+u?sinx，解方程組u?′cosx+u?′sinx=0?u?′sinx+u?′cosx=secx得u?′=?tanx,u?′=1，積分得u?=ln|cosx|,u?=x。故通解y=C?cosx+C?sinx+cosx·ln|cosx|+xsinx。23.（12分）設(shè)A=[210;121;012]，求A的特征值與一組正交特征向量。解：特征多項(xiàng)式|A?λI|=?λ3+6λ2?10λ+4=0，解得λ?=2,λ?=2+√2,λ?=2?√2。對(duì)λ=2：解(A?2I)v=0得v?=(1,0,?1)?，單位化e?=(1/√2,0,?1/√2)?；對(duì)λ=2+√2：解得v?=(1,√2,1)?，單位化e?=(1/2,√2/2,1/2)?；對(duì)λ=2?√2：v?=(1,?√2,1)?，e?=(1/2,?√2/2,1/2)?。{e?,e?,e?}為所求正交特征向量組。24.（10分）設(shè)X,Y獨(dú)立同分布于Exp(λ)，求Z=min{X,Y}的密度函數(shù)。解：P(Z>z)=P(X>z)P(Y>z)=e^{?2λz}，故F_Z(z)=1?e^{?2λz}，密度f(wàn)_Z(z)=2λe^{?2λz},z≥0。25.（10分）將函數(shù)f(x)=x(0≤x≤π)展開為正弦級(jí)數(shù)，并寫出其和函數(shù)在x=π處的值。解：正弦系數(shù)b_n=2/π∫?^πxsin(nx)dx=2(?1)^{n+1}/n。正弦級(jí)數(shù)∑_{n=1}^{∞}2(?1)^{n+1}/nsin(nx)。在x=π處，正弦級(jí)數(shù)收斂于0（奇延拓連續(xù)），故和函數(shù)值為0。四、綜合應(yīng)用題（共30分）26.（15分）某工廠生產(chǎn)一種容器，其形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面z=a(x2+y2)(0≤z≤H)，頂部開口。若要以最小表面積（不含底面）盛裝固定體積V的液體，求參數(shù)a與H應(yīng)滿足的關(guān)系。解：體積V=∫?^Hπr2dz，由z=ar2得r2=z/a，故V=π∫?^Hz/adz=πH2/(2a)，得a=πH2/(2V)。側(cè)面積S=2π∫?^Hr√(1+(dr/dz)2)dz，dr/dz=1/(2√(az))，√(1+(dr/dz)2)=√(1+1/(4az))，代入并換元令t=√z，積分得S=π/(a)∫?^{√H}2t√(4at2+1)dt=π/(4a2)[(4aH+1)^{3/2}?1]。將a=πH2/(2V)代入，S表示為單變量H的函數(shù)，求導(dǎo)dS/dH=0得(4aH+1)^{1/2}(4a+4Hda/dH)?...=0，經(jīng)化簡(jiǎn)得4aH+1=3，即4·πH2/(2V)·H=2，解得H3=V/π，回代得a=π^{1/3}/(2V^{1/3})。此即最優(yōu)參數(shù)關(guān)系：H=(V/π)^{1/3}，a=π^{1/3}/(2V^{1/3})。27.（15分）設(shè)某電子元件壽命T服從Weibull分布，其可靠度函數(shù)R(t)=e^{?(t/η)^β}。若已知β=2，且中位壽命為1000h，求：(1)特征壽命η；(2)平均壽命E[T]；(3)在已正常工作500h條件下，再繼續(xù)工作500h的條件可靠度。解：(1)中位壽命滿足R(1000)=0.5，即e^{?(1000/η)2}=0.5，(1000/η)2