試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025學(xué)年第一學(xué)期高三第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關(guān)信息.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每題6分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.】1．已知集合，集合，則．2．若，則.3．不等式的解集為.4．函數(shù)的最小正周期為，則a的值為．5．拋物線的準線方程為．6．已知等差數(shù)列首項為，公差，則其前6項和．7．在的二項展開式中，常數(shù)項等于.8．已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，則此圓錐的體積是．9．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則．10．有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有種．11．在平面直角坐標系中，．設(shè)，則的最小值是．12．設(shè)．?dāng)?shù)列滿足下列條件：，且對任意的，都存在使得，其中互不相等，則數(shù)列的前20項和的最大值是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13~14題每題4分，15~16題每題5分）【每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分.否則一律得零分.】13．已知事件A、B相互獨立，事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．014．已知，且（是虛數(shù)單位）是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，那么的值分別是A． B． C． D．15．已知A,B為平面內(nèi)兩定點,過該平面內(nèi)動點M作直線AB的垂線,垂足為.若,其中為常數(shù),則動點M的軌跡不可能是

（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線16．已知點．點在曲線上．記，則存在函數(shù)，對曲線上的任意一點都有（

）A． B．C． D．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.】17．在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若的面積為邊上的高為1，求的周長．18．如圖.在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中點，點E在菱BB1上運動．（1）證明：AD⊥C1E；（2）當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時，求三棱錐C1-A1B1E的體積19．為培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感，某校開展了為期一學(xué)期的“溫暖社區(qū)，青春奉獻”志愿服務(wù)活動．活動結(jié)束后，學(xué)校從甲、乙兩個班級中統(tǒng)計了部分學(xué)生的志愿服務(wù)時長（單位：小時），統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如圖所示（十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”）．已知甲組有9名學(xué)生的數(shù)據(jù)，乙組有10名學(xué)生的數(shù)據(jù)．(1)分別寫出甲、乙兩組學(xué)生服務(wù)時長的第70百分位數(shù)；(2)從甲、乙兩組學(xué)生中各隨機抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時長超過30小時的概率；(3)記甲組志愿服務(wù)時長的方差為；在甲組中增加一名學(xué)生得到“新甲組”，若的志愿服務(wù)時長為27，則記“新甲組”志愿服務(wù)時長的方差為；若的志愿服務(wù)時長為20，則記“新甲組”志愿服務(wù)時長的方差為；通過計算比較的大?。ńY(jié)果精確到0.1），并從數(shù)學(xué)角度解釋這一現(xiàn)象．20．已知橢圓，分別是的左右焦點，點均在上，且點是第一象限點，直線經(jīng)過點，直線均經(jīng)過點．(1)求橢圓的離心率；(2)若，直線的方程；(3)求證：為定值．21．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是．對于任意，記曲線在點處的切線方程為．定義集合．(1)若，求集合；(2)若定義域且函數(shù)是偶函數(shù)，證明：若則；(3)設(shè)，若集合，求實數(shù)的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據(jù)集合的交集定義求解即可.【詳解】由于集合，集合，則.故答案為：2．7【分析】先將化成以為底的對數(shù)即，再根據(jù)對數(shù)值相等得，解之得解.【詳解】因為，所以，解得，故填:.【點睛】本題考查對數(shù)的運算法則，在解決對數(shù)的方程或不等式的問題時，把所求解的式子轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的對數(shù)方程或不等式是一個比較重要的求解方法，屬于基礎(chǔ)題.3．【解析】根據(jù)分式不等式的解法得，再解二次不等式即可得答案.【詳解】解：由分式不等式的解法得原不等式等價于，解不等式得.故不等式的解集為.故答案為：4．2【分析】由題可得，解出即可.【詳解】的最小正周期為，，解得.故答案為：2.5．【分析】根據(jù)拋物線方程求出準線方程．【詳解】由拋物線，可得，拋物線的準線方程為，故答案為：．6．36【分析】根據(jù)條件及通項公式，可求得，代入求和公式，即可得答案.【詳解】由題意，所以.故答案為：367．240【解析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項．【詳解】解：在的二項展開式中，通項公式為，令，求得，可得展開式的常數(shù)項為，故答案為：240．【點睛】方法點睛：求二項展開式的某一項，一般利用二項展開式的通項研究求解.8．【分析】由圓錐的側(cè)面積公式可求出母線長，再求出圓錐的高，由圓錐的體積公式即可得出答案.【詳解】設(shè)圓錐的高為，母線長為，半徑，因為圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，所以，所以，所以，所以圓錐的體積是.故答案為：.

9．【分析】由函數(shù)解析式求，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，，而是奇函數(shù)，所以.故答案為：10．192【詳解】試題分析：不妨令乙丙在甲左側(cè)，先排乙丙兩人，有種站法，再取一人站左側(cè)有種站法，余下三人站右側(cè)，有種站法考慮到乙丙在右側(cè)的站法，故總的站法總數(shù)是.故答案為.考點：排列、組合的實際應(yīng)用.【方法點晴】本題考查排列、組合的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題中所研究的事件，并正確確定安排的先后順序，此類排列問題一般是誰最特殊先安排誰，俗稱特殊元素優(yōu)先法．由于甲必須站中央，故先安排甲，兩邊一邊三人，不妨令乙丙在甲左邊，求出此種情況下的站法，再乘以即可得到所有的站法總數(shù)，計數(shù)時要先安排乙丙兩人，再安排甲左邊的第三人，最后余下三人，在甲右側(cè)是一個全排列.11．【分析】根據(jù)條件，可得為等邊三角形，設(shè)AB的中點為D，可求出，分析可得以D點軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，根據(jù)線性運算法則，可得，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，分析求解，即可得答案.【詳解】因為，所以為等邊三角形，設(shè)AB的中點為D，連接OD，則，所以D點軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，則方程為，所以，因為，所以，所以的最小值為.故答案為：12．【分析】根據(jù)題意，數(shù)列為非遞減數(shù)列，設(shè)數(shù)列中分別有個，分析可得，，，，，即可求其前20項和的最大值.【詳解】數(shù)列滿足下列條件：，則數(shù)列為非遞減數(shù)列，設(shè)數(shù)列中分別有個，對任意的，都存在使得，其中互不相等，對于數(shù)列中，由于，所以，對于數(shù)列中，同理可得，對于數(shù)列中，由于，所以，對于數(shù)列中，由于，所以，對于數(shù)列中，由于，所以，若數(shù)列的前20項和要最大，則，所以數(shù)列的前20項和為.故答案為：13．B【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式可求.【詳解】因為相互獨立，故，故選：B.14．C【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，根據(jù)復(fù)數(shù)相等運算即可得出所求結(jié)果.【詳解】因為（是虛數(shù)單位）是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，所以，所以，解得.故選：C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)數(shù)相等的條件和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.15．C【詳解】試題分析：以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立坐標系，設(shè)M（x，y），A（-a，0）、B（a，0）；因為，所以y2=λ（x+a）（a-x），即λx2+y2=λa2，當(dāng)λ=1時，軌跡是圓．當(dāng)λ＞0且λ≠1時，是橢圓的軌跡方程；當(dāng)λ＜0時，是雙曲線的軌跡方程;當(dāng)λ=0時，是直線的軌跡方程；綜上，方程不表示拋物線的方程．故選C．考點：軌跡方程的求法,圓錐曲線方程。點評：中檔題，判斷軌跡是什么，一般有兩種方法，一是定義法，二是求軌跡方程后加以判斷。16．D【分析】將曲線化為橢圓方程，利用余弦定理結(jié)合橢圓上點的坐標關(guān)系，推導(dǎo)與的關(guān)系.【詳解】曲線方程整理為，是橢圓的上半部分，點、為橢圓的左右頂點.在中，由余弦定理，故，，，因此；在橢圓上，則，則，，得，，，因此，所以為鈍角，且.故選：D17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換得，則得到的大??；（2）利用三角形面積公式得，再結(jié)合余弦定理得的值，則得到其周長.【詳解】（1）因為，由正弦定理，得，即，即.因為在中，，所以.又因為，所以.（2）因為的面積為，所以，得.由，即，所以.由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為.18．（1）見解析（2）【詳解】(1)證明:因為AB=AC,D是BC的中點,所以AD⊥BC.

①又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,而AD?平面ABC,所以AD⊥BB1.②由①②,得AD⊥平面BB1C1C.由點E在棱BB1上運動,得C1E?平面BB1C1C,所以AD⊥C1E.(2)解:因為AC∥A1C1,所以∠A1C1E是異面直線AC,C1E所成的角.由題意知∠A1C1E=60°.因為∠B1A1C1=∠BAC=90°,所以A1C1⊥A1B1.又AA1⊥A1C1,從而A1C1⊥平面A1ABB1.于是A1C1⊥A1E.故C1E==2.又B1C1==2,所以B1E==2.從而=·A1C1=××2××=.19．(1)；；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可；（2）根據(jù)古典概型和分步乘法計數(shù)原理計算即可；（3）利用方差公式計算各方差，結(jié)合方差的統(tǒng)計意義解釋即可.【詳解】（1）因為，所以甲組學(xué)生服務(wù)時長的第70百分位數(shù)為；因為，所以乙組學(xué)生服務(wù)時長的第70百分位數(shù)為；（2）因為甲組有9名學(xué)生，乙組有10名學(xué)生，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從甲、乙兩組學(xué)生中各隨機抽取1人，有種選取方法，又甲、乙兩組學(xué)生中各有3人的服務(wù)時長超過30小時，所以抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時長超過30小時有種選取方法，記事件“抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時長超過30小時”，則，故從甲、乙兩組學(xué)生中各隨機抽取1人，抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時長超過30小時的概率為；（3）對甲組：甲組9名學(xué)生服務(wù)時長的平均數(shù)為，甲組志愿服務(wù)時長的方差為，對新甲組1：，所以.對新甲組2：，所以.所以.數(shù)學(xué)解釋：由于甲組均值為27，方差反映了數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)增加數(shù)據(jù)27（原樣本均值），數(shù)據(jù)相對更集中，所以方差變小；當(dāng)增加數(shù)據(jù)20，數(shù)據(jù)更加分散，方差變大.20．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合橢圓離心率的定義，即可求解；（2）設(shè)，得到，由，代入求得，結(jié)合，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解；（3）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組求得，再設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，求得，，同理求得，，結(jié)合，化簡得到，即可得證.【詳解】（1）解：由橢圓，可得，則，所以，所以橢圓的離心率為.（2）解：由（1）知，橢圓的左焦點，設(shè)，其中，則，則向量，可得，將代入得，解得，則，即，可得，又由過點，所以的方程為，即.（3）證明：設(shè)直線的斜率為，則方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，可得，由直線過，設(shè)其直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，可得，因為在直線上，可得，化簡得，則，同理可得：設(shè)，可得，則，又因為，又由，即，所以.

21．(1)或(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得在處的切線方程，得到，由，得出，即可求解；（2）求得點和處的切線方程，得到和，結(jié)合題意，化簡得到，由，得到，轉(zhuǎn)化為證明，即可得證；（3）求得，得到的解集為，令，求得，分和，兩種情況討論，求得其單調(diào)性和極值，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，則