高中2025北京順義高一（下）期末數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.在平面直角坐標(biāo)系中，，，則向量（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在中，，，，則（）A.4 B.3 C. D.24.已知為第二象限角，且，則（）A. B. C. D.5.在直角中，斜邊，直角邊.若以該直角三角形的一條直角邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體.則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.6.設(shè)m，n為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則7.一艘海輪從港口A出發(fā)，沿著正東方向航行50nmile后到達(dá)海島B，然后從海島B出發(fā)，沿著北偏東30°方向航行70nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，那么這艘海輪需要航行的距離大約是（）A.62.4nmile B.85.0nmile C.104.4nmile D.116.0nmile8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增9.設(shè)，為兩個(gè)非零向量，則“”是“存在實(shí)數(shù)，使得”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)E使得平面平面；②的面積為定值；③的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.① B.②③ C.①③ D.①②③第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡上.）11.已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)_________.12.已知，則_________.13.在中，點(diǎn)P，Q滿足，.若，則_________.14.已知函數(shù)（，）部分圖象如圖所示.其中A，B是直線與曲線相鄰的兩個(gè)交點(diǎn).若，則_________，_________.15.如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，矩形ABCD的面積S的最大值為_(kāi)________.三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.已知向量，，，且向量與共線.（1）證明：；（2）求向量與的夾角；（3）若，求實(shí)數(shù)m的值.17.在中，，A為銳角，.（1）求A.（2）再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積.條件①：；條件②：AB邊上的高為；條件③：注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分18.如圖在四棱柱中，四邊形ABCD為梯形，，，E為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面，，且，（?。┣笞C：；（ⅱ）寫(xiě)出二面角的正切值.（結(jié)論不要求證明）19.已知函數(shù)（），且函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.（1）求的值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若在區(qū)間上的值域是，求m的取值范圍.20.如圖，在幾何體中，側(cè)面是正方形，，，，，且與平面所成角為.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積；（3）若平面與棱交于點(diǎn)，求四邊形的面積.21.對(duì)于一個(gè)所有元素均為整數(shù)的非空集合A，和一個(gè)給定的正整數(shù)k，定義集合.（1）若，直接寫(xiě)出集合和；（2）若，其中，，直接寫(xiě)出使得集合中元素個(gè)數(shù)最少的一個(gè)k（用n表示）；（3）若，p和k都是正整數(shù)，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并說(shuō)明理由.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.【答案】A【分析】根據(jù)“一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)”即可求得.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.2.【答案】D【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)，最后確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第四象限，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)后判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.3.【答案】D【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)得出，再應(yīng)用正弦定理計(jì)算求解.【詳解】在中，，所以，又因?yàn)?，則由正弦定理得，解得.故選：D.4.【答案】B【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合角的象限計(jì)算得出，最后應(yīng)用兩角和正弦公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，則.故選：B.5.【答案】A【分析】依題意，得該幾何體為以1為底面半徑，高為的圓錐，即可求解．【詳解】在直角中，斜邊，直角邊，得，若以該直角三角形的一條直角邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體為以1為底面半徑，高為的圓錐，則該幾何體的體積為：，故選：A6.【答案】B【分析】由空間中線面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)相交時(shí)，才成立，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由，，得，而，則，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，若，，則，或，或，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若，，則可以平行或異面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B7.【答案】C【分析】結(jié)合已知條件應(yīng)用余弦定理計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，?.在中，由余弦定理得，即.所以；故選：C.8.【答案】A【分析】先應(yīng)用平移規(guī)則得出的解析式，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，當(dāng)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.9.【答案】B【分析】由兩向量的數(shù)量積公式及充要條件的判斷即可求解．【詳解】當(dāng)，則，得，得夾角，此時(shí)兩向量可能共線（），也可能兩向量的夾角為銳角，故充分性不正確，當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使得，則，兩向量的夾角為零，則，故必要性正確，則“”是“存在實(shí)數(shù)，使得”的必要而不充分條件，故選：B10.【答案】C【分析】對(duì)于①當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)即證平面即可判斷，對(duì)于②當(dāng)為的中點(diǎn)計(jì)算,當(dāng)與重合時(shí)，計(jì)算即可判斷，對(duì)于③將側(cè)面與側(cè)面展開(kāi)鋪平，利用勾股定理計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)于①：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，連接,設(shè)交于，連接，則為和的中點(diǎn)，由，所以，由為的中點(diǎn)，所以，同理，又，平面，所以平面,又平面，所以平面平面，故①正確，對(duì)于②：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，由①有，則，，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，故的面積不是定值，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：如圖，將側(cè)面與側(cè)面展開(kāi)鋪平，所以，所以，則的最小值為，故③正確.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡上.）11.【答案】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法得出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù).故答案為：.12.【答案】【分析】由兩角和的正切公式求解即可．【詳解】，故答案為：13.【答案】【分析】由進(jìn)行求解．【詳解】由，得，由，得，則，得，則，故答案為：14.【答案】①.2②.##【分析】先根據(jù)與周期的關(guān)系求出；再利用圖象過(guò)的點(diǎn)求出；最后將代入函數(shù)求.【詳解】已知A，B是直線與曲線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，且.設(shè)則.且，則，則，同理，則，則，因此，解得.因?yàn)榧?，則函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可得，所以，，則，.由于，則，那么.將代入可得：.故答案為：2；.15.【答案】【分析】先設(shè)，把矩形的各個(gè)邊長(zhǎng)用角表示出來(lái)，進(jìn)而表示出矩形的面積，再利用角的范圍，結(jié)合正弦，余弦的二倍角公式，輔助角公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求求矩形面積的最大值即可．【詳解】連接，設(shè)，，由題意知：在中，，.在中，，所以.設(shè)矩形的面積為S，則.由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，.因此，當(dāng)時(shí)，矩形有最大面積，為.故答案為：三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）由平面向量的共線定理求解；（2）由向量的夾角公式求解；（3），由向量的模的公式求解．【小問(wèn)1詳解】由向量與共線，得，得，得，，則，故．【小問(wèn)2詳解】，設(shè)向量與的夾角為，則，由，得，故向量與的夾角為：．【小問(wèn)3詳解】，由得，，解得．17.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）依題意得，由正弦定理得，即可求解；（2）若選條件①，由正弦定理得，得，進(jìn)行判斷；若選條件②，分當(dāng)角為鈍角時(shí)和當(dāng)角為銳角時(shí)進(jìn)行求解；若選條件③，先求出，再由余弦定理進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】由，得，得，由正弦定理得，，得，得，因?yàn)锳為銳角，所以【小問(wèn)2詳解】若選條件①：，由正弦定理得，，得，得，則角不存在，則不存在，所以條件①不符合要求，故不選擇條件①；若選條件②：AB邊上的高為，如圖：當(dāng)角為鈍角時(shí)，由，得，而，則不合題意，故當(dāng)角為銳角時(shí)，得，，，得，則的面積為：.若選條件③：，由，得，得，由余弦定理得，，得，得，得，則的面積為：.18.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（?。┳C明見(jiàn)解析;（ⅱ）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明，可得，再由線線平行證得線面平行；（2）（ⅰ）由條件先證明，再由線線垂直證明平面，即得；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明平面，得，則得即二面角的平面角，利用平面幾何知識(shí)推理即可在中，求得其正切值.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因E為的中點(diǎn)，故，又，，則，故得，則，因平面，平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】（?。┮蚱矫?，平面，則，因，且平面，則平面，因平面，故.（ⅱ）如圖，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因平面，平面，則，又平面，則平面，因平面，則，故即二面角的平面角.設(shè)，則，，在中，由面積相等，，可得，在中，，即二面角的正切值為.19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)即可求出；（2）令即可求出；（3）先求出，再結(jié)合函數(shù)圖象可得.【小問(wèn)1詳解】，因函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，則，則，即，因，則當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問(wèn)3詳解】，則，因，結(jié)合函數(shù)圖象可知，欲使在區(qū)間上的值域是，則，即，故的取值范圍為.20.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）由線面垂直的判定定理得平面，又由面面垂直的判定定理即可得證；（2）先計(jì)算梯形的面積，利用四棱錐的體積公式即可求解；（3）先證平面平面，過(guò)點(diǎn)作交于，計(jì)算，得四邊形為等腰梯形，根據(jù)梯形的面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由側(cè)面是正方形有，又,又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）有平面，又，所以平面，所以為與平面所成角，即，又，所以，即，所以梯形的面積為，所以四棱錐的體積為；【小問(wèn)3詳解】由側(cè)面是正方形，得，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，連接，平面平面，平面平面，則，由，所以，又，，所以，，由，，所以，過(guò)點(diǎn)作交于，由有，又，，，即，所以，所以四邊形為等腰梯形，如圖作，所以，，所以，所以等腰梯形的面積為：.