復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步機制及應(yīng)用的深度剖析一、引言1.1研究背景與意義在當今科技飛速發(fā)展的時代，復雜網(wǎng)絡(luò)作為一種強大的工具，被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，如通信網(wǎng)絡(luò)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)等。這些復雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)通常由大量相互連接的節(jié)點組成，其結(jié)構(gòu)和動態(tài)行為呈現(xiàn)出高度的復雜性和多樣性。與此同時，外部信號在許多實際系統(tǒng)中扮演著至關(guān)重要的角色，它能夠影響、驅(qū)動或調(diào)控復雜網(wǎng)絡(luò)的行為。因此，研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號之間的同步現(xiàn)象，不僅具有重要的理論意義，還在眾多實際應(yīng)用中展現(xiàn)出巨大的潛力。從通信領(lǐng)域來看，隨著5G乃至未來6G通信技術(shù)的發(fā)展，通信網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模和復雜性不斷增加。在多用戶、多基站的復雜通信網(wǎng)絡(luò)中，信號的同步是保證信息準確、高效傳輸?shù)年P(guān)鍵。例如，在大規(guī)模MIMO（Multiple-InputMultiple-Output）系統(tǒng)中，多個天線之間需要與外部的同步信號精確同步，以實現(xiàn)高速數(shù)據(jù)傳輸和低延遲通信。如果同步出現(xiàn)偏差，將會導致信號干擾、誤碼率增加，嚴重影響通信質(zhì)量。通過研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步，可以優(yōu)化通信協(xié)議和同步算法，提高通信系統(tǒng)在復雜環(huán)境下的性能，為實現(xiàn)無縫、高速的通信服務(wù)奠定基礎(chǔ)。在神經(jīng)科學領(lǐng)域，大腦被視為一個極其復雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，神經(jīng)元之間通過電信號和化學信號相互傳遞信息。外部的感官刺激，如視覺、聽覺、觸覺等信號，不斷輸入到大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，與大腦內(nèi)部的神經(jīng)活動相互作用并達到某種同步狀態(tài)。這種同步對于大腦實現(xiàn)感知、認知、記憶等功能至關(guān)重要。研究表明，在某些神經(jīng)系統(tǒng)疾病中，如癲癇、阿爾茨海默病等，大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步機制出現(xiàn)紊亂。深入理解復雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步原理，有助于揭示大腦的工作機制，為神經(jīng)系統(tǒng)疾病的診斷、治療和康復提供新的思路和方法。在電力系統(tǒng)中，電網(wǎng)可以看作是一個復雜的網(wǎng)絡(luò)，各個發(fā)電站、變電站和用戶通過輸電線路相互連接。為了保證電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，需要使發(fā)電機的輸出頻率與外部的電網(wǎng)頻率保持同步。一旦同步失調(diào)，可能引發(fā)電網(wǎng)振蕩、電壓不穩(wěn)定甚至大面積停電事故。通過研究復雜電網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)與外部頻率信號的同步特性，可以開發(fā)更有效的電力調(diào)度和控制策略，增強電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性，保障社會的正常生產(chǎn)和生活用電需求。從理論層面而言，復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步研究有助于深入理解復雜系統(tǒng)的自組織和協(xié)同行為。復雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點通過相互作用和與外部信號的耦合，能夠自發(fā)地調(diào)整自身行為，形成有序的同步狀態(tài)。這一過程涉及到非線性動力學、統(tǒng)計物理、圖論等多個學科領(lǐng)域的知識，研究同步現(xiàn)象可以推動這些學科的交叉融合，豐富和完善復雜系統(tǒng)理論。同時，通過建立數(shù)學模型和理論框架，對復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的條件、過程和影響因素進行定量分析，有助于揭示復雜系統(tǒng)行為背后的內(nèi)在規(guī)律，為預測和調(diào)控復雜系統(tǒng)的行為提供理論依據(jù)。在實際應(yīng)用中，對復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的研究成果可以直接用于優(yōu)化各類系統(tǒng)的性能。例如，在工業(yè)自動化領(lǐng)域，通過實現(xiàn)控制系統(tǒng)與外部傳感器信號的精確同步，可以提高生產(chǎn)過程的精度和效率，降低生產(chǎn)成本；在智能交通系統(tǒng)中，車輛之間以及車輛與交通基礎(chǔ)設(shè)施之間的信號同步能夠優(yōu)化交通流量，減少擁堵，提高道路安全性。此外，在物聯(lián)網(wǎng)、金融市場等領(lǐng)域，同步研究也具有重要的應(yīng)用價值，有助于實現(xiàn)設(shè)備之間的協(xié)同工作、提高金融交易的穩(wěn)定性和效率等。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的研究在國內(nèi)外受到了廣泛關(guān)注，眾多學者從理論、方法和應(yīng)用等多個角度展開了深入探索，取得了一系列具有重要價值的研究成果。在理論研究方面，國外學者起步較早。例如，Pecora和Carroll在20世紀90年代首次提出了主穩(wěn)定性函數(shù)（MasterStabilityFunction，MSF）理論，為研究復雜網(wǎng)絡(luò)同步提供了重要的理論框架。該理論通過分析線性化系統(tǒng)的特征值來判斷網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性，能夠有效處理具有相同節(jié)點動力學和耦合結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)同步問題。隨后，許多學者基于MSF理論進一步拓展，研究不同拓撲結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的條件和穩(wěn)定性。如Barahona和Pecora研究了小世界網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)在外部信號驅(qū)動下的同步特性，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)對同步性能有著顯著影響，小世界網(wǎng)絡(luò)由于其較短的平均路徑長度和較高的集聚系數(shù)，在一定條件下能夠更快地實現(xiàn)與外部信號的同步；而無標度網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)樞紐節(jié)點（hubnodes）的存在，使得其同步行為更為復雜，同步條件與樞紐節(jié)點的連接強度和動力學特性密切相關(guān)。國內(nèi)學者在復雜網(wǎng)絡(luò)同步理論研究方面也做出了重要貢獻。陳關(guān)榮教授團隊在混沌系統(tǒng)同步與復雜網(wǎng)絡(luò)同步領(lǐng)域進行了深入研究，提出了一系列新的同步判據(jù)和方法。他們通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，結(jié)合矩陣不等式技巧，得到了保證復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的充分條件，這些條件在實際應(yīng)用中具有較高的可驗證性和實用性。此外，國內(nèi)學者還關(guān)注復雜網(wǎng)絡(luò)同步的魯棒性問題，研究網(wǎng)絡(luò)在存在噪聲、參數(shù)不確定性等干擾情況下與外部信號的同步能力，提出了一些魯棒同步控制策略，為復雜網(wǎng)絡(luò)在實際復雜環(huán)境中的應(yīng)用提供了理論支持。在研究方法上，國內(nèi)外學者采用了多種手段。數(shù)值模擬是常用的方法之一，通過構(gòu)建復雜網(wǎng)絡(luò)模型并進行數(shù)值仿真，可以直觀地觀察網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的過程和行為。例如，利用Matlab、Python等軟件平臺，結(jié)合復雜網(wǎng)絡(luò)相關(guān)工具包（如NetworkX、GraphTheoryToolbox等），可以方便地生成各種拓撲結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，并模擬外部信號的輸入，研究網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的動力學響應(yīng)和同步情況。實驗研究也是重要的方法途徑。在物理實驗方面，研究者通過搭建電路網(wǎng)絡(luò)、光學網(wǎng)絡(luò)等實際系統(tǒng)，驗證復雜網(wǎng)絡(luò)同步理論和方法的有效性。如在電路實驗中，利用模擬電路元件構(gòu)建復雜網(wǎng)絡(luò)模型，通過輸入特定的電信號作為外部信號，測量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的電壓、電流等物理量，觀察網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步現(xiàn)象。在生物實驗中，以生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為研究對象，通過刺激神經(jīng)元發(fā)放電信號作為外部信號，記錄神經(jīng)元群體的活動，研究生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步機制，為神經(jīng)科學研究提供實驗依據(jù)。在應(yīng)用領(lǐng)域，復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的研究成果得到了廣泛應(yīng)用。在通信網(wǎng)絡(luò)中，同步技術(shù)是保障通信質(zhì)量的關(guān)鍵。國外的一些通信研究機構(gòu)和企業(yè)，如華為、高通等，將復雜網(wǎng)絡(luò)同步理論應(yīng)用于5G及未來通信系統(tǒng)的設(shè)計中。通過優(yōu)化基站與移動終端之間的信號同步算法，利用復雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲特性提高信號傳輸?shù)目煽啃院涂垢蓴_能力，實現(xiàn)了在復雜環(huán)境下的高速、穩(wěn)定通信。在智能交通系統(tǒng)中，車輛之間以及車輛與交通基礎(chǔ)設(shè)施之間的信號同步對于優(yōu)化交通流量至關(guān)重要。國內(nèi)一些城市開展了智能交通試點項目，通過建立車輛通信網(wǎng)絡(luò)模型，引入外部的交通信號（如紅綠燈信號、交通流量監(jiān)測信號等），實現(xiàn)車輛之間的協(xié)同駕駛和交通信號燈的智能控制，有效減少了交通擁堵，提高了道路通行效率。在生物醫(yī)學領(lǐng)域，研究大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步關(guān)系，為神經(jīng)系統(tǒng)疾病的診斷和治療提供了新的思路。例如，通過監(jiān)測大腦在外部刺激下的電生理信號（如腦電圖EEG、腦磁圖MEG等），分析大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步模式，用于早期診斷癲癇、帕金森病等神經(jīng)系統(tǒng)疾病，并開發(fā)基于同步原理的神經(jīng)調(diào)控治療方法。然而，當前復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的研究仍存在一些空白與不足。在理論方面，雖然已經(jīng)取得了許多重要成果，但對于一些復雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和動力學模型，同步理論還不夠完善。例如，對于具有時變拓撲結(jié)構(gòu)、多時間尺度動力學以及強非線性耦合的復雜網(wǎng)絡(luò)，現(xiàn)有的同步判據(jù)和方法的適用性受到限制，需要進一步深入研究。在研究方法上，數(shù)值模擬和實驗研究之間的聯(lián)系還不夠緊密，數(shù)值模擬結(jié)果在實際系統(tǒng)中的驗證還存在一定困難，需要發(fā)展更加有效的方法將兩者有機結(jié)合。在應(yīng)用方面，雖然已經(jīng)在多個領(lǐng)域取得了應(yīng)用成果，但對于一些新興領(lǐng)域，如量子通信網(wǎng)絡(luò)、基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)等，復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的研究還處于起步階段，需要進一步探索適合這些領(lǐng)域的同步理論和方法，以滿足實際應(yīng)用的需求。1.3研究方法與創(chuàng)新點為深入探究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號之間的同步現(xiàn)象，本研究綜合運用多種研究方法，從理論分析、數(shù)值模擬和案例研究等多個維度展開研究，并在模型構(gòu)建和分析方法上進行創(chuàng)新，以期望獲得具有突破性的研究成果。在理論分析方面，基于非線性動力學理論，建立復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號相互作用的數(shù)學模型。通過構(gòu)建合適的Lyapunov函數(shù)，并運用矩陣理論和不等式分析技巧，推導復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號實現(xiàn)同步的充分條件和穩(wěn)定性判據(jù)。例如，針對具有時變拓撲結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡(luò)，引入時變矩陣理論，考慮網(wǎng)絡(luò)連接強度和拓撲結(jié)構(gòu)隨時間的變化，分析其對同步性能的影響，建立更加準確和通用的同步理論框架。同時，結(jié)合圖論知識，利用網(wǎng)絡(luò)的拓撲指標（如度分布、聚類系數(shù)、平均路徑長度等）來刻畫網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性，研究拓撲結(jié)構(gòu)與同步特性之間的內(nèi)在聯(lián)系，為理解復雜網(wǎng)絡(luò)同步現(xiàn)象提供理論基礎(chǔ)。數(shù)值模擬是本研究的重要方法之一。借助Matlab、Python等強大的科學計算軟件平臺，以及復雜網(wǎng)絡(luò)相關(guān)工具包（如NetworkX、GraphTheoryToolbox等），進行大量的數(shù)值仿真實驗。在模擬過程中，精確設(shè)置復雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)（如規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)、無標度網(wǎng)絡(luò)等）、節(jié)點動力學模型（如混沌振子模型、神經(jīng)元放電模型等）和外部信號的特性（如頻率、幅度、相位等），通過改變這些參數(shù)，全面觀察網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的過程和行為，分析同步性能指標（如同步誤差、同步時間、同步區(qū)域等）隨參數(shù)的變化規(guī)律。例如，通過數(shù)值模擬研究不同耦合強度下復雜網(wǎng)絡(luò)與外部周期信號的同步情況，繪制同步區(qū)域圖，直觀展示同步發(fā)生的參數(shù)范圍和條件，為理論分析提供直觀的數(shù)據(jù)支持和驗證。案例研究方法也是本研究不可或缺的一部分。選取具有代表性的實際系統(tǒng)作為案例，如通信網(wǎng)絡(luò)、電力系統(tǒng)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，深入研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號在實際應(yīng)用中的同步問題。以通信網(wǎng)絡(luò)為例，收集實際通信系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)，分析基站與移動終端之間信號同步的實際情況，結(jié)合理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果，提出優(yōu)化同步算法和提高通信質(zhì)量的具體方案。在生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究中，與神經(jīng)科學領(lǐng)域的實驗團隊合作，獲取大腦在外部刺激下的電生理信號數(shù)據(jù)，運用本研究提出的理論和方法，分析大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步機制，為神經(jīng)科學研究提供新的思路和方法。在研究過程中，本研究在模型構(gòu)建和分析方法上具有顯著的創(chuàng)新點。在模型構(gòu)建方面，提出了一種考慮多因素耦合的復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步模型。該模型不僅考慮了網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)、節(jié)點動力學和外部信號的影響，還充分考慮了噪聲干擾、時滯效應(yīng)以及節(jié)點間的非線性耦合等實際因素的綜合作用。通過引入新的參數(shù)和變量來描述這些因素，使模型更加貼近實際復雜系統(tǒng)的特性，能夠更準確地預測和解釋復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步現(xiàn)象。例如，在考慮時滯效應(yīng)時，將時滯參數(shù)引入到節(jié)點間的耦合項中，分析時滯對同步穩(wěn)定性和同步速度的影響，為實際系統(tǒng)中存在時滯情況下的同步問題提供解決方案。在分析方法上，創(chuàng)新地將深度學習算法與傳統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡(luò)同步分析方法相結(jié)合。利用深度學習算法強大的特征提取和模式識別能力，對復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步過程中的大量數(shù)據(jù)進行分析和處理。例如，構(gòu)建基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ConvolutionalNeuralNetwork，CNN）的同步狀態(tài)識別模型，通過對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的時間序列數(shù)據(jù)進行訓練，讓模型自動學習同步狀態(tài)下的數(shù)據(jù)特征，實現(xiàn)對復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步狀態(tài)的快速、準確識別。同時，運用循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RecurrentNeuralNetwork，RNN）及其變體（如長短期記憶網(wǎng)絡(luò)LSTM、門控循環(huán)單元GRU等）對同步過程進行建模和預測，考慮時間序列數(shù)據(jù)的前后依賴關(guān)系，提高對同步動態(tài)過程的預測精度，為復雜網(wǎng)絡(luò)同步的實時監(jiān)測和控制提供新的技術(shù)手段。二、復雜網(wǎng)絡(luò)與同步基礎(chǔ)理論2.1復雜網(wǎng)絡(luò)概述2.1.1復雜網(wǎng)絡(luò)的定義與特征復雜網(wǎng)絡(luò)是一種由大量節(jié)點和連接這些節(jié)點的邊所構(gòu)成的數(shù)學結(jié)構(gòu)，用于描述復雜系統(tǒng)中各元素之間的相互關(guān)系。錢學森對復雜網(wǎng)絡(luò)給出了一個較為嚴格的定義，即具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)稱為復雜網(wǎng)絡(luò)。復雜網(wǎng)絡(luò)的復雜性體現(xiàn)在多個方面，具體表現(xiàn)如下：結(jié)構(gòu)復雜性：復雜網(wǎng)絡(luò)通常包含數(shù)量巨大的節(jié)點，這些節(jié)點通過邊相互連接，形成了多樣化且復雜的拓撲結(jié)構(gòu)。例如，互聯(lián)網(wǎng)包含數(shù)十億個網(wǎng)頁節(jié)點，它們通過超鏈接相互連接，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出高度的復雜性和多樣性。網(wǎng)絡(luò)進化：復雜網(wǎng)絡(luò)并非固定不變，而是處于動態(tài)的進化過程中。節(jié)點或連接會隨著時間的推移而產(chǎn)生或消失，從而導致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的不斷變化。以萬維網(wǎng)為例，新的網(wǎng)頁不斷被創(chuàng)建并加入網(wǎng)絡(luò)，同時部分網(wǎng)頁可能因各種原因被刪除，網(wǎng)頁之間的鏈接也會隨時更新，使得萬維網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)始終處于動態(tài)演變之中。連接多樣性：節(jié)點之間的連接并非完全相同，其權(quán)重可能存在差異，并且某些連接還可能具有方向性。在社交網(wǎng)絡(luò)中，用戶之間的關(guān)系強度各不相同，有的是親密好友，有的只是普通相識，這種關(guān)系強度的差異可以通過連接權(quán)重來體現(xiàn)；同時，關(guān)注關(guān)系往往具有方向性，例如A關(guān)注B，但B不一定關(guān)注A。動力學復雜性：節(jié)點集可能屬于非線性動力學系統(tǒng)，其狀態(tài)會隨時間發(fā)生復雜的變化。在生態(tài)網(wǎng)絡(luò)中，物種之間通過食物鏈相互關(guān)聯(lián)，每個物種的數(shù)量變化不僅受到自身繁殖和死亡的影響，還與其他物種的相互作用密切相關(guān)，呈現(xiàn)出復雜的非線性動力學行為。節(jié)點多樣性：復雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點可以代表各種各樣的事物，具有很強的通用性和抽象性。在不同的應(yīng)用場景中，節(jié)點可以表示不同的實體。如在人際關(guān)系構(gòu)成的復雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點代表單獨個體；在萬維網(wǎng)組成的復雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點可以表示不同網(wǎng)頁；在電力傳輸網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點可以表示發(fā)電站、變電站和用戶等。多重復雜性融合：上述多種復雜性相互影響、相互交織，使得復雜網(wǎng)絡(luò)的行為和特性更加難以預測和理解。在設(shè)計電力供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)時，需要考慮網(wǎng)絡(luò)的進化過程，因為進化過程會決定網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)。當兩個節(jié)點之間頻繁進行能量傳輸時，它們之間的連接權(quán)重會隨之增加，通過不斷的學習與記憶逐步改善網(wǎng)絡(luò)性能，但同時也可能帶來一些意想不到的問題，如局部過載等。復雜網(wǎng)絡(luò)一般具有以下典型特性：小世界特性：復雜網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點之間的最短路徑長度（即距離）往往很小，這意味著在復雜網(wǎng)絡(luò)中信息傳播速度很快，體現(xiàn)了“六度分隔”現(xiàn)象。在社交網(wǎng)絡(luò)中，理論上任意兩個人之間最多通過不超過六個中間人就可以建立聯(lián)系。小世界特性通常用兩個特征來衡量網(wǎng)絡(luò)，即特征路徑長度和聚合系數(shù)。特征路徑長度是指在網(wǎng)絡(luò)中，任選兩個節(jié)點，連通這兩個節(jié)點的最少邊數(shù)定義為這兩個節(jié)點的路徑長度，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點對的路徑長度的平均值定義為網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度，它是網(wǎng)絡(luò)的全局特征；聚合系數(shù)是指假設(shè)某個節(jié)點有k條邊，則這k條邊連接的節(jié)點（k個）之間最多可能存在的邊的條數(shù)為k(k-1)/2，用實際存在的邊數(shù)除以最多可能存在的邊數(shù)得到的分數(shù)值，定義為這個節(jié)點的聚合系數(shù)，所有節(jié)點的聚合系數(shù)的均值定義為網(wǎng)絡(luò)的聚合系數(shù)，它反映了相鄰節(jié)點之間朋友圈子的重合度，即該節(jié)點的朋友之間也是朋友的程度，是網(wǎng)絡(luò)的局部特征。小世界網(wǎng)絡(luò)的點之間特征路徑長度小，接近隨機網(wǎng)絡(luò)，而聚合系數(shù)依舊相當高，接近規(guī)則網(wǎng)絡(luò)。無標度特性：現(xiàn)實世界中的大部分復雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度數(shù)分布符合冪律分布，這種特性被稱為無標度特性。將度分布符合冪律分布的復雜網(wǎng)絡(luò)稱為無標度網(wǎng)絡(luò)。無標度特性反映了復雜網(wǎng)絡(luò)具有嚴重的異質(zhì)性，其各節(jié)點之間的連接狀況（度數(shù)）具有嚴重的不均勻分布性。在無標度網(wǎng)絡(luò)中，少數(shù)稱之為Hub點的節(jié)點擁有極其多的連接，而大多數(shù)節(jié)點只有很少量的連接，少數(shù)Hub點對無標度網(wǎng)絡(luò)的運行起著主導的作用。從廣義上說，無標度網(wǎng)絡(luò)的無標度性是描述大量復雜系統(tǒng)整體上嚴重不均勻分布的一種內(nèi)在性質(zhì)。無標度網(wǎng)絡(luò)中冪律分布特性的存在極大地提高了高度數(shù)節(jié)點存在的可能性，因此，無標度網(wǎng)絡(luò)同時顯現(xiàn)出針對隨機故障的魯棒性和針對蓄意攻擊的脆弱性。社區(qū)結(jié)構(gòu)：復雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點往往按照某種規(guī)則或者屬性聚集在一起形成子集合，即社區(qū)或者模塊，而不同社區(qū)之間則較少連接。這意味著復雜網(wǎng)絡(luò)中存在一定程度的異質(zhì)性和層次性。在生物網(wǎng)絡(luò)中，存在功能模塊或者代謝途徑，這些可以看作是社區(qū)結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)；在社交網(wǎng)絡(luò)中，也會形成各種興趣小組、朋友圈等社區(qū)。社區(qū)結(jié)構(gòu)的存在使得網(wǎng)絡(luò)具有一定的模塊化特征，不同社區(qū)內(nèi)部節(jié)點之間的連接較為緊密，而社區(qū)之間的連接相對稀疏，這種結(jié)構(gòu)對于網(wǎng)絡(luò)的功能和信息傳播具有重要影響。高階相互作用：復雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間的相互作用不僅僅局限于兩兩之間，還可能是多個節(jié)點之間共同參與的。這意味著復雜網(wǎng)絡(luò)中存在非線性和反饋機制。在疾病傳播中，存在群體感染或者免疫效應(yīng)，多個個體之間的相互作用會影響疾病的傳播過程；在生態(tài)系統(tǒng)中，多個物種之間的相互作用共同維持著生態(tài)平衡。高階相互作用使得復雜網(wǎng)絡(luò)的行為更加復雜，傳統(tǒng)的基于兩兩相互作用的研究方法難以全面描述網(wǎng)絡(luò)的特性，需要發(fā)展新的理論和方法來研究這種高階相互作用。2.1.2復雜網(wǎng)絡(luò)的常見模型規(guī)則網(wǎng)絡(luò)：規(guī)則網(wǎng)絡(luò)是一種具有高度規(guī)律性的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，節(jié)點之間的連接遵循特定的規(guī)則。在二維平面上的歐幾里得網(wǎng)格，每個節(jié)點與固定數(shù)量的相鄰節(jié)點相連，形成整齊的網(wǎng)格狀結(jié)構(gòu)。規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的特點是節(jié)點的度分布相對均勻，每個節(jié)點的度數(shù)大致相同，網(wǎng)絡(luò)具有較高的聚類系數(shù)，即節(jié)點的鄰居之間也傾向于相互連接。在晶體結(jié)構(gòu)中，原子通過化學鍵形成規(guī)則的晶格網(wǎng)絡(luò)，原子之間的連接具有高度的規(guī)律性。規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點是結(jié)構(gòu)簡單、易于分析和理解，但其局限性在于缺乏現(xiàn)實復雜網(wǎng)絡(luò)中所具有的多樣性和靈活性，不能很好地描述許多實際系統(tǒng)的復雜性。隨機圖（ER模型）：隨機圖是最早的復雜網(wǎng)絡(luò)模型之一，由Erdos和Renyi于20世紀50年代末提出。在隨機圖中，節(jié)點之間的邊以一定的概率p隨機生成。當p較小時，網(wǎng)絡(luò)中可能存在許多孤立的節(jié)點和小的連通分支；隨著p的增大，網(wǎng)絡(luò)逐漸連通，形成一個巨大的連通組件。隨機圖的度分布近似為泊松分布，大部分節(jié)點的度數(shù)集中在平均值附近，與現(xiàn)實世界中許多復雜網(wǎng)絡(luò)的冪律度分布不同。在通信網(wǎng)絡(luò)中，如果節(jié)點之間的連接是完全隨機建立的，就可以用隨機圖模型來描述。隨機圖模型雖然簡單，但能夠反映一些基本的網(wǎng)絡(luò)特性，如連通性和平均路徑長度等，為復雜網(wǎng)絡(luò)的研究提供了基礎(chǔ)。然而，由于其連接的隨機性，隨機圖模型在描述具有明顯結(jié)構(gòu)特征和層次特性的實際復雜網(wǎng)絡(luò)時存在局限性。小世界網(wǎng)絡(luò)（WS模型和NW模型）：1998年，Watts和Strogatz提出了小世界網(wǎng)絡(luò)模型（WS模型），該模型旨在描述從規(guī)則網(wǎng)絡(luò)到隨機網(wǎng)絡(luò)的過渡。WS模型始于一個具有N個節(jié)點的一維環(huán)狀規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點與其最近的鄰居節(jié)點和次鄰居節(jié)點相連接，然后每條邊以概率p重新連接，約束條件為節(jié)點間無重邊、無自環(huán)。當p=0時，對應(yīng)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)；當p=1時，對應(yīng)隨機網(wǎng)絡(luò)；而在p介于0到1之間時，模型顯示出小世界特性，即具有較小的平均路徑長度和較大的集聚系數(shù)?？紤]到WS模型的構(gòu)造方法可能會破壞網(wǎng)絡(luò)的連通性，Newman和Watts對其進行了改進，提出了NW模型。NW模型用隨機化加邊取代了隨機化重連，即以概率p在隨機選取的節(jié)點對之間添加連接邊，不改動原有連接邊，且不允許出現(xiàn)重復連接和自環(huán)。當網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N足夠大而p足夠小時，WS模型與NW模型在本質(zhì)上是一樣的。在社交網(wǎng)絡(luò)中，人們之間的關(guān)系既存在一定的局部緊密性（類似于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的聚類特性），又存在少量的長程連接（類似于隨機網(wǎng)絡(luò)的隨機性），使得信息能夠在網(wǎng)絡(luò)中快速傳播，小世界網(wǎng)絡(luò)模型能夠較好地描述這種特性。無標度網(wǎng)絡(luò)（BA模型）：Barabasi和Albert于1999年提出了無標度網(wǎng)絡(luò)模型（BA模型），用于描述許多現(xiàn)實復雜網(wǎng)絡(luò)的無標度特性。BA模型從網(wǎng)絡(luò)增長和優(yōu)先連接兩個方面來描述網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)生機制。網(wǎng)絡(luò)增長意味著網(wǎng)絡(luò)中不斷有新節(jié)點加入并連接到已存在的節(jié)點上，初始網(wǎng)絡(luò)包含m0個節(jié)點和m1條邊，每個時間步增加一個新節(jié)點和m(m≤m0)條邊，連接到m個已有的節(jié)點上；優(yōu)先連接意味著新增加的節(jié)點會優(yōu)先連接度值較大的節(jié)點，將節(jié)點i的度ki和所有節(jié)點度的總和k的比值作為新增加的節(jié)點連接到節(jié)點i的概率，新增加的節(jié)點根據(jù)此概率選擇所要連接的m個節(jié)點。經(jīng)過t個時間步后，初始網(wǎng)絡(luò)就會演化成具有m0+t個節(jié)點和m1+mt條邊的網(wǎng)絡(luò)，其中大多數(shù)節(jié)點度值較小，少數(shù)節(jié)點度值很大，度分布滿足冪律分布?；ヂ?lián)網(wǎng)中，一些熱門網(wǎng)站擁有大量的鏈接指向它們，而大多數(shù)普通網(wǎng)站的鏈接數(shù)量則較少，BA模型能夠很好地解釋這種現(xiàn)象。無標度網(wǎng)絡(luò)模型的提出為理解復雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能提供了重要的框架，揭示了復雜網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)關(guān)鍵節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)運行和信息傳播中的重要作用。2.2同步的基本概念與類型2.2.1同步的定義與內(nèi)涵同步是指在復雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，多個節(jié)點或子系統(tǒng)之間通過相互作用，使得它們的動態(tài)行為達到某種一致性或協(xié)調(diào)性的過程。從數(shù)學角度來看，對于一個由多個節(jié)點組成的復雜網(wǎng)絡(luò)，每個節(jié)點都具有各自的狀態(tài)變量和動力學方程。當這些節(jié)點之間存在耦合作用時，隨著時間的演化，節(jié)點的狀態(tài)變量逐漸趨于一致，這就是同步現(xiàn)象的數(shù)學表現(xiàn)。以一個簡單的耦合振子網(wǎng)絡(luò)為例，每個振子可以用一個非線性微分方程來描述其運動狀態(tài)，如\dot{x}_i=f(x_i)+\sum_{j=1}^{N}c_{ij}g(x_j-x_i)，其中x_i表示第i個振子的狀態(tài)變量，f(x_i)是振子自身的動力學函數(shù)，c_{ij}是節(jié)點i和j之間的耦合強度，g(x_j-x_i)是耦合函數(shù)。當網(wǎng)絡(luò)達到同步狀態(tài)時，對于任意的i和j，有x_i(t)\approxx_j(t)，即所有振子的狀態(tài)變量在時間上趨于一致。從物理層面理解，同步現(xiàn)象廣泛存在于自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域。在電力系統(tǒng)中，同步發(fā)電機通過同步裝置與電網(wǎng)連接，調(diào)整發(fā)電機的輸出頻率和相位，使其與電網(wǎng)的頻率和相位保持一致，從而實現(xiàn)電能的穩(wěn)定傳輸和分配。在生物系統(tǒng)中，心臟中的心肌細胞通過電信號的相互作用，實現(xiàn)同步收縮，維持心臟的正常跳動。在通信系統(tǒng)中，發(fā)送端和接收端需要通過同步信號來協(xié)調(diào)數(shù)據(jù)的發(fā)送和接收，確保信息的準確傳輸。這些實際例子都體現(xiàn)了同步在保證系統(tǒng)正常運行和功能實現(xiàn)中的關(guān)鍵作用，同步使得系統(tǒng)中的各個部分能夠協(xié)同工作，發(fā)揮出整體的效能。2.2.2復雜網(wǎng)絡(luò)同步的主要類型完全同步：在復雜網(wǎng)絡(luò)中，當所有節(jié)點的狀態(tài)完全相同，即所有節(jié)點都處于相同的動力學行為和功能時，就實現(xiàn)了完全同步。完全同步是最簡單和最常見的同步類型。在一個由多個激光器組成的陣列中，如果所有激光器的輸出頻率、相位和幅度都完全一致，就實現(xiàn)了完全同步，從而可以輸出高功率、高方向性和高相干性的激光。完全同步的實現(xiàn)通常需要較強的耦合強度和節(jié)點之間的一致性，耦合強度決定了節(jié)點之間相互作用的強弱，較強的耦合能夠促使節(jié)點狀態(tài)更快地趨于一致；而節(jié)點之間的動力學特性和初始條件的一致性也對完全同步的實現(xiàn)起到重要作用。當節(jié)點之間的差異較大時，實現(xiàn)完全同步會更加困難。聚類同步：復雜網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點的狀態(tài)相同，而其他節(jié)點的狀態(tài)不同，即網(wǎng)絡(luò)中存在不同的動力學行為和功能，這種同步類型稱為聚類同步。在聚類同步中，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點會根據(jù)某種規(guī)則或特性分成不同的簇，每個簇內(nèi)的節(jié)點實現(xiàn)同步，而不同簇之間的節(jié)點狀態(tài)則不同。在社交網(wǎng)絡(luò)中，不同興趣小組的成員之間可能會形成聚類同步，每個興趣小組內(nèi)的成員在某些行為或觀點上趨于一致，而不同興趣小組之間則存在差異。聚類同步的形成與網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)、節(jié)點的動力學特性以及節(jié)點之間的耦合方式密切相關(guān)。具有社區(qū)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)更容易出現(xiàn)聚類同步現(xiàn)象，因為社區(qū)內(nèi)部節(jié)點之間的連接較為緊密，相互作用較強，有利于簇內(nèi)同步的實現(xiàn)；而社區(qū)之間的連接相對稀疏，使得不同簇之間的同步相對困難。投影同步：投影同步是指在復雜網(wǎng)絡(luò)中，不同節(jié)點的狀態(tài)之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，即節(jié)點的狀態(tài)不是完全相同，而是按照某種特定的比例或函數(shù)關(guān)系相互關(guān)聯(lián)。對于兩個節(jié)點i和j，它們的狀態(tài)變量x_i和x_j滿足x_i=kx_j+b，其中k和b為常數(shù)，這種同步關(guān)系就是投影同步。在一些混沌系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中，通過適當?shù)鸟詈显O(shè)計，可以實現(xiàn)投影同步，使得不同節(jié)點的混沌狀態(tài)之間存在特定的比例關(guān)系。投影同步的實現(xiàn)需要精確設(shè)計節(jié)點之間的耦合強度和耦合方式，以滿足特定的函數(shù)關(guān)系要求，同時還需要考慮網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)對同步的影響，不同的拓撲結(jié)構(gòu)可能會影響投影同步的穩(wěn)定性和實現(xiàn)條件。延時同步：復雜網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點的狀態(tài)具有固定時間延遲或滯后，而幅度和相位可以不同，即網(wǎng)絡(luò)中存在時間延遲或滯后的動力學行為和功能，這種同步類型稱為延時同步。在通信網(wǎng)絡(luò)中，信號在傳輸過程中會因為傳輸距離、傳輸介質(zhì)等因素而產(chǎn)生延遲，接收端接收到的信號相對于發(fā)送端的信號存在一定的時間延遲，但它們之間仍然保持著某種同步關(guān)系。延時同步的研究需要考慮時間延遲對系統(tǒng)穩(wěn)定性和同步性能的影響，時間延遲可能會導致系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩、失穩(wěn)等問題，因此需要通過合適的控制策略來補償延遲，保證同步的穩(wěn)定性。同時，網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)也會影響延時同步的效果，例如在長距離傳輸?shù)木W(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點之間的距離和連接方式會影響信號延遲的大小和分布，進而影響延時同步的實現(xiàn)。2.3復雜網(wǎng)絡(luò)同步的判據(jù)與方法2.3.1同步判據(jù)主穩(wěn)定函數(shù)法（MasterStabilityFunction，MSF）是判斷復雜網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定性的重要方法之一。該方法最早由Pecora和Carroll提出，其核心思想是通過分析線性化系統(tǒng)的特征值來判斷網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性。對于一個由N個相同節(jié)點組成的復雜網(wǎng)絡(luò)，每個節(jié)點的動力學方程可以表示為\dot{x}_i=f(x_i)+\sum_{j=1}^{N}c_{ij}g(x_j-x_i)，其中x_i是第i個節(jié)點的狀態(tài)變量，f(x_i)是節(jié)點自身的動力學函數(shù)，c_{ij}是節(jié)點i和j之間的耦合強度，g(x_j-x_i)是耦合函數(shù)。當網(wǎng)絡(luò)達到同步狀態(tài)時，所有節(jié)點的狀態(tài)變量趨于一致，即x_i=s（i=1,2,\cdots,N），s為同步狀態(tài)。將系統(tǒng)在同步狀態(tài)附近線性化，得到線性化方程\dot{\xi}_i=Df(s)\xi_i+\sum_{j=1}^{N}c_{ij}Dg(0)\xi_j，其中\(zhòng)xi_i=x_i-s是同步偏差。通過求解線性化方程的特征值，可以得到主穩(wěn)定函數(shù)，根據(jù)主穩(wěn)定函數(shù)的性質(zhì)來判斷網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性。如果主穩(wěn)定函數(shù)的所有特征值都具有負實部，則網(wǎng)絡(luò)在該耦合強度下能夠?qū)崿F(xiàn)同步；否則，網(wǎng)絡(luò)將失去同步穩(wěn)定性。主穩(wěn)定函數(shù)法在處理具有相同節(jié)點動力學和耦合結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)同步問題時具有重要作用，它能夠直觀地給出網(wǎng)絡(luò)同步的條件和穩(wěn)定性邊界，為復雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究提供了有力的工具。例如，在研究小世界網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)的同步特性時，利用主穩(wěn)定函數(shù)法可以分析網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對同步穩(wěn)定性的影響，揭示不同拓撲結(jié)構(gòu)下網(wǎng)絡(luò)同步的規(guī)律。Lyapunov函數(shù)法是另一種常用的同步判據(jù)方法。Lyapunov函數(shù)是一個正定函數(shù)，通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，可以判斷復雜網(wǎng)絡(luò)是否能夠?qū)崿F(xiàn)同步。對于復雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)\dot{x}=F(x)，其中x=[x_1,x_2,\cdots,x_N]^T是網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)向量，F(xiàn)(x)是網(wǎng)絡(luò)的動力學函數(shù)。假設(shè)存在一個正定函數(shù)V(x)，其導數(shù)\dot{V}(x)滿足\dot{V}(x)\leq0，則根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即能夠?qū)崿F(xiàn)同步。在實際應(yīng)用中，構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)是關(guān)鍵。通常可以根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動力學特性來構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，例如對于具有線性耦合的復雜網(wǎng)絡(luò)，可以構(gòu)造二次型的Lyapunov函數(shù)V(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\xi_i^TP\xi_i，其中\(zhòng)xi_i=x_i-s是同步偏差，P是一個正定矩陣。通過對V(x)求導，并利用矩陣不等式技巧，可以得到保證網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件。Lyapunov函數(shù)法的優(yōu)點是能夠處理具有非線性動力學和復雜耦合結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)同步問題，具有較強的通用性和理論性。它不僅可以判斷網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性，還可以分析同步的收斂速度和吸引域等問題，為復雜網(wǎng)絡(luò)同步的深入研究提供了重要的理論支持。例如，在研究混沌系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題時，利用Lyapunov函數(shù)法可以設(shè)計有效的同步控制器，實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步，為混沌保密通信等應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。除了主穩(wěn)定函數(shù)法和Lyapunov函數(shù)法，還有其他一些同步判據(jù)方法，如Lyapunov指數(shù)法、同步流形法等。Lyapunov指數(shù)法通過計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)來判斷同步的穩(wěn)定性，如果所有Lyapunov指數(shù)都小于零，則系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)同步。同步流形法是將同步狀態(tài)看作是一個流形，通過分析系統(tǒng)在同步流形附近的動力學行為來判斷同步的穩(wěn)定性。這些同步判據(jù)方法各有優(yōu)缺點，在實際應(yīng)用中需要根據(jù)具體問題選擇合適的方法來判斷復雜網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性。例如，對于一些簡單的網(wǎng)絡(luò)模型，主穩(wěn)定函數(shù)法可能更加直觀和易于計算；而對于具有強非線性和復雜耦合的網(wǎng)絡(luò)，Lyapunov函數(shù)法可能更具優(yōu)勢。在研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步問題時，也可以綜合運用多種同步判據(jù)方法，從不同角度分析同步的穩(wěn)定性，以獲得更全面和準確的結(jié)論。2.3.2同步控制方法滑?？刂品ㄊ且环N常用的同步控制方法，它通過設(shè)計一個滑動面，使系統(tǒng)的狀態(tài)在滑動面上運動，從而實現(xiàn)同步。滑?？刂凭哂袑ο到y(tǒng)參數(shù)變化和外部干擾不敏感的優(yōu)點，能夠保證系統(tǒng)在復雜環(huán)境下的同步性能。以兩個混沌系統(tǒng)的同步控制為例，假設(shè)主系統(tǒng)為\dot{x}=f(x)，從系統(tǒng)為\dot{y}=f(y)+u，其中u為控制輸入。設(shè)計滑動面s=y-x，則系統(tǒng)的誤差動力學方程為\dot{s}=\dot{y}-\dot{x}=f(y)-f(x)+u。通過選擇合適的控制律u，使得s在有限時間內(nèi)趨近于零，即實現(xiàn)了兩個系統(tǒng)的同步。在實際應(yīng)用中，滑?？刂品梢詰?yīng)用于通信網(wǎng)絡(luò)中的信號同步。例如，在多用戶通信系統(tǒng)中，不同用戶的信號之間需要實現(xiàn)同步，以避免信號干擾。通過設(shè)計滑?？刂破?，使接收端的信號跟蹤發(fā)送端的信號，能夠有效地提高通信系統(tǒng)的抗干擾能力和同步精度。在復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步問題中，滑?？刂品梢杂糜谡{(diào)整網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的動力學行為，使其與外部信號實現(xiàn)同步。例如，在電力系統(tǒng)中，通過滑模控制法可以控制發(fā)電機的輸出，使其與電網(wǎng)的頻率和相位保持同步，提高電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。自適應(yīng)控制法是另一種重要的同步控制方法，它能夠根據(jù)系統(tǒng)的運行狀態(tài)自動調(diào)整控制參數(shù)，以適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化和外部干擾。自適應(yīng)控制法在復雜網(wǎng)絡(luò)同步中具有廣泛的應(yīng)用。對于一個具有未知參數(shù)的復雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)\dot{x}=f(x,\theta)，其中\(zhòng)theta為未知參數(shù)。可以設(shè)計自適應(yīng)控制器，通過實時估計未知參數(shù)\theta，并根據(jù)估計值調(diào)整控制輸入，使系統(tǒng)實現(xiàn)同步。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步中，自適應(yīng)控制法可以用于調(diào)整神經(jīng)元之間的連接權(quán)重，以實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步。例如，在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，通過自適應(yīng)控制法可以根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的訓練數(shù)據(jù)和輸出誤差，自動調(diào)整神經(jīng)元之間的連接權(quán)重，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠更好地學習和處理信息。在復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步中，自適應(yīng)控制法可以用于調(diào)整網(wǎng)絡(luò)與外部信號之間的耦合強度。例如，在生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，通過自適應(yīng)控制法可以根據(jù)外部刺激的強度和頻率，自動調(diào)整神經(jīng)元與外部信號之間的耦合強度，使生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)ν獠看碳ぷ龀龈鼫蚀_的響應(yīng)。除了滑?？刂品ê妥赃m應(yīng)控制法，還有其他一些同步控制方法，如反饋控制法、脈沖控制法等。反饋控制法是通過將系統(tǒng)的輸出反饋到輸入端，來調(diào)整系統(tǒng)的行為，實現(xiàn)同步。脈沖控制法是在特定的時刻對系統(tǒng)施加脈沖信號，以改變系統(tǒng)的狀態(tài)，實現(xiàn)同步。這些同步控制方法在不同的應(yīng)用場景中發(fā)揮著重要作用。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)復雜網(wǎng)絡(luò)的特點和同步要求，選擇合適的同步控制方法。例如，對于對實時性要求較高的系統(tǒng)，脈沖控制法可能更加適用；而對于對穩(wěn)定性要求較高的系統(tǒng)，反饋控制法可能更具優(yōu)勢。在研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步問題時，也可以將多種同步控制方法結(jié)合起來，以提高同步的效果和可靠性。例如，將滑?？刂品ê妥赃m應(yīng)控制法相結(jié)合，可以充分發(fā)揮兩者的優(yōu)點，使復雜網(wǎng)絡(luò)在面對參數(shù)變化和外部干擾時，能夠更加穩(wěn)定地與外部信號實現(xiàn)同步。三、復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步原理3.1同步的內(nèi)在機制3.1.1信號傳播與交互外部信號在復雜網(wǎng)絡(luò)中的傳播是一個復雜而關(guān)鍵的過程，其傳播路徑和方式受到網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)、節(jié)點動力學特性以及信號自身屬性等多種因素的綜合影響。從網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)角度來看，不同的拓撲結(jié)構(gòu)為信號傳播提供了不同的路徑和環(huán)境。在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點之間的連接具有高度的規(guī)律性，信號通常沿著固定的路徑在相鄰節(jié)點間傳播。在一個由多個傳感器節(jié)點組成的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中，外部信號從一個傳感器節(jié)點發(fā)出后，會按照既定的連接順序依次傳遞到相鄰節(jié)點，傳播路徑較為穩(wěn)定和可預測。而在小世界網(wǎng)絡(luò)中，由于其具有少量的長程連接，信號不僅可以在局部鄰域內(nèi)傳播，還能夠通過這些長程連接快速跨越到網(wǎng)絡(luò)中的其他區(qū)域。在社交網(wǎng)絡(luò)中，用戶之間的關(guān)系構(gòu)成了小世界網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，一條信息（可看作外部信號）除了在用戶的直接好友圈中傳播外，還可能通過某些社交達人（長程連接節(jié)點）迅速傳播到更遠的社交圈子，從而擴大信息的傳播范圍。無標度網(wǎng)絡(luò)則具有明顯的異質(zhì)性，少數(shù)樞紐節(jié)點（hubnodes）擁有大量的連接，這些樞紐節(jié)點在信號傳播中起著至關(guān)重要的作用。在互聯(lián)網(wǎng)中，像百度、谷歌這樣的大型搜索引擎網(wǎng)站（樞紐節(jié)點），它們匯聚了大量的鏈接，當外部的搜索請求信號進入網(wǎng)絡(luò)后，這些樞紐節(jié)點能夠快速將信號分發(fā)到與之相連的眾多網(wǎng)頁節(jié)點，使得信號能夠在整個網(wǎng)絡(luò)中廣泛傳播。節(jié)點動力學特性也對信號傳播產(chǎn)生重要影響。節(jié)點的響應(yīng)速度、閾值等動力學參數(shù)決定了節(jié)點對外部信號的接收和傳遞能力。如果節(jié)點的響應(yīng)速度較快，能夠迅速感知到外部信號并做出反應(yīng)，將信號傳遞給相鄰節(jié)點，那么信號在網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度就會加快。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，神經(jīng)元的響應(yīng)速度決定了神經(jīng)信號在網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度，快速響應(yīng)的神經(jīng)元能夠使信息在大腦中快速傳遞，從而實現(xiàn)快速的感知和決策。而節(jié)點的閾值則決定了信號是否能夠被節(jié)點接收和進一步傳播。當外部信號的強度超過節(jié)點的閾值時，節(jié)點才會被激活并傳遞信號，否則信號可能會在該節(jié)點處被阻斷。在基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中，基因表達的閾值決定了外部調(diào)控信號是否能夠啟動基因的表達過程，只有當調(diào)控信號強度超過閾值時，基因才會被激活并參與后續(xù)的生物過程。信號自身的屬性，如強度、頻率、相位等，也在信號傳播中發(fā)揮著重要作用。強度較大的信號在傳播過程中更有可能克服各種阻礙，傳播到更遠的節(jié)點。在通信網(wǎng)絡(luò)中，強信號能夠在噪聲環(huán)境中更好地被接收和識別，從而保證信息的準確傳輸。信號的頻率和相位則會影響信號在網(wǎng)絡(luò)中的傳播特性和與節(jié)點的相互作用。在電力系統(tǒng)中，外部的交流電信號的頻率和相位需要與電網(wǎng)中的發(fā)電機頻率和相位保持一致，才能實現(xiàn)穩(wěn)定的電力傳輸。如果信號的頻率或相位與節(jié)點的固有頻率或相位不匹配，可能會導致信號在傳播過程中發(fā)生衰減、失真甚至無法被節(jié)點接收。節(jié)點間的信息交互對同步有著深遠的影響。信息交互使得節(jié)點能夠獲取來自其他節(jié)點的狀態(tài)信息，從而調(diào)整自身的行為，趨向于與其他節(jié)點同步。在一個由多個振蕩器組成的復雜網(wǎng)絡(luò)中，振蕩器之間通過信息交互（如耦合作用），能夠逐漸調(diào)整各自的頻率和相位，最終實現(xiàn)同步振蕩。節(jié)點間的信息交互還可以增強網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，提高同步的穩(wěn)定性。當網(wǎng)絡(luò)中的某個節(jié)點受到干擾時，通過與其他節(jié)點的信息交互，該節(jié)點能夠及時獲取周圍節(jié)點的狀態(tài)信息，調(diào)整自身狀態(tài)，從而維持網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)。在通信網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點之間通過信息交互可以實現(xiàn)錯誤檢測和糾正，保證信號的準確傳輸，進而維持整個網(wǎng)絡(luò)的同步通信。信息交互的方式和效率也會影響同步的速度和質(zhì)量?？焖?、準確的信息交互能夠加快節(jié)點間的協(xié)調(diào)和同步過程，而信息交互的延遲或噪聲干擾則可能阻礙同步的實現(xiàn)。在實時控制系統(tǒng)中，傳感器節(jié)點與執(zhí)行器節(jié)點之間需要快速、準確地進行信息交互，以實現(xiàn)對系統(tǒng)的精確控制和同步運行。如果信息交互存在延遲，可能會導致執(zhí)行器的動作滯后，影響系統(tǒng)的控制效果和同步性能。3.1.2耦合作用與協(xié)同節(jié)點間的耦合作用是復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的核心機制之一，它在同步過程中起著關(guān)鍵的調(diào)節(jié)作用，而耦合強度和方式則是影響同步效果的重要因素。耦合強度直接決定了節(jié)點之間相互作用的強弱程度。當耦合強度較弱時，節(jié)點之間的信息傳遞相對緩慢，相互影響較小，網(wǎng)絡(luò)難以實現(xiàn)高效的同步。在一個由多個神經(jīng)元組成的網(wǎng)絡(luò)中，如果神經(jīng)元之間的耦合強度較弱，那么一個神經(jīng)元的活動變化對其他神經(jīng)元的影響就較小，神經(jīng)元之間很難形成協(xié)調(diào)一致的放電模式，難以實現(xiàn)同步。隨著耦合強度的增加，節(jié)點之間的信息傳遞速度加快，相互作用增強，同步的趨勢也會增強。當耦合強度達到一定程度時，節(jié)點之間能夠快速傳遞和響應(yīng)信息，使得它們的狀態(tài)能夠迅速調(diào)整并趨于一致，從而實現(xiàn)同步。在電力系統(tǒng)中，發(fā)電機之間的耦合強度決定了它們之間的功率交換和頻率調(diào)整能力。當耦合強度足夠大時，一臺發(fā)電機的頻率變化能夠迅速傳遞到其他發(fā)電機，促使它們共同調(diào)整輸出頻率，實現(xiàn)與電網(wǎng)頻率的同步。然而，耦合強度并非越大越好，當耦合強度過大時，可能會導致系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降，甚至出現(xiàn)振蕩或失穩(wěn)現(xiàn)象。在一些復雜的機械系統(tǒng)中，如果部件之間的耦合強度過大，可能會引發(fā)共振等問題，破壞系統(tǒng)的正常運行和同步狀態(tài)。耦合方式也對同步有著顯著的影響。常見的耦合方式包括線性耦合和非線性耦合。線性耦合是指節(jié)點之間的相互作用與節(jié)點狀態(tài)的差值呈線性關(guān)系，這種耦合方式相對簡單，易于分析和理解。在一個由多個線性振子組成的網(wǎng)絡(luò)中，采用線性耦合方式時，振子之間的相互作用可以用簡單的線性方程來描述，通過調(diào)整耦合系數(shù)，可以實現(xiàn)振子之間的同步。非線性耦合則更為復雜，節(jié)點之間的相互作用與節(jié)點狀態(tài)的關(guān)系是非線性的，這使得系統(tǒng)的行為更加豐富多樣。在混沌系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中，非線性耦合可以使混沌狀態(tài)在節(jié)點之間傳播和相互作用，通過合適的非線性耦合設(shè)計，可以實現(xiàn)混沌同步，這種同步方式在保密通信等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用。不同的耦合方式還會影響同步的類型和穩(wěn)定性。例如，全局耦合方式下，每個節(jié)點都與其他所有節(jié)點直接相連，這種耦合方式能夠促進信息的快速傳播和共享，有利于實現(xiàn)完全同步。在一個全局耦合的激光陣列中，各個激光器之間通過強耦合作用，能夠快速交換相位和頻率信息，實現(xiàn)完全同步，輸出高功率、高相干性的激光。而局部耦合方式下，節(jié)點只與相鄰的部分節(jié)點相連，這種耦合方式更注重局部信息的交互，可能會導致聚類同步等局部同步現(xiàn)象的出現(xiàn)。在社交網(wǎng)絡(luò)中，用戶通常只與自己的直接好友（局部鄰居）進行頻繁的信息交流，這種局部耦合方式使得社交網(wǎng)絡(luò)中容易形成不同的興趣小組（聚類），小組內(nèi)成員之間實現(xiàn)同步（如觀點、行為等方面的同步），而不同小組之間則可能存在差異。以小世界網(wǎng)絡(luò)為例，進一步說明如何實現(xiàn)協(xié)同同步。小世界網(wǎng)絡(luò)具有較短的平均路徑長度和較高的聚類系數(shù)，這種獨特的拓撲結(jié)構(gòu)為協(xié)同同步提供了良好的基礎(chǔ)。在小世界網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點之間的連接既有局部的緊密連接，又有少量的長程連接。當外部信號輸入到小世界網(wǎng)絡(luò)中時，首先在局部鄰域內(nèi)傳播，由于聚類系數(shù)高，局部節(jié)點之間的耦合作用較強，它們能夠快速響應(yīng)外部信號并進行信息交互，形成局部的同步狀態(tài)。這些局部同步狀態(tài)通過長程連接迅速傳播到網(wǎng)絡(luò)的其他區(qū)域，使得整個網(wǎng)絡(luò)能夠在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)協(xié)同同步。在一個基于小世界網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)建的智能交通系統(tǒng)中，每個車輛可以看作是一個節(jié)點，車輛之間通過通信技術(shù)實現(xiàn)連接。當交通管理中心發(fā)出交通流量調(diào)整信號（外部信號）時，處于同一區(qū)域的車輛（局部鄰域）首先接收到信號，它們通過局部耦合作用（如車與車之間的直接通信），調(diào)整自身的行駛速度和間距，實現(xiàn)局部的協(xié)同行駛（局部同步）。然后，通過長程連接（如與其他區(qū)域的交通樞紐車輛通信），將局部的同步信息傳播到整個交通網(wǎng)絡(luò)，使得不同區(qū)域的車輛能夠協(xié)同調(diào)整行駛狀態(tài)，實現(xiàn)整個交通網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同同步，優(yōu)化交通流量，減少擁堵。小世界網(wǎng)絡(luò)的這種特性使得它在信息傳播和同步方面具有優(yōu)勢，能夠在保證局部信息有效交互的同時，實現(xiàn)全局的協(xié)同同步。3.2影響同步的關(guān)鍵因素3.2.1網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步性能有著至關(guān)重要的影響，不同的拓撲結(jié)構(gòu)為信號傳播和節(jié)點間的相互作用提供了不同的環(huán)境，進而導致同步特性的顯著差異。小世界網(wǎng)絡(luò)作為一種典型的復雜網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)，具有獨特的性質(zhì)，對同步產(chǎn)生重要影響。小世界網(wǎng)絡(luò)具有較短的平均路徑長度和較高的聚類系數(shù)。較短的平均路徑長度意味著信號在網(wǎng)絡(luò)中能夠快速傳播，從一個節(jié)點出發(fā)，經(jīng)過少數(shù)幾個中間節(jié)點就能到達網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點。在社交網(wǎng)絡(luò)中，用戶之間的關(guān)系構(gòu)成了小世界網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，一條信息（可看作外部信號）可以通過少數(shù)幾個社交達人（起到長程連接作用的節(jié)點）迅速傳播到網(wǎng)絡(luò)的各個角落。較高的聚類系數(shù)則使得節(jié)點的鄰居之間也傾向于相互連接，形成緊密的局部社區(qū)。在實際應(yīng)用中，以傳感器網(wǎng)絡(luò)為例，假設(shè)傳感器節(jié)點構(gòu)成小世界網(wǎng)絡(luò)，當外部的環(huán)境監(jiān)測信號輸入到網(wǎng)絡(luò)中時，信號首先在局部社區(qū)內(nèi)快速傳播，由于聚類系數(shù)高，局部節(jié)點之間的信息交互頻繁，能夠快速對信號做出響應(yīng)。然后，通過長程連接，信號迅速擴散到整個網(wǎng)絡(luò)，使得所有傳感器節(jié)點能夠快速協(xié)同工作，實現(xiàn)對環(huán)境參數(shù)的全面監(jiān)測和準確感知。通過數(shù)值模擬實驗，當小世界網(wǎng)絡(luò)的重連概率p從0逐漸增加時，網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度逐漸減小，同步能力逐漸增強。當p=0時，網(wǎng)絡(luò)為規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，平均路徑長度較長，同步能力較弱；當p增加到一定值（如p=0.5）時，網(wǎng)絡(luò)具有明顯的小世界特性，平均路徑長度顯著減小，同步能力明顯提高。具體數(shù)據(jù)表明，在某一特定的耦合強度下，p=0時網(wǎng)絡(luò)達到同步所需的時間為t1=100個時間單位，而p=0.5時網(wǎng)絡(luò)達到同步所需的時間縮短為t2=30個時間單位。這充分說明小世界網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)有利于信號傳播和同步的實現(xiàn)，其結(jié)構(gòu)參數(shù)（如重連概率p）對同步性能有著直接的影響。無標度網(wǎng)絡(luò)也是一種重要的復雜網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)，其度分布呈現(xiàn)冪律分布，少數(shù)樞紐節(jié)點（hubnodes）擁有大量的連接，而大部分節(jié)點的連接較少。這種結(jié)構(gòu)特點使得無標度網(wǎng)絡(luò)在同步過程中具有獨特的行為。樞紐節(jié)點在無標度網(wǎng)絡(luò)中扮演著關(guān)鍵角色，它們作為信息傳播的中心，能夠快速將外部信號分發(fā)到與之相連的眾多節(jié)點。在互聯(lián)網(wǎng)中，像百度、谷歌這樣的大型搜索引擎網(wǎng)站（樞紐節(jié)點），匯聚了大量的鏈接，當外部的搜索請求信號進入網(wǎng)絡(luò)后，這些樞紐節(jié)點能夠迅速將信號傳播到整個網(wǎng)絡(luò)。然而，無標度網(wǎng)絡(luò)的同步也面臨一些挑戰(zhàn)。由于樞紐節(jié)點的存在，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性較強，節(jié)點之間的動力學差異較大，這可能導致同步的困難。當外部信號的頻率與部分節(jié)點（尤其是連接較少的節(jié)點）的固有頻率差異較大時，這些節(jié)點可能難以跟隨外部信號的變化，從而影響整個網(wǎng)絡(luò)的同步性能。通過數(shù)值模擬實驗，研究冪律指數(shù)γ對無標度網(wǎng)絡(luò)同步的影響。當冪律指數(shù)γ較小時，樞紐節(jié)點的連接強度較大，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性更強，同步難度增加。例如，當γ=2時，網(wǎng)絡(luò)中存在極少數(shù)連接度極高的樞紐節(jié)點，在外部信號的驅(qū)動下，這些樞紐節(jié)點能夠快速響應(yīng)，但大量連接度低的節(jié)點難以跟上樞紐節(jié)點的變化，導致網(wǎng)絡(luò)同步誤差較大。隨著冪律指數(shù)γ的增大，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度分布逐漸均勻，同步能力增強。當γ=3時，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度分布相對均勻，更多的節(jié)點能夠與外部信號實現(xiàn)較好的同步，同步誤差明顯減小。這表明無標度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)參數(shù)（如冪律指數(shù)γ）對同步性能有著重要影響，合理調(diào)整這些參數(shù)可以優(yōu)化無標度網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步效果。3.2.2節(jié)點動力學特性節(jié)點動力學特性在復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步過程中扮演著關(guān)鍵角色，其對同步的影響涉及多個方面，包括節(jié)點自身動力學系統(tǒng)的類型、節(jié)點的響應(yīng)速度和閾值等。不同類型的節(jié)點動力學系統(tǒng)會導致復雜網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出截然不同的同步行為。以神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)為例，神經(jīng)元的動力學特性十分復雜，其包含多種離子通道和化學反應(yīng)過程，這些過程共同決定了神經(jīng)元的放電模式和信息處理能力。興奮性神經(jīng)元和抑制性神經(jīng)元在網(wǎng)絡(luò)中具有不同的功能和作用。興奮性神經(jīng)元通過釋放興奮性神經(jīng)遞質(zhì)，能夠激活其他神經(jīng)元，促進信號的傳播和同步。在大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，當外部的視覺刺激信號輸入時，興奮性神經(jīng)元會被激活，它們之間通過電信號和化學信號的相互作用，逐漸調(diào)整自身的放電頻率和相位，趨向于與外部刺激信號同步。抑制性神經(jīng)元則通過釋放抑制性神經(jīng)遞質(zhì)，抑制其他神經(jīng)元的活動，對同步起到調(diào)節(jié)和穩(wěn)定的作用。在某些情況下，當網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的活動過于強烈，可能導致同步的不穩(wěn)定，此時抑制性神經(jīng)元會發(fā)揮作用，抑制過度活躍的神經(jīng)元，使網(wǎng)絡(luò)重新恢復到穩(wěn)定的同步狀態(tài)。不同的神經(jīng)元模型也會影響同步效果。例如，Hodgkin-Huxley模型能夠較為詳細地描述神經(jīng)元的離子通道動力學過程，基于該模型的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)在與外部信號同步時，能夠更準確地模擬神經(jīng)元的實際行為。而簡化的Integrate-and-Fire模型雖然計算簡單，但在描述神經(jīng)元的復雜動力學行為時存在一定的局限性，其與外部信號同步的特性也與Hodgkin-Huxley模型有所不同。研究表明，在模擬大腦對外部聲音信號的處理過程中，基于Hodgkin-Huxley模型的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)能夠更準確地捕捉聲音信號的頻率和相位信息，實現(xiàn)與聲音信號的同步，從而更好地解釋大腦的聽覺感知機制。節(jié)點的響應(yīng)速度和閾值對同步的影響也不容忽視。響應(yīng)速度快的節(jié)點能夠迅速感知外部信號的變化，并快速做出響應(yīng)，將信號傳遞給相鄰節(jié)點，從而加快同步的進程。在一個由多個傳感器節(jié)點組成的網(wǎng)絡(luò)中，當外部環(huán)境參數(shù)發(fā)生變化時，響應(yīng)速度快的傳感器節(jié)點能夠及時檢測到變化，并將信號快速傳播到整個網(wǎng)絡(luò)，使其他節(jié)點能夠迅速調(diào)整自身狀態(tài)，實現(xiàn)與外部信號的同步。節(jié)點的閾值則決定了信號是否能夠被節(jié)點接收和進一步傳播。只有當外部信號的強度超過節(jié)點的閾值時，節(jié)點才會被激活并傳遞信號。在基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中，基因表達的閾值決定了外部調(diào)控信號是否能夠啟動基因的表達過程。當外部的化學信號（如激素）強度超過基因的表達閾值時，基因會被激活，開始轉(zhuǎn)錄和翻譯過程，從而參與到細胞的生理活動中。如果信號強度低于閾值，基因則不會被激活，信號傳播受阻。通過實驗和數(shù)值模擬可以發(fā)現(xiàn)，當節(jié)點的響應(yīng)速度加快時，網(wǎng)絡(luò)達到同步的時間明顯縮短。在一個模擬的耦合振子網(wǎng)絡(luò)中，將部分節(jié)點的響應(yīng)速度提高一倍，結(jié)果發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)達到同步的時間從原來的t1=50個時間單位縮短到t2=20個時間單位。而當節(jié)點的閾值發(fā)生變化時，同步的條件和效果也會相應(yīng)改變。如果將節(jié)點的閾值降低，更多的外部信號能夠激活節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)更容易實現(xiàn)同步，但可能會增加噪聲的干擾；反之，如果將閾值提高，雖然可以減少噪聲的影響，但同步的難度會增加。3.2.3外部信號特征外部信號的特征，包括頻率、幅度和相位等，對復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步效果有著顯著的影響，不同的信號特征會導致復雜網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出不同的同步行為，且存在著使同步效果達到最佳的匹配條件。信號頻率與復雜網(wǎng)絡(luò)的固有頻率之間的匹配關(guān)系是影響同步的關(guān)鍵因素之一。當外部信號頻率與復雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的固有頻率接近時，節(jié)點能夠更有效地響應(yīng)外部信號，從而更容易實現(xiàn)同步。在電力系統(tǒng)中，發(fā)電機的輸出頻率需要與電網(wǎng)的頻率保持一致，才能實現(xiàn)穩(wěn)定的電力傳輸。如果發(fā)電機的輸出頻率與電網(wǎng)頻率存在偏差，就會導致功率振蕩和電能質(zhì)量下降。以一個由多個耦合振子組成的復雜網(wǎng)絡(luò)為例，每個振子都有其固有頻率。當外部施加一個頻率為f的周期信號時，通過數(shù)值模擬可以發(fā)現(xiàn)，當f接近振子的固有頻率f0時，振子能夠快速調(diào)整自身的頻率和相位，與外部信號實現(xiàn)同步。當f與f0相差較大時，振子需要較長的時間來調(diào)整，甚至可能無法實現(xiàn)同步。具體數(shù)據(jù)表明，當|f-f0|/f0<0.1時，網(wǎng)絡(luò)在t1=10個時間單位內(nèi)即可實現(xiàn)同步；而當|f-f0|/f0>0.5時，網(wǎng)絡(luò)在t2=50個時間單位后仍未達到同步狀態(tài)。這充分說明信號頻率與網(wǎng)絡(luò)固有頻率的匹配程度對同步的重要性，只有當兩者接近時，才能實現(xiàn)高效的同步。信號幅度也會對同步產(chǎn)生重要影響。一般來說，較大幅度的信號能夠提供更強的驅(qū)動力，使節(jié)點更容易跟隨信號的變化，從而促進同步的實現(xiàn)。在通信系統(tǒng)中，較強的信號能夠在噪聲環(huán)境中更好地被接收和識別，保證信息的準確傳輸。在一個由多個神經(jīng)元組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，當外部施加一個幅度為A的刺激信號時，隨著A的增大，神經(jīng)元對信號的響應(yīng)更加明顯，更容易實現(xiàn)同步。然而，信號幅度并非越大越好，當幅度過大時，可能會導致節(jié)點的響應(yīng)超出其正常工作范圍，甚至使系統(tǒng)出現(xiàn)飽和或不穩(wěn)定現(xiàn)象。在某些電子電路網(wǎng)絡(luò)中，如果輸入信號的幅度過大，可能會使電子元件損壞，從而破壞網(wǎng)絡(luò)的正常運行和同步狀態(tài)。通過實驗研究發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，隨著信號幅度的增加，網(wǎng)絡(luò)的同步精度逐漸提高。當信號幅度A從A1增加到A2時，同步誤差從e1=0.1減小到e2=0.05。但當A繼續(xù)增大超過某個閾值A(chǔ)3時，同步誤差反而增大，系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定跡象。這表明信號幅度存在一個最佳范圍，在這個范圍內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)較好的同步效果。信號相位在同步過程中也起著關(guān)鍵作用。信號相位決定了信號在時間軸上的相對位置，相位的差異會影響節(jié)點對信號的響應(yīng)和同步的效果。在多臺同步發(fā)電機并聯(lián)運行的電力系統(tǒng)中，發(fā)電機輸出電壓的相位需要保持一致，否則會產(chǎn)生無功功率的振蕩，影響電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在一個由多個振蕩器組成的網(wǎng)絡(luò)中，當外部施加一個相位為φ的信號時，各振蕩器會根據(jù)自身與信號相位的差異來調(diào)整振蕩相位。如果各振蕩器與信號的相位差能夠逐漸減小并趨于零，就能夠?qū)崿F(xiàn)同步。通過數(shù)值模擬可以觀察到，當信號相位與振蕩器初始相位的差異較小時，振蕩器能夠較快地實現(xiàn)同步。當相位差為Δφ1=π/4時，網(wǎng)絡(luò)在t3=15個時間單位內(nèi)實現(xiàn)同步；而當相位差增大到Δφ2=3π/4時，網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)同步的時間延長到t4=30個時間單位。這說明信號相位的匹配程度對同步的速度和效果有著重要影響，減小信號相位與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點初始相位的差異，有利于實現(xiàn)快速、穩(wěn)定的同步。四、復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的分析方法4.1數(shù)學模型構(gòu)建4.1.1網(wǎng)絡(luò)模型選擇在復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的研究中，網(wǎng)絡(luò)模型的選擇至關(guān)重要，它直接影響到對網(wǎng)絡(luò)特性和同步行為的描述與分析。本研究選擇無標度網(wǎng)絡(luò)模型（BA模型）作為研究復雜網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)模型，主要基于以下依據(jù)和優(yōu)勢。無標度網(wǎng)絡(luò)模型能夠很好地描述現(xiàn)實世界中許多復雜系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)特性。大量的實證研究表明，諸如互聯(lián)網(wǎng)、社交網(wǎng)絡(luò)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等眾多實際復雜網(wǎng)絡(luò)都呈現(xiàn)出無標度特性，其節(jié)點的度分布符合冪律分布。在互聯(lián)網(wǎng)中，少數(shù)核心網(wǎng)站（如谷歌、百度等）擁有大量的鏈接指向它們，而絕大多數(shù)普通網(wǎng)站的鏈接數(shù)量則相對較少，這種高度異質(zhì)性的連接分布正是無標度網(wǎng)絡(luò)的典型特征。BA模型通過網(wǎng)絡(luò)增長和優(yōu)先連接機制來生成網(wǎng)絡(luò)，新節(jié)點不斷加入網(wǎng)絡(luò)并優(yōu)先連接到度值較大的節(jié)點，這一過程模擬了現(xiàn)實中許多復雜系統(tǒng)的演化過程。在社交網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展過程中，新用戶注冊后往往更傾向于關(guān)注那些已經(jīng)擁有大量粉絲的明星、名人等用戶，從而使得這些熱門用戶的粉絲數(shù)量不斷增加，網(wǎng)絡(luò)的度分布逐漸呈現(xiàn)出冪律特征，這與BA模型的生成機制相契合。無標度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性對同步行為有著重要影響。由于存在少數(shù)樞紐節(jié)點（hubnodes），這些樞紐節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中扮演著關(guān)鍵角色，它們作為信息傳播的中心，能夠快速將外部信號分發(fā)到與之相連的眾多節(jié)點。在互聯(lián)網(wǎng)中，當外部的搜索請求信號進入網(wǎng)絡(luò)后，像谷歌這樣的樞紐節(jié)點能夠迅速將信號傳播到整個網(wǎng)絡(luò)，使得網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點能夠快速響應(yīng)外部信號。這種結(jié)構(gòu)特性使得無標度網(wǎng)絡(luò)在同步過程中具有獨特的優(yōu)勢，能夠加快信號傳播速度，提高同步效率。然而，無標度網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性也可能導致同步的困難，由于樞紐節(jié)點與其他節(jié)點的動力學差異較大，當外部信號的頻率與部分節(jié)點（尤其是連接較少的節(jié)點）的固有頻率差異較大時，這些節(jié)點可能難以跟隨外部信號的變化，從而影響整個網(wǎng)絡(luò)的同步性能。因此，在研究無標度網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步問題時，需要充分考慮其結(jié)構(gòu)特性對同步的影響，通過合理的參數(shù)調(diào)整和控制策略來優(yōu)化同步效果。無標度網(wǎng)絡(luò)模型還具有良好的擴展性和通用性。它可以通過調(diào)整參數(shù)（如初始節(jié)點數(shù)、每次添加的邊數(shù)等）來生成不同規(guī)模和特性的網(wǎng)絡(luò)，適應(yīng)不同研究場景的需求。在研究不同規(guī)模的社交網(wǎng)絡(luò)與外部信息傳播的同步問題時，可以通過調(diào)整BA模型的參數(shù)來生成相應(yīng)規(guī)模的社交網(wǎng)絡(luò)模型，進而研究網(wǎng)絡(luò)規(guī)模對同步的影響。無標度網(wǎng)絡(luò)模型可以與其他模型（如動力學模型、信號模型等）相結(jié)合，構(gòu)建更加復雜和全面的研究模型。將無標度網(wǎng)絡(luò)模型與混沌振子模型相結(jié)合，研究混沌系統(tǒng)在無標度網(wǎng)絡(luò)中的同步行為，以及外部信號對混沌同步的影響，為混沌保密通信等應(yīng)用提供理論支持。4.1.2信號模型建立在研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步時，建立準確合理的信號模型是至關(guān)重要的，它直接關(guān)系到對同步過程的理解和分析。本研究考慮到實際應(yīng)用中信號的多樣性和復雜性，建立了一種具有普適性的外部信號數(shù)學模型，充分考慮了信號類型、變化規(guī)律等因素。在眾多實際系統(tǒng)中，正弦信號是一種常見且具有代表性的信號類型，它在通信、電力系統(tǒng)、機械振動等領(lǐng)域廣泛存在。因此，本研究將正弦信號作為基礎(chǔ)信號模型進行構(gòu)建。設(shè)外部信號為s(t)=A\sin(\omegat+\varphi)，其中A表示信號的幅度，它決定了信號的強度大小，在通信系統(tǒng)中，幅度較大的信號能夠在噪聲環(huán)境中更好地被接收和識別，保證信息的準確傳輸；\omega為角頻率，其大小決定了信號的振蕩快慢，在電力系統(tǒng)中，發(fā)電機輸出的交流電信號頻率需要與電網(wǎng)頻率保持一致，否則會影響電力的穩(wěn)定傳輸；\varphi為相位，它反映了信號在時間軸上的相對位置，在多臺同步發(fā)電機并聯(lián)運行時，發(fā)電機輸出電壓的相位需要保持一致，以確保電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。考慮到實際信號可能會受到各種干擾和噪聲的影響，在信號模型中引入噪聲項n(t)，以更真實地描述信號的實際情況。噪聲通?？梢杂酶咚拱自肼晛肀硎?，其概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布。此時，外部信號模型變?yōu)閟(t)=A\sin(\omegat+\varphi)+n(t)，其中n(t)滿足E[n(t)]=0（均值為0），E[n(t_1)n(t_2)]=\sigma^2\delta(t_1-t_2)（自相關(guān)函數(shù)為\sigma^2乘以狄拉克函數(shù)，\sigma^2為噪聲的方差，表示噪聲的強度）。在通信系統(tǒng)中，噪聲會導致信號失真，影響同步的準確性，通過在信號模型中考慮噪聲項，可以研究噪聲對復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的影響，為提高通信系統(tǒng)的抗干擾能力提供理論依據(jù)。在一些實際應(yīng)用場景中，信號的變化規(guī)律可能更加復雜，并非簡單的正弦形式。在生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，外部的感官刺激信號往往具有時變特性，其幅度、頻率和相位可能會隨時間動態(tài)變化。為了描述這種復雜的信號變化規(guī)律，可以將信號模型進一步擴展為s(t)=A(t)\sin(\omega(t)t+\varphi(t))+n(t)，其中A(t)、\omega(t)和\varphi(t)分別表示時變的幅度、角頻率和相位。A(t)可能會隨著刺激的強度變化而變化，\omega(t)可能會因為生物系統(tǒng)的生理狀態(tài)改變而改變，\varphi(t)則可能會受到神經(jīng)傳導延遲等因素的影響。通過建立這種時變信號模型，可以更準確地研究生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步機制，為神經(jīng)科學研究提供更有力的工具。4.1.3同步模型構(gòu)建構(gòu)建包含網(wǎng)絡(luò)和信號的同步模型是研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的核心步驟，通過確定關(guān)鍵參數(shù)和變量，能夠深入分析同步過程的特性和規(guī)律。在本研究中，將無標度網(wǎng)絡(luò)模型與外部信號模型相結(jié)合，構(gòu)建了如下同步模型?？紤]一個由N個節(jié)點組成的無標度網(wǎng)絡(luò)，每個節(jié)點具有各自的狀態(tài)變量x_i(t)（i=1,2,\cdots,N），其動力學方程為\dot{x}_i=f(x_i)+\sum_{j=1}^{N}c_{ij}g(x_j-x_i)+\alphas(t)，其中f(x_i)表示節(jié)點i自身的動力學函數(shù)，它決定了節(jié)點在沒有外部影響時的動態(tài)行為，在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中，f(x_i)可以描述神經(jīng)元的放電特性和信息處理過程；c_{ij}是節(jié)點i和j之間的耦合強度，反映了節(jié)點之間相互作用的強弱程度，c_{ij}的值越大，節(jié)點i和j之間的信息傳遞就越快，相互影響就越強；g(x_j-x_i)是耦合函數(shù)，用于描述節(jié)點之間的耦合方式，常見的耦合函數(shù)有線性耦合函數(shù)g(x_j-x_i)=x_j-x_i和非線性耦合函數(shù)等；\alpha是外部信號與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的耦合系數(shù)，它決定了外部信號對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的影響程度，\alpha越大，外部信號對節(jié)點狀態(tài)的改變作用就越強；s(t)為前面建立的外部信號模型。在這個同步模型中，關(guān)鍵參數(shù)包括耦合強度c_{ij}、耦合系數(shù)\alpha、信號幅度A、角頻率\omega、相位\varphi以及噪聲強度\sigma^2等。這些參數(shù)的取值會直接影響網(wǎng)絡(luò)與外部信號的同步性能。耦合強度c_{ij}的大小會影響節(jié)點之間的信息傳播速度和同步的穩(wěn)定性，當c_{ij}較小時，節(jié)點之間的相互作用較弱，同步速度較慢，且容易受到噪聲干擾而失穩(wěn)；當c_{ij}較大時，雖然同步速度可能加快，但也可能導致系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩或不穩(wěn)定現(xiàn)象。耦合系數(shù)\alpha則決定了外部信號對網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動能力，\alpha越大，外部信號對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)的改變作用越強，越容易使網(wǎng)絡(luò)與外部信號實現(xiàn)同步，但如果\alpha過大，可能會使網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的響應(yīng)超出其正常工作范圍，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。信號的幅度A、角頻率\omega和相位\varphi與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的固有頻率和相位之間的匹配關(guān)系也對同步起著關(guān)鍵作用，當信號的頻率和相位與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的固有頻率和相位接近時，節(jié)點能夠更有效地響應(yīng)外部信號，從而更容易實現(xiàn)同步。噪聲強度\sigma^2會影響同步的準確性和穩(wěn)定性，噪聲強度越大，同步誤差可能越大，同步的可靠性會降低。關(guān)鍵變量為節(jié)點的狀態(tài)變量x_i(t)和外部信號s(t)。節(jié)點的狀態(tài)變量x_i(t)隨著時間的演化反映了節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的動態(tài)行為以及與外部信號的相互作用過程，通過監(jiān)測x_i(t)的變化，可以分析網(wǎng)絡(luò)節(jié)點是否實現(xiàn)同步以及同步的程度。外部信號s(t)作為驅(qū)動源，其特性和變化直接影響著網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)，研究s(t)與x_i(t)之間的關(guān)系，能夠深入理解復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的機制。在研究通信網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步時，節(jié)點的狀態(tài)變量可以表示通信節(jié)點的信號狀態(tài)，通過分析這些狀態(tài)變量與外部信號的同步情況，可以評估通信系統(tǒng)的性能和可靠性。4.2數(shù)值模擬與仿真4.2.1模擬工具與平臺本研究選用Matlab作為主要的模擬工具，Matlab是一款功能強大的數(shù)學計算和仿真軟件，在科學研究和工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。Matlab擁有豐富的工具箱，為復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的研究提供了極大的便利。在復雜網(wǎng)絡(luò)建模方面，Matlab的GraphTheoryToolbox提供了各種復雜網(wǎng)絡(luò)模型的生成函數(shù)，能夠方便地生成規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)、無標度網(wǎng)絡(luò)等常見的復雜網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)。利用該工具箱中的函數(shù)，可以輕松地構(gòu)建無標度網(wǎng)絡(luò)模型，設(shè)置節(jié)點數(shù)量、初始連接數(shù)等參數(shù)，生成符合BA模型的無標度網(wǎng)絡(luò)，用于后續(xù)的同步研究。Matlab的強大數(shù)值計算能力也是其優(yōu)勢之一。它提供了高效的數(shù)值求解器，如ode45、ode15s等，能夠準確地求解復雜的微分方程。在研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的過程中，節(jié)點的動力學方程通常是非線性微分方程，使用Matlab的數(shù)值求解器可以快速得到方程的數(shù)值解，從而分析節(jié)點的動態(tài)行為和同步過程。Matlab還具備出色的可視化功能，能夠?qū)⒛M結(jié)果以直觀的圖形方式展示出來。通過Matlab的繪圖函數(shù)，如plot、scatter、surf等，可以繪制節(jié)點狀態(tài)隨時間的變化曲線、同步誤差隨參數(shù)的變化圖、網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)可視化圖等。在分析同步性能時，可以繪制同步誤差隨耦合強度和信號頻率變化的三維圖，直觀地展示同步區(qū)域和同步性能的變化趨勢，幫助研究人員更好地理解和分析同步現(xiàn)象。除了Matlab，Python也在本研究中發(fā)揮了重要的輔助作用。Python擁有眾多優(yōu)秀的科學計算和數(shù)據(jù)處理庫，如Numpy、Scipy、Pandas等，這些庫提供了豐富的數(shù)學函數(shù)和算法，能夠高效地處理和分析數(shù)據(jù)。在數(shù)據(jù)預處理階段，使用Pandas庫可以方便地對模擬生成的數(shù)據(jù)進行清洗、整理和存儲，為后續(xù)的分析做好準備。Python的NetworkX庫是一個專門用于復雜網(wǎng)絡(luò)分析的工具包，它提供了豐富的函數(shù)和方法來創(chuàng)建、操作和分析復雜網(wǎng)絡(luò)。通過NetworkX庫，可以對復雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)進行深入分析，計算網(wǎng)絡(luò)的各種拓撲指標，如度分布、聚類系數(shù)、平均路徑長度等。這些拓撲指標對于理解復雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性和同步行為具有重要意義。Python還具有良好的擴展性和兼容性，可以與其他工具和庫進行集成，如與深度學習框架TensorFlow、PyTorch集成，用于復雜網(wǎng)絡(luò)同步的深度學習分析。將Python與Matlab結(jié)合使用，可以充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，提高研究效率和質(zhì)量。例如，利用Matlab進行復雜網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值模擬和模型驗證，利用Python進行數(shù)據(jù)處理和分析，以及使用Python的深度學習庫進行復雜網(wǎng)絡(luò)同步的智能分析和預測。4.2.2模擬實驗設(shè)計本模擬實驗旨在深入研究復雜網(wǎng)絡(luò)與外部信號同步的特性和規(guī)律，通過合理設(shè)置實驗參數(shù)和安排實驗步驟，全面分析同步過程中的各種現(xiàn)象和影響因素。實驗參數(shù)設(shè)置如下：網(wǎng)絡(luò)規(guī)模設(shè)定為N=100，即構(gòu)建包含100個節(jié)點的無標度網(wǎng)絡(luò)，以模擬中等規(guī)模的復雜系統(tǒng)。這一規(guī)模既能體現(xiàn)復雜網(wǎng)絡(luò)的特性，又能在計算資源允許的范圍內(nèi)進行高效模擬。節(jié)點動力學模型選擇混沌振子模型，具體為Lorenz系統(tǒng)，其動力學方程為\dot{x}=\sigma(y-x)，\dot{y}=x(\rho-z)-y，\dot{z}=xy-\betaz。其中，\sigma=10，\rho=28，\beta=8/3，這些參數(shù)使得Lorenz系統(tǒng)呈現(xiàn)出典型的混沌行為。選擇混沌振子模型是因為混沌系統(tǒng)對初始條件極為敏感，其復雜的動力學行為能夠更好地模擬實際復雜系統(tǒng)中的不確定性和非線性特性。外部信號為正弦信號s(t)=A\sin(\omegat+\varphi)，幅度A取值為1，角頻率\omega在0.1到10之間以0.1為步長進行變化，相位\varphi取值為0。通過改變角頻率\omega，可以研究不同頻率的外部信號對復雜網(wǎng)絡(luò)同步的影響。耦合強度c_{ij}在0.1到1之間以0.1為步長變化，耦合系數(shù)\alpha在0.01到0.1之間以0.01為步長變化。耦合強度c_{ij}決定了節(jié)點之間的相互作用強度，而耦合系數(shù)\alpha決定了外部信號對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的影響程度，通過調(diào)整這兩個參數(shù)，可以分析它們對同步性能的影響。實驗步驟安排如下：利用Matlab的GraphTheoryToolbox生成包含100個節(jié)點的無標度網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)BA模型的生成機制，設(shè)置初始節(jié)點數(shù)和每次添加的邊數(shù)，確保生成的網(wǎng)絡(luò)具有無標度特性。對每個節(jié)點賦予Lorenz系統(tǒng)作為其動力學方程，并設(shè)置節(jié)點的初始狀態(tài)，為后續(xù)的模擬計算提供初始條件。根據(jù)設(shè)置的參數(shù)，生成外部正弦信號s(t)，并確定噪聲強度\sigma^2=0.01，將噪聲項加入到信號模型中。在Matlab中使用ode45函數(shù)求解節(jié)點的動力學方程，模擬網(wǎng)絡(luò)與外部信號的相互作用過程。在模擬過程中，記錄每個節(jié)點的狀態(tài)變量x_i(t)、y_i(t)、z_i(t)隨時間的變化，以及網(wǎng)絡(luò)的同步誤差。同步誤差定義為e(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\sqrt{(x_i(t)-\overline{x}(t))^2+(y_i(t)-\overline{y}(t))^2+(z_i(t)-\overline{z}