高三數(shù)學數(shù)列的概念選擇題專項訓練單元易錯題提優(yōu)專項訓練一、數(shù)列的概念選擇題1．數(shù)列滿足：，其前項積為，則（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根據(jù)遞推公式推導出，且有，再利用數(shù)列的周期性可計算出的值.【詳解】，，，，，，，且，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應用，涉及數(shù)列周期性的應用，考查計算能力，屬于中等題.2．已知數(shù)列滿足，，則的值不可能是（）A．2 B．4 C．10 D．14答案：B解析：B【分析】先由題中條件，得到，由累加法得到，根據(jù)，，逐步計算出所有可能取的值，即可得出結果.【詳解】由得，則，所以，，……，，以上各式相加可得：，所以，又，所以，則，因為，，則，所以，則或，所以或；則或，所以或；則或或，所以或或；則或或，所以或或；……，以此類推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值為，所以所有可能取的值為，，，，，，，，，，；則所有可能取的值為，，，，，，，，，，，即ACD都有可能，B不可能.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于將題中條件平方后，利用累加法，得到，將問題轉(zhuǎn)化為求的取值問題，再由條件，結合各項取值的規(guī)律，即可求解.3．意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學等方面都有著廣泛的應用，若此數(shù)列的每一項被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項的和為（）A．1348 B．1358 C．1347 D．1357答案：C解析：C【分析】由題意可知，得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前3項和為，又，由此可得答案【詳解】解：由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各項除以2的余數(shù)，可得數(shù)列為，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前3項和為，因為，所以數(shù)列的前2020項的和為故選：C4．已知在數(shù)列中，，則的值為（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由累乘法可求得，即可求出.【詳解】，即，，.故選：C.5．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由轉(zhuǎn)化為，利用疊加法，求得，即可求解.【詳解】由，可得，所以，所以.故選：B.【點睛】數(shù)列的通項公式的常見求法：1、對于遞推關系式可轉(zhuǎn)化為的數(shù)列，通常采用疊加法（逐差相加法）求其通項公式；2、對于遞推關系式可轉(zhuǎn)化為的數(shù)列，并且容易求數(shù)列前項積時，通常采用累乘法求其通項公式；3、對于遞推關系式形如的數(shù)列，可采用構造法求解數(shù)列的通項公式.6．函數(shù)的正數(shù)零點從小到大構成數(shù)列，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】先將函數(shù)化簡為，再解函數(shù)零點得或，，再求即可.【詳解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正數(shù)零點從小到大構成數(shù)列為：故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的概念，考查數(shù)學運算求解能力，是中檔題.7．設數(shù)列滿足若，則（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由題意有且，即可求，進而可得，即可比較它們的大小.【詳解】由題意知：，，∴，而，∴，故選：C【點睛】本題考查了根據(jù)數(shù)列間的遞推關系比較項的大小，屬于簡單題.8．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第19項為（）（注：）A．1624 B．1198 C．1024 D．1560答案：C解析：C【分析】設該數(shù)列為，令，設的前項和為，又令，則，依次用累加法，可求解.【詳解】設該數(shù)列為，令，設的前項和為，又令，設的前項和為，易得，所以，，進而得，所以，同理：所以，所以.故選：C【點睛】本題考查構造數(shù)列，用累加法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題.9．在數(shù)列中，，()，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】通過遞推公式求出可得數(shù)列是周期數(shù)列，根據(jù)周期即可得答案.【詳解】解：，，，則數(shù)列周期數(shù)列，滿足，，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性，考查遞推公式的應用，是基礎題.10．已知等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式代入可得的值.【詳解】由，得，則有.故選：B.【點睛】考查等差數(shù)列通項公式的運用，知識點較為簡單.11．已知數(shù)列按如下規(guī)律分布（其中表示行數(shù)，表示列數(shù)），若，則下列結果正確的是（）第1列第2列第3列第4列…第1行1391933第2行751121第3行17151323第4行31292725┇A．， B．， C．， D．，答案：C解析：C【分析】可以看出所排都是奇數(shù)從小到大排起.規(guī)律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完次后，排出的數(shù)呈正方形.可先算是第幾個奇數(shù)，這個奇數(shù)在哪兩個完全平方數(shù)之間，再去考慮具體的位置.【詳解】每排完次后，數(shù)字呈現(xiàn)邊長是的正方形，所以排次結束后共排了個數(shù).，說明是個奇數(shù).而，故一定是行，而從第個數(shù)算起，第個數(shù)是倒數(shù)第個，根據(jù)規(guī)律第個數(shù)排在第行第列，所以第個數(shù)是第行第列，即在第行第列.故.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列的基礎知識，但是考查卻很靈活，屬于較難題.12．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由題意可得，，，……，再將這2019個式子相加得到結論.【詳解】由題意可知，，，……，這個式子相加可得.故選：B.【點睛】本題考查累加法，重點考查計算能力，屬于基礎題型.13．對于實數(shù)表示不超過的最大整數(shù).已知正項數(shù)列滿足，，其中為數(shù)列的前項和，則（）A．135 B．141 C．149 D．155答案：D解析：D【分析】利用已知數(shù)列的前項和求其得通項，再求【詳解】解：由于正項數(shù)列滿足，，所以當時，得，當時，所以，所以，因為各項為正項，所以因為,,,,.所以，故選：D【點睛】此題考查了數(shù)列的已知前項和求通項，考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.14．已知數(shù)列滿足，，且，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】將題干中的等式化簡變形得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式，由此計算出，進而可得出數(shù)列的前項和.【詳解】，將此等式變形得，由累乘法得，，，，因此，數(shù)列的前項和為.故選：B.【點睛】本題考查并項求和法，同時也涉及了利用累乘法求數(shù)列的通項，求出是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.15．已知數(shù)列，3，，，…，，…，則是它的（）A．第8項 B．第9項 C．第10項 D．第11項答案：D解析：D【解析】【分析】根據(jù)根號下的數(shù)字規(guī)律,可知為等差數(shù)列.利用等差數(shù)列性質(zhì)求得通項公式,即可判斷為第幾項.【詳解】根據(jù)數(shù)列中的項,都改成根式形式為,,,,…,,由前幾項可知,根式下的數(shù)列是以5為首項,4為公差的等差數(shù)列則根式下的數(shù)字組成的等差數(shù)列通項公式為而所以解得故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的求法及簡單應用,屬于基礎題.二、數(shù)列多選題16．意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：….即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和.后人為了紀念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A． B．是偶數(shù) C． D．…答案：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，，，，故A正確；對于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項是偶數(shù)，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，，，，各式相加解析：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，，，，故A正確；對于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項是偶數(shù)，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，，，，各式相加得，所以，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是合理利用該數(shù)列的性質(zhì)去證明選項.17．已知數(shù)列，則前六項適合的通項公式為（）A． B．C． D．答案：AC【分析】對四個選項中的數(shù)列通項公式分別取前六項，看是否滿足題意，得出答案．【詳解】對于選項A，取前六項得：，滿足條件；對于選項B，取前六項得：，不滿足條件；對于選項C，取前六項得：，解析：AC【分析】對四個選項中的數(shù)列通項公式分別取前六項，看是否滿足題意，得出答案．【詳解】對于選項A，取前六項得：，滿足條件；對于選項B，取前六項得：，不滿足條件；對于選項C，取前六項得：，滿足條件；對于選項D，取前六項得：，不滿足條件；故選：AC18．設數(shù)列滿足，對任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．答案：ABD【分析】構造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設，則，所以當時，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，解析：ABD【分析】構造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設，則，所以當時，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，即，所以，，故A正確；C不正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；,所以因此，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)列性質(zhì)的綜合應用，屬于難題.19．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A．數(shù)列的前n項和為 B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞增數(shù)列答案：ABC【分析】數(shù)列的前項和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項公式可得，，時，，進而求出．【詳解】數(shù)列的前項和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得解析：ABC【分析】數(shù)列的前項和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項公式可得，，時，，進而求出．【詳解】數(shù)列的前項和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得，∴時，，，對選項逐一進行分析可得，A，B，C三個選項錯誤，D選項正確.故選：ABC.【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，解題關鍵是將已知遞推式變形為，進而求得其它性質(zhì)，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}20．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A．數(shù)列的前n項和為 B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞增數(shù)列答案：AD【分析】先根據(jù)和項與通項關系化簡條件，再構造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；解析：AD【分析】先根據(jù)和項與通項關系化簡條件，再構造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，即A正確；當時所以，即B，C不正確；故選：AD【點睛】本題考查由和項求通項、等差數(shù)列定義與通項公式以及數(shù)列單調(diào)性，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.21．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．當且僅當時，取得最大值答案：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進而計算即可得答案.【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當且僅當或時，取得最大值.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列的解析：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進而計算即可得答案.【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當且僅當或時，取得最大值.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本計算，前項和的最值問題，是中檔題.等差數(shù)列前項和的最值得求解常見一下兩種情況：（1）當時，有最大值，可以通過的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過求滿足且的的取值范圍確定；（2）當時，有最小值，可以通過的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過求滿足且的的取值范圍確定；22．已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，，則（）A． B．最大C． D．答案：ABD【分析】轉(zhuǎn)化條件為，進而可得，，再結合等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式逐項判斷即可得解.【詳解】因為，所以，即，因為數(shù)列遞減，所以，則，，故A正確；所以最大，故B正確；所以，故C錯誤解析：ABD【分析】轉(zhuǎn)化條件為，進而可得，，再結合等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式逐項判斷即可得解.【詳解】因為，所以，即，因為數(shù)列遞減，所以，則，，故A正確；所以最大，故B正確；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：ABD.23．記為等差數(shù)列前項和，若且，則下列關于數(shù)列的描述正確的是（）A． B．數(shù)列中最大值的項是C．公差 D．數(shù)列也是等差數(shù)列答案：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關系式，然后結合等差數(shù)列的有關知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，解析：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關系式，然后結合等差數(shù)列的有關知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，所以C選項錯誤.對于B選項，，令得，由于是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中最大值的項是，所以B選項正確.對于D選項，由上述分析可知，時，，當時，，且.所以數(shù)列的前項遞減，第項后面遞增，不是等差數(shù)列，所以D選項錯誤.故選：AB【點睛】等差數(shù)列有關知識的題目，主要把握住基本元的思想.要求等差數(shù)列前項和的最值，可以令或來求解.24．首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，現(xiàn)有下列4個命題中正確的有（）A．若，則；B．若，則使的最大的n為15C．若，，則中最大D．若