1/2專題06立體幾何初步目錄目錄學考要求速覽必備知識梳理高頻考點精講考點一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點二：空間幾何體的表面積與體積考點三：空間中的位置關(guān)系考點四：空間角的計算考點五：立體幾何綜合問題實戰(zhàn)能力訓練必備知識梳理 1高頻考點精講 3考點一：集合的含義與表示 3考點二：集合間的基本關(guān)系 4考點三：集合的基本運算 5考點四：充分條件與必要條件 6考點五：全稱量詞與存在量詞 7實戰(zhàn)能力訓練 1、利用實物模型、計算機軟件等觀察空間圖形,認識棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系,能運用這些結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2、知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3、知道圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.4、知道球的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.5、了解基本事實1~3和確定平面的推論,掌握平面的畫法及表示方法.6、借助長方體認識空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.7、掌握直線與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理,并加以證明.8、掌握平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理,并加以證明.9、掌握直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,并加以證明.10、掌握平面與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理,并加以證明.11、掌握空間角和空間距離的計算方法1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．空間幾何體多面體:由若干個平面多邊形圍成的幾何體旋轉(zhuǎn)體:由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體.2．棱柱:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.①直棱柱:側(cè)棱垂直底面的棱柱稱為直棱柱.②正棱柱:底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.3．棱錐:有一個面是多邊形,其余各面是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.①正棱錐:底面為正多邊形,且頂點在底面的投影為底面的中心.②正三棱錐:底面為正三角形,側(cè)棱相等,對棱垂直.③正四面體：側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體.(特殊正三棱錐,四個面都是等邊三角形)4.棱臺:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分,這樣的多面體叫做棱臺.①正棱臺：側(cè)面是全等的等腰梯形;側(cè)棱延長后相交于一點.5．圓柱:以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.①上、下底及平行于底面的截面都是等圓;過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.②圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.6．圓錐:以直角三角形的一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比②軸截面是等腰三角形③l2=?④圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心,以母線長為半徑的扇形.7．圓臺:用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺.8．球:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體①球心與截面圓心的連線垂直于截面;②R2=r2+d22、空間幾何體的表面積與體積(1)由于棱柱、棱錐、棱臺是由多個平面多邊形圍成的幾何體，所以它們的表面積就是各個面的面積和.(2)圓柱的側(cè)面積S=2πrl(側(cè)面展開圖是矩形)圓柱的表面積(3)圓錐的側(cè)面積S=12(4)圓臺的側(cè)面積S=πr(5)V柱體(6)V錐體(7)V(8)S球=4π3、立體幾何基本事實1．公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).∵A∈α2．公理2:過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.∵A,B,C三點不共線,∴推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.∵A?l,∴經(jīng)過A與推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.∵m∩n=A,∴經(jīng)過推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.∵m//l,∴經(jīng)過m與l3．公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.∵P∈α,4．公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.∵a5．等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.4、平行的判定及其性質(zhì)1．直線與平面平行(1)判定定理文字語言.如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.圖形語言符號語言a(2)性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.圖形語言符號語言a//α,a?2．平面與平面平行(1)判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行.圖形語言符號語言a?β,(2)性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行.圖形語言符號語言α//β,α∩4．平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)（1）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,則這兩個平面平行.（2）平行于同一個平面的兩個平面平行.（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面.(5)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,那么它也垂直于另一個平面.5、垂直的判定及其性質(zhì)1．直線與平面垂直(1)判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.圖形語言符號語言l(2)性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.圖形語言符號語言a⊥2．平面與平面垂直(1)判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直.圖形語言符號語言l⊥α,(2)性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直.圖形語言符號語言α考點精講講練考點一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例題1（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）如圖所示，在三棱臺ABC?A1B1C1中，沿平面A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱例題2．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）在空間，到一個三角形的三個頂點距離相等的點的集合表示的圖形是（

）A．一個點 B．一條直線 C．一個平面 D．一個球面例題3．（2024高二上·黑龍江佳木斯·學業(yè)考試）一個直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體是（

A．球體 B．圓柱 C．圓臺 D．圓錐1．已知圓錐的母線長為22，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為（

A．2 B．22 C．3 D．2．如圖所示，這個幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征是（

）A．圓錐和圓柱的組合體B．球和圓柱的組合體C．圓錐和棱柱的組合體D．球和棱柱的組合體3．如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（

）A．四棱臺 B．四棱錐 C．四棱柱 D．三棱柱考點二：空間幾何體的表面積與體積例題1（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）已知圓柱的底面半徑是2，高是3，則該圓柱的體積是（

）A．2π B．4π C．6π例題2．（2024高二上·江蘇揚州·學業(yè)考試）若長方體的長、寬、高分別為1，1，3，且它的各個頂點都在一個球面上，則該球體積為（

）A．55π3 B．5π C．例題3．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）若圓柱的上?下底面的圓周都在一個半徑為2的球面上，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（

）A．4π B．8π C．12π1．一個圓錐的底面直徑和高都同一個球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（

）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶92．如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個全等的等腰梯形，AB//CD//EF,△EAD和△FBC是兩個全等的正三角形．已知該多面體的棱BF與平面ABCD成的角45°，A．80 B．803 C．160 D．3．已知圓柱的底面半徑和球的半徑均為2，圓柱的體積為8π，則圓柱與球的表面積之比為（

A．1:1 B．1:2 C．2:3 D．3:4考點三：空間中的位置關(guān)系例題1（2024高二·江蘇·學業(yè)考試）設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若l//α，lB．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βC．若α⊥β，l//αD．若l//α，l⊥β例題2．（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）已知直線l∥平面α，則（

）A．l與α內(nèi)所有直線都平行B．α內(nèi)不存在直線與l垂直C．過l的平面與α必平行D．α內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直例題3．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）已知直線l∥平面α，直線m?平面α，則l與m不可能（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直1．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．異面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直2．已知平面α，直線m，n．（

）A．若m//n,n//α，則m//α B．若m⊥n,n//α，則m⊥αC．若m//α,n//α，則m//n D．若m⊥α,n//α，則m⊥n3．關(guān)于三條不同直線a，b，l以及兩個不同平面γ，β，下面命題正確的是（

）A．若a//γ，b//γ，則a//b B．若a//γ，b⊥γ，則b⊥aC．若a//γ，γ⊥β，則a⊥β D．若a?γ，b?γ，且l⊥a，l⊥b，則l⊥γ考點四：空間角的計算例題1（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）在正方體ABCD?A1B1C1DA．33 B．63 C．2 例題2．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）如圖，正方體ABCD?A1B1C1DA．1 B．32 C．22 例題3．（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（

）A．33 B．22 C．2 1．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，點E為A1C的中點，A．23 B．33 C．222．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A．π2 B．π3 C．π43．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為A．30° B．45° C．60° D．90°考點五：立體幾何綜合問題例題1（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）如圖，已知正方體ABCD?A(1)A1B1∥(2)B1C⊥平面例題2．（2024高二上·江蘇揚州·學業(yè)考試）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD//BC，∠CBA=90°，PA⊥平面ABCD，(1)求證：PC⊥CD；(2)已知三棱錐A?PCD的體積為13，求直線PC與平面PAB例題3．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）如圖，三棱錐P?ABC的底面ABC和側(cè)面PBC都是邊長為2的等邊三角形，M,N分別是AB,BC的中點，PN⊥AN.(1)證明：MN//平面PAC；(2)求三棱錐P?ABC的體積.1．如圖在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點，F(xiàn)為PD上一點.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面FAE；2．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E為AP的中點，且AB=2,AP=4．(1)證明：CP//平面BDE；(2)求三棱錐P?BDE的體積．3．如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，側(cè)面CDD1C1是菱形，（1）求證：EF//平面AD（2）求EF與平面ABCD所成角的正切值.訓練1、已知圓錐的底面半徑為1，且其軸截面是一個等邊三角形，則這個圓錐的側(cè)面積為（

）A．2π B．3π C．4π 2、乒乓球是一項深受我國廣大人民群眾喜愛的體育運動，乒乓球臺主要由乒乓球網(wǎng)和臺面組成．如圖所示，如果將乒乓球臺的臺面抽象成平面α，將乒乓球網(wǎng)的上邊緣抽象成直線，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（

）．A．l?α B．l⊥αC．l//α D．l與3、已知a，b是空間中兩條不同的直線，α，β，γ是空間中三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若a//α，b//α，則a//b B．若a⊥α,b⊥α，則a//bC．若a⊥b，a⊥α，則b//α D．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ4、在正四棱錐P?ABCD中，PA=2,AB=2,E是PC中點，則異面直線PA與BE所成的角為（A．π2 B．π3 C．π45、如圖，在三棱錐P?ABC中，PB⊥平面ABC,AB⊥BC,BA=BC=BP=1，則這個三棱錐的體積為（

）A．17 B．16 C．156、如圖，在三棱柱ABC?A1B1CA．AB B．CC1 C．BC 7、如圖，在長方體，ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA

A．30° B．45° C．60° D．90°8、小明同學在通用技術(shù)課上，制作了一個半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點的三條棱的中點分別記為A,B,C，如圖1所示，然后截去以△ABC為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長為6，則此半正多面體模型的體積為（

）

A．108 B．162 C．180 D．1899、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為棱A1A．53 B．55 C．2510、如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=2AC=2BC，M是PB的中點，

(1)求證：PA??//平面(2)求直線CP與平面ACM所成角的正弦值.11、如圖，在正方體ABCD?A1B1C(1)求證：AA(2)求證：PC//平面A112、如圖，在正方體ABCD?A1BA．AC與B1D1相交. B．A1C．B1D⊥平面ABB1A13、如圖，在正方體ABCD?A1B1CA．DC B．DA C．DD1 14、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．A1F//平面BC1E B．B1C⊥平面BC115、如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，DD1⊥(1)證明：△ABD為直角三角形；(2)證明：平面A1BD⊥平面(3)若直線CD1與平面A1BD所成角的正弦值為334

專題05平面向量目錄目錄學考要求速覽必備知識梳理高頻考點精講考點一：平面向量的線性運算與坐標運算考點二：平面向量基本定理考點三：平面向量的垂直與平行考點四：平面向量的夾角與數(shù)量積實戰(zhàn)能力訓練1、通過對力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的實際背景,了解平面向量的意義.理解平面向量共線和向量相等的含義,理解平面向量的幾何表示和基本要素.2、掌握平面向量的加法運算、三角形和平行四邊形法則及加法運算律.借助實例和平面向量的幾何表示,理解向量減法的概念以及向量減法的幾何意義.3、掌握平面向量的減法運算、三角形和平行四邊形法則及減法運算律.4、理解兩個平面向量共線的含義,了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.5、了解向量的一組基底的含義,理解并掌握平面向量基本定理.6、借助于平面直角坐標系,掌握平面向量的正交分解及坐標表示.7、掌握數(shù)乘向量的坐標運算法則,并會用坐標表示平面向量的數(shù)乘運算.能用坐標表示平面向量共線的條件,并會應(yīng)用向量的共線條件解決問題.8、掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示,能運用數(shù)量積的坐標表示進行向量數(shù)量積的運算.9、能利用坐標求向量的模、夾角及兩個向量垂直的條件,并能應(yīng)用它們解決相關(guān)問題.1、向量中的基本概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長度或模.2．向量的表示:向量用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的模.a,AB3．零向量:長度為0的向量叫做零向量,記為0.當有向線段的起點A與終點B重合時,AB=4．單位向量:長度為1的向量叫做單位向量.(在坐標系中)與a共線的單位向量為:±1aa5．共線向量:方向相同或相反的非零向量叫做共線向量或平行向量.a//b,6．相等向量:長度相等且方向相同的向量稱為相等向量.7．相反向量:與向量a長度相等而方向相反的向量,稱為a的相反向量,記為?a.(0的相反向量仍是0)若a,b2、平面向量的線性運算(加、減運算,數(shù)乘運算)1．向量加法運算及其幾何意義:(1)三角形法則:a+b=(2)平行四邊形法則:以向量AB=a,AD=2．向量減法運算及其幾何意義:(1)三角形法則:a?(2)平行四邊形法則:以向量AB=a,AD=3．向量數(shù)乘運算及其幾何意義:(1)規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘運算,記作λa①λ②當λ>0時,λa與a方向相同;當λ<0時,λa與【λa中的λ:對a起到同向或反向、伸長或縮短的作用.3、平面向量的基本定理及坐標表示1．平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)①不共線的向量e1②向量的夾角：已知非零向量a,b,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ0°≤θ≤180°叫做向量a與2．平面向量的坐標運算:設(shè)a=(1)a+(2)a?(3)λa(4)設(shè)點Ax1,3．共線定理的坐標表示:若a=x1四、向量的數(shù)量積:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為?a,b?=θ,則5．平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角:(1)設(shè)非零向量a=①a?b=x1(2)設(shè)a=x,y,則設(shè)點Ax1,考點精講講練考點一：平面向量的線性運算與坐標運算例題1（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）在△ABC中，D為邊BC的中點.若BC=a,AC=A．?12aC．?12a【答案】A【分析】由圖及向量加減法可得答案.【詳解】由圖可得，AD=故選：A例題2．（19-20高一下·江蘇·期中）已知向量a=1,2,b=A．5,3 B．5,1C．?1,3 D．?5,?3【答案】A【分析】利用向量的數(shù)乘運算和減法運算的坐標表示，即可得解.【詳解】由a=1,2，得所以2a故選：A.【點睛】本題考查平面向量線性運算的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.例題3．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）AB+AC?A．AB B．3AB C．BA D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運算法則及運算律計算即可得解.【詳解】AB+故選：A1．如圖，已知向量a,

A．a(chǎn)+b=c B．a(chǎn)+b【答案】B【詳解】根據(jù)向量加法的三角形法則，a,b向量首尾順次相連，所以根據(jù)圖形可知，a+b與向量2．已知向量AB=2,1，點A1,?1，則點BA．0,3 B．3,0 C．?1,?2 D．?2,?1【答案】B【分析】設(shè)點B的坐標為(x,y)，則AB=(x?1,y+1)，再結(jié)合AB=2,1可求出x,y【詳解】解：設(shè)點B的坐標為(x,y)，則AB=(x?1,y+1)因為AB=所以x?1=2y+1=1，得x=3所以點B的坐標為3,0，故選：B3．在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，則AB?2AO=A．BD B．DB C．BC D．CB【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)乘及減法運算求解.【詳解】如圖，

則AB?2故選：D考點二：平面向量基本定理例題1（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D,E,F分別是邊AB,BC,CA的中點，則（

）A．AB+AC=C．EF=12【答案】D【分析】根據(jù)向量的運算法則得到ABC錯誤，DE?【詳解】對選項A：AB+對選項B：AB?對選項C：EF=對選項D：DE?故選：D例題2．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）在△ABC中，已知AB=a,AC=b,M為AB的中點，NA．12a?C．32a?【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求得正確答案.【詳解】BN=1故選：B例題3．（2024高二下·福建·學業(yè)考試）如圖，已知平行四邊形ABCD，AB=a，AD=b，E為A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)?b C．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求解即可.【詳解】AE=故選：D.1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，設(shè)AB=a,AD=A．12a?C．12a+【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求解.【詳解】AE=故選：D2．如圖，在△ABC中，M，N分別是AB，AC的中點，若AB=a,AC=A．12a?12b B．1【答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.【詳解】因為M，N分別是AB，AC的中點，所以AM=12所以MN=故選：D3．如圖，已知AB=a,AC=A．512b?C．34a?【答案】A【分析】根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘運算法則即可求出．【詳解】由BC=4BD，得DC=所以DE=故選：A.考點三：平面向量的垂直與平行例題1（2024高二·江蘇·學業(yè)考試）已知兩點A2,?1,B3,1，與AB平行，且方向相反的向量aA．a(chǎn)=?1,?2 C．a(chǎn)=?1,2 【答案】A【分析】求出向量AB→【詳解】由A2,?1，B3,1得對于A：a=對于B：設(shè)AB→=λa對于C：設(shè)AB→=λa對于D：設(shè)AB→=λa故選：A.例題2．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）已知向量a=2,0,b=A．?1 B．0 C．1 D．?1或1【答案】D【分析】求出a+k【詳解】由已知向量a=可得a+k由a+kb⊥即(2+k)(2k?1)?3k=0，解得k=±1，故選：D例題3．（21-22高一下·江蘇南京·期中）已知向量OA=2,3，OB=x,5，若OA?A．103 B．1 C．12【答案】D【分析】利用向量減法和數(shù)量積的坐標運算可表示出OA?【詳解】∵AB=OB?OA=x?2,2故選：D.1．已知m=1,x，n=x,2，若m//A．1 B．2 C．±2 D．【答案】C【分析】利用平面向量平行的坐標表示即可得解.【詳解】因為m=1,x，n=所以1×2?x2=0故選：C.2．已知向量a=(1,2),b=(1,1),c=(3,4)．若(A．?2 B．2 C．?12 【答案】A【分析】先求出a?λ【詳解】由題a?λb=(1?λ,2?λ)，因為(故選：A．3．向量a=(k,?2)，b=(?2,1).若a//b，則實數(shù)A．4 B．?4 C．1 D．?1【答案】A【解析】由向量共線的坐標運算即可得解.【詳解】解：因為向量a=(k,?2)，b又a//b，則即k=4，故選：A.考點四：平面向量的夾角與數(shù)量積例題1（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=2,∠BAD=3π4,E是線段A．1 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】AE?AC====122故選：A例題2．（2024高三上·江蘇南京·學業(yè)考試）若單位向量a,b滿足?a,b?=120°，向量c滿足A．3?14 B．1?34 C．【答案】D【分析】在平面直角坐標系中求出a,b的坐標，由(c?a)⊥(c【詳解】令a=OA,b=OB以點O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系，則A(1,0),B(?1令c=OC，由(c?a)⊥(c設(shè)C(14+則a=12+所以a?c+故選：D例題3．（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）已知向量a=?1,0,b=1,3A．π6 B．π3 C．2π【答案】C【分析】利用平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】由題，cosa又a,b∈故選：C.1．已知在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=π3，點D為邊BC上靠近B的三等分點，則AD?A．?113 B．?13 C．【答案】D【分析】利用AB、AC表示向量AD、BC，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得AD?【詳解】如下圖所示：AD=由平面向量數(shù)量積的定義可得AB?因此，AD=1故選：D.2．已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=1，且a與b的夾角為2π3，則向量aA．π6 B．π3 C．2π3【答案】A【解析】設(shè)向量a+b與a的夾角為θ，由向量數(shù)量積的幾何含義可知cosθ=【詳解】設(shè)向量a+b與a的夾角為θ∵|a+∴cosθ=32故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量數(shù)量積的幾何意義求向量夾角的余弦值，進而求角即可.3．已知向量a,b滿足a=3,A．?36 B．36 C．?【答案】A【解析】先由a+b2【詳解】向量a,b滿足a=3,故3+4+2a?b=5，即a?則cosα=故選：A.訓練1、在平行四邊形ABCD中，E為DC上的點，且DE=2EC，設(shè)AB=a，AD=A．23a?b B．23a【答案】C【分析】利用向量線性運算得到AE=【詳解】因為DE=2EC，故所以AE=故選：C.2、已知向量a=(1,2),b=(2,2)，則aA．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求a+【詳解】因為向量a=(1,2),b=(2,2)所以a+故選：D.3、若向量a,b滿足a=1,b=2，且a?bA．π6 B．π4 C．π3【答案】C【分析】利用向量垂直、數(shù)量積的運算可得答案.【詳解】因為a?b⊥即a2可得cosa,b=1故選：C.4、在正六邊形ABCDEF中，設(shè)OA=a，則下列向量中與a不共線的是（A．CB B．EF C．OC D．DO【答案】C【分析】根據(jù)共線向量的定義即可.【詳解】因為共線向量是指向量所在直線共線或平行的向量，O為正六邊形ABCDEF的中心，所以CB與OA所在直線平行，所以是共線向量，故A錯誤；EF與OA所在直線平行，所以是共線向量，故B錯誤；OC與OA所在直線既不共線也不平行，所以不是共線向量，故C正確；DO與OA所在直線共線，所以是共線向量，故D錯誤.故選：C.5、若向量AB