1、設(shè)隨機(jī)過程X(f)=R4+C,re(0,oo),C為常數(shù)，R服從區(qū)間上的均勻分

布。

(1)求X(f)的一維概率密度和一維分布函數(shù)；

(2)求X(f)的均值函數(shù)、有關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

2、設(shè){WQ),-8</<OO}是參數(shù)為的維納過程，R~N(1,4)是正態(tài)分布隨機(jī)變量；

且對任意的一oov/voo,W⑺與A均獨(dú)立。令X(f)=W⑺+R,求隨機(jī)過程

{X(f),—8<，<8}的均值函數(shù)、有關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

3、設(shè)抵達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一種泊松過程，平均每小時(shí)有180人，即；1=180：旦每個(gè)

顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為s的指數(shù)分布。求一天內(nèi)(8個(gè)小時(shí))商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方

差。

4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

‘0.30.70、

P=00.20.8

k0.700.3,

(1)求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣尸⑵及當(dāng)時(shí)始分布為

P{Xo=l}=l,P{Xo=2}=P{Xo=3}=O

時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處在狀態(tài)2的概率。

(2)求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。

5設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間/={1,2,34,5}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為:

'().30.4().300、

0.60.4000

p=01000

0000.30.7

<0001

求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。

6、設(shè)｛N(/)/20｝是參數(shù)為4的泊松過程，計(jì)算E［N(f)N(1+s)］。

7、考慮一種從底層啟動(dòng)上升的電梯。以N,記在i第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定N,互相獨(dú)

立，且Nj是均值為4的泊松變量。在第i層進(jìn)入的各個(gè)人互相獨(dú)立地以概率pa.在第/層

離開電梯，Z%=1。令。/=在第/層離開電梯的人數(shù)。

j>>

(1)計(jì)算￡(O7)

(2)的分布是什么

(3)0,?與。女的聯(lián)合分布是什么

8、一質(zhì)點(diǎn)在1,2,3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在

內(nèi)，它都以概率力+。(力分別轉(zhuǎn)移到其他兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛

夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率及平穩(wěn)分布。

1有隨機(jī)過程｛氨。，-8V/8｝和53,-8VE8｝,設(shè)03=z4sin(。什=/sin?廿。+0,

其中月，B,(0,。為實(shí)常數(shù)，。均勻分布于［0,2用，試求《從

2(15分)隨機(jī)過程J3=/1CQS(&/+G),-co<r<+co,其中/I,a),(P是互相記錄獨(dú)立的隨機(jī)變

量，E/l=2,D/l=4,。是在卜5,5］上均勻分布的隨機(jī)變量，S是在卜兀，網(wǎng)上均勻分布的隨機(jī)變

量。試分析。份的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。

3某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店9:00開門，試求：

(1)在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率；

（2）若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在未來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。

4設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一種月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表達(dá)）、正常

（用2表達(dá)）、暢銷（用3表達(dá)）。若通過對歷史資料的整頓分析，其銷售狀態(tài)的變化

（從這月到下月）與初始時(shí)刻無關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為（P”?表達(dá)從銷售狀態(tài)，?通過一

種月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài)J的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：

22

[P]=---

L」399

_L21

_636_

試對通過長時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。

5設(shè)｛X（t）,攔0｝是獨(dú)迂增最過程,且X（0）=0,證明優(yōu)⑴,役0｝是一種馬爾科夫過程。

6設(shè)｛N⑴,t20｝是強(qiáng)度為義的泊松過程，｛Yk，k=l,2,…｝是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且

N（0

與｛N⑴,t20｝獨(dú)立，令X⑴=￡丫"20,證明：若E（Y：V8）,則E[x（l）]=/UE｛YJ

k=1

7.設(shè)明天與否白雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下

雨的概率為。，而今天無雨明天有雨的概率為夕；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0,無雨天氣為狀

態(tài)1。設(shè)。=。7,〃=0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

8設(shè)化（。,一8<，<中?｝是平穩(wěn)過程，令〃（/）=A）cos（g/+?）,-8</<+a）,其中

5是常數(shù)，。為均勻分布在[0,2司上的隨機(jī)變量，且€（。,-8</<+00｝與。互相獨(dú)立，

魚⑴和陽S）分別是上⑺,-8<t<”｝的有關(guān)函數(shù)與功率譜密度，試證：

（1）是平穩(wěn)過程，且有關(guān)函數(shù)：

R〃k)=gR?)cosgr

(2)｛疝),一8<，<”｝的功率譜密度為:

S"（3）=；卜（3-例））+S.（co+g）］

9已知隨機(jī)過程家。)的有關(guān)函數(shù)為:

N(T)=e”,問該隨機(jī)過程火。)與否均方持續(xù)？與否均方可微?

1、設(shè)隨機(jī)過程X(r)=A4+C,re(0,0)),C為常數(shù)，A服從［0,1］區(qū)間上的均勻分

布。

(1)求XQ)的一維概率密度和一維分布函數(shù)；

(2)求X(f)的均值函數(shù)、有關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

【理論基礎(chǔ)】

(1)/(1)則/⑺為密度函數(shù)；

(2)XQ)為(6份上的均勻分布，概率密度函數(shù)/。)=屋分布函數(shù)

0,其他

0,x<。

2

二,、x-a/八c、a+h(b-a)

F(x)=----,a<x<b>E(x)=------,D(x)=-------；

b-a212

［,x>b

(3)參數(shù)為4的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)/(1)=<［,分布函數(shù)

乙、嶺-，200、1~、I

0,x<04尢'

(4)E(x)=//,D(x)=<72的正態(tài)分布，概率密度函數(shù)

/(x)=--i=e,-x<x<oo,分布函數(shù)/(不)=——■=f'e2^2Jr,-co<x<co,

冗0飛2兀J-00

若〃=0,。=1時(shí)，其為原則正態(tài)分布。

【解答】本題可參與書本習(xí)題2.1及2.2題。

(1)由于R[0,1]上的均勻分布，C為常數(shù),故X。)亦為均勻分布。由R的取值范圍可

知，X")為[C,C+〃上的均勻分布，因此其一維概率密度/.(幻=<7‘。"""。+’，一

0,其他

0,x<C

E—C

維分布函數(shù)F(x)=<土上,CWXWC+f；

t

l,x>C+r

(2)根據(jù)有關(guān)定義，均值函數(shù)mxQ)=EX(r)=:+C；

有關(guān)函數(shù)Rx(s/)=ElX(s)X(r)]=』s/+C(s+/)+C2；

3

協(xié)方差函數(shù)3x(s")=E{[X(s)—〃2x(s)HXQ)-mx(/)l}=—(當(dāng)時(shí)為方差函數(shù))

1

【注】D(X)=E(X2)-E2(X)；Bx(s,f)=Rx(sJ)-mx⑸%⑴

求概率密度的通解公式frM=f(y)Iy,MI=/(y)/lx(y)I

2、設(shè){W()-8V，<8}是參數(shù)為。2的維納過程，R?N(l,4)是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且

對任意的一oov/voo,W(z)與R均獨(dú)立。令XQ)=W")+R,求隨機(jī)過程

{X(r),-oo<r<a)}的均值函數(shù)、有關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

【解答】此題解法同1題。

依題意，W?)~N(0,/|“)，R~N(l,4),因此XQ)=W(/)+R服從于正態(tài)分布。

故：均值函數(shù)機(jī)xQ)=EX(/)=l;

有關(guān)函數(shù)/?x"J)二aX(s)X(f)[=5；

協(xié)方差函數(shù)&GJ)=以[X⑸一%(s)][X(t)-mx(r)l}=4(當(dāng)s=z時(shí)為方差函數(shù))

3、設(shè)抵達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一種泊松過程，平均每小時(shí)有180人，即；1=180；且每個(gè)

顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為s的指數(shù)分布。求一天內(nèi)(8個(gè)小時(shí))商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方

差。

【解答】此題可參見書本習(xí)題3.10題。

由題意可知，每個(gè)顧客的消費(fèi)額丫是服從參數(shù)為s的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：

I1?

￡(/)=_=D(y)=_,故石(/)二則由夏合泊松過程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場營

SSS

業(yè)額的數(shù)學(xué)期望%(8)=8x180XE(Y)；

一天內(nèi)商場營業(yè)額的方差cr；(8)=8xl80xE(Y2)。

4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

，0.30.70、

P=00.20.8

、0.700.3,

(1)求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P⑵及當(dāng)時(shí)始分布為

P{XO=1}=1,P{Xu=2}=P{Xu=3}=0

時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處在狀態(tài)2的概率。

(2)求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。

【解答】可參照教材例43題及4.16題

(1)兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣

").3().70、"().30.70)9.()90.35().56、

p(2)=pp=00.20.800.20.8=0.560.040.4

、0.700.3,,0.700.3J?420.490.09,

當(dāng)時(shí)始分布為P{X。=1}=1,=3}=0時(shí),

P{XQ=2}=P[XO

(0.09().350.56、

(100l0.560.040.4=(0.090.35

0.420.490.09,

故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處在狀態(tài)2的概率為0.35。

(2)由于馬爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的非周期有限狀態(tài)，因此平穩(wěn)分布存在。得如下方程組

兀i=0.3萬］+0町+0-7萬3

71?=0.7乃［+0.2萬2+0巧

笈3=。3+0.8萬2+萬3

41+笈2+乃3=1

解上述方程組得平穩(wěn)分布為

878

^'~23^2~23^3~23

5、設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間/={1,2,3,4,5},轉(zhuǎn)移概率矩陣為:

‘0.30.40.300、

0.60.4000

P=01000

0000.30.7

、°001

求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。

【解答】此題比較綜合，可參與例4.13題和4.16題

畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下:

(1)由上圖可知，狀態(tài)分類為G={1,2,3};G2={4,5}

(2)由上圖及常返閉集定義可知，常返閉集有兩個(gè)，下面分別求其平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平

均返回時(shí)間。

A、對G常返閉集而言，解方程組

冗1=0.37+0.6乃2+043

TT=0.4勺+0.4產(chǎn)2+?與

<2

%3=0-31]+042+0乃3

41+42+乃3=1

解上述方程組得平穩(wěn)分布為

3725937

50

則各狀態(tài)的平均返回時(shí)間分別為

-1=-15■"=-1=-90-tl=-1=-50

3372對2593巧37

B、對G2常返閉集而言，解方程組

巧=0.3萬］+1江2

兀？=0.73+0叫

乃1+乃2=1

解上述方程組得平穩(wěn)分布為

107

^1--^2--

則各狀態(tài)的平均返同時(shí)間分別為

117117

fl=一=右，'2=—=~

兀I1047

6、設(shè)｛NQ)/20｝是參數(shù)為幾的泊松過程，計(jì)算磯MONQ+s)]。

【解答】

E[N⑺N(7+s)]

=E[Na)(N(z+5)-N(/)+N(f))]

=E[NQ)(NQ+s)-NQ))]+E[NQ)2]

=磯N(川E[N(f+s)—N(f)]+E[N?)2]

=AtAs+At+(At)2

=^t(\+^t+2,s)

7、考慮一種從底層啟動(dòng)上升的電梯。以M記在i第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定M互相獨(dú)

立，且Nj是均值為乙的泊松變量。在第i層進(jìn)入的各個(gè)人互相獨(dú)立地以概率p“.在第./層

離開電梯，Z％=1。令0/=在第/層離開電梯的人數(shù)。

j>i

(1)計(jì)算E(Oj)

(2)O,的分布是什么

(3)。,.與。8的聯(lián)合分布是什么

【解答】此題與本書聯(lián)絡(luò)不大，據(jù)有關(guān)方面信息，本次考試此題不考。

以Ng記在第i層乘上電梯，在第7層拜別的人數(shù)，則N。是均值為4%的泊松變量,且所有

NKiNOJNi)互相獨(dú)立。因此：

⑴E[0/=畛%]=24%

ii

(2)由泊松變量的性質(zhì)知，0'=?“是均值為的泊松變量

⑶因。,.與。人獨(dú)立，則。(0。4)=。(0,)。(04)=一二?一6〃二——"2久，4為期

z!k\i\k\

望。

8、一質(zhì)點(diǎn)在1,2,3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在［//+〃)

內(nèi)，它都以概率〃分別轉(zhuǎn)移到其他兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛

夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率Pj/Q)及平穩(wěn)分布。

【解答】參見教材習(xí)題5.2題

依題意，由lim生竺=%(』/)得，/=l(iwj),柯爾莫哥洛夫向前方程為

A/->0'

Pij=-2丹Q)+1"Q)+Pi*(0，

由于狀態(tài)空間/={1,2,3},故

/”)+〃小(。+〃3(。=1，

因此

Pij=-2/%Q)+1-/Q)=-3Pi,(0+1,

解上述一階線性微分方程得：

由初始條件

確定常數(shù)C,得

故其平穩(wěn)分布

1、有隨機(jī)過程｛勘，-8V/<oo｝和｛〃3,_8Vf<8｝,設(shè)勘=/1sin(eH助，〃3二〃sin(o

什必以其中/,B,s,。為實(shí)常數(shù)，日均勻分布于［0,2兀］,試求段從邑。

“，小—,0<6><2^

1.解：/(。)=?2%

0,其它

2*1

&，,($/)二￡[4(§)77(3=JAsin?s+6)8sin(創(chuàng)+0+0卜一d。

o2萬

=——ABJ[cos(<y(f-s)+e)-cos(c0(f+s)+20+e)]d。

47ro

=，A〃COS(G(”S)+0),-co<s.t<+oo

2、隨機(jī)過程酌二decs⑷廿G),-oovrv+8,其中4是互相記錄獨(dú)立的隨機(jī)變量,

E/仁2,D/l=4,。是在［5,5］上均勻分布的隨機(jī)變量，G是在［兀，兀］上均勻分布的隨機(jī)變量。

試分析4回的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。

2、解：

〃?；(/)=E[^(r)]=E[Acos(0/+(1))]=EAE[COS(69/+6)]

=2------[d(oIcos(w+(p)d(p

20開7\F

def

=0=m.,-oo<?<+oo

R：(t,t+r)=石原%(/+r)]=目Acos(of+①)Acos(M+T)+①)]

=E|/4|"E[cos(69r+6)cos(“z+r)+①)]

8

jdco^CO^CDt+^>)cos(69(r+3+誦9

2(br

g5;

=----Idco[[cOS69r+COS(269Z+37+2夕)卜夕

40萬JJ1

7s—%

8fj4sin5i2/、

=—cos0Tdco=------T

J=RA)

207s5T-

因此具有平穩(wěn)性。

ITA

〈氐》—Jim——J4cos+中”,—Jim----sincoTcos中-0-〃以

-7*

故均侑具有各態(tài)歷經(jīng)性。

?T

(。(潦(/+=Um—!Acos(創(chuàng)+6)Acos(69(/+r)+6)力

UI2T

=limfcos(of+①)cos(M+匯)

up2TJ

|A|2,、

=1-^-cos^rH&⑺

故有關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。

3、某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店9:00開門，試

求：

(1)在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率；

(2)若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在未來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。

3、解：設(shè)顧客到來過程為{N(t),t>=0},依題意N(t)是參數(shù)為人的Poisson過程。

(1)在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率為:

pN—=0=e2=e-2

、12J,

（2）在開門半小時(shí)中無顧客到來可表達(dá)為?N（；）=0，，在未來半小時(shí)仍無顧客到來可

表達(dá)為<N（1）—N（；）=O，，從而所求概率為:

A11

PN⑴一N(I)=0|A--=0

(11

=PN⑴-N-二0|N--^(0)=0

IUJ(122

=PN⑴-N-=0-2

4、設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一種月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表達(dá)）、正常

（用2表達(dá)）、暢銷（用3表達(dá)）。若通過對歷史資料的整頓分析，其銷售狀態(tài)的變化

（從這月到下月）與初始時(shí)刻無關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為Pu（Pu?表達(dá)從銷售狀態(tài)，?通過一

種月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài)，的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：

1

-

20

1

-

3

1

-

6

試對通過長時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。

4、解答：由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且p?>0,從而所有狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于

是極限分布就是平穩(wěn)分布，設(shè)平穩(wěn)分布為兀={0,冗2,%},求解方程組：

江二TTP,冗|+兀2+兀3=1

即:

111

產(chǎn)+產(chǎn)

得:

896

兀1=一,42=—,71=—

23231*323

896

即極限分布為:71—\----,-----

232323

由計(jì)算成果可以看出：通過相稱長時(shí)間后，正常銷售狀態(tài)的也許性最大，而暢銷狀態(tài)的也

許性最小。

5、試對如下列矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的齊次嗎爾可夫鏈的狀態(tài)空間進(jìn)行分解。

0.700.300

0.10.80.100

⑴P=0.400.600

000().5().5

0000.50.5

1

-

400()

1

-

22000

0

100

--0

33

10