第六章平面向量、復(fù)數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.理解平面向量的意義、兒何表示及向量相等的含義.預(yù)計2025年高考對本節(jié)內(nèi)容的考

2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向行會以線性運(yùn)算、共線向量定理為

量共線的含義.主，主要以選擇題、填空題論形式

3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.出現(xiàn)，難度屬中、低檔.

必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識梳理

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義表示

向量在平面中，既有大小又有方向的量用a,力，c,…或磅，訛，…表示

向量a的大小，也就是表示向量。的

向量的模同或I硝

有向線段初的長度（或稱模）

零向量長度為0的向量用0表示

單位向量長度等于1個單位的向量用e表示，|e|=l

方向相同或相反的非零向量（或稱共

平行向量a//b

線向量）

相等向量長度相等且方向相同的向量a=b

相反向量長度相等，方向相反的向量向量。的相反向量是一a

說明：零向量的方向是不稀定的、任意的.

規(guī)定：零向量與任一向量平行.

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算法則（或幾何意義）運(yùn)算律

4

交換律：a+b=畫也；

三角形法則

加法結(jié)合律：（＜z+/＞）+c=[02]a

a+（力+c）

平行四邊形法則

減法a-b=m?la+（一5）

-a-

幾何意義

|訓(xùn)=囚同，當(dāng)2＞0時，癡的方向與a的方向畫

k（ua}=\^\Uu}a\

相同1

數(shù)乘（z+//）a=|。8|；

當(dāng)/k0時，歷的方向與a的方向畫相反;

k（a+力）=[09]Xa+i、b

當(dāng)2=0時，za=|O6|o

3.向量共線定理

向量〃（今0）與力共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)3使得〃=〃.

提醒：當(dāng)。加時，定理中的實數(shù)人才唯一.

1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點

的向量，即必2+41+不就+...+。-4=京小特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的

向量和為零向量.

2.若/為線段A8的中點，。為平面內(nèi)任意一點，則赤=；（次+份）.

3.若A,B,。是平面內(nèi)不共線的三點，則可+或+無=00P為AABC的重心，鄧=；（鄧

+R）.

4.若次=坊&+〃氏（心〃為常數(shù)），則A,B,。三點共線的充要條件是2+4=1.

5.對于任意兩個向量5都有|同一步|區(qū)|4域|W|a|+明.

診斷自測

i.概念辨析（正確的打y”，錯誤的打“X”）

⑴⑷與步I是否相等,與。，（的方向無關(guān).（）

（2）若向量。與〃同向，且同>步|,則。>回）

（3）若向量然與向量乃是共線向量，則A,B,C,力四點在一條直線上.（）

（4）起點不同，但方向相同旦模相等的向量是相等向量.（）

答案（1）4（2）x（3）x（4）4

2.小題熱身

（1）如圖，。，E,〃分別是AA8c各邊的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.Ep=Cb

B.通與觀洪線

C.初與仍是相反向量

D.A￡=^|A^1

答案D

解析曲=）亡，故D錯誤.故選D.

（2）（人教B必修第二冊6.2.1例3改編）設(shè)向量a,力不共線，向量%+力與a+2力共線，則實

數(shù)2=.

答案I

，P=2，

解析???〃+力與。+2〃共線，，存在實數(shù)"使得癡+）="（。+2力），???，：.<

U=2〃，1

〔〃-2。

（3）（人教A必修第二冊6.2例6改編）已知“IBC。的對角線AC和BD交于點0,且況=%仍

=b,則。C=>發(fā)?=.（用a,b表示）

答案b-a—a-b

解析如圖，Dt=Ah=oh-o\=b-a,Bt=0t-0k=-0X-0h=-a-b.

（4）（人教A必修第二冊習(xí)題6.2TIO改編）若a,h滿足悶=3,步|=5,則|。+"的最大值為

，最小值為.

答案82

解析|“十旬〈|“|+|臼=3+5=8,當(dāng)且僅當(dāng)“，力同向時取等號,所以|4+外由=8.又|“+力121Ml

-|ft||=|3-5|=2,當(dāng)且僅當(dāng)db反向時取等號，所以|a+b|min=2.

考點探究一提素養(yǎng)

考點一平面向量的有關(guān)概念

例1（多選）下列命題中的真命題是（）

A.若⑷=1力I，則4=力

B.若A,B,C,。是不共線的四點，則“港=比'是"四邊形43C。為平行四邊形”的充要條

件

C.若a=b,b=c,則a=c

D.的充要條件是|。|=|臼且?！ǎ?/p>

答案BC

解析A是假命題，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；B是真命題，???懣=

求，曲|=|力t|且輻〃龍，又4,B,C,。是不共線的四點，???四邊形ABC。為平行四

邊形；反之，若四邊形A6CQ為平行四邊形，則必力|=|成1,初〃皮且露，皮方向相同，

因此用&=覺；C是真命題，???〃=/>,???mb的長度相等且方向相同，又b=c,：.b,c的長

度相等且方向相同，??.”，c的長度相等且方向相同，故a=。；D是假命題，當(dāng)〃〃〃且方向

相反時，即使|。|=|加，也不能得到a=b,故⑷=|川且?！ā２皇?。=方的充要條件，而是必要

不充分條件.故選BC.

【通性通法】

平面向量啟關(guān)概念的四個關(guān)注點

關(guān)注點一非零向量的平行具有傳遞性

關(guān)注點二共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)

關(guān)注點三向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量

關(guān)注點四蕭是與。同方向的單位向量

【鞏固遷移】

1.（多選）下列命題正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

C.若訪》都為非零向量,則使令+自=0成立的條件是。與b反向共線

D.若b//c,Ma//c

答案BC

解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；由零向量的定義知，零向量的長度

為0,故B正確；因為弓與春都是單位向量，所以只有當(dāng)合與日是相反向量，即。與力反向

共線時才成立，故C正確；若力=0,則不共線的“，c也有?！?,c//0,故。錯誤.

考點二平面向量的線性運(yùn)算（多考向探究）

考向1平面向量加、減運(yùn)算的幾何意義

例2設(shè)0為MBCD對角線的交點，O為平面ABCD內(nèi)的任意一點，則殖+加+求+歷=

（）

A.OPB.2稱

C.3辦D.49

答案D

解析由題意知，P為AC,BO的中點，所以在中，次+求），即8+求=

2種，在△08。中，辦=:（加+劭），即加+初=2成，所以次+加+沆'+歷=4辦.

故選D.

【通性通法】

1.平面向量的線性運(yùn)算技巧

(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.

(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三

角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.

2.三種運(yùn)算法則的要點

(1)加法的三角形法則要求“首尾連”，平行四邊形法則要求“共起點”.

(2)減法的三角形法則要求“共起點，連終點，指被減”.

(3)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個向量，運(yùn)算過程可類比實數(shù)運(yùn)算.

【鞏固遷移】

2.(2024?山東青島二中月考)若出自=般|=電一祀|=2,則|霜+花=.

答案2小

解析因為|#|=|&|=|盛一證|=2,所以A/WC是邊長為2的正三角形，所以|曲+花為

△/WC的邊BC上的高的2倍，所以|成+花=2小.

考向2平面向量的線性運(yùn)算

例3(2022?新高考【卷)在AA8C中，點短在邊A8上，BD=2DA,記=或=%則

仍=()

A.3m—2nB.-2m+3〃

C.3〃i+2〃D.2m+3〃

答案B

解析Cb=^cX+yCh,即魂=-2/+3⑦=—2m+3〃.故選B.

【通性通法】

平面向量的線性運(yùn)算的求解策略

盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,

選用從同一頂點出發(fā)的向量或首尾相

接的向量

充分利用三角形中位線、相似三角形

對應(yīng)邊成比例等平面幾何性質(zhì)，把未

知向量轉(zhuǎn)化為已知向量

【鞏固遷移】

3.(2023?江蘇南通二模)在平行四邊形A8co中，硅.若m=m林十八戲,

則〃?+〃=()

—3

--

24

B.

5D.4

AC.--

63

率

案D

解析由題意可得油=彳^+前二盤+上充二磋+4群+成尸大：

154

所以〃?=,〃=不所以"+〃=予故選D.

考點三向量共線定理的應(yīng)用(多考向探究)

考向1判定向量共線、三點共線

例4設(shè)兩個非零向量°與力不共線.若#=a+〃，求=2a+8。，cb=3(a-b),求證：A,

B,。三點共線.

證明???息=。+力，衣=勿+昉，Cb=3(a-b),J瓦)=瑟+劭=2。+昉+3(。一。)=2a+

8力+3。-3力=5(a+力=5祐，工疝,就共線，又它們有公共點8,?"，B,。三點共線.

【通性通法】

共線向量定理的三個應(yīng)用

證明向—對于向量若存在實數(shù)鼠便用

量共線A/>（/>#（））,則a與力共線.

工

若存在實數(shù)限使篇=尢記.則m

證明三—

點共線三點共度

工

求參數(shù)—利用共線向量定理及向量相等的條件

的值列方程（組）求參數(shù)的值

【鞏固遷移】

4.已知，是A/WC所在平面內(nèi)的一點，若乃=2成+勵，其中7WR,則點P一定在（）

A.ZkA班?的內(nèi)部B.AC邊所在直線上

C.A8邊所在直線上D.8c邊所在直線上

答案B

解析由m=幺成+協(xié)，得動一勵=7成，辦=7成，則辦，區(qū)為共線向量，又毋，成有

一個公共點P,所以C,P,A三點共線，即點P在AC邊所在直線上.故選B.

考向2利用向量共線定理求參數(shù)

例5若0,力是兩個不共線的向量，已知質(zhì)=”一2力，南=2a+kb,虱2=3af若M,N,

。三點共線，則2=（）

B

A.

3

C-D

2

答案B

解析由題意知，感=而一麗=4一伙+1）兒因為M,MQ三點共線，所以存在實數(shù)九

使得加=2感，即。-3=，。一伙+1?],解得2=1,k=l.

【通性通法】

一般通過構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程

（組）即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

【鞏固遷移】

5.如圖，在△?1/3c中，不力=欣1，石是5。上一點，若屈磅+緊，則實數(shù)7的值為（）

A.3B.4

C.5D.6

答案B

解析由■力=2成得汽士匕力，因為硅=卷霜所以戲磅方，因

A1O1O*TA

為E,B,D三點共線，所以9+注=1，解得4=4.故選B.

10H-X

課時作業(yè)

A級，:癡陽同素

一、單項選擇題

1.若。，b為非零向量,則嚙焉'是“。，b共線”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條佇

答案B

解析流日分別表示與。，》同方向的單位向量，合=看，則有。，。共線，而。，。共線，

則濟(jì)自是相等向量或相反向量，所以端=點是“力共線”的充分不必要條件.故選B.

2.設(shè)。=（牯+劭）+（反:+萬I）,力是一個非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.a//bB.a~\~b=u

C.a+b=bD.\a^h\=\a\+\b\

答案B

解析由題意得，。=（初+仍）+（史+醇）=祀+CA=o,且力是一個非零向量，所以?！?/p>

成立，所以A正確；因為。+力=力，所以B不正確，C正確；因為|0+句=|例，同+|例=|臼，

所以|〃+例=|0+也|,所以D正確.故選B.

3.已知命=。+5〃，渡'=一3。+6〃，Cb=4a-hf則()

A.4,B,。三點共線

B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線

D.A,C,。三點共線

答案A

解析由題意得筋=麻+夕)=。+56=初，又sb,屈有公共點B,所以A,B,。三點共

線.故選A.

4.(2024?安徽銅陵三模)在平行四邊形ABC。中，M是C。邊上的中點，則2加=()

A.At~2AbB.祀+2B

C.2祀一霜D.2送+部

答案C

解析因為M是平行四邊形A8CO的CO邊上的中點，所以加=一：勘，所以瓶=祀+用/

=祀一;修，所以2磁=2祀一品.故選C.

5.已知向量。和力不共線，向量港=。+〃力，選=54+34Cb=-3a-\-3b,若A,B,D

三點共線，則機(jī)=()

A.3B.2

C.ID.-2

答案A

解析因為A,B,。三點共線，所以存在實數(shù)九使得筋=9，Bb=Bt+cb=2a+6b,

[2=x，

所以2.+6)=癡+〃?勸，所以〈解得〃?=3.故選A.

[6=w2?

6.矩形A8C。的對角線相交于點O,E為A0的中點，若屏=況+〃/力(L〃為實數(shù))，則

/+"?=()

A.B.T

o4

C.1D.布

答案A

解析Dk=Ak-Ab=^Ab—Ab=^(Ab-\-Ab)—Ab=^Ah—^Ab,?*?^=4,4=一+工足+1

125

==-做選A

+■

16168-

7.正方形A3CO中，K在。。上且有建=2力，AK與對角線3。交于八則#=()

A.^AS+TAZ)B.

3

-

44D.：知+初

答案C

解析如圖，???在正方形ABCO中，E在CQ上且有途=2粉，4E與對角線8。交于尸，???

DE=^AB,豆DE〃AB、：，4DEFs叢BAF,可得%=/可得A”=1AE,.??#=滋=*通

+萬&)=孤彷+小布)=56+宗中.故選C.

8.(2023?滁州模擬)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，霜+防+網(wǎng):=0,|霜|=|或|=|兩=2,

則ZVIBC的面積為()

A.小B.2小

C.3小D.44

答案B

解析設(shè)8。的中點為￡>,AC的中點為M,連接77),MD,BM,如圖所示，則有油+證=

2用.由牯+協(xié)+無=0,得協(xié)=一2前，又。為8c的中點，M為AC的中點，所以協(xié)=一

2成，則電=而,則P,。，M三點共線且。為PM的中點，又。為8c的中點，所以四

邊形。尸BM為平行四邊形.又|戲|=|聞|=|同］=2,所以|的=|濟(jì)|=2,則|祀1=4,且|兩

=|芯=2,所以為等邊三角形，NB4C=60。，則小.故選B.

二、多項選擇題

9.下列式子中，結(jié)果為零向量的是（）

A.AS+^t+cA

B.息+林+防+成

C.況+防+劭+劭

D.A^-Ab+Bb-Cb

答案AD

解析利用向量運(yùn)算，易知A,D中的式子結(jié)果為零向量.故選AD.

10.點P是"BC所在平面內(nèi)一點，且滿足|成一元|一|聞+無一2麗=0,則“BC不可能

是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

答案AD

解析因為點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且|成一曲一|防十冠一2司|=0,所以|彷|一|（防

一成）+（無一或）|=0,即|仍|=|在+油，所以油一油=|祀+硒，等式兩邊平方弁化簡

得所以/_LA1/ZMC=90。，則△"（?一定是直角三角形，也有可能是等腰直

角三角形，不可能是鈍角三角形和等邊三角形.故選AD.

11.（2023?安徽合肥期末）在△ABC中，D,E,尸分別是邊BC,CA,的中點，點、G為白ABC

的重心，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.Ak-Bt=cX

B.而=g誦+痔

C.#+初+涇=0

D.G\-FGk-AGt=O

答案BCD

解析如圖，對于A,Ak-Bt=Ah+ch=2Ek^cX,故A錯誤；對于B,點G為△ABC的

重心，則花=?而=爭;（屈+祀）=上磅+祀），故B正確；對于C,#+應(yīng)>+段=3腦+

^t+cA）=O,故C正確；對于D,GA=-2Gb=-2x1（Gh+Gt）,故?A+勵+比=0,故

D正確.故選BCD.

三、填空題

12.設(shè)向量m）不平行，向量加+》與。+26平行，則實數(shù)2=.

答案J

解析???向量。，）不平行，???。+2屏0,又向量碗+b與。+2。平行，則存在唯一的實數(shù)”,

M="’1

使九i+》=〃（a+2/>）成立，即癡+6=〃a+2〃〃，貝耳解得入=〃=5.

1=2〃，z

13.已知。，E,尸分別為AABC的邊8C,CA,AB的中點，且8匕=°,CA=b,給出下列命

題：①動=5—6：②砥=a+gb；③#=_；a+；b：④力+展+辦=0.其中正確的命題是

答案②③④

解析鈍=〃，/=力,牯=5&+；祀=曰（公1+油）+/衣?=；S&+G1=—%—/>,故①錯誤；

BA=Bd+TCA=a4-T/>,故②正確；0尸=；（（7月+。為）=：（—4+力）=-5+3力，故③正確；Ab

+就+#=—5一；〃+a+3+/—；。=0,故④正確.

14.（2024?麗江模擬）在AABC中，點。在線段AC上，且滿足|屐）|=；|花，點Q為線段8。

上任意一點，若實數(shù)x,y滿足破祀，則：+/勺最小值為.

答案4+2小

解析由題意知，點。滿足無力=；祀，故地=不然+）祀=工勘+3）勘），由Q,B,。三點

共線，可得x+3y=l,心＞0,濘0,則|+!=（；+力（工+3y）=4+*+.24+2小，當(dāng)且僅當(dāng)斗

xy}/Ayx

=*,即片穹匚，尸三亞時等號成立.所以的最小值為4+2小.

V4IJ人V

B級，

15.如圖，在平行四邊形4BCO中，然=2然，/=可），點G為CE與8”的交點，則命=

O_I

A.§初+§祀

C.^^+我送D.亮油+,祀

答案A

解析由霜=2屋，#=電，知E,尸分別為48,4。的中點.如圖，設(shè)AC與8尸的交點

4PAFAF1、1

為P，易得△AP/S/XCQB所以"=3=而=*所以祀.因為E是AB的中點，所

以助=4磅.由P,G,8三點共線知，存在mWR,滿足花=〃?#+（1—/〃）輻=；/源方一（1一

"。油.由C,G,E三點共線知，存在〃WR,滿足比=/!用&+（1—〃）祀=%油+（1—〃）祀，

所以T機(jī)衣?+（1—⑼再&=）〃/力+（1—〃）祀.又因為公，再&為不共線的非零向量，所以

16.（多選）（2024?武漢模擬）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這

樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心間的距離是垂心

和重心間的距離之半.這個定理就是著名的歐拉線定理.設(shè)AABC中，點。，"，G分別是

具外心、垂心、重心，8c邊的中點為。，則下列結(jié)論中正確的是（