全國碩士碩士入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題

一、選擇題:1?8小題，每題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一種選項符合題目規(guī)定的，請

將所選項前的字母填在答理紙指定位置上.

2

(1)曲線)，=土;土+X漸近線的條數(shù)()

X

(A)0(B)1(C)2(D)3

⑵設函數(shù)y(x)={ex-\)(e2x-2)..?一〃)，其中〃為正整數(shù),則yr(0)=()

(A)(—1)1(〃—1)!(B)(一1)”(〃-1)!(C)(-I)"-)!(D)(一1)"〃！

⑶假如函數(shù)/(x,y)在(0.0)處持續(xù)，那么下列命題對的的是()

若極限lim?斗

存在,則〃蒼y)在(0,0)處可微

：4kl+l-v|

(B)若極限］im華雪存在,則/(x,y)在(0,0)處可微

:*+y

若/*,)，)在(0,0)處可微，則極限lim華已存在

送W+N

(D)若/*,)，)在(0,0)處可微，則極限lim%4存在

?:比『十9

(4)設k/Jsinx〃t伏=1,2,3)則有()

(A)/.</,<A(B)L<12Vli(C)1,</.<7,(0)/,<I.<L

’1、

(5)設q=0ya,=1a、=-i，其中G，G，G，C為任意常數(shù)，則卜.列向量組線性有關

kJ上4

的為()

(八)囚。2，4(B)(D)a2,a3,a4

00、

設為階矩陣，為階可逆矩陣，且"飛

(6)A3P3P=010.若P=，a=(a)+cr2,a2,tz3),

、°。2,

則。"人。=()

“00)(\00)(200](200、

(A)020(B)010(0010(D)020

J100

、。o2JI。02JI。0L

(7)設隨機變量X與y互相獨立，且分別服從參數(shù)為I與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則p{x<y}=()

1I24

(A)-(B)-(C)-(D)-

5355

(8)將長度為1〃?的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的有關系數(shù)為()

(A)1(B)-(C)--(D)-l

22

二、填空題，9?14小題，每題4分，共24分.請將答案寫在答題組指定位置上.

⑼若函數(shù)/(x)滿足方程/?(?+/'*)-2/(外=0及//6+/(幻=2?,則/(x)=

(10)^x\/2x-x2dx=

(11)gmd(町，+5(2,].=

y

(12)設工={(x,y,z)\x+y+z=l,x>0,y>0,z>0},則jjy2ds=

(13)設X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則矩陣￡-XX，的秩為

(14)設A,&C是隨機變量，A與C互不相容，〃(A8)=LP(C)=LP(48「)=

23

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在答厚紙指定位置上.解答應寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)

節(jié).

(15)

證明xln+cos.r>1+—(-1<x<1)

\-x2

(16)

求函數(shù)/(x,y)=xe2的極值

(17)

求累級數(shù)￡4"；4〃.3戶，的收斂域及和函數(shù)

n-0

(18)

己知曲線(0?/<!),其中函數(shù)/⑴具有持續(xù)導數(shù)，且〃0)=0J⑴>0若曲線L

y=cost22

的切線與x軸的交點到切點的距離恒為1,求函數(shù)/⑺的體現(xiàn)式，并求此曲線工與工軸與)，軸無邊界的區(qū)域的面

積。

(19)

已知心是第一象限中從點(0,0)沿圓周f+,,2=2%到點(2,0),再沿圓周/+)[=4到點((),2)的曲線段，計算曲

線積分J=J3x2jxlv+(7+x-2y)dy

(20)(本題滿分分)

1a0()1(1

a001

（I）計算行列式|4|；

（II）當實數(shù)〃為何值時，方程組加=僅有無窮多解，并求其通解。

（21）

-101

0II

已知A=，二次型/（5,%,&）=7（47）工的秩為2

0a-1

（1）求實數(shù)a的值；

（2）求正交變換x=Qy將/化為原則型.

（22）

設二維離散型隨機變量X、y的概率分布為

012

\_

00

44

100

3

11

2n012

（1）求p｛x=2y｝；

（n）求cov（x—y,y）.

（23）

設隨機變量X與V互相獨立且分別服從正態(tài)分布NW,。?）與N（〃,24），其中。是未知參數(shù)且。＞（）。設

Z=X-Y.

（1）求Z的概率密度/（Z,CT2）；

（2）設4,4,…,z”為來自總體Z的簡樸隨機樣本，求。2的最大似然估計量

（3）證明為/的無偏估計量

數(shù)一參照答案

一、選擇題

12345678

CCBDCBAD

二、填空題

3

9、e'；10、一；II、［1,1,1｝；12、---；13、2；14、一

2I,124

三、解答題

(15)

1I.r

證明：令/（x）=xln+C0SX-1--,/")是偶函數(shù)

\-x2

fr(x)=\n^-^+-s\nx-x

''1-x1-x2

r（o）=o

2(1-X2)+4?

1144

rw=----+-----+----------：-----C0SX-1=------r-cosx-l>-2>0

1+xi-x1-x2)(一T

/（小/（0）=0

因此

]+X

即證得：xIn----+cosx>1+—(-1<x<1)

\-x

(16)

/（2）一+廠片?+)產(chǎn)

2+xe2(T)=e21-n=0

dx

解:

)

^=Xe㈠)=0

2y

得駐點6（T0"（l，0）

外文_2.耳+屋亨

dx2*)S)

d2f(xy)*2+)2

t—€㈠)

dxdy

82/(x，y)

2T

e)，2

根據(jù)判斷極值的第二充足條件,

把片（一1，0），代入二階偏導數(shù)B=o,A>C,C>0,所認為6（T'°），極小值點，極小值為

/（T。）…

把8（1，0）代入二階偏導數(shù)B=o,A<0,C<0,所認為2O'0）極大值點，極大值為

〃l,O)=e2

（17）解：（I）收斂域

4/22+4/7+3f

,2(/t+l)+l

4〃2+4〃+3

耳（幻2〃+12(〃+1)+1

R-lim=lim-lim2/7+1—45+1)2+45+1)+3X=X'令

/t->x"TOO4(〃+1)2+4(〃+1)+3戶用ZtToC

2(〃+1)+1

X2<1.得一1cx<1,當工=±1時，技術發(fā)散。因此，收斂域為（一1,1）

“設產(chǎn)戶=￡[(2〃+1)0+二/](忖<1)

?=o2〃+1

80

令5；(彳)=%2〃+1)-

H-0

X

由于「1（。力1^7(W<1)

Y1+

因此s仆）=（匚7）'二工7了（區(qū)"）

由于…

因此恪(切'=立/"=2之/=2.占(小1)

n-0〃-01—X

因此仙邑⑹，力工：2?占4=口七十=皿=山凈小1）

1+x1+x

即xS2（x）|；二ln,故xS2(x)=ln\^x

114-r

當xwO時，S,(x)=-ln——

x1-x

當x=0時，S,(0)=l,52(0)=2

1+xI,l+x

xe（-L0）u（0,l）

因此，S(X)=5((X)+52(X)=^(1-X-)-x\-x

3x=0

(⑻解:

為dy-smt，過該點（X）處的切線為

由線L在任一處(X,V)的切線斜率=

dxf（t）

y-co”=二等（%-/（/））?令y=o得x=/'?）co【f+/?）.由干曲線/.與x軸和y軸的交點到切點的距

離恒為1.

故有［/'（f）coi，+/?）-f（t）f+cos2r=1,又由于/（/）>（）（（）</<y）

因此/"）=黑，兩邊同步取不定積分可得/⑺=1n卜ecf+tanf|-sinf+C,又由于/（0）=0,因此C=0故

函數(shù)/(/)=In|sect+tanr|-sint

此曲線L與工軸和)，軸所圍成的無邊界的區(qū)域的面積為:

S=.cos?

(⑼解:

補充曲線L,沿)，軸由點(2,0)到點(0,0),D為曲線L和。圍城的區(qū)域。由格林公式可得

原式=J3/)必+(丁+x_2y)dy-13x2ydx+(r'+x-2y)dy

=jj(3J2+1-3x2)db-j(-2y)dy=jj\db+j2y力

DAo《

1c，1f271,|271

=—'71-z.---7T\~—\2yay=---y'=---4

42Jo'.2b2

(20)解：

(I)

1a0

0

01a

A=0=l-a4

001

a00

(II)對方程組AY=尸的增廣矩陣初等行變換:

167001--1a001'-1tz001

016/0-101a0-1016/0-1

TT

0OlrtO001a0001Cl

a00100-a101-a00o,1-a-

a001

01a0-1

->

001a0

000\-a??-a-a2

可知，要使方程組Ar=月有無窮多解，則有1-/=0且-a-/=0,可知。=一1

i-iooi-'100-1o-

01-10-1010-1-1

此時，方程組Ar=尸的增廣矩陣變?yōu)?深入化為最簡形得可知導

001-I0001-10

0000000000

，0、'0、

-I故其通解為A；-I

出組的基礎解系為，非齊次方程的特解為

00

⑵)解:

（i）

由二次型的秩為2,知“47）=2,故?A)="AT4)=2

對矩陣A初等變換得

1011001

01101011

.

-10a00004+1

0-10000

因r(A)=2，因此。=一1

202、

(2)^B=ArA=022

1224Z

2-202-20-210

|花-網(wǎng)=0A-2-(Z-2)2-2-2=U-2)-1A—2=4(4一2)(義-6)=0因此B

-2-20-22-40-2

的特性值為4=0,4=2,4=6

對于4=0,解（4E-8）X=0得對應的特性向量為四=（1,1,-I），

對于4=2,解（4七一8）X=0得對應的特性向量為%=。，一1，0）.

對于4=6,解（46-8冰=0得對應的特性向量為4=（1,1,21

將《,%,令單位化可得

1

1?

-1，/

02

—

1—

五

3忑

'0、

—

—

—

耳

正交矩陣。=F能,則Q7Q=2

Ia

—2

。

一

需

V3

因此，作正交變換x=Qy,二次型的原則形為/（x）=x'（44）x=yA.v=2y；+6y；

(22)解:

X012

P1/21/31/6

Y012

P1/31/31/3

XY0124

P7/121/301/12

(I)p{x=2y}=p{x=o,y=o}+p{x=2,y=i}=(+o=；

(II)cov(X-Y,Y)=cov(X,Y)-cov(F,Y)

9S

cov(X.Y)=EXY-EXEY,其中耿=一,EX?=1,EV=I,石片=乙，

33

45

DX=EX2-(EX)2=\——=-

99

529

DY=EY2-(EY)1=--\=-,EXY=-

333

22

因此，cov(X,y)=O,cov(y,Y)=DY=-,cov(X-YyY)=--,pXY=0

(23)解：

(1)由于X~N(w,b2),Y?N(id且X與丫互相獨立，故Z=X—y~(0,3")

]._±

因此Z的概率密度為f(z,a~)=,—e6a*(-C?<Z<oo)

767ro

(2)最入似然函數(shù)為

u(y2)=nf(z,.”2)=n(J--e66),_g<z,<00(/=1,2,???,/?)

，=|，=iy/G/rcy

兩邊取對數(shù)，得

兩邊求導得

dInL(cr-)1Z：]1ri2<72]

--------=>[7+——T-r]=———+>ZJ

d(b)白2b6(b)-6(b)-白

令也竺2=o,得

d(b)3〃占

因此人的最大似然估計量〃=_L之看

3〃,.)

1n1n1n

222

(3)證明：E(&)=—yE(Z；)=—VfD(Z.)+(￡(zj)]=—y3cr=(T

3〃M3nT\3〃普

所認為，cr?的無偏估計量

全國碩士碩士入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題

一、選擇題：1?8小題，每題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一種選項符合題目規(guī)定的,請將所

選項前的字母填在答題紙指定位置上.

（1）曲線），=二匹的漸近線條數(shù)（）

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)設函數(shù)，(x)=(/-1)(/，-2)...(^r-H)其中〃為正整數(shù)，則/(0)=()

(A)(一1)1(〃-1)!(B)(-l)M(/z-l)!(C)(-I)")!

⑶設/>0(〃=1,2,3…)，S“=%+出+/+-%，則數(shù)列｛S.｝有界是數(shù)列｛4｝收斂的

()

(A)充足必要條件(B)充足非必要條件

(0必要非充足條件(D)非充足也非必要

(4)設Ik=『Jsinxdx(k=1,2,3),則有

()

(A)/,<Z2</3(B)/3</2</,(C)/,</3</,(D)Z2<Z,</3

(5)設函數(shù)/(x,)，)為可微函數(shù)，且對任意的工,y均有‘>0,』(，'')<0,則使不等式/(%/)>/U,%)

oxdy

成立的一種充足條件是

()

(A)x,>x,,y,<y2(B)X)>x2>yt>y2(0<x2,y,<y2(D)x,<x,,yt>y2

(6)設區(qū)域D由曲線y=sin.r,.r=±—,>'=1惘成，則小丁)，一l)didy=

2n

()

(A)7C(B)2(0-2(D)一4

CJ勻為任意常數(shù),則卜列數(shù)列組有關的

()

(A)al,a2,ai(B)%，a2,%(C)a2,%,aA(D)a1，,aA

‘100、

(8)設A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P-YP=010，若尸=(%%,%)，。=3+%。2，%)，則

、0。2,

Q"Q=()

’100、’100、‘200、‘200、

(A)020(B)010(0020(D)020

\001z[()02,10oU』ob

二、填空題：9~14小題，每題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

(9)設y=)，(x)是由方程/-)，+1=決.所確定的隱函數(shù)，則今

a-x.1=0

111A

(10)\irnn-------7+--------++———7=

…+n2~+/ftr+tv)

，]、尸_8z

(11)設z=/lnx+一，其中函數(shù)/(〃)可微，則工某+)'2另=____________.

ky)GXay

(12)微分方程)dE+卜-3y2)由，=0滿足條件Mi=1的解為y=.

(13)曲線y=f+x(x<0)上曲率為孝的點的坐標是.

(14)設A為3階矩陣，|止3,A”為A伴隨矩陣，若互換4的第1行與第2行得矩陣8,則眼1[=.

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在藥咽紙指定位置上.解答應寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)

節(jié).

(15)(本題滿分10分)

1+V1

已知函數(shù)/(力=-7^--------，記a=lii?/(x),

sinx

(I)求a的值；

(II)若x-0當時，/(x)—。與f是同階無窮小，求常數(shù)k的值.

(16)

求函數(shù)/",)，)=找―一的極值.

(17)

過(0J)點作曲線L：)，=//a的切線，切點為A,又L與上軸交于8點，區(qū)域。由L與直線回圍城，求區(qū)域。

的面積及。繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積.

(18)

計算二重積分JJg比T,其中區(qū)域。為曲線r=l+cos/04e<不)與極軸圍成.

D

(19)

已知函數(shù)/(x)滿足方程f\x)+f\x)-2/(%)=0及f\x)+f(x)=2ex,

(T)求的體現(xiàn)式；

22

(II)求曲線y=/Cv)Jo7(-r)dr的拐點/'(0)

(20)

Ixx2

證明xln-------+cosx>l+—,(-1<x<l).

1-r2

(21)

⑴證明方程爐+/山+…+x=]的整數(shù))，在區(qū)間(g,1)內有且僅有-?種實根；

記(I)中的實根為乙，證明lim玉存在，并求此極限.

(22)

100

1

0a0

設人=，P=-1

001a

0

a00

(I)計算行列式|A|；

(IT)當實數(shù)。為何值時，方程組有無窮多解，并求其通解.

(23)

'101、

011

已知A=一次型/'(%,工2，七)=/5")1的秋為2,

-1067

<0a-1>

(I)求實數(shù)。的值：

(II)求正交變換x=Q.V將/化為原則形.

數(shù)二參照答案

一、選擇題

12345678

cCADDDCB

二、填空題

9、-----：10、一：11、0；12、x=y"；13、(-1,0)；14、—27

e*4v7

三、解答題

15、解：⑴?=lim/(x)=lim-^---=limY-SinA+^^=0+1=1

x-?or->osjnxxx->oxsinxsinx

..(1+x1八(x-sinxx-sinx、

(ID皿/(x)-a]=lim---------1=lim--------+-------

1。Isinxx)X-*。Ixsinxsinx

<(.r-sinx)(l+x)

=lim

AT。

,xsinxJ°xsinx

1

X3

6-

/pa

=limxsinx=l>因此卜口

xs。x6

、,\Y+/x2+y2x!+yi

+x￡F(-r)=Jk(1-r2)=0

16、解:@=超亨(一加0

得駐點“(T°"(L°)

深?二21。呼(7)(T)

審04)㈠)

dxdyI八,

小“乂)，)-苧/2訃

下一=戊-()—)

根據(jù)判斷極值的第二充足條件，

把4(70)，代入二階偏導數(shù)B=0,A>C,00,所認為R(T0)'極小值點，極小值為

/(-1,0)=-3

把￡(L°)代入二階偏導數(shù)B=o,A<0,C<0,所認為￡(叫極大值點，極大值為

/(1，0)=3

(17)解：y=-,設切點坐標(七,In%,),切線方程為yTnx0=-!-(工一兒)

X5

又切線過點(0,1)，因此%=《2,故切線方程為^=[“+1

切線與x軸交點為B(—/,0)

所圍面積

A=j；-/(y-1)]辦=/-1

旋轉體體積

V=~^2/一(一/)]一4J；hf4小=14(/+3)

(18)解：

re”「"cos"

/皿7=]。珂)夕cos@9sin3pdp

；J；cosOsin6(1+cosdO-J(1+/1'"=%

(19)解：⑴,/(x)+f(x)-2/(x)=0對應的特性方程為/+―2=0,r=-2,r=l

因此/(力=?！?、+。2-

把/(A)=C,2+Ge、代入/U)+/(-v)=2/,得至IJ/(x)=e'

(ID

曲線方理為F=/,則＞J=1+2X?LI：尸dr,)尸=2工+2(1+29)/[}dr

令),”=0得x=0.為了說明》=0是)嚴=。唯一的解，我們來討論j，?在x>0和x<0時的符號.

當x>0時

2x>0,2(l+2?U%>0

>,->0

同理，當x〈0時，y"<0

可知（。,0）點是曲線唯一的拐點。

]+T

(20)證明：令/(x)=xln——-+cosx-1x

1-X2

=+2xsinx-j

''\-x\-x2

r（o）=o

,、112(1-X2)+4X2

r(x)=——+——+△-----——cosx-144

-1+xI(7)2-----7-COSX-1>2>0

4)

/(x)>/(0)=0

因此

1+Xr*

即證得：x\n——-+cosx>1+—(-1<x<1)

1-x2

（21）令/（x）=m“+…+x-i

/（X）在區(qū)間上持續(xù)，且單調

、〃]yi-l

1<2-1<O

/(1)=H-1>0,f12

2)2)2\--

2

根據(jù)零點定理，得到在區(qū)間,1存在零點，又/（x）單調，因此存在唯一零點。

（II）根據(jù)拉格朗日中值定理，存在點;

,、/1>

有=r?)>i

1

因此七一耳

由夾逼原理得!吧乙二°

(22)解:

(I)

-1a0O'

1ao-a0O-

01a0

A==lx01a+4x(-1產(chǎn)1a0=1-

001a

001101a

a001J1-1

(ID對方程組AY=用的增廣矩陣初等行變換:

1a0011a001'-1a001

0\a0-101a0-101a0-1

TT

001a000\a0001a0

a00100-a20\-a00加1-a-a

-1a001

0]a0-1

001a0

0001"-a-a2

可知，要使方程組=〃有無窮多解，則有1-/=0且-a-/=0,可知。=-1

-1-1001-100-10-

01-10-1010-1-1

此時，方程組=的增廣矩陣變?yōu)?深入化為最簡形得可知導

001-10001-10

0000000000

，0、"1o

1-1

出組的基礎解系為，非齊次方程的籽解為故其通解為〃+

1?0

(23)解:

(1)

由二次型的秩為2,知“474)=2,故r(A)=r(A7)=2

對矩陣A初等變換得

■101■*101101101

0\10110110i1

->T一

-10a00a+\00a+l00a+1

0d-10a00-\-a000

因r(A)=2,因此a=—1

-202、

(2)令B=A"=022

<224,

=A(A-2)(2—6)=0

因此B的特性值為4=0,4=2,2,=6

對于4=0，解8)X=0得對應的特性向量為q=(1.1,-1/

時于4=2,解(4E-3)X=0得時應的特性向量為四=(1，-1，。)7'

對十4=6,解(4七一8/=0得對應的特性向量為4=(1，1，21

將4,%,令單位化可得

1*

_L

耳f

￡

1，0

正交矩陣。=3&，則。7。=2

x/26

—

。_

飛

>/6

因此，作正交變換x=Qv,二次型的原則形為/(x)=x(4")犬=>/4，=2父+6y；

全國碩士碩士入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題

一、選擇題：1?8小題，每題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一種選項符合題目規(guī)定的,請將所

選項前的字母填在答題紙指定位置上.

(1)曲線)，==二漸近線的條數(shù)為()

x'-I

(A)0(B)1(C)2(D)3

⑵設函數(shù)/(x)=G—1)(小—2)…(浮-用，其中〃為正整數(shù)，則7(0)=()

(A)(-If(n-1)!⑻(一1)”(〃-1)!(C)(-I)"%!(D)(-1)“用

⑶設函數(shù)/⑺持續(xù)，則二次積分/d娟/(一)心=()

⑷聲陶西+門小尸⑦(B)］：呵■/。2+尸如

?（回耳次+*（/+/池⑻仙/(x2+y2)dx

，絕對收斂,級數(shù)￡總條件收斂，則

（4）已知級數(shù)Z（-I）"6sin)

n-l〃

則下列向量組線性有關

(A)。1,四，％(B)ai,a2,a4(C；%,%，4(D)%,%,%