2025年高考數(shù)學(xué)解密之復(fù)數(shù)

一,多選題（共15小題）

1.（2024?南通模擬）已知復(fù)數(shù)4，z2,滿足|z/?|z2伊0,下列說(shuō)法正確的是（）

若[則

A.Z1|=|z?|,zj=zjB.[Z]+z21?|z,|+1z21

C.若2仔2wR，則幺￡RD.|2,2,1=12,11^|

Z2

2.（2024?南通模擬）已知z「z,都是復(fù)數(shù).下列正確的是（）

A.若Z]=z2,則Z[z?cRB.若Z]Z2eR,則4=z2

C.若IzJNzJ,則z；=z；D.若z；+z；=0,則I4RZ2I

則下列說(shuō)法中正確的有（）

3.（2024?貴港模擬）己知復(fù)數(shù)4，z2,z3,

A.若z}z2=zlzi,則4=0或無(wú)=z3

B.若Z|=—g+半i,貝ijz『24

C.若z；+z；=0,則Z]=z2=0

D.若Z[Z]=Z2Z2，則|Z]|=|Z2

4.（2024?陽(yáng)江模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.若|z|=l,則2=±1或z=±i

B.若|z-（2+i）|=l,則|z|的最小值為6-1

C.若2二6一2i,則|z|=7

D.若掇J|z|V2,則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成圖形的面積為萬(wàn)

5.（2024?濰坊二模）定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，〃z）=z2就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù).給

定多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)之后，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)z0,通過(guò)計(jì)算公式z.x=/（z“），〃eN可以得到一列值z(mì)0,

z,,z2,...?z?,....如果存在一個(gè)正數(shù)使得對(duì)任意〃eN都成立，則稱Z。為/（z）的收斂

點(diǎn)；否則，稱為/（z）的發(fā)散點(diǎn).則下列選項(xiàng)中是/（z）=z2的收斂點(diǎn)的是（）

A.x/2B.-/C.1-zD./

22

6.（2024?遼寧模擬）已知z滿足5（1—i）=z+2-,則（）

2-i

A.

B.復(fù)平面內(nèi)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

C.zz=17

D.z的實(shí)部與虛部之積為T

7.（2024?安徽模擬）己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z==下列說(shuō)法正確的是（）

/（3+r）

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位丁第四象限

3

C.-i-z＜0

5

D.z+1為純虛數(shù)

5

8.（2024?重慶模擬）已知復(fù)數(shù)z,卬均不為0,貝I"）

2

A.z2=\zfB.—=-^-C.z-w=z-wD.|三哈

Z|Z『w|wI

9.（2024?延邊州模擬）已知z、Z2都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（)

A.若IZJRZZI，則Z1=±ZzB.|ZjZ21=|z1||z2

C.若IZ]+z?|=|4-z?|,則Z]Z2=0D.z,-z2=zI-z2

10.（2024?湖南模擬）己知i為虛數(shù)單位,下列說(shuō)法正確的是（

A.若復(fù)數(shù)z=3,則*=-1

1-/

B.若|馬|＞匕|,則z；＞z；

C.若Z2/0,則|五|二R

4匕|

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,若|z+i|+|z-4=2,則點(diǎn)Z的軌跡是一個(gè)橢圓

11.（2024?瓊海模擬）設(shè)4，z?為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若■!?為虛數(shù)，則4也為虛數(shù)

B.若m+“=i,則匕?的最大值為應(yīng)

C.|Z,Z2|=|2,2,1

D.|z（-z2|?|z（|+|z21

12.（2024?安徽模擬）若復(fù)數(shù)ziz?是方程V—6x+12=0的兩根，則（）

A.Zj,z2實(shí)部不同

B.4,z2虛部不同

C.Iz,|=2x/3

D.攵衛(wèi)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

2-i

13.（2024?遵義二模）關(guān)于復(fù)數(shù)z,下列結(jié)論正確的是（）

B.若|z|=2,則z=l+Gi

C.若z=（l+i）i°=a+陽(yáng)則〃=品,又〃=10

D.若z+5=l,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線

14.（2024?河池模擬）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4，Z2為方程幺-2l+5=0的兩個(gè)根，則下列選項(xiàng)中正確

的有（）

A.|21|=|221

B.Z|Z|=|Z|F

C.復(fù)數(shù)馬在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

D.2?（幺）=1

Z2Z2

15.（2024?莆田三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若z+5=0,則三=iB.若z?彳=2|z|,貝U|z|=2

Z

C.若Z[=5,則z=zD.若|z+zj=（）,則Z|-5+|z『=0

二,填空題（共5小題）

16.（2024?紅橋區(qū)一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)生3=.

I-/---

17.（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+6=3彳+1&,則|z|=.

18.（2024?松江區(qū)二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2）,則i.z=—.

19,（2024?金溪縣校級(jí)模擬）復(fù)數(shù)z=1一'的實(shí)部為

---

20.（2024?天津）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（逐+i）?（百-2i）=—.

三,解答題（共5小題）

21.(2024?貴陽(yáng)模擬)在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：z=a+bi與乞=a-bi(a,bwR),我們把它們互稱為共

挽復(fù)數(shù)，。工0時(shí)它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，這是共規(guī)復(fù)數(shù)的特點(diǎn).它們還有如下性質(zhì)：

(I)z+z=2CIER

(2)z—5=?i(當(dāng)。聲0時(shí)，為純虛數(shù))

(3)z=z<=>ZG7?

(4)?=z

(5)z-z=a2+b2^zf=\zf.

(6)兩個(gè)復(fù)數(shù)和、差、積、商(分母非零)的共粗復(fù)數(shù)，分別等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的共規(guī)復(fù)數(shù)的和、差、積、

商.

請(qǐng)根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問(wèn)題：

(I)設(shè)zwi,|z|=1.求證：一J■是實(shí)數(shù)；

1+Z-

(2)已知|z,|=3,匕|=5,|4-々|=7,求五的值；

⑶設(shè)z=x+yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，當(dāng)|z|=l時(shí)，求Iz?-z+11的最大值和最小值.

22.(2024?西山區(qū)模擬)我們把g+%x+/Y+…+%r"=0(其中凡工0，〃cM)稱為一元n次多項(xiàng)式方

程.

代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元〃(〃eM)次多項(xiàng)式方程(即為，“，生，…，明為實(shí)數(shù))在復(fù)數(shù)集內(nèi)至

少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元〃(〃eN*)次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有〃個(gè)復(fù)數(shù)根(重

根按重?cái)?shù)計(jì)算).

那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元〃(〃eN‘)次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為

〃個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積.

2n

即4+%%+a2x+...+anx=an(x-ax)*'(x-a2盧...(x-aQ',其中Z,〃?eN*,仁+&+…+(”=〃，4,

a2?...>%”為方程4+。]]+出工2+…+a"x"=0的根.

進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)(即a。,q,生,…，勺為實(shí)數(shù)),方程/+平+%>+…+"=0的

有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式4+qx+/…必可分解因式.例如：觀察可知，x=l是方程P-l=0的一

個(gè)根，則(x-1)一定是多項(xiàng)式9-1的一個(gè)因式，即父-l=a-l)(ad+-+c),由待定系數(shù)法可知,

(I)解方程：V-2.r+l=0；

(2)設(shè)/*)=4+41+。2工2+。3、3，其中。0，4，。2，/￡*，且％+4+/+/=L

23

⑺分解因式：x-(4+qx+a2x+a3x)；

(")記點(diǎn)P(x",%)是y=/(x)的圖象與直線y=x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn).求證：當(dāng)

q+2a2+3a3，,1時(shí)，玉=1?

23.(2022*卜海模擬)設(shè)復(fù)數(shù)Z1=1—i,z,=cos^+/sin0.其中〃e[0,乃].

(l)若復(fù)數(shù)z=或z為實(shí)數(shù)，求夕的值；

(2)求I34+Z2I的取值范圍.

24.(2021?株洲模擬)已知復(fù)數(shù)Z〃=4+/"(4、bnGR),滿足4=1,Z,川二衛(wèi)+1+2i(〃eN*),其中i為

虛數(shù)單位，Z表示Z”的共桅復(fù)數(shù)

(I)求|乙|的值；

(II)求Z*

25.(2024?大祥區(qū)校級(jí)模擬)高中教材必修第二冊(cè)選學(xué)內(nèi)容中指出：設(shè)復(fù)數(shù)z="+/?對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z,

設(shè)NXOZ=d,|OZ|=r,則任何一個(gè)系數(shù)z=a+6都可以表示成：z=r(cos，+isine)的形式，這種形式

叫做及數(shù)三角形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模，夕稱為復(fù)數(shù)z的輻隹，若0,,0<2萬(wàn),則。稱為復(fù)數(shù)z的福角主

值，記為argz.復(fù)數(shù)有以下三角形式的運(yùn)算法則：若z,=/;(cosa+isine),/=1,2,…〃，則：

Z]々2?…?z”=7；弓..J；」cos(a+4+...+a)+isin(a+q+…+4)]，特別地，如果

4=z,=...zzl=r(cos^+/sin^),那么|>(cos0+jsin。)]"=r"(cos，Z+isin〃。)，這個(gè)結(jié)論叫做棣莫弗定理.請(qǐng)

運(yùn)用上述知識(shí)和結(jié)論解答下面的問(wèn)題：

(I)求復(fù)數(shù)z=l+cosg+isin，，?！?乃,2乃)的模|z|和輻角主值argz(用8表示);

(2)設(shè)42024,〃eN,若存在夕eR滿足(sin0+icos0)”=sin〃0+icos〃0,那么這樣的〃有多少個(gè)?

(3)求和：5=cos200+2cos400+3cos60°+...+2034cos2034x20°.

2025年高考數(shù)學(xué)解密之復(fù)數(shù)

參考答案與試題解析

一,多選題（共15小題）

1.（2024?南通模擬）已知復(fù)數(shù)4，22,滿足|4卜匕快0,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若|馬|=%|,則zjuz??B.|+z21?|z,|+|z21

C.若"2eR,則二6/?D.IZ]Z21=|Z|l|z21

Z2

【答案】BD

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,C,利用特殊值法即可判斷A,C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)3,根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的性質(zhì)即可判斷3

正胸，對(duì)選項(xiàng)。，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可判斷。正確.

【解答】解；對(duì)選項(xiàng)A,設(shè)4=]十切2=正"

2222

則|4|=匕|=應(yīng)，Z,=（1+0=2/,Z2=（^/）=-2,不滿足ZjuZ??,故A錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)設(shè)4，z2在復(fù)平面內(nèi)表示的向量分別為.Z2,且卬z?：。，

當(dāng)馬/2方向相同時(shí),IZ（+z2HZ|I+IZ2I?

當(dāng)4/2方向不相同時(shí)，IZi+ZzKzJ+IZzI，

綜上|馬+&I”|Z]|+%I，故上正確;

對(duì)選項(xiàng)C,設(shè)Z1=l+i,z2=l-/,ZIZ2=(l+/)(l-/)=2e/?,

。+」

——---------------…Z€r\R>故C錯(cuò)誤;

Z2I-/(l-Od+O

對(duì)選項(xiàng)。，設(shè)Z1=〃+/〃,，z2=c4-di,a>b>c,dkO,

z,z2=(a+bi){c+di)=(ac-bd)+{ad+bc)i?

22222

則|z(z21=>j(ac-bd)+(ad+be)=\!(ac)+(bd)+(bc),

12222

I||z21=4a+//-J(r+d-=^(ac)+(bd)+(ad)+(be)=|z)z21,

故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

2.（2024?南通模擬）已知4，z,都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（）

A.若2]=?2，則卒2eRB.若Z[Z?wR,則馬=z?

C.若|z"=|z2l，則z：=z；D.若z；+W=。，則I4RZ2I

【答案】AD

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模；共趣復(fù)數(shù)

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；整體思想

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：若馬=22,則z,=z?"2wR,A正確;

當(dāng)4=2i,z?=i滿足ZjZ?eR,B顯然錯(cuò)誤；

當(dāng)4=1,Zj=i時(shí),滿足,但z；=1,z,2=-l,C顯然錯(cuò)誤；

設(shè)馬=。+〃，，z,=c+di（a,b,c,d都為實(shí)數(shù)），

若z：+z；=。，則蠟二.?，

2

所以|z：|=|-z??Hz21,

所以|Z/2=|Z2『，BPIZ,HZ2|,D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】木題主要考查了復(fù)數(shù)的基木概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的媒合應(yīng)用，考查了分析問(wèn)題的能力，屬于中

檔題.

3.（2024?貴港模擬）已知復(fù)數(shù)4，z2,Z3,則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.若Z[Z?=Z]Z3,貝Ij4=0或無(wú)=z3

B.若4」+曲i,則染3=_1_立j

122122

C.若z；+z；=。，則zt=z2=0

D.^ZjZj=z2z2,則Iz/Wzj

【答案】ABD

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算：復(fù)數(shù)的模

【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法

【分析】對(duì)于4,由題意可得《（Z2-Z3）-0進(jìn)而即可得解，

對(duì)于4,由題意可求z：以3為周期，進(jìn)而可得馬孫=z：⑹一弓〃即可得解；

對(duì)于C,取4=1,2,=/,即可判斷得解；

對(duì)于。，利用復(fù)數(shù)的模的定義即可求解.

【解答】解：對(duì)于A，2122=Z]Z3<=>Zj(z2-z3)=0<=>Z,=0z2=Zy?故A正確；

對(duì)于3,z：=l,z：=」+^i,所以z；以3為周期，

2222

所以舉24=z：x67N=2=-4-且匕故⑶正確：

22

對(duì)于C,取4=1,z2=i,

則z：+z；=O,此時(shí)z尸Z2，故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于。，Z[Z]=1Z]F,z2z2=1z2I,

zz

所以Z[Z]=Z2z2o|i1=12I?故O正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

4.(2024?陽(yáng)江模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則下列說(shuō)法正確的有()

A.若|z|=l,則2=±1或z=±i

B.若|z-(2+，)|=l,則|z|的最小值為世-1

C.若Z=J5-2"貝IJ|Z|=7

D.若啜J|z|V2,則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成圖形的面積為萬(wàn)

【答案】BD

【考點(diǎn)】當(dāng)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

【分析】對(duì)于A,結(jié)合特殊值法，即可求解；對(duì)于8,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解；對(duì)于C,結(jié)合復(fù)

數(shù)模公式，即可求解；對(duì)于。，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的凡何意義，即可求解.

【解答】解：對(duì)于A，令7='+且"滿足|z|=l,但2=±1或z=±i不成立，故A錯(cuò)誤；

22

對(duì)于|z-(2+i)|=l,

則點(diǎn)Z的軌跡為以(2,1)為圓心，1為半徑的圓，

Iz|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)(0,0)的距離,

則|z|的最小值為，(2-1)2+(1-0)2-1=石-1,故4正確:

對(duì)于C，z=V3-2/,

則|z|=J(G)2+(-2)2=幣,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，設(shè)z=a+沅，則|z|=yja2+b2

因?yàn)榈箌z|\/25/2,

所以噓MX+〃2丘,

所以點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為兀(&)2-兀1=兀，所以。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2024?濰坊二模)定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，〃z)=z2就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù).給

定多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)/(z)之后，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)z0,通過(guò)計(jì)算公式z.x=/(z“)，〃EN可以得到一列值z(mì)。，

4，z2....2?,....如果存在一個(gè)正數(shù)M,使得對(duì)任意〃cN都成立，則稱z0為/(z)的收斂

點(diǎn)；否則，稱為/(z)的發(fā)散點(diǎn).則下列選項(xiàng)中是/⑶=z2的收斂點(diǎn)的是()

A.y/2B.-iC.1-/D.---/

22

【答案】BD

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其凡何意義；復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模

【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

【分析】根據(jù)計(jì)算公式z.x=/(z〃)=z；結(jié)合收斂點(diǎn)的定義判斷即可.

【解答】解：對(duì)A,由z““=z：可得數(shù)列忘，2,4,16…不合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由z”+|=z：可得數(shù)列T,-1,1,1...

則存在一個(gè)正數(shù)例=2,使得|z“|vM對(duì)任意〃eN都成立，滿足題意，故8正確；

對(duì)C，由z^=z；可得數(shù)列1一3-2/,-4,16…不滿足題意，故C錯(cuò)誤:

對(duì)。,由“z：可得數(shù)嗎一條彳一爭(zhēng)彳+爭(zhēng)彳一爭(zhēng)..

用心?IV5...1y/3..1,1

囚川丁不R一丁丁|=)+二"/■一二/|=1,

22222222

存在一個(gè)正數(shù)歷=2,使得|z“|<M對(duì)任意〃cN都成立，滿足題意，故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

6.（2024?遼寧模擬）已知z滿足六l-i）=z+3-,則（）

2-i

A.z=-4+Z

B.復(fù)平面內(nèi)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

C.zz=17

D.z的實(shí)部與虛部之積為T

【答案】ACD

【考點(diǎn)】共扼復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)z,逐?判斷各選項(xiàng)是否正確.

【蚱答】解：設(shè)z=x+）V（x,yeA），

則由已知得—>7）（1-/）=x+J7+,即x—y—（x+y）i=x-1+（y+2）z,

所以f-y=”T解得fl,

-x-y=y+2,=

所以z=-4+i,則5=T-i,其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（-4,7）,在第三象限，故A項(xiàng)正確，4項(xiàng)錯(cuò)誤;

ZZ=（^+/）（-4-/）=17,z的實(shí)部為-4,虛部為1,

所以z的實(shí)部與虛部之積為T,故C,。項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2024?安徽模擬）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=元2萬(wàn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.1士平

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

3

C.-/-z<0

5

D.z+,為純虛數(shù)

5

【答案】ABC

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；數(shù)系的力,充和友數(shù)；定義法

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)Z,逐一核對(duì)選項(xiàng)檢驗(yàn)即可.

2_2_2(1-3，)_1-3/

【解答】解:

；(3+/3)-Z(3--(1+3/)(1-3/)~

rnA]一i11+3i[Jl+9A/10丁*

選項(xiàng)A,zH-------=----------=——，正確;

555

選項(xiàng)4,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為《，一|）,位于第四象限，正確;

選項(xiàng)C,-z--!^=--<0,正確；

555

選項(xiàng)—+1=不是純虛數(shù).錯(cuò)誤.

5555

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2024?重慶模擬）已知復(fù)數(shù)z,叩均不為0,貝lj（）

A.z2=lzl2B.：==C.D.|-|=j-^

【答案】BCD

【考點(diǎn)】共枕復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算：轉(zhuǎn)化思想；綜合法

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷可得答案.

【解答】解：復(fù)數(shù)Z,W均不為0,

對(duì)于A,不妨令z=i,則/=一1,|z「=|,z2z|2,A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于6,-=—=6正確；

zz-z|z|2

對(duì)于C,由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得事=5-記，C正確；

arc?Z,Z\Z-Z|Z|2

對(duì)卜￡），I—|=（-）=-=--y?

wwww-w|>v|

故I三|=以,。正確.

M1|W\

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬「中檔題.

9.（2024?延邊州模擬）已知zrZ2都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（）

A.若則Z1=±Z2B.\zlz2Hzi\\z2\

C.若IZ]+Z21=1Z]-z2|,則Z]Z2=0D.z（-z2=z1?z2

【答案】BD

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模：共挽復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

【解答】解：令4=1,z2=it滿足|%|=|z?|,但4=±22不成立，故A錯(cuò)誤;

由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可知，Iz—|=|4||z?I，故8正確；

令4=1,z2=i,滿足|Z[+z2|=|Z]-z2|,但"2=0不成立，故。錯(cuò)誤；

設(shè)4=a+bi(a,bGR),z2=c+di(c,dGR),

Z1?Z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+\ad+bc)i,

z,1z2=(a-bi){c-di)=ac-bd+(ad+bc)i,故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2024?湖南模擬)已知i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是()

A.若復(fù)數(shù)z=W,則嚴(yán)=-1

1-/

B.若|Z]|＞|Z2l，則z；＞z；

C.若Z2HO,貝打五|=卬

4匕1

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,若|z+i|+|z-“=2,則點(diǎn)Z的軌跡是一個(gè)橢圓

【答案】AC

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模

【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)閦=W==冬=3所以產(chǎn)=嚴(yán)=尸=-1,故A正確；

1-z(1-/)(1+/)2

對(duì)于8,取4=2"工2=1滿足但z：=Tz；=l,所以z；＞z；小成立，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若z,w0,根據(jù)模的性質(zhì)|五|=卬，故C正確；

Z2?Z2|

對(duì)于O,復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,若|z+i|+|z-i|=2,則點(diǎn)Z的軌跡是線段，故O錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

II.(2024?瓊海模擬)設(shè)馬，Z2為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若,為虛數(shù)，則4也為虛數(shù)

B.若片++1,則|zj的最大值為友

C.Iz,z21=|ztz2\

D.|z(-z21?|z(|+|z21

【答案】ACD

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；對(duì)應(yīng)思想

【分析】對(duì)于A,由，=一幺=為虛數(shù)，得l為虛數(shù)，從而可判斷A,對(duì)于4,由4=-2，進(jìn)行判斷，對(duì)于

zizi-zi

C,設(shè)Z]=a+R,z2=c+di(a,b,c,dwR),然后分別求解Iz,I,I|進(jìn)行判斷，對(duì)于。，根據(jù)復(fù)

數(shù)的向量表示及向量的不等式分析判斷.

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)樯?'=為虛數(shù)，4?為實(shí)數(shù)，所以馬為虛數(shù)，所以4也為虛數(shù)，所以A正

Z]Z,?Z|

確，

對(duì)于8,當(dāng)4=-萬(wàn)時(shí)，滿足|馬+“=1,此時(shí)|zj=2>夜，所以8錯(cuò)誤，

對(duì)于C,設(shè)4=a+6，z2=c+di(a,b,c,dwR),則

z,1z2=(a+bi)?(c+di)={ac-bd}十(ad十bc)i>

Z[?z2=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(be-ad)i,

所以|A?z2|=7(ac-bd)2+(ad+be)2=\](ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2,

22222

IZ]?z21=Q(ac+bdf+(be-ad)=y](ac)+(bd)+(ad)+(bc),

所以|乎?RNR?|,所以C正確，

對(duì)于O,設(shè)4，Z2確定的向量分別為,則由向量不等式得IOZI-OZZI,,IOZJ+IOZJ,

所以IZ[-z?I”IZ1|+|Zj|恒成立,所以O(shè)正確，

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

12.(2024?安徽模擬)若復(fù)數(shù)3%是方程d—6x+12=0的兩根，則()

A.4，z2實(shí)部不同

B.4,z2虛部不同

C.|zj=26

D.攵衛(wèi)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

2-i

【答案】BC

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；復(fù)數(shù)的模

【專題】定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程f-6x+12=0,求出x=3±Gi,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模及其幾何意義、共攏復(fù)數(shù)、

復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，逐項(xiàng)判定，即可求出結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)榉匠蘤-6x+12=0可化為（x-3）2=-3,所以x=3土后，

則4，均是共飄復(fù)數(shù)，實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)，所以A錯(cuò)誤，〃正確；

因?yàn)閨馬|=|3±百”=2石，所以C正確；

所以受亭在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（￡、）,

位于第一象限，所以￡＞錯(cuò)誤.

故選；BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2024?遵義二模）關(guān)于復(fù)數(shù)z,下列結(jié)論正確的是（）

A-也

Z

B.若|z|=2,則z=l+J5i

C.若z=（l+=〃+〃（&〃￡/?）.貝IJ〃=C：oxF=l（）

D.若z+乞=1,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線

【答案】AD

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其凡何意義；復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義運(yùn)算可得結(jié)果.

【解答】解：對(duì)于A,設(shè)Z=4+4R）,則Izl'/+Z?"

所以乞=4一萬(wàn)，所以|ZF=z?，=/+〃，故A正確；

對(duì)于8,若|z|=2,則/+從=4,所以Z不一定是1+6"故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閦=（l+i尸=［（1+。呼=（2i）5=32i,所以《=32,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡）,設(shè)z=a+bi（a、b￡R）,則5二4一次，所以z+5=2a=l,所以。=L所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

2

的軌跡為一條直線，故。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2024?河池模擬）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4，句為方程/-2%+5=0的兩個(gè)根，則下列選項(xiàng)中正確

的有（）

A.I2,1=12,1

B.Z|Z|=|zJ

C.復(fù)數(shù)4在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

D.三.（五）二1

Z22,

【答案】ABD

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算：綜合法；計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

【分析】由題意可知：Z2=I，進(jìn)而可判斷A：結(jié)合z?5=|z|2可判斷次）：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C.

2

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：由方程x-2工+5=0解得x=l±2i,可知：z2=z,>所以|馬|=|4|=|z2|,故A

正確；

2

對(duì)于選項(xiàng)B：對(duì)于任意復(fù)數(shù)z=a+bi，則W=〃一次，可得z?彳=（a+bi）［a-bi）=a?+從=|zf,所以ztz,=|z（|>

故/?正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由方程V—2x+5=0解得x=l±2i,即z=l+2i或4=1—27,可知復(fù)數(shù)馬在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)在第一象限或第四象限，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：由選項(xiàng)A可知：=幺.（五）=|旬2=（lAl）2=（lilf=1.故。正確.

22422匕||可|

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)模，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15.（2024?莆田三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若z+乞=0,則三B.若z?5=2|z|,貝U|z|=2

Z

C.若Z[=彳,則z=zD.若|z+zJ=0,則Z|?N+|z『=0

【答案】BCD

【考點(diǎn)】狂數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算

【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；定義法；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用共扼復(fù)數(shù)的定義可判定A、C，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則結(jié)合模長(zhǎng)公式可判定B、D.

【林答】解：由z+5=0,得馬=-1,則A錯(cuò)誤.

z

因?yàn)閦N=|z『，所以|Z|2=2|Z|,解得|Z|=2或|Z|=0（舍去），則4正確.

設(shè)z=a+bi（a，bwR,且a。/0）,

則4=彳=〃一8i,所以Z[=a+優(yōu)=z,則。正確.

由|z+Z||=0,得Z[=-z.

設(shè)z=a+〃（a,bwR,且，心工0）,則z1e二1七二一面十〃），

\zf=a2+b2,從而yK|z|2=0,則。正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳復(fù)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共5小題）

16.（2024?紅橋區(qū)一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)句3=1+3/

1-i~

【答案】1+3/.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；整體思想

【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

42/(42/)(lj)26/.

【解答】解:1=t1=1=1+3

1-i(1-/)(1+/)2

故答案為：l+3i.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

17.（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+6=3五+162,貝U|z|=5

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模：共挽復(fù)數(shù)

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算：轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

【分析】設(shè)2=〃+加，根據(jù)復(fù)數(shù)的共加狂數(shù)、復(fù)數(shù)相等列方程組解得〃，b,再根據(jù)模長(zhǎng)公式求解即可得

答案.

a+6=3a

【解答】解：設(shè)z=a+bi(a,bwR),則〃+〃，+6=3?-3/加+16,，于是，

b=-3b+16'

解得,則Iz|=\la2+b2=5.

b=4

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的共柜復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2024?松江區(qū)二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2）,則/??z=_-2+i_.

【答案】—2+i.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】對(duì)應(yīng)思想：轉(zhuǎn)化法：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可\

【解答】解：由題意得：z=l+2/,

故iz=i（l+2i）=-2+i,

故答案為：—2+i.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

19.（2024?金溪縣校級(jí)模擬）復(fù)數(shù)2=上口的實(shí)部為叵1.

【答案】立二.

3

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算：轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；轉(zhuǎn)化法

【分析】根據(jù)已知條件，先對(duì)z化簡(jiǎn)，再結(jié)合實(shí)部的定義，即可求解.

【解答】解：因?yàn)樯?空小心二墾1一叵」，

H-/I+ZV24-/333

所以z=±L的實(shí)部為叵口.

ll-zl+z3

故答案為:a-T

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

20.（2024?天津）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（逐+）（\/5-2，）=_7-

【答案】7-6.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：（逐+i）?（逐-2，）=5-2后+后+2=7-后.

故答案為：7-x/5/.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

三.解答題（共5小題）

21.（2024?貴陽(yáng)模擬）在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：z=a+初與2-5（a,〃wR）,我們把它們互稱為共

輒復(fù)數(shù)，。關(guān)0時(shí)它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，這是共扼復(fù)數(shù)的特點(diǎn).它們還有如下性質(zhì)：

（I）z+z=2CIGR

（2）z—N=2/M（當(dāng)〃/0時(shí)，為純虛數(shù)）

（3）Z=Z<=>ZG/?

（4）?=z

（5）z-z=a2+b2=\zf=\zf.

（6）兩個(gè)復(fù)數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共挽復(fù)數(shù)，分別等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的共規(guī)復(fù)數(shù)的和、差、積、

商.

請(qǐng)根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問(wèn)題：

（I）設(shè)zwi,|z|=l.求證：二是實(shí)數(shù)；

1+Z*

（2）已知|zj=3,|z"=5,|Z,-Z2|=7,求五的值;

22

（3）設(shè)z=x+yi,其中x,丁是實(shí)數(shù)，當(dāng)|z|=l時(shí)，求|z?-z+l|的最大值和最小值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解答:

（2）;木率

(3)|z2-z+k=3,l?-z+lLn=O.

【考點(diǎn)】共視更數(shù)：亞數(shù)的模；更數(shù)的運(yùn)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算：綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；整體思想

【分析】(1)設(shè)z=4+Z>，(4,〃c火)，利用z?5=1,z+W=2aeR,可證得一J?是實(shí)數(shù)；

\+2~

<2)設(shè)幺=/)+qi(p,qwR)，結(jié)合題意，可得關(guān)于〃，夕的方程組，解之即可；

Z2

(3)設(shè)z=cos6+isin6,OwR,依題意,可得|z?-z+11=|2cos。-11,從而可求得|z?-z+l|的最大值

和最小值.

【解答】解：(1)證明：設(shè)z=〃+陽(yáng)R),丁z",|z|=1,

/.z-z=1>z+z=e7?>

-7=-^是實(shí)數(shù)；

l+z~z-z+zz+z

(2)設(shè)幺=p+qi(p、qwR),

Z2

則Z[=(p+qi)z2,

?IZi1=3?Iz21=5,|z1-z21=7,

3=|Z]|=|(p+qi)||z2|=5&『+q，

：.p2+42=2①；

25

22

又7=|%-z?|=|(〃+qi)z2-z2Hz;ll(p-1)+51=5^)(p-1)+q，

.-.(p-l)2+g2=||(g)；

聯(lián)立①解得〃=一得，夕=±百，

z13,35

z21010

(3),\z\=1,設(shè)z=cos?+isin。，O&R,

則Iz?-z+11=|z?-z+z?工|=|z(z-彳-1)|=|z||z+亍-1R2cos^-l|，

-Ixx'bos^1,

二.一3效也cosO-l1,

.?H-z+ll皿=3,心2—+(加=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)的應(yīng)用，考杳轉(zhuǎn)化與化歸思想及方程思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

22.(2024?西山區(qū)模擬)我們把+…+//=0(其中凡H0,“cM)稱為一元八次多項(xiàng)式方

程.

代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元〃(〃eN,)次多項(xiàng)式方程(即4,%,%，…，勺為實(shí)數(shù))在復(fù)數(shù)集內(nèi)至

少有一個(gè)復(fù)數(shù)根：由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元〃(〃eN*)次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有〃個(gè)復(fù)數(shù)根(重

根按重?cái)?shù)計(jì)算).

那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元〃5eN,)次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為

n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積.

即《)+。然+。2/+…=①。一%)“工一?”…(工一%”盧，其中女，mcN、，K+&2+,??+(”=〃，a\?

%，…，區(qū)”為方程《)+。1彳+。2/+…+，"x"=0的根.

進(jìn)一步可以推出:在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)(即%,%,生，…，4為實(shí)數(shù))，方程％+平+生―+…+%r"=0的

有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式++…+6］必可分解因式.例如：觀察可知，x=l是方程父-1=0的一

個(gè)根，則3-1)一定是多項(xiàng)式父-1的一個(gè)因式，即V-1=3-1)(火2+瓜+c),由待定系數(shù)法可知，

a=b=c=\.

(I)解方程：Y-2x+l=0；

1

(2)設(shè)/(x)=〃o+41+生/+4/3,其中/，"，生，a3eR,且％+q+9+%=1.

23

⑴分解因式：x-(fl0+ayx+a2x+d3x)；

(")記點(diǎn)尸(%，%)是)，=/“)的圖象與直線y=x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn).求證：當(dāng)

4+2a2+3%,1時(shí)，=1.

【答案】(1)玉=1,乂=*在，5=上且；

■22

2

(2)(i)x-(《)++a2x+a/。)=一(x-+(a,+ay)x-%］；

(〃)證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化

【分析】(1)觀察可知x=l是方程V-2x+l=0的一個(gè)根，所以設(shè)F-Zx+lua—Wad+^+c),對(duì)照

可得。=1,b=l,c=-\,得到(x-l)(Y+x_l)=0,即可求出方程的根；

23

(2)(i)x=1是方程x-(a0+a{x+a2x+a3x)=0的一個(gè)根，所以設(shè)

23232

x-(aQ+a}x+a2x+a3x)=(A;-\\ax+bx+c)=tir+(b-a)x+(c-b)x-c,對(duì)照可得a=-a,?

b-(a0+?))—1,c—CIQ,從而可得出答案；

(")令/(x)-x=O,故是方程(/+4%+42/+0/)7=0的最小正實(shí)根，由⑴知

222

(4+qx+a2x+)-X=(X-1)(675X+(a2+a^x-a0],設(shè)g(x)=a3x+(a2+%)x-a0,根據(jù)g(x)開口方

向，結(jié)合g(0)=-4vO,則g(x)一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為/,結(jié)合a+2%+3%,1時(shí)，g(1)

?0,故r..l,得到&=1.

【解答】解