專題25二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

考擁晨女

（1）會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.

（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.

（3）會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元級性規(guī)劃問題，并能加以解決.

知識整合,

_________/

一、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ar+gy+C>。表示直線不+瓦、，+。一0某一側(cè)所有

點(diǎn)組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式AY+8），+CN0表示的平面

區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線.

2.對于二元一次不等式的不同形式，其對應(yīng)的平面區(qū)域有如下結(jié)論：

3.確定二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的方法

11）對于直線Ar+8.y+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)8y）,使得Ar+B.y+C的值符號相同，也就是位于同

一半平面的點(diǎn)，如果其坐標(biāo)滿足Ar+8），+C>0,則位于另一個半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足

Ar+Bv+C<0.

（2）可在直線Ar+8），+C=0的同一側(cè)任取一點(diǎn)，一般取特殊點(diǎn)血，刈），從A7+&y°+C的符號就

可以判斷Av+砂+C>0（或At+為+Cv0）所表示的區(qū)域.

（3）由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

14）點(diǎn)Pig,yi）和。2（必力）位于直線Ar+?v+C=O的兩側(cè)的充要條件是（小+孫+。）（不2+B%

+C）<0:位于直線Ar+B>+C=O同側(cè)的充要條件是（4土+孫+C）（Ax2+By2+C）>0.

二、簡單的線性規(guī)劃問題

1.簡單線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念

（I）約束條件：由變量x，y的不等式（或方程）組成的不等式組稱為工，y的約束條件.關(guān)于變量工,），的

一次不等式（或方程）組成的不等式組稱為x,），的線性約束條件.

（2）目標(biāo)函數(shù)：我們把求最大值或最小值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù).目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量弟y的一次解析

式的稱為線性目標(biāo)函數(shù).

13）線性規(guī)劃問題：一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)

劃問題.滿足線性約束條件的解（x,.y）叫做可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域，其中，使目標(biāo)

函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解.

2.簡單線性規(guī)劃問題的解法

在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟可概括為“畫、移、求、答”，

即：（1）iffli：在平面百角坐標(biāo)系中,畫出可行域和有線ax+by=0（目標(biāo)函數(shù)為z=ax+by）：

（2）移：平行移動直線ca+by=O,確定使z=aY+〃y取得最大值或最小值的點(diǎn)；

（3）求：求出使z取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)（解方程組）及z的最大值或最小值：

（4）答：給出正確答案.

3.線性規(guī)劃的實(shí)際問題的類型

11）給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大：

（2）給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小.

常見問題有：①物資調(diào)運(yùn)問題：②產(chǎn)品安排問題：③下料問題.

4.非線性目標(biāo)函數(shù)類型

（I）對形如z=（x-a）2+（），—〃）2型的目標(biāo)函數(shù)均可化為可行域內(nèi)的點(diǎn)（］,>，）與點(diǎn)（小間距離的平方

的最值問題.

（2）對形如z=」一（4CH0）型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z=-------j的形式，將問題化為求可

cx+dcx-恪

C

行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)連線的斜率的q倍的取值范圍、最值等.

cac

13）對形如z=|Ar+8），+C|型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z="T7r?烏普田的形式，將問

yjA2+B2

遜化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）到直線Ar十或），十C=0的矩離的J/V十倍的。的.

考向一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

1.確定平面區(qū)域的方法如下：

第一步，“直線定界”，即畫出邊界4+8.y+C=0,要注意是虛線還是實(shí)線：

第二步，”特殊點(diǎn)定域”，取某個特殊點(diǎn)（%,光）作為測試點(diǎn)，由Ar。+8%+C的符號就可以斷定

Ar+5v+C>0表示的是直線Ar+By+C=O哪一側(cè)的平面區(qū)域；

第三步，用陰影表示出平面區(qū)域.

2.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的應(yīng)用主要包括求平面區(qū)域口勺面積和已知平面區(qū)域求參數(shù)的取

值或范圍.

（I）對于面積問題，可先畫出平面區(qū)域，然后判斷其形狀（三角形區(qū)域是比較簡單的情況），求得相應(yīng)的

交點(diǎn)坐標(biāo)、相關(guān)的線段長度等，若圖形為規(guī)則圖形，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，則

運(yùn)用割補(bǔ)法計算平面區(qū)域的面積，其中求解距離問題時常常用到點(diǎn)到直線的距離公式.

（2）對于求參問題，則需根據(jù)區(qū)域的形狀判斷動直線的位置，從而確定參數(shù)的取值或范圍.

典例引領(lǐng)

x-y+l>0

典例1不等式組|x+yWO表示的平面區(qū)域與/+）,2+工一），+2_《。表示的平面區(qū)域的公共部分面積

4

y>0

為.

【答案】4

16

X->'+!>()

【解析】畫出不等式組，工+丁工。表示的平面區(qū)域，如圖,

y>0

x-y+l=()(n

由《)可得A+y—V一,表示以

x+y=OV2)4

x-y+\>0

為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)及其圓上各點(diǎn)，由圖可知不等式組<

Lx+y<0表示的平面區(qū)域與

22)2

y>0

f+V+X-y+^WO表示的平面區(qū)域的公共部分面積為以為圓心，以上為半徑的圓的四分之一,

2

其面積為兀—=——?故答案為—.

4{2)1616

x>0

典例2已知。>0,不等式組?)，40表示的平面區(qū)域的面積為2,則〃的值為

y>a(x-2)

11

A.-B.-

42

C.ID.2

【答案】C

x>0

表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切?，所?所以

【解析】作出可行域，因?yàn)椴坏仁浇M_V<0x2x2a=2,

2

y>a(x-2)

a=1.故選C.

變式拓展

x+y-2<0

I.不等式組［x-y+220表示的平面區(qū)域的形狀為

)'N1

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

考向二線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題

1.平移直線法：作出可行域，正確理解z的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移得到最優(yōu)解.對一個封

閉圖形而言，最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，在解題中也可由此快速找到最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).

2.頂點(diǎn)代入法：①依約束條件畫出可行域;②解方程組得出可行域各頂點(diǎn)的坐標(biāo);③分別計算出各頂點(diǎn)處目

標(biāo)函數(shù)z=(vc+by的值，經(jīng)比較后得出z的最大(小)值.

求解時需要注意以下幾點(diǎn)：

(i)在可行解中，只有一組區(qū))，)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時，最優(yōu)解只有1個.如邊界為實(shí)線的可行域，當(dāng)目

標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線不與邊界平行時，會在某個頂點(diǎn)處取得最值.

(ii)同時有多個可行解取得一樣的最值時，最優(yōu)解有多個.如邊界為實(shí)線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線

與某一邊界線平行時，會有多個最優(yōu)解.

(iii)可行域一邊開放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時也就不存在最優(yōu)解.

典例引領(lǐng)

x+y-2>0

典例3已知點(diǎn)滿足約束條件《x-2y+4>0,piiJz=3x+y的最大值與最小值之差為

x-2<0

A.5B.6

C.7D.8

【答案】C

x+^-2>0

【解析】作出約束條件工-2），+420表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,

作“線y=-3x并平移知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時,z取得最大值；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時二取得最小值.

x=2x=2x-2y+4=0[x=0

，即A(2,3),故Zmax=9.由<八，得1，即仇0,2),故Zmin=2,

x-2y+4=0[y=3x+y—2=()[y=2

故z的最大值與最小值之差為7,選C.

變式拓展

x-2y+6<0,

2.已知實(shí)數(shù)X，y滿足，3x+丁一940,則z=4A--5y的最小值為

xN—2,

考向三含參線性規(guī)劃問題

I.若目標(biāo)函數(shù)中有參數(shù)，要從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對國形進(jìn)行動態(tài)分析，對變化過程中的相關(guān)量進(jìn)行準(zhǔn)

確定位，這是求解這類問題的主要思維方法.

2.若約束條件中含有參數(shù)，則會影響平面區(qū)域的形狀，這時含有參數(shù)的不等式表示的區(qū)域的分界線是一條

變動的直線，注意根據(jù)參數(shù)的取值確定這條直線的變化趨勢，從而確定區(qū)域的可能形狀.

典例引領(lǐng)

y<x

典例4若變量x,)，滿足約束條件?)Y-X+4,且“2計尹2的最小值為-4,則4的值為

y>2k

A.7B.-1

C.-3D.2

【答案】B

【解析】因?yàn)椤?2x+y+2,設(shè)z=2x+y,貝h1=z+2,因?yàn)椤?2x+y+2的最小值為4所以z的最小值為6

y<x

不等式組，y<-％+4表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知,H標(biāo)函數(shù)z=2x+y過點(diǎn)A(2k2外時取得

y>2k

最小值,n.Z*=4攵+2k=-6，解得仁1.

x-y+1>0

典例5設(shè)變量滿足“x+2y-22。工=〃匕+W0<?<魚)的最大值為5,則a=

2x+y-7<0

1

A.1B.-

2

C夜D出

22

【答案】A

x-y+\>0

【解析】如圖，畫出不等式組?％+2y-2N0表示的可行域，如圖中陰影部分所示.

2x+v-7<0

22

士=44+乂.?.尸B+z,求2的最大值，即求直線y=-dx+z在y軸上的最大載距，顯然，當(dāng)直線)--ax+z過點(diǎn)A

x-y+1=0

時，在y軸上的截距取得最大值.由〈,，解得人(2,3),則2標(biāo)+3=5,可得斫1.故選人.

2x+y-7=0

變式拓展

x-2>>+l<0

3.若x，y滿足約束條件，2x-y+220,z=3x+y+根的最小值為］,則〃?=

x+y-2<0

考向四利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題

用線性規(guī)劃求解實(shí)際問題的一般步驟為：

(1)模型建立：正確理解題意，將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這需要在學(xué)習(xí)有關(guān)

例題解答時，仔細(xì)體會范例給出的模型建立方法.

(2)模型求解：畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，選定可行域中的特殊點(diǎn)作為最優(yōu)解.

(3)模型應(yīng)用：將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中，設(shè)計出最住的方案.

注意：(1)在實(shí)際應(yīng)用問題中變量乂y除受題目要求的條件制約外，可能還有一些隱含的制約條件不

要忽略.

(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解不?定在可行域的頂點(diǎn)或邊界處取得，此時不能直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值，

可用平移直線法、檢驗(yàn)優(yōu)值法、調(diào)整優(yōu)值法求解.

典例引領(lǐng)

S______/

典例6下表所示為X,y,Z三種食物的維生素含量及成本，某食品廠陽將三種食物混合，制成至少含44D00

單位維生素4及48000單位維生素3的混合物100千克，所用的食物X,y,Z的質(zhì)量分別為蒼乂z(千克)，

貝0混合物的成本最少為元.

XYz

鏤生素A（單位：千克）400600400

姓生素8（單位：千克）800200400

成本（元/千克）12108

【答案】960

400.V+600y+4OOz>44UU0

?>>>20

800x+200y+400z>48000

【解析】由題意得《二八，消去z得<2%-y240.設(shè)混合物的成本為P,則

x+y+z=100

x+j<IOO

xNO,），N0,z20

P=12x+IOy+8z=800+4x+2y.

”20

畫出2x-yN40表示的可行域，如圖中陰影部分所示,

xiy<100

P

當(dāng)直線），=-2匯-400+工過可行域內(nèi)的點(diǎn)A（30,20）,即x=30F克，），=20千克，z=50千克時，成

本最少，為P=960元.

典例7某家具廠有方木料90m五合板600m2,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方

木料0.1m，、五合板2m2：生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m'、五合板1m?.出售一張書生可獲利潤80元,

出售一個書櫥可獲利潤120元，怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？最大利潤為多少？

Oh+0.2)，490x+2y<900

2x+y<6002x+y<600

【解析】設(shè)生產(chǎn)書桌X張，書櫥.V個，利潤總額為Z元，則＜,即,

x>0x>0

y>0y>0

\r+2y<900

2x+y<600

z=80刀+120)，.作出?表示的可行域，如圖中陰影部分所示.

x>0

y>0

2z

由圖可知：當(dāng)直線y=-120即Z最大,

x+2y=9(X)

解方程組-得知的坐標(biāo)為(100400).

2x+y=60()

則2n1ax=8()x+120)，=8()x1(X)+120x400=56000(元).

因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個，可使所得利澗最大，最大利潤為56000元.

變式拓展

4.某公司每月都要把貨物從甲地運(yùn)往乙地，貨運(yùn)車有大型貨車和小型貨車兩種.己知4臺大型貨車與5臺小

型貨車的運(yùn)費(fèi)之和少于22萬元，而6臺大型貨車與3臺小型貨車的運(yùn)費(fèi)之和多于24萬元.則2臺大型貨

車的運(yùn)費(fèi)與3臺小型貨車的運(yùn)費(fèi)比較

A.2臺大型貨車運(yùn)費(fèi)貴B.3臺小型貨車運(yùn)費(fèi)貴

C.二者運(yùn)費(fèi)相同D.無法確定

考向五非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題

I.斜率問題是線性規(guī)劃延伸變化的類重要問題，其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問題，不過是用模型形態(tài)

呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見模型或具變形形式.

2.距離問題常涉及點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離，熟悉這些模型有助于更好地求解非線性目標(biāo)函數(shù)

的最值.

典例引領(lǐng)

x-y+\>0

典例8已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組，x+y-3>(),若.F+y2的最大值為〃八最小值為〃，則m-n=

x<2

C.8D.9

【答案】B

x-y+\>0

【解析】作出不等式組「K+y-320表示的平面區(qū)域，如圖中陰賬部分所示,

x<2

-/+爐表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，觀察圖形可知，原點(diǎn)到皆線x+y_3=0的距離|O/)|的平方等于

917

〃,|。4|2=〃八經(jīng)過計算可得"曰3/=一,則/〃-〃=—.故選B.

22

x+y-\>0

典例9已知Q，滿足4x-2)，—4?。，如果目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為位2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

-CCX一〃1

2x-y-2>0

1、1

A.[0,—]B.(-℃,—]

22

1

C.(-oo,—)D.(-oo,0]

【答案】C

xiy-l>0

【解析】作出卜一2)，-4工0表示的可行域，如圖中陰影部分所示.

2x-y-2>0

日標(biāo)函數(shù)z=2V—+1的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)(XJ)與4肛-1)連線的斜率.

x-in

x+y-1=0x=2

111-得《，即8(2,-1).

[x-2y-4=0y=T

由題意知m=2不符合題意，故點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合，因而當(dāng)連接AB時，斜率取到最小值0.

由y=-\與2.v-y-2=0得交點(diǎn)在點(diǎn)4由點(diǎn)C向左移動的過程中，可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)4連線的斜率小

于2,而目標(biāo)函數(shù)的取值范圍滿足z￡[0,2),則故選C.

變式拓展

y>x

5.已知實(shí)數(shù)x,)，滿足(x+3y<4,則z=|3x+)，|的最大值是.

x>-2

、聲點(diǎn)沖關(guān)*

x+2>'-3>()

1.若實(shí)數(shù)4,)'滿足不等式組(24+》一320,則2x+3)，的最小值為

x+.y-3<0

A.4B.5

C.6D.7

x-y-2<0

2.設(shè)x,)，滿足約束條件y+320，則上的取值范圍是

八x+6

A.-q,lB.[—3,1]

「3

C.(-oo,-3]|j[l,+oo)D.-yJ

x4-y+67>0

3.設(shè)X，5'滿足約束條件｛.八，且z=x+2)，的最小值為2,則。二

x-y+\<Q

A.1B.-1

2x+3y-6?0,

4.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，M為不等式組（4+〉-2..0，所表示的區(qū)域上一動點(diǎn)，則|OM|的最小值

y..0

是

A.IB.72

C.2D.2近

x^O

5.已知A（2,l）,設(shè)P（x,y）為可行域,3x+2yW7內(nèi)一點(diǎn)，則方?次的最大值為

4x-y<2

A.—2B.-y2

C.4D.5

x>0,

6.已知X，），滿足約束條件，）”3,且不等式2x-y+sN0恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為

3x<y,

A.〃?..3B.m..1

C.nt.0D.m..3

x+y>0,

7.若xy滿足<y+iwo,則k-y|的最大值為

y>2x-6,

A.0B.I

C.2D.4

8.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椤?，若在區(qū)域。上存在函數(shù)y=log,d（4>l）圖象上的點(diǎn),

x+3y<6

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.（3,甸B.(1,3)

C.[3,+oo)D.(1,3]

x-y+\>0

I/1\21

9.若不等式組，）'+—20表示的區(qū)域?yàn)镃，不等式式-上+），2?2表示的區(qū)域?yàn)椤福駽區(qū)域均勻

2\2J4

x+y-1<0

■機(jī)撒360顆芝麻，則落在區(qū)域「中芝麻數(shù)約為

A.114B.10

C.150D.50

x-2<0

10.不等式組<工-2），+420表示的平面區(qū)域的面積為.

-%-y+2<0

11.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)力（-1,0）,8（1,2）,。（3,-1），點(diǎn)P（x,y）為△ASC邊界及內(nèi)部的任意一

點(diǎn)，貝k+y的最大值為.

x-2y+\<0

12.設(shè)尤丁滿足約束條件卜x-2y+3N0,則z=的最小值為

3x+y-6V0

x+y-2<0

13.己知滿足約束條件"2），-24。，若可行域內(nèi)存在（x,y）使不等式2x+），+A20有解，則實(shí)數(shù)2

2x-y+2>0

的取值范圍為.

x+y..3

14.若變量”,>滿足約束條件，入一又..一1,則z=ln），-lnx的最大值為.

2x-y<3

x+2>0

15.設(shè)變量滿足約束條件卜一丁+320，目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大誼為，兒則當(dāng)2。+/>=工（。>06>。）時

2x+y-3<0

的最小值為.

16.某工藝廠有銅絲5萬米，鐵絲9萬米，準(zhǔn)備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售，已知編制?只花籃

需要用銅絲200米，鐵絲300米：編制一只花盆需要銅絲100米，鐵絲300米，設(shè)該廠用所有原料編

制x個花籃，），個花盆.

<1）列出X，）'滿足的關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域：

（2）若出售一個花籃可獲利300元，出售一個花盤可獲利200元，那么怎樣安排花籃與花盆的編制個數(shù),

可使得所得利潤最大，最大利潤是多少？

快通高考切

x+y>6,

1（.2019年高考全國III卷文數(shù)）記不等式組—八表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p：3（x,y）eD,2x+y>9；

2x-y>（）

命題4：V（x,y）wO,2x+yW12.下面給出了四個命題

①pvq②r）vq③〃人f④力人―

這四個命題中，所有其命題的編號是

A.?@B.①②

C.②③D.??

x+y-2<0.

x-y+2>0.

2.12019年高考天津卷文數(shù)）設(shè)變量KN滿足約束條件〈一,則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大值

X.-1,

y…-1,

為

A.2B.3

C.5D.6

x-3y+4>0

3.（2019年高考浙江卷）若實(shí)數(shù)芭）'滿足約束條件,3x—y—4?0,則z=3x+2），的最大值是

x+y>0

A.-1B.1

C.10D.12

x+3y<3,

4.（2017年高考全國I卷文數(shù)）設(shè)My滿足約束條件?x-y>i,則z=x+y的最大值為

y>o,

A.0B.I

C.2D.3

2x+3y-3<0,

5.（2017年高考全國II卷文數(shù)）設(shè)工，），滿足約束條件《2x—3y+3NO,則z=2x+），的最小值是

>,+3>0,

A.-15B.-9

C.1D.9

2x+3y-6>0,

6.（2019年高考全國II卷文數(shù)）若變量x,y滿足約束條件<x+）」3W0,則z=3x-y的最大值是

y-2<0,

x<2,

7.（2019年高考北京卷文數(shù)）若x,），滿足《1,則曠一上的最小值為,最大值為

4x-3y+l>0,

fx-2y-2<0

8.（2018年高考全國I卷文數(shù)）若"，丁滿足約束條件?4一），+120,則z=3x+2），的最大值為

y<0

2x+y+3>0?

9.（2018年高考全國III卷文數(shù)）若變量X，>滿足約束條件,x-2y+4N0，則z=x+gy的最大值是

x-2<0.

x+2y-5>0,

10.（2018年高考全國【I卷文數(shù)）若兌3,滿足約束條件，x-2y+3>0,則z=x+y的最大值為

x-5<0,

棄參考答案.

變式拓展

1.【答案】D

【解析】由不等式組可得平面區(qū)域如下圖陰影部分所示:

易知A(—1,1),8(1,1),二。。是4B的垂直平分線，.?.AC=3C,乂直線工一y+2=0與x+)，-2=0

垂直，平面區(qū)域的形狀為等腰直角三角形.木題正確選項(xiàng)為D.

［名師點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的形狀問題，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)不等式組得到

平面區(qū)域，根據(jù)宜線垂直關(guān)系和線段長度關(guān)系可得區(qū)域形狀.

2.【答案】-83

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,

結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)八(-2,15)處取得最小值，即z.ndxL2)-5xl5=-83.

【名師點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域來求目標(biāo)函數(shù)的最值，能否繪出不等式組表示的平

面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，是簡單題.求解時，首先可以根據(jù)題意繪出不等式組表示

的平面區(qū)域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=4x-5)，的幾何性質(zhì)，找出目標(biāo)函數(shù)取最小值所過的點(diǎn)，即可得出結(jié)

果.

3.【答案】4

【解析】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：

z=3x+y+m取最小值時，即y=-3x-+z在y軸上的截距最小,

平移直線y=-3x可知，當(dāng)y=-3x—m+z過A點(diǎn)時，在y軸上的截距最小,

2x-y+2=0

由得：A（-1,O）,

x_2），+l=01）

Zmin=-3+0+=1,解得：tn=4

本題正確結(jié)果為4.

【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中根據(jù)最值求解參數(shù)的問題，關(guān)犍是能夠明確最值取得的點(diǎn)，屬于常考

題型.求解時，由約束條件得到可行域，z取最小值時)，=-3x-〃z+z在)，軸上的截距最小，數(shù)形結(jié)合求

件結(jié)果.

4.【答案】A

【解析】設(shè)大型貨車每臺運(yùn)費(fèi)x萬元，小型貨車每臺運(yùn)費(fèi)y萬元,

4x+5y<22

6%+3y>24

依題意得八，畫出該不等式組表示的平面區(qū)域:

x>0

y>0

由圖可知,z=2x-3y過C（3,2）時，z最小.

/.z>2x3-3x2=0.即2x>3y,故選A.

【名師點(diǎn)睛】用線性規(guī)劃的方法來解決實(shí)際問題：先根據(jù)問題的需要選取起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的量用

字母表示，進(jìn)而把問題中所有的量都用這兩個字母表示出來，建立數(shù)學(xué)模型，畫出表示的區(qū)域即可解決.

5.【答案】8

【解析】由約束條件可知可行域?yàn)閳D中陰影部分所示：

其中A（-2,-2）,8（1,1）,C（-2,2）,

由2=與芳Ljid,可知z的幾何意義為可行域中的點(diǎn)到直線3x+），=。距離的加倍，可行域中的

點(diǎn)到直線3x+y=0距離最大的點(diǎn)為A（-2,-2）,

■?■^=|3X（-2）-2|=8.

本題正確結(jié)果為8.

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是能夠明確目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利

用數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行求解.求解時，畫出約束條件的可行域，求出三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)z的幾何意義,

求出最值取得的點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)求解即可.

專題沖關(guān)

1.【答案】B

x+2y-3>0

［解析】畫出不等式組2x+y-3ZO表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示,

x+y-3<()

21

令z=2x+3y,則y=+分析知，當(dāng)x=l,y=l時，z取得最小值，且ZmM=5,故選B.

JJ

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求解最值，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).求解時，作出

可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，確定取到最小值的點(diǎn)，然后求出最小值.

2.【答案】B

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,

目標(biāo)函數(shù)震表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(-6,T)之間連線的斜率,

數(shù)形結(jié)合可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C（-1,1）處取得最大值：與當(dāng)=1，

目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A（—5,-7）處取得最小值：圭，=一3,

故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是[-3,1].

故選B.

【名師點(diǎn)睛】求解時，首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取值范圍即可.

3.【答案】B

【解析】結(jié)合目標(biāo)函數(shù)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分表示：

其中A（一等'F），作直線/：%+2,，-0,平移直線/,當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)A時，zl僅得最小值，即

4e=一等+2?寧=2,解得。=一1.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值的步驟：

（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.

⑵考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形.常見的類型有截距型（以+小型）、斜率型（上〃

x^a

型）和距離型（（工+〃）2+（｝，+/?）:型）.

（3）確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解.

（4）求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.

4.【答案】B

【解析】作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，過點(diǎn)O向直線x+y-2=0作垂線，垂足在

可行域內(nèi)，所以O(shè)到直線X+）」2=0的距離即為|OM|的最小值，所以|。必舄.故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，屬于距離模型，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.求解時，首先在平面直

角坐標(biāo)系中作出不等式組式示的可行域，|。/州表示。到可行域內(nèi)其點(diǎn)的距離，過點(diǎn)0向直線

x+y-2=0作垂線，垂足在可行域內(nèi)，所以0到直線x+y-2=0的距離即為|?！▅的最小值.

5.【答案】C

3x+2v=7

【解析】由題意作出其平面區(qū)域，由解得知(1,2),

OPOA=z=2x+y,由線性規(guī)劃知識知經(jīng)過點(diǎn)M時，取得最大值，此時x=l，)，=2,z=2x+y

有最大值2x1+2=4，故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃、向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

x>0

【解析】由約束條件作出可行域如圖，

3x<y

>-3x

尸3

r=2x-y\y

乂------

令，=2x-y,平移直線y=2x7,則當(dāng)直線y=2x-過點(diǎn)4（0,3）時，直線y=2xT的縱截距最大，

，有最小值-3,

因?yàn)椴坏仁?支一），+〃后0恒成立，所以-3+〃zN0,即"此3.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值以及不等式恒成立問題，屬于中檔題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一

般步驟是“一畫、二移、三求”：

口）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）：

12）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂

點(diǎn)就是最優(yōu)解）：

13）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

7.【答案】D

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

目標(biāo)函數(shù)即：z=|x-y|=^^xV2

其中z取得最大值時，其幾何意義表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線x-y=O的距離的④倍最大，據(jù)此可知目

標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值,

x+y=0/、

聯(lián)立直線方程：二,，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（2,-2）,

y=2x-6'7

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：2,m=|2-（-2）|=4.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】（1）本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法.

⑵解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)一定的幾何意義.

8.【答案】C

f3x+y-l()>()

【解析】作出不等式組《J,C對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:

x+3y-6<()

U33x4,-yy--160==o0'解得4⑶)此時滿足皿解得心,

??.實(shí)數(shù)々的取值范圍是［3,+<x>）,故選C.

【名師點(diǎn)睛】解本題時，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用

函數(shù)產(chǎn)log斜（a>l）的圖象特征，結(jié)合區(qū)域上的點(diǎn)即可解決問題.利用線性規(guī)劃求最值的步驟:

①在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域:

②考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；

③在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解;

④將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.

9.【答案】A

3131I1

［解析］由圖川得，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-二，一二）,8點(diǎn)坐標(biāo)為（二，一二）,C坐標(biāo)為（01）,。點(diǎn)坐標(biāo)為（二，二）.