專(zhuān)題31直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)

考擁雇攵

(1)以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面垂百的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.

理解以下判定定理：

?如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直.

?如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：

?如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直.

(2)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

期知識(shí)整合

一、直線(xiàn)與平面垂直

1.定義

如果直線(xiàn)/與平面a內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)/與平面a互相垂直.記作：/_La圖形表示

如下：

【注意】定義中的“任意一條直線(xiàn)”這一詞語(yǔ)與“所有直線(xiàn)''是同義語(yǔ)，與“無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”不是卮義語(yǔ).

2.直線(xiàn)與平面垂直的判定定理

一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)垂直n線(xiàn)面垂直

I

圖形語(yǔ)言V

1

符號(hào)語(yǔ)言/_L?,/JL),qua,bua,ab=P=^/Xa

作用判斷直線(xiàn)與平面垂直

【注意】在應(yīng)用該定理判斷一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條祖笠直

線(xiàn)垂直，而不是任意的兩條直線(xiàn).

3.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理

垂直于同-?個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面垂直=線(xiàn)線(xiàn)平行

ab

圖形語(yǔ)言_7

aLa

符號(hào)語(yǔ)言^a//b

bLa卜

①證明兩直線(xiàn)平行：

作用

②構(gòu)造平行線(xiàn).

4.直線(xiàn)與平面所成的角

（1）定義：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線(xiàn)叫做這個(gè)平面的斜線(xiàn)，斜線(xiàn)和平

面的交點(diǎn)叫做斜足.

過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)垂足和斜足的直線(xiàn)叫做斜線(xiàn)在這個(gè)平面上的射影.

平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的第名，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.

（2）規(guī)定：一條直線(xiàn)垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角等于90；一條直線(xiàn)和平面平行，或在平面內(nèi),

7T

我們說(shuō)它們所成的角等于0.因此，直線(xiàn)與平面所成的角a的范圍是[0,—].

.2

5.常用結(jié)論（熟記）

（1）若兩條平行線(xiàn)中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

（2）若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線(xiàn).

（3）過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知平面垂直.

（4）過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直.

二、平面與平面垂直

1.定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面a與平面萬(wàn)垂直，

記作a_L〃.圖形表示如下：

2.平面與平面垂直的判定定理

一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面垂直n面面垂直

1

圖形語(yǔ)言Z7

符號(hào)語(yǔ)言l-La,1u。=a_L/?

作用判斷兩平面垂直

3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂宜.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：面面垂直=線(xiàn)面垂直

a

a

圖形語(yǔ)言

aL/3

B=I

符號(hào)語(yǔ)言=>a10

aua

aA.I

作用證明直線(xiàn)與平面垂直

4.二面角

（1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分成兩部分，這兩部分通常稱(chēng)為半平面.

從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做三皿單.

這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

（2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于

棱的射線(xiàn)，則這兩條射線(xiàn)構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.

（3）二面角的范圍：［0,九］.

5.常用結(jié)論（熟記）

（1）兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直.

（2）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面.

（3）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)在第一個(gè)平面內(nèi).

三、垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

平面幾何的定理

考向一線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)

線(xiàn)面垂直問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：

(1)與命題真假判斷有關(guān)的問(wèn)題.

解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是結(jié)合圖形進(jìn)行推理，或者依據(jù)條件舉出反例否定.

(2)證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法：

①線(xiàn)面垂直的定義：

②判定定理：

③垂直于平面的傳遞性(a//ht。_L?！╛L。)；

④面面平行的性質(zhì)(。"La,a"

⑤面面垂直的性質(zhì).

⑶線(xiàn)面垂直的證明.

證明線(xiàn)面垂直的核心是證線(xiàn)線(xiàn)垂宜，而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直則需借助線(xiàn)面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定

理的合理轉(zhuǎn)化是證明線(xiàn)面垂直的基本思想.

(4)線(xiàn)面垂直的探索性問(wèn)題.

①對(duì)命題條件的探索常采用以下三種方法：

&先猜后證，即先觀(guān)察與嘗試給出條件再證明；

b.先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；

c.把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，探索命題成立的條件.

②對(duì)命題結(jié)論的探索常采用以下方法：

首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個(gè)假設(shè)卜.進(jìn)行推理論證，如果通過(guò)推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè),

如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).

典例引領(lǐng)

典例1如圖所示，4103和A/OC都是以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且乙44。=60。，下列說(shuō)法中錯(cuò)

誤的是

A.AD_L平面8DCB.BDJ_平面/1OC

C.DC1平面ABDD.8CJ?平面4BD

【答案】D

【解析】易知力。1BD,AD1DC,所以力。1平面8DC,

又△A8D與△ADC均為以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以AB=AC,BD=DC=—^B.

2

又￡BAC=60。,所以A4BC為等邊三角形,

故BC=AB=&BD.

所以NBDC=90。,即BD1DC.

所以8。1平面/OC,

同理DC1平面48D.

故選D.

變式拓展

1.在正方體A8CD-44G。中，點(diǎn)尸在側(cè)面5CG4及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且保持AP_L8A，則動(dòng)點(diǎn)尸

的軌跡為

A.線(xiàn)段BC

B.線(xiàn)段BQ

c.的中點(diǎn)與CG的中點(diǎn)連成的線(xiàn)段

D.的中點(diǎn)與耳e的中點(diǎn)連成的線(xiàn)段

典例引領(lǐng)

典例2如圖，在三棱柱中，各個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形，。為線(xiàn)段8C的中點(diǎn).

（1）求證：平面

（2）求證：直線(xiàn)力當(dāng)||平面8G。；

（3）設(shè)M為線(xiàn)段86上任意一點(diǎn)，在△8C1力內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）是否存在點(diǎn)E,使請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【解析】（1）?二三棱柱力BC-Ai/G中，各個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形,

：.CCX±DC,CCX±AC,

?"GJ"平面48C,

乂,：BDu平面ABC,

?"G1BD,

又底面為等邊三角形，。為線(xiàn)段4C的中點(diǎn)，

：?BD1HC,

XACnccr=c,

，BD1平面ACC/i.

（2）如圖，連接81c交8G于點(diǎn)。，連接。。,

則0為aC的中點(diǎn)，

是的中點(diǎn)，：.0D||ABlt

又OOu平面Bq。，4%仁平面8。。，

，直線(xiàn)4瓦II平面BQD.

（3）在△BQ。內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）存在點(diǎn)E,使CE_LZ）M,此時(shí)E在線(xiàn)段G。上，證明如下:

如圖，過(guò)C作CE_LG。，交線(xiàn)段G。于點(diǎn)E，

由（1）可知，ROJ"平面｛CQ/li，

乂CEu平面ACCi&,：,BD1CE,

由CEIGZ）,BDr\CiD=D,得CE1平面BGD,

〈DMu平面BQ。,

：.CE1DM.

變式拓展

2.如圖，在正方體48co—A4G2中，七為棱G。的中點(diǎn)，戶(hù)為棱8c的中點(diǎn).

(1)求證：AE±DA\；

(2)在線(xiàn)段AAi上求一點(diǎn)G,使得4E_L平面OPG?并說(shuō)明理由.

考向二面面垂直的判定與性質(zhì)

判定面面垂直的常見(jiàn)策略：

(I)利用定義(直二面角).

(2)判定定理：可以通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直.

(3)在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒(méi)有與交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，則一般需作輔助線(xiàn)，基本作法是過(guò)其中一個(gè)

平面內(nèi)一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，這樣就把面面垂宜轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直.

典例引領(lǐng)

典例3已知在梯形力BCD中，AB//CD,E,尸分別為底48,CD上的點(diǎn)，且EF1AB,EF=EB=\FC=2,

EA=^FD,沿EF將平面折起至平面4EF。1平面E8C5,如圖.

(1)求證：平面8C0_L平面BDF；

(2)若4E=2,求多面體/18CDEF的體積.

【解析】(1)由平面AEFD1平面E8C1,且。41EF知DF1平面E8CF.

而Dbu平面8DF,所以平面8DF，平面E8CF.

由3尸=2血,3。=2近,尸。=4,可知3/2+3。2=廠(chǎng)。2,apBC1BF,

乂BCu平面EBCR

所以8c_L平面BD".

又BCu平面BCD,所以平面BCDJ■平面BD尸.

（2）依題意知，多面體/BCOEF是三楂臺(tái)/BE-。。/，

易得高為EF=2,

兩個(gè)底面面積分別是2和8,

故體積為[x（2+8+V2x8）=

?JJ

典例4如圖，直三棱柱/18C-4181cl中0,E分別是48,8名的中點(diǎn),48=BC.

（1）證明:BC]〃平面&CD;

（2）證明:平面力1ECJ■平面4CG小.

【解析】（1）連接力G，交4C于點(diǎn)。，連接DO,則。是4G的中點(diǎn),

因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以O(shè)D//BG.

因?yàn)?。。u平面4CD,BG仁平面4CD,

所以8G〃平面4CD.

（2）取4c的中點(diǎn)凡連接EO,OF,FB,

因?yàn)?。是AG的中點(diǎn)，

所以0///441且。F=^44i.

顯然BE///L41，且BE=

目〒以。F〃BE且。"=BE,

則四邊形BE。尸是平行四邊形.

所以E0//8R

因?yàn)?B=BC,所以BFl4c.

又BF1CG，

所以直線(xiàn)BFJ■平面

因?yàn)镋0〃8F,所以直線(xiàn)E。_L平面ACGA].

因?yàn)镋。u平面4住。，

所以平面&EC_L平面

變式拓展

3.如圖，在四棱錐P-ABCO中，％_L平面人8c。，底面ABCO是菱形，點(diǎn)。是對(duì)角線(xiàn)AC與8。的交點(diǎn),

AB=2,ZBAD=60Q,M是P。的中點(diǎn).

(1)求證：0M〃平面PAB；

(2)求證：平面PB￡)_L平面用C：

(3)當(dāng)三棱錐C-PB。的體積等于立時(shí)，求以的長(zhǎng).

4.如圖，在三棱柱A3C-AMG中，底面為正三角形，底面ABC,4A=3A5,點(diǎn)芯在線(xiàn)段CQ

上，平面AEg_L平面A44B.

(1)請(qǐng)指出點(diǎn)E的位置，并給出證明；

(2)若A5=1,求點(diǎn)B]到平面ABE的距離.

考向三線(xiàn)面角與二面角

求直線(xiàn)與平面所成的角的方法：

(I)求直.線(xiàn)和平面所成角的步驟：

①尋找過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)；

②連接垂足和斜足得到斜線(xiàn)在平面上的射影，斜線(xiàn)與其射影所成的銳角或直角即為所求的角：

③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，道過(guò)解三角形，求出該角.

⑵求線(xiàn)面角的技巧：

在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的

依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等.

求二面角大小的步驟：

4^>1作出平旃

證明所作的角滿(mǎn)足定義，即為所求

二面角的乖而希_______________

人］將作出的角放在三角形中，計(jì)算出

平面包的十小

簡(jiǎn)稱(chēng)為“一作二證三求”.作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇.

典例引領(lǐng)

典例5正三棱柱ABC-的所有棱長(zhǎng)都相等，。是AG的中點(diǎn)，則直線(xiàn)A。與平面BRC所成角的

正弦值為

34

A.-B.-

55

D.叵

0I5

【答案】B

【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知耳。,平面AC。，???MO_LOC,

故△耳。。為直角三角形.設(shè)棱長(zhǎng)為I,則有AD=今,BQ=今,DC=今,

]G行后

—X-------X--------=-----------

2228

設(shè)A到平面B、DC的距禽為h,則有匕=VB「ADC，

.3x"'S△艮oc=§x40xS%y，

2

./x"巫，與Lh=

38322石

h4

設(shè)直線(xiàn)AD與平面B\DC所成的角為0,則sine=—=-.

AD5

解法二：在正三棱柱中，由。為4G中點(diǎn)可證與。，平面441cC，如圖，作AH_LC。，???4O_LAH.

又用。0。。=。，???〃/，平面8co.??.NAZ>〃為所求的線(xiàn)面角.

設(shè)棱長(zhǎng)為2,在中由等面積法得力〃=竽

4百

5=4

/.sinZ.ADH=

V55

故選B.

典例6如圖，直三棱柱ABC-AB|G的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,尸分別是8C,CG的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面B|BCG：

(2)若直線(xiàn)4。與平面A4BB1所成的角為45。，求三棱錐方-AEC的體積.

【解析】（1）因?yàn)槿庵?8C-A4G是直三棱柱，

所以A￡_L8q,

又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，

所以AE_L3C,因此4E_L平面8QCG，

而AEu平面AE”,

所以平面AEF±平面B]BCC「

（2）如圖，設(shè)A8的中點(diǎn)為。，連接4DCD,

因?yàn)椤鰽BC是正三角形，

所以CQJLA8,

又三棱柱ABC—AAG是直三棱柱，

所以COJ,A41,因此CQ_L平面于是/CAQ是直線(xiàn)A。與平面4所成的角.

由題設(shè)知NC4"）=45,所以4D=CO=Y^A8=J5,

2

在RtZ\A4。中，4A=辦戶(hù)-仍=y{^=近，

所以叱

故三棱錐F-AEC的體積V=；ZeXFC=1X與吟吟,

變式拓展

5.己知三棱柱的惻棱與底面垂直，底面是邊長(zhǎng)為百的正三角形，且該三棱柱外接球的表面

積為7兀，若尸為底面的中心，則Q4與平面ABC所成角的大小為

7171

A.-B.-

34

D.2

12

6.已知四棱錐P-ABCQ中，Q4_L底面ABC。，AD//BC,AB=3,BC=4,AC=5.

(1)當(dāng)小變化時(shí)，點(diǎn)C到平面Q4B的距離是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)若PA=3,求直線(xiàn)PC與平面P4O所成角的正弦值.

典例引領(lǐng)

典例7已知A8c。是正方形，E是AB的中點(diǎn)，將△D4E和ACBE分別沿。E、CE折起，使AE與8E

重合，A、8兩點(diǎn)重合后記為點(diǎn)P,那么二面角P—CD—￡的大小為.

【答案】30

【解析】如圖，取CD中點(diǎn)F,連接PF、EF.

C

D

?；EP_LPD,EPLPC,PCD,：.EP1CD.

,:PC=PD,J.PFLCD,

又PFQPE=P,???CQJ_平面PEF,

又E/u平面PE/,??.CO_LE”，

???NP/話(huà)為二面角尸一C￡>—石的平面角.

設(shè)正力形A6c。的邊長(zhǎng)為2,

在RtZ\EF尸中，PE=1,EF=2,:.NPFE=30。.

【名師點(diǎn)睛】(1)二面角的平面角的頂點(diǎn)是二面角棱上任意一點(diǎn).為了解題方便，可以把其放在某一特殊位

置，這要具體問(wèn)題具體分析.

(2)求二面角的關(guān)鍵是找出(或作出)平面角，再把平面先放到三角形中求解.一般采取垂線(xiàn)法來(lái)作平面角，

即過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)且不在棱上的一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線(xiàn)，過(guò)垂足作棱的垂線(xiàn)，利用線(xiàn)面垂直

可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.

典例8在AA8C中，AB=4,AC=AC=45°,以AC的中線(xiàn)80為折痕，將A48D沿8。折起，如圖所

示，構(gòu)成二面角大一8。一C,在平面8co內(nèi)作CE1C0,且^^二企.

(1)求證：CE〃平面4'8。；

(2)如果二面角/V—BD—C的大小為90。，求二面角8-AC-E的余弦值.

【解析】(1)由力8=4,4。=4加,484。=45°得8。=4,

所以AA8C為等腰直角三角形，

由。為4c的中點(diǎn)得5。1AC,

以/I。的中線(xiàn)為折痕翻折后仍有8。1CD.

因?yàn)镃EJ.CO,所以CE〃8。，

乂CEC平面4BD,BDu平面4BD,

所以CE〃平面A'BD.

(2)因?yàn)槎娼瞧?。-C的大小為90°,所以平面48。1平面8DC,

又平面n平面BDC=BD,A'D1BD,

所以4DJ■平面80C,因此A'DICE,

又CELCD,ArDnCD=D,

所以CEJL平面4c0,從而CE1AC.

由題意40=DC=2\/2,

所以在RtAA'DC中,A'C=4.

如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為F,連接8F,

因?yàn)锳B=BC=4,所以BF1AC,且BF=26

如圖，設(shè)4E的中點(diǎn)為G,連接PG,BG,則FG〃。從

由CEJ_4C得FGJ.4C,

所以/RrG為二面角B-A'C-E的平面角，

如圖，連接8E,在ABCE中，因?yàn)?C=4,CE=魚(yú)/BCE=135。，所以BE=癡.

在RtADCE中，DE=J(2>/2)2+(>/2)2=710,

于是在RtAA'DE中，AE=J(2&y+(痂y=3&.

1117Q

在A4BE中，BG?EA'B'-BE?一一AfE2=—,

2242

133

12+--—

所以在ABFG中，cusNBFG=------2__%=

3

2x25/3x—

2

因此二面角8-AfC-E的余弦值為一如

3

變式拓展

7.已知菱形48co的邊長(zhǎng)為1,ZDAB=60°,將這個(gè)菱形沿AC折成60。的二面角，則及。兩點(diǎn)間的

距離為

8.如圖，多面體P-A3c￡),平面A3C0_L平面P3C,DCLBC,DA//BC,NBCP=90°,M是

AP的中點(diǎn)，N是DP上的點(diǎn).

(1)若MN〃平面尸8C,證明：N是OP的中點(diǎn)；

(2)若CB=CD=CP=3,AD=],求二面角A—3P—C的平面角的余弦值.

、聲點(diǎn)沖關(guān)充

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

A.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行

B.若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直

c.i個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)均與另i個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

D.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直

2.設(shè)小b,c表示三條直線(xiàn)，a,4表示兩個(gè)平面，則下列命題中不正確的是

alb

cla

A.B.bu/3■=>bA.c

a//p

c是〃在夕內(nèi)的射影

b//c

a//a

C.bua'=c"aD.nZ?_La

hLa

cfZa

3.如圖，三條相交于點(diǎn)P的線(xiàn)段兩，PB,PC兩兩垂直，P在平面ABC外，尸〃，平面A8C于“，則垂足

"是△ABC的

A.外心B.內(nèi)心

C.垂心D.重心

4.若。涉是不同的直線(xiàn)，是不同的平面，則下列命題正確的是

A.若〃/_LZ?,則a_L￡

B.若〃〃則a〃夕

C.若a1a,bA.仇a〃b,則?！ā?/p>

D.若a〃a、b工B、a，b,則a〃尸

5.如圖A8CD為空間四點(diǎn)，在△/ABC中,A8=2/C=3C=V1等邊二角形ADB以AB為軸旋轉(zhuǎn),當(dāng)平面ADBA.

平面A8C時(shí),CD二

H

A.V3B.2

c.V5D.1

6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體旦GA中，點(diǎn)￡、尸分別是棱BC、CG的中點(diǎn)，P是底面A8CO

上（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足則線(xiàn)段40長(zhǎng)度的取值范圍是

A.

c.D.［在網(wǎng)

7.《九章算術(shù)》卷五《商功》中有如下問(wèn)題：今有芻費(fèi)，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈,

問(wèn)積幾何？問(wèn)題中“芻矍”指的是底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w，如圖I,該幾何體可由圖2中的八邊形

ABCDEFGH沿BG,6向上折起，使得4H與。E重合而成，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則此“芻

薨，，中E/7與平面BCFG所成角的正弦值為

A叵

5

5

8.如圖所示，在直角梯形BCE/中，NCA尸=NBCE=90。，4。分別是BECE上的點(diǎn)，仞〃BC,

且AB=O石=28C=2A尸（如圖①）.將四邊形AOEF沿A。折起，連接BE,BF,CE（如圖②）.

在折起的過(guò)程中，下列說(shuō)法中堵誤的個(gè)數(shù)是

①AC〃平面應(yīng)廣；

②B,C,E,尸四點(diǎn)不可能共面；

③若EF_LCF,則平面AD比'J_平面A8c。；

④平面3CE與平面在尸可能垂直.

9.如圖,在矩形ABCD中,AB=2工￡）=3,點(diǎn)E為4Q的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE,CE將△ABE,Z\DCE翻折,使得點(diǎn)A,D

重合于點(diǎn)F,此時(shí)二面角E-BC-F的余弦值為

10.如圖，在正方體A5CO-A8c。中，F(xiàn)是棱AA上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是

DiCI

A.對(duì)任意動(dòng)點(diǎn)￡在平面AORA內(nèi)小仔性與平面CBb平行的直線(xiàn)

B.對(duì)任意動(dòng)點(diǎn)F,在平面46co內(nèi)存?在?與平面。尸垂直的直線(xiàn)

C.當(dāng)點(diǎn)尸從4運(yùn)動(dòng)到。的過(guò)程中，二面角BC-A的大小不變

D.當(dāng)點(diǎn)尸從4運(yùn)動(dòng)到。的過(guò)程中，點(diǎn)。到平面C3b的距離逐漸變木

11.如圖,三棱錐P-48C,平面PA8J_平面P8C,若P418C,則△48C的形狀為.

12.在四面體力BCD中，DA1平面48C,AB1AC,AB=4,AC=3,AD=1,E為棱BC上一點(diǎn)，且平面ADE1

平面BCD,則Z)E=.

13.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，。是8C的中點(diǎn)，AB=2AA,若A43c是正三角形，則直線(xiàn)

A。和平面A8C所成的角的大小是.

14.如圖，在三棱錐P—A8C中，出_L底面ABC,ZBAC=90°,f是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，且

PE

LBC,則

~EC

15.如圖所示，在四棱錐尸一A8CQ中，PA_L底面A8C。，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

DMA.________時(shí)，平面MBD_L平面PCD

16.如圖所示，在多面體ABCD爐中，四邊形A8C。是邊長(zhǎng)為2的菱形，且N8CQ=60。，平面尸8CJ_

平面ABC。，EF//AB,FB=FC,H為BC的中點(diǎn).

(1)求證：FHJL平面ABCD；

(2)若△/BC為等邊三角形，Q為線(xiàn)段EF上的一點(diǎn)，求三棱錐A-C。。的體積.

17.如圖，已知四邊形力88是正方形，PDL平面力BCD,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,H分別為PB,

BE,PC的中點(diǎn).

(1)求證：G"〃平面PO/4E；

(2)求證：平面尸GHJ?平面PCD.

18.如圖，在四棱錐P-ABC力中，八力〃AC,AD_LCO,Q是AD的中點(diǎn)，PA=PD=2BC=-AD=

2

CD=C，PB=?

(1)求證：平面~AT>_L平面44C￡>；

<2)求直線(xiàn)PC與平面BAO所成角的正切值.

19.如圖所示，M,N,P分別是正方體的棱A8,BC,。。上的點(diǎn).

(1)若"N二則，求證:無(wú)論點(diǎn)P在。。?上如何移動(dòng)，總有8P_LMN;

MANC

(2)棱。。上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得平面APG_L平面AACG?證明你的結(jié)論.

20.在等腰梯形ABCD中，E、尸分別是C。、AB的中點(diǎn)，CD=2,AB=4,4D=8C=V1沿即將梯形"ED

折起，使得NAF8=60。，如圖.

D

(1)若G為的中點(diǎn)，求證：AG_L平面8CEE

(2)求二面角C-A5一尸的正切值.

21.如圖，四邊形218co為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF//CE.BF1BC,BF<CE,BF=2,AB=1,AD=

(1)求證:BC1AF;

(2)求證X/7/平面DCE;

（3）若二面角E-BC-4的大小為120。,求直線(xiàn)DF與平面4BCD所成的角.

昌通高考

1.（2019年高考浙江卷）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，。是棱例上的點(diǎn)（不含端

點(diǎn)）.記直線(xiàn)與直線(xiàn)AC所成的角為a,直線(xiàn)PB與平面ABC所成的角為小二面角尸-AC-8的平面

角為〃則

A.P<y,a<yB.P<a,p<y

C.p<a,y<aD.u.<p,丫<B

2.（2017新課標(biāo)全國(guó)HI文科）在正方體ABCO—ABCIR中，￡為棱CO的中點(diǎn)，則

A.EA.DC}B.\E-LBD

C.A|E_L8GD.A1E±AC

3.（2017浙江）如圖，已知正四面體。一ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P,Q,R分別為AB,BC,

CA上的點(diǎn)，AP=PB,—=—=2,分別記二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角為y,

QCRA

則

A.y<a<13B.a<y</3

C.a<(3<yD.(3<y<a

4.（2019年高考全國(guó)I卷文數(shù)）已知NACB=90。，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)尸到NAC8兩邊AC,

BC的距離均為、々，那么。到平面ABC的距離為.

5.（2019年高考江蘇卷）如圖，在直三棱柱/WC—AIiG中，。，￡分別為〃C,AC的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：（I）AiB〃平面。EG；

(2)BELCxE.

6.（2019年高考全國(guó)IH卷文數(shù)）圖1是由矩形AOEB,和菱形8戶(hù)GC組成的一個(gè)平面圖形，其

中A8=l,BE=BF=2,

NFBC=60。.將其沿A8,8c折起使得8七與8斤重合，連結(jié)。G,如圖2.

（I）證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面/WC_L平面BCGE；

（2）求圖2中的四邊形ACG。的面積.

7.（2019年高考北京卷文數(shù)）如圖，在四棱錐產(chǎn)一A685，PA_L平面A8CO,底部A8CD為菱形，E

為CD的中點(diǎn).

(1)求證：BO_L平面P4C；

(2)若NA8G60。，求證：平面平面PAE；

(3)棱P8上是否存在點(diǎn)F,使得CF〃平面PAE?說(shuō)明理由.

8.(2019年高考天津卷文數(shù))如圖，在四棱錐P—A3C。中，底面ABCO為平行四邊形，△PCO為等

邊三角形，平面B4C_L平面PC。，PA.LCD,CD=ZAD=3.

(I)設(shè)G,“分別為AC的中點(diǎn)，求證：G"〃平面PAO；

\0-

求證：(1)至〃平面Age；

(2)平面A工平面ABC.

II.（2018浙江）如圖，已知多面體ABCA出Ci,4A,B\B,CC均垂直于平面ABC,NABC=120。，A}A=4,

CiC=l,AB=BC=B田=2.

(I)證明:A5i_L平面AiBjCi；

(ID求直線(xiàn)4G與平面48與所成的角的正弦值.

12.(2018北京文科)如圖，在四棱錐中，底面人8C￡＞為矩形，平面以O(shè)_L平面"CD,PA1PD,

PA=PD,E,尸分別為40,尸8的中點(diǎn).

(I)求證：PELBCx

(II)求證：平面以B_L平面PCD：

(III)求證:M〃平面PCD.

13.(2018天津文科)如圖，在四面體A4CO中，△A8C是等邊三角形，平面48CJ_平面A8D,點(diǎn)例為棱

A8的中點(diǎn)，AB=2,AD=2BN8AO=90。.

(1)求證：AD1BC；

(II)求異面直線(xiàn)8C與所成角的余弦值；

(III)求直線(xiàn)C。與平面4BD所成角的正弦值.

百

>n

C

14.(2017江蘇)如圖,在三棱錐A-8CD中,ABLAD,BC1BD,平面48。，平面8CO,點(diǎn)E,F(E與

4,。不重合)分別在棱AD,BD上,fiEFA.AD,

求證：(1)E/〃平面48c

(2)AD1AC.

0

cr

15.(2017新課標(biāo)全國(guó)III文科)如圖，四面體ABC。中，AABC是正三角形，AD=CD.

B

A

(1)證明：AC_L8D；

(2)已知AAC。是直角三角形，AB二BD.若E為棱8。上與。不重合的點(diǎn)，且AELEC,求四面體

A8CE與四面體ACOE的體枳比.

、棄參考答案.

變式拓展

1.【答案】A

【解析】如圖，連接AC,B￡,在正方體ABCD-AgG"中，有■平面

因?yàn)锳P_L8",所以APu平面AC片，

又點(diǎn)P在側(cè)面BCCM及其邊界上運(yùn)動(dòng)，

故點(diǎn)P的軌跡為平面ACB］與平面BCCM的交線(xiàn)段CB}.

故選A.

2.【解析】（1）如圖，連接4R,BG，由正方體的性質(zhì)可知，DA.1ADrDA}1AB,

乂ABCfAD1=A,

DAtL平面ABCQi,

乂AEu平面ABCR,

：,D\A.AE,

（2）所求G點(diǎn)即為A點(diǎn)，證明如下：

由（1）可知AE_LQA，取C。的中點(diǎn)“，連接A”，EH,如圖,

由_LAH,DF_LEH,AH「EH=H,可證_L平面AHE,

?「AEu平面AHE,

：.DFA.AE.

又。尸04。二。，

???4E_L平面QFA，即AE_L平面。/G.

3.【解析】（1）在△心。中，區(qū)為0,M分別是4。，PQ的中點(diǎn)，

所以O(shè)M//PB.

又0M9平面PAB,P4u平面PAB,

所以〃平面PAB.

(2)因?yàn)榈酌鍭8CQ是菱形，所以BO_L4C.

因?yàn)榧觃L平面4BCQ,8Ou平面A8CO,

所以PALBD.

又ACCI必二A,

所以4。_1_平面PAC.

又BOu平面PBO,

所以平面PBO_L平面PAC.

(3)因?yàn)榈酌鍭BC。是菱形，且AB=2,/朋。=60。，

所以心時(shí)。=gx22x*=5

又yc-PBD=VP-BCD，三棱錐P-BCD的高為PA，

所以=解得尸A=3.

322

4.【解析】(1)點(diǎn)E為線(xiàn)段CG的中點(diǎn).

證明如下：取A3中點(diǎn)為尸，4片的中點(diǎn)為G,連接Cb,FG,EG，

所以尸G〃C￡,FG=CE,

所以四邊形FGEC為平行四邊形，

所以。尸〃瓦；.

因?yàn)镃A=CB,AF=BF,所以C/_LAB.

又因?yàn)锳A_L平面ABC,CFu平面ABC,

所以AAJ.C產(chǎn).

又4AlA8=A,所以CF_L平面

所以EG,平面片8,

而EGu平面AEq,

所以平面AEB.1平面AA^B.

（2）由4?=1，得AA,=3.

由（1）可知，點(diǎn)E到平面AB4的距離為EG=。尸=且.

2

△ABB]的面積S^ABBy=]*1x3=],AE=BE=；

則等腰三角形A8E底邊AB上的高為

記點(diǎn)看到平面ABE的距離為力,

由匕"八的=%.八四，得:x/zxgxlxj^n

32322

解得〃

2

3

故點(diǎn)B1到平面ABE的距離為］.

5.【答案】A

【解析】如圖所示，尸為正三角形AqG的中心，設(shè)o為△A3。的中心,

由題意知：PO_L￥面ABC,

連結(jié)04,則NB4O即為PA與平面ABC所成的角.

4

由題易知線(xiàn)段OP的中點(diǎn)為外接球的球心,

27

=

設(shè)外接球的半徑為，則7兀=4幾產(chǎn)，4-

在正三角形A8C中，AB=BC=AC=B

AO=x-^3=1，

3

???P0=￡.

???tanZPAO=—=V3,

AO

???ZPAO=~.

3

故選A.

6.【解析】（1）由A3=3，BC=4,AC=5知AB2+3C2=AC2,則ABJ_BC,

由QA_L平面A8CD,BCu平面ABC。，得Q4J.5C,

[hPApAB=A,PA，ANu平面

得3c_L平面Q4B，

則點(diǎn)。到平面的距離為一個(gè)定值8C，且8C=4.

(2)設(shè)直線(xiàn)PC與平面PA。所成的角為。，

由A￡)〃BC,8c可知AB_LAT＞，

又P4_L平面ABCD,A5u平面ABC。，

故B4_LA3,

又尸A'AD=A,

則AB_L平面PA。，

則B點(diǎn)到平面PAD的距離為A3=3，

由I3C//AD知點(diǎn)C與點(diǎn)4到平面PAD的距離相等，

則點(diǎn)C到平面PAD的距離為d=AB=3,

由B4=3,AC=5知0C=J%2+AC，=后,

故sin—=/=的

ACJ3434

7.【答案】B

［解析】菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,ZDAB=60°，將這個(gè)菱形沿AC折成60°的二面角,

取4c中點(diǎn)O,連結(jié)。0,BO,BD,

^\DO=BO=-AB=-

22t

OO_LAC，BOVAC,

ZDOB是將這個(gè)菱形沿AC折成60。的二面角的平面角，

2次用=60。，

則BD——,

2

即3,。兩點(diǎn)間的距離為

2

故選B.

8.【解析】（1）設(shè)平面析IPPI平面尸8A=/，

因?yàn)镸N〃平面PBCMNu平面AOP,所以MN〃/,

又因?yàn)镈A“BC,所以力A〃平面P8C,

所以D4〃/,

所以朋N〃D4,

又因?yàn)镸是4P的中點(diǎn)，所以N是DP的中點(diǎn).

（2）在平面A8CQ內(nèi)作AGJ_3C,垂足為G,

過(guò)G作G”_LP8于〃，連接A"（如圖），

因?yàn)槠矫鍭BCD±平面PBC,DC上BC，

所以。CJ_平面PBC,則DCJ.PC，DC1PB,

又AG〃7）C,所以AG_L平面P8C,則AG_L尸8,

所以尸6_1_平面AG”,則尸6J.A〃，

所以NA"G為二面角4一8尸一。的平面角，

易知G8=BC-GC=2,ZGBH=45°,

乂GHJ.P3,則GH=6，

在RtZ\AG”中，易知AG=3,則A，=JFT，

—GH叵叵

所以CQSNA//G=="尸==-----

AHx/n11

即二面角A—成一。的平面角的余弦值為叵.

11

專(zhuān)題沖關(guān)

1.【答案】D

【解析】由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理知，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，A正確；

由面面垂直的性質(zhì)