專題41用樣本估計總體

考擁雇攵

用樣本估計總體

（1）了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各

自的特點.

（2）理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差.

（3）能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并給出合理的解釋.

（4）會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本

估計總體的思想.

（5）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.

知識整勺,

一、數(shù)字特征

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊中點的橫坐標

將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的把頻率分布直力圖劃分左右兩個面積相

中位數(shù)

一個數(shù)據(jù)（或最中訶兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）等的分界線與X軸交點的橫坐標

每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

的橫坐標之和

2.極差、方差和標準差

極差：即?組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

22

方差：r=-［（^-J）+（X2-X）+…+（七一亍尸］.

n

222

標準差：s=J-［（x,-x）+（X2-X）+...+（xfl-x）］.

Vn

注：平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，方差和標準差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大小.標準差、方差越大，

數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動：標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

3.性質(zhì)

（1）若王,々，…，%的平均數(shù)為元，那么加土+〃,m1+〃，…，〃%+。的平均數(shù)為〃沅+〃.

（2）數(shù)據(jù)內(nèi),々，％與數(shù)據(jù)內(nèi)'=玉+。,工2'=々+〃，…，七，'=工+〃的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后

方差不變.

（3）若人1，々,…,土的方差為$2,那么咐十"ox2+b,…，ax“十b的方差為/s".

二、莖葉圖

1.定義

莖葉圖是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù).

2.表示方法

（1）對于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的一組數(shù)據(jù)：若數(shù)據(jù)是兩位整數(shù)，則將十位數(shù)字作莖，個位數(shù)

字作葉；若數(shù)據(jù)是三位整數(shù)，則將百位、十位數(shù)字作莖，個位數(shù)字作葉.樣本數(shù)據(jù)為小數(shù)時做類似處理.

（2）對于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的兩組數(shù)據(jù)，關(guān)鍵是找到兩組數(shù)據(jù)共有的莖.

三、統(tǒng)計表

1.頻率分布直方圖

（1）畫頻率分布直方圖的步驟

①求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大宜與最小值的差）；

②決定組距與組數(shù)；

③將數(shù)據(jù)分組：

④列頻率分布表；

⑤畫頻率分布直方圖（以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值）.

（2）頻率分布直方圖的性質(zhì)

①落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，且各小長方形的面積的和等于1.

②頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

A.最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；

B.中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

C.平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊

中點的橫坐標之和.

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越

接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

3.各種統(tǒng)計表的優(yōu)點與不足

優(yōu)點不足

頻率分布

表示數(shù)據(jù)較確切分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不方便

表

頻率分布

表示數(shù)據(jù)分布情況非常直觀原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉了

直方圖

頻率分布

能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢不能顯示原有數(shù)據(jù)

折線圖

一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到；

樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，

莖葉圖二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的

不方便表示數(shù)據(jù)

分布情況

點考向,

考向一數(shù)字特征的應(yīng)用

明確數(shù)字特征的意義：

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義,

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小.

典例引領(lǐng)

典例1為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環(huán)保知識測試，得分（十分制）

如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為陽，眾數(shù)為〃，平均數(shù)為心則〃?，小x的大小關(guān)系為.（用“V”連

接）

10

8

6

4

222

2nnn

345678910得分

【答案］〃

【解析】由圖可知，30名學生得分的中位數(shù)為第15個數(shù)和第16個數(shù)（分別為5,6）的平均數(shù)，即“7=55

乂5出現(xiàn)次數(shù)最多，故〃=5；

-1

X=——（2x3+3x4+10x5+6x6+3x7+2x8+2x9+2x10）=5.97.

故n<m<X.

變式拓展

1.若樣本％+1,々+1+1的平均數(shù)為I。，其方差為2,則對于樣本2芯+2,2看+2,…,2x〃+2的下

列結(jié)論正確的是

A.平均數(shù)為20,方差為8B.平均數(shù)為20,方差為10

C.平均數(shù)為21,方差為8D.平均數(shù)為21,方差為10

2.已知一組數(shù)據(jù)3,5,7/10的平均數(shù)為6,則這組數(shù)據(jù)的方差為

33

?B.6

5

28D.5

.T

考向二莖葉圖的應(yīng)用

莖葉圖中的三個關(guān)注點：

（1）"葉''的位置只有一個數(shù)字，而"莖''的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一.

（2）重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.

（3）給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，

數(shù)據(jù)集中者方差較小.

莖葉圖的優(yōu)、缺點：

由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一

點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)■，沒有任何信息損失：第二點是莖葉圖便于記錄和表示，其缺點是當樣本

容量較大時，作圖較繁瑣.

典例引領(lǐng)

典例2為了了解某校教師使用多媒體進行教學的情況，采用簡單隨機抽樣的方法，從該校400名授課教師

中抽取20名，調(diào)查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示，如圖所示.

079

133567

2I24588

30147

4112

據(jù)此可估計上學期該校400名教師中，使用多媒體進行教學次數(shù)在116,30）內(nèi)的人數(shù)為

A.100B.160

C.200D.280

【答案】B

【解析】由莖葉圖，可知在20名教師中，上學期使用多媒體進行教學的次數(shù)在［16,30）內(nèi)的人數(shù)為8,據(jù)此

Q

可以估計400名教師中，使用多媒體進行教學的次數(shù)在［16,30)內(nèi)的人數(shù)為400x^=160.

變式拓展

3.第十一屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運動會將于2019年9月8E至16日在鄭州舉行.如下圖所示的莖葉圖

是兩位選手在運動會前期選拔賽中的比賽得分，則下列說法正確的是

甲乙

/■

91

543

82304

6420578

42112

A.甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)B.甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)

C.甲的方差大于乙的方差D.甲的極差小于乙的極差

4.如圖，莖葉圖表示甲、乙兩人在5次測驗中的數(shù)學分數(shù)，其中有一個被污損，若乙的中位數(shù)恰好等于甲

的平均數(shù)，則?的值為.

考向三頻率分布直方圖的應(yīng)用

頻率分布直方圖是用樣本估計總體的一種重要方法，是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式

呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個命題角度：

(I)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù).可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)

系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù).

(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù).可利用圖形及某范圍結(jié)合求解.

(3)與概率有關(guān)的綜合問題，可先求出頻率，再利用古典概型等知識求解.

典例引領(lǐng)

典例3某商店為調(diào)查進店顧客的消費水平，調(diào)整營銷思路，統(tǒng)計了一個月來進店的2000名顧客的消費金

額俾位:元)，并從中隨機抽取了100名顧客的消費金額按[0,50],(50,100],(100J50],(150,200],(200,250]

進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知。力。成等差數(shù)列，則該商店這一個月來消費金額超過150

元的顧客數(shù)最約為

頻率,

0.006-------

b------------

c--

0.002--------------------

°5。10015。20025。消費金額/元

A.600B.30

C.60D.300

【答案】A

【解析】因為，心，。成等差數(shù)列,所以助=4+0,

由頻率分布直方圖可得a+〃+c=高-(0.002+0.006)=0.012,所以力=0.004.

故消費金額超過150元的頻率為S+0.0()2)x50=03

故該商店這一個月來消費金額超過15()元的顧客數(shù)量約為2000x0.3=600.

故選A.

變式拓展

5.統(tǒng)計某?！麑W生的某次數(shù)學同步練習成績(滿分150分)，根據(jù)成績分數(shù)依次分成六組：[90,HX)),

[1()0,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到頻率分布直方圖如圖所示，若不低于140

分的人數(shù)為110.

①6=0.031；②〃=800；

③100分的人數(shù)為60；④分數(shù)在區(qū)間［120,140）的人數(shù)占大半.

則說法正確的是

A.①②

C.②③D.②④

典例引領(lǐng)

典例4為了增強學生的環(huán)保意識，某中學隨機抽取了5（）名學生舉行了一次環(huán)保知識競賽，并將本次競賽

的戊績（得分均為整數(shù)，滿分100分）進行整理，制成下表：

成績[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

頻數(shù)231415124

（1）作出被抽查學生成績的頻率分布直方圖；

（2）若從成績在［40,50）中選1名學生，從成績在［90,100］中選2名學生，共3名學生召開座談會，求［40,

50）組中學生4和［90,100］組中學生S同時被選中的概率.

【解析】（1）由題意可知，各組頻率分別為0.04,0.06,0.28,0.30,0.24,0.08,所以圖中各組的縱坐標分

別為：0.004,0.006,0.028,0.030,0.024,0.008,則被抽查學生成績的頻率分布直方圖如圖所示:

頻率

w

0.030

().028

0.026

0.024

0.022

0.02()

().018

0.016

0.014

0.012

().01()

O.(X)8

O.(X)6

O.(X)4

0,(X)2

O405060708090100成績/分

（2）記[40,50）組中的學生為4,4，

[90,100]組中的學生為3,&,比,國,

Ai知S同時被選中記為事件M.

由題意可得，全部的基本事件為：

48由3,A41&，A\B2B3,A\B2B4fA2BiB2fA2B2BifA2B2B4>A2B3&,

共12個，

事件M包含的基本事件為：A山山2,A出山3,A田共3個，

31

所以學生A\和B\同時被選中的概率為P[M）=—=—.

124

變式拓展

6.伴隨著科技的迅速發(fā)展，國民對“5G”一詞越來越熟悉，“5G”全稱是第五代移動電話行動通信標準，也稱

第五代移動通信技術(shù).2017年12月10日，工信部正式對外公布，已向中國電信、中國移動、中國聯(lián)通發(fā)

放了5G系統(tǒng)中低頻率使用許可.2019年2月18bl上海虹橋火車站正式啟動5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè).為了了解某市市

民對“5G”的關(guān)注情況，通過問卷調(diào)查等方式研究市民對該市300萬人口進行統(tǒng)計分析，數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯

示：約60%的市民“掌握一定5G知識（即問卷調(diào)查分數(shù)在80分以上）。將這部分市民稱為‘5G愛好者”.

某機構(gòu)在“5G愛好者”中隨機抽取了年齡在15-45歲之間的100人按照年齡分布（如圖所示），其分組區(qū)間

[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45].

?率

（2）估計全市居民中35歲以上的“5G愛好者”的人數(shù)；

（3）若該市政府制定政策：按照年齡從小到大，選拔45%的“5G愛好者”進行5G的專業(yè)知識深度培養(yǎng),

按照上述政策及頻率分布直方圖，估計該市“5G愛好者”的年齡上限.

、學點沖關(guān)■充

1.有下列說法：①一組數(shù)據(jù)不可能有兩個眾數(shù)；②一組數(shù)據(jù)的方差必須是正數(shù)：③將一組數(shù)據(jù)中的每一個

數(shù)據(jù)都加上或減去同一常數(shù)后.方差不變：④在頻率分布直方圖中，每個小長方形的面積等于相應(yīng)小組

的頻率.其中錯誤的有

A.0個B.I個

C.2個D.3個

2.PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.如圖是根據(jù)環(huán)保部門某日

早6點至晚9點在A縣、B縣兩個地區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)（單位：亳克/立方米）列出的莖葉

圖，A縣、8縣兩個地區(qū)濃度的方差較小的是

4縣8縣

F0.041236

930.059

6210.0629

3310.079

640.087

70.09246

A.A縣B.8縣

C.A縣、A縣兩個地區(qū)相等D.無法確定

3.某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機抽取40個檢測.如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量（單位：克）繪

制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分8組,分別為［80,82）、［82,84）,［84,86）、［86,88）、［88,90）、

［90,92）、［92,94）、［94,96］,則樣本的中位數(shù)在

A.第3組B.第4組

C.第5組D.第6組

4.在如圖所示的莖葉圖中，有一個數(shù)字模糊不清,但某同學曾經(jīng)計算得到該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61,

則模糊不清的數(shù)字為

2015

311?4

423578

A.1B.2

C.3D.4

5.某人為了檢測自己的解題速度，記錄了5次解題所花的時間（單位：分）分別為X,），,55,60,5。，已知

52

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為55,方差為］■,則以-），|二

A.1分B.2分

C.3分D.4分

6.一次數(shù)學考試后，某老師從自己所帶的兩個班級中各抽取6人，記錄他們的考試成績，得到如圖所示的

莖葉圖.已知甲班6名同學成績的平均數(shù)為82,乙班6名同學成績的中位數(shù)為77,則x—y=

7.在某次高中數(shù)學競賽中，隨機抽取90名考生,其分數(shù)如圖所示，若所得分數(shù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)

分別為Q,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系為

A.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

8.知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因,

用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為

A.100,10B.100,20

C.200,10D.200.20

9.某地區(qū)為了解小學生的身高發(fā)育情況，從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)

據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若=7,由圖中可知，身高落在Ul（）［3（））范圍內(nèi)的學生人數(shù)是

A.35B.24

C.46D.65

10.為普及校園安全知識，某校舉行了由全部學生參加的校園安全知識考試，從中抽出60名學生，將其成績分

成六段［40,50）,［50,60）,…490,100］后畫出如圖所示的頻率分益直力圖.觀察圖形的信息，估計這次考試的

及格率（60分及以上為及格）、平均分分別為

A.75%,71B.80%,85

C.85%,90D.70%,65

II.某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分如莖葉圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是

甲乙

80

463125

368254

3893161679

449

250

A.乙運動員得分的中位數(shù)是36

B.甲運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性比乙運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性差

C.甲運動員的平均分為27分

D.乙運動員的得分有9集中在莖3上

13

12.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志是

“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù),

?定符合該標志的是

A.甲地：總體均值為3,中位數(shù)為4

B.乙地：總體均值為1,總體方差大于0

C.丙地：總體均值為2,總體方差為3

D.丁地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3

13.一個樣本3,5,7的平均數(shù)是匕，且〃分別是數(shù)列的第2項和第4項，則這個

樣本的方差是

A.3B.4

C.5D.6

14.某網(wǎng)店在2019年1月的促銷活動中，隨機抽查了100名消費者的消費情況，并記錄了他們的消費金額(單

位:千元)，將數(shù)據(jù)分成6組:(()1],(1,2],(2,引,(3,4],(4,5],(5,6],整理得到頻率分布直方圖如圖所示.若消費金額

不超過3千元的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的2則消費金額超過4千元的人數(shù)為

?J

A.12B.15

C.16D.18

15.已知某樣本的容量為50,平均數(shù)為70,方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有

誤，一個錯將8()記錄為60,另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的

平均數(shù)為方差為一,則

A.5=70,Z<75B.元=7(),/>75

C.工>7(),/<75D.亍<70,/〉75

16.某市安踏專賣店為了了解某日旅游鞋的銷售情況，抽取了部分顧客所購旅游鞋的尺寸,將所得數(shù)據(jù)整理后,

畫出頻率分布直方圖.已知從左到右前3個小組的頻率之比為1：2：3,第4小組與第5小組的頻率分布

直方圖如圖所示，第2小組的須數(shù)為1(),則第5小組的頻數(shù)是

A頻率

0.05----------------------------------------------

035.537.539.541.543.545.5尺寸

17.在某次高中學科競賽中，400。名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間中點作代表，則下列說法中有誤的是

頻率/組距

().030----------------------I

0.020....................-]-

().015.............-I............................

0.010--------------------------------------

_____——

v405060708090100

A.成績在［70,80］分的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000人

C.考生競賽成績的平均分約70.5分D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分

18.某次知識競賽中，五個參賽小隊的初始積分都是50,在答題過程中，各小隊每答對?題可使本隊積分增加

5,每答錯一題本隊積分不變,若答題過程中五個小隊答對的題數(shù)分別是4,7,625,則這五個小隊積分的方

差為.

19.某市為了增加2020屆高三畢業(yè)生對各著名高校的了解，從而調(diào)動他們的學習動力，利用2019年暑假組織

部分有意愿的學生赴部分大學參加夏令營，各大學夏令營的天數(shù)都在［2,12］內(nèi)，現(xiàn)從中抽出100名學生，統(tǒng)

計他們參加夏令營的天數(shù),繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名學生中參加夏令營的天數(shù)在

［6,10）的人數(shù)為.

頻率

組距

0.05--------------------------------

0.04--I----

02~~4681012

20.某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（河南初賽），他們?nèi)?/p>

得的成績（滿分140分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的中位數(shù)是81,乙班學生成績的平均數(shù)是

14

86,若正實數(shù)出力滿足〃，G,8成等差數(shù)列且x,G,y成等比數(shù)列，則一+一的最小值為.

ab

8%002y

21.中醫(yī)藥是反映中華民族對生命、健康和疾病的認識，具有悠久的歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術(shù)方法的醫(yī)

藥學體系，是中華文明的瑰寶.某科研機構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中成藥的藥物成份A的含量工（單位：g）

與藥物功效）’（單位：藥物單位）之間具有關(guān)系：y=M20-x）.檢測這種藥品一個批次的5個樣本,

得到成份A的平均值為8g,標準差為2g,估計這批中成藥的藥物功效的平均值為藥物

單位.

22.為組織好第十?屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運動會，組委會征集了800名志愿者，現(xiàn)對他們的年齡抽樣

統(tǒng)計后，得到如圖所示的頻率分布直方圖，但是年齡在［25,30）內(nèi)的數(shù)據(jù)不慎丟失，依據(jù)此圖可得：

頻率/組距

0.08-

0.07-

0.06-

0.05-

0.04-

0.03-

0.02-

0.01--

2025354045年齡/歲

（1）年齡在［25,30）內(nèi)對應(yīng)小長方形的高度為；

（2）這800名志愿者中年齡在［25,35）內(nèi)的人數(shù)為.

23.某屆馬拉松招聘忐愿者,報名者首先進入筆試，按筆試成績選出參加面試的人員，最后確定入選名單.現(xiàn)從

報名的所有人中按男女比例采用分層抽樣的方式抽取了100名，統(tǒng)計了他們的筆試成績（滿分100分），統(tǒng)

計結(jié)果見如下所示的頻率分右表，其中分數(shù)在區(qū)間［90,100］內(nèi)的人員直接進入面試階段，若分數(shù)在區(qū)間

［80,90）內(nèi)，則需要進行短期的培訓后，再參加第二次筆試，從而確定能否參加面試.

分數(shù)區(qū)間頻數(shù)頻率

[50,60)80.08

(60,70)b

[70,80)420.42

[80,90)a0.26

[90J00]8

合計1001.00

頻率,

,

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

05()607080901(X)成績份

（1）求。與方的值，并作出頻率分布直方圖；

（2）⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計這100名人員筆試成績的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后1位）；

（ii）分析知，這100名人員在各分數(shù)段內(nèi)的男女比例如下表所示，那么若以頻率分布表中的頻率近似作為

概率,在總共2000名參考人員中，求經(jīng)過第一次考試就可直接進入面試的男女人數(shù)的估計值.

分數(shù)段150,60)[60,70)170,80)[80,90)190,100]

男女比例1：13：13：47：63：5

24.隨著科技發(fā)展，手機成了人們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮俚耐ㄐ殴ぞ?現(xiàn)在的中學生幾乎都擁有了屬于自己的手

機了.為了調(diào)查某地區(qū)高中生一周使用手機的頻率，某機構(gòu)隨機調(diào)查了該地區(qū)100名高中生某一周使用手

機的時間（單位:小時），所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為［0,2）、［2,4）、［4,6）、［6,8）、［8,10）、［10,12）,由此得到

如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求Q的值并估計該地區(qū)高中生i周使用手機時間的平均值；

（2）從使用手機時間在［6,8）、［8,10）、［10,12）、［12,14］的四組學生中，用分層抽樣方法抽取13人，則每層

各應(yīng)抽取多少人？

25.某校高一某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因事故都受到不同程度的損壞，但可見

部分如下，據(jù)此解答如下問題：

568

62335689

71223456789

8

958

⑴求分數(shù)在［50,60）的頻率及全班人數(shù)；

⑵求分數(shù)在［80,90）的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中［80,90）間的矩形的高：

（3）若規(guī)定：90分（包含90分）以上為優(yōu)秀，現(xiàn)從分數(shù)在80分（包含80分）以上的試卷中任取兩份分析學生

失分情況，求在抽取的試卷中至少有一份優(yōu)秀的概率.

26.某市為了制定合理的節(jié)電方案,對居民用電情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年200戶居民每戶的月均

用電量俾位:百千瓦?時)，將數(shù)據(jù)按[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8),[8,9)分成9組，制成了如

圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖中m的值；

(2)設(shè)該市有100萬戶居民，估計全市每戶居民中月均用電量不低于6百千瓦?時的人數(shù)及每戶居民月均用

電量的中位數(shù)；

(3)政府計劃對月均用電量在4百千瓦?時以下的用戶進行獎勵,月均用電量在[0,1)內(nèi)的用戶獎勵20元/月,

月均用電量在[1,2)內(nèi)的用戶獎勵10元/月,月均用電量在[2,4)內(nèi)的用戶獎勵2元/月.若該市共有400萬戶

居民，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算.

27.某數(shù)學興趣小組有男、女生各5名，以下莖葉圖記錄了該小組同學在一次數(shù)學測試中的成績（單位：分）.已

知男生數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125,女生數(shù)據(jù)的平均數(shù)為126.8.

男生女生

9119

x2125>8

74134

（1）求xy的值；

（2）現(xiàn)從成績高于125分的同學中隨機抽取兩名同學，求抽取的兩名同學恰好為一男一女的概率.

28.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售出的商品，

每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所

示.已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品.現(xiàn)以1（單位：噸，1004x4150；表示下一個

銷售季度的市場需求最，T（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計一個銷售季度內(nèi)市場需求最x的平均數(shù)與中位數(shù)的大小;

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計利潤丁不少于57萬元的概率.

黑通高考刈

1.12017新課標全國I文科）為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單

位：kg）分別為加，*,…，山，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.Xl,X2，...?山的平均數(shù)B.XI,；V2，…，X”的標準差

C.XI,X2,…，X"的最大值D.XI,X2,…，X”的中位數(shù)

2.（2017山東文科）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和），的值分別為

3.（2017新課標全國HI文科）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014

年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

4.（2016新課標全國III文科）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫

和平均最低點溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15"C,B點表示四月的平均最低氣溫

約為5。。下面敘述不正確的是

七月

——平均?低氣?——平均量高氣溫

A.各月的平均最低氣溫都在rc以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于2(TC的月份育5個

5.(2016山東文科)某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間1單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布

直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),

[25,27.5)427.5,30].根據(jù)直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是

A.56B.60

C.120D.140

6.(2019年高考江蘇卷)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,1(),則該組數(shù)據(jù)的方差是.

7.(2018江蘇)已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平

均數(shù)為▲.

899

9011

8.（2019年高考全國II卷文數(shù)）某行業(yè)主管部門為了解本行.業(yè)口小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企

業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率），的頻數(shù)分布表.

y的分組[-0.20,0)[0,0.20)10.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)22453147

（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；

（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表）.（精確到0.01）

附：舊a8.602.

9.（2019年高考全國川卷文數(shù)）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只

小鼠隨機分成A,8兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每

只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離

記C'為事件：”乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中m。的值：

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

10.（2018新課標全國I文科）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：和使用了

節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0,1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水星頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)

頻數(shù)151310165

（I）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

頻率/組即八

3.4

3.2

3.0??????

2.8.......L..---.U---.?-________

2.6......J

廣■■?■■，

2.4...r...*....*....*....*....*.*ir*****?

2.2