數(shù)學(xué)小達(dá)人闖關(guān)卷2025專項測試一.選擇題。（共10題）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤0或x≥2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|x=2}D.{x|x<0或x>3}

2.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+1)的定義域為（）

A.{x|x≠1}B.{x|x=1}C.{x|x>1或x<0}D.{x|0<x<2}

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?+a?=18，則a?+a??的值為（）

A.9B.12C.15D.18

4.已知點P(a,b)在直線y=2x-1上，且a與b均為正整數(shù)，則P點的坐標(biāo)可能為（）

A.(1,1)B.(2,3)C.(3,5)D.(4,7)

5.若sinα=0.6，且α為第二象限角，則cosα的值為（）

A.0.8B.-0.8C.0.7D.-0.7

6.拋擲兩枚均勻的骰子，記事件“點數(shù)之和為5”為A，事件“點數(shù)之和為7”為B，則P(A∪B)等于（）

A.1/9B.5/36C.7/36D.4/9

7.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a2+b2=c2，則cosC的值為（）

A.1B.-1C.0D.1/2

8.已知函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|，則g(x)的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

9.在直角坐標(biāo)系中，點M(2cosθ,2sinθ)到原點的距離為（）

A.|cosθ|B.|sinθ|C.2D.4

10.若函數(shù)h(x)=x3-3x+1在區(qū)間[0,3]上的最大值與最小值分別為M和m，則M+m等于（）

A.5B.6C.7D.8

二.填空題（共10題）

1.若復(fù)數(shù)z滿足(z+2i)/(1-3i)為實數(shù)，則z的實部為______。

2.已知函數(shù)f(x)=√(x-1)，其反函數(shù)f?1(x)的定義域為______。

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比為______。

4.不等式|x-1|>2的解集為______。

5.若tanα=√3，且α為銳角，則sin(α+π/6)的值為______。

6.從5名男生和4名女生中隨機(jī)選取3人參加比賽，其中至少有1名女生的概率為______。

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√3，則邊b的長度為______。

8.已知函數(shù)g(x)=2cos2x-1，則g(x)的最小正周期為______。

9.在直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1與圓(x-1)2+y2=4相切，則k的值為______。

10.若函數(shù)h(x)=x2-ax+1在x=1處取得最小值，則a的值為______。

三.判斷題。（共5題）

1.若a>b，則a2>b2。（）

2.函數(shù)y=|sinx|是周期函數(shù)，其最小正周期為π。（）

3.在等差數(shù)列{a?}中，若公差d>0，則數(shù)列單調(diào)遞增。（）

4.命題“存在x?∈R，使得x?2<0”是真命題。（）

5.若直線l?:ax+by+c=0與直線l?:mx+ny+p=0平行，則必有am=bn。（）

四.計算題（共6題）。

1.解方程:2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.已知向量u=(3,-1)，v=(-1,2)，求向量2u-3v的坐標(biāo)。

3.求函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

4.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，邊a=√6，求邊c的長度（結(jié)果保留根號）。

5.計算不定積分:∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

6.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?=n2+n，求該數(shù)列的通項公式a?。

五.應(yīng)用題。（共6題）。

1.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，可變成本增加萬元。若售價為每件元，為使工廠不虧本，至少應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

2.在直徑為10米的圓形廣場上空安裝一盞路燈，為使廣場邊緣的光照效果最佳，路燈應(yīng)安裝多高？（假設(shè)光照效果與光線與地面的夾角正弦值成正比）

3.一艘船從A港順流航行到B港需6小時，逆流航行需8小時。已知水流速度為每小時公里，求船在靜水中的速度。

4.從一個裝有3個紅球和2個白球的袋中，不放回地抽取兩次，每次抽取一個球。求兩次都抽到紅球的概率。

5.某班級計劃用50米長的籬笆圍成一個矩形的場地，為了使場地面積最大，矩形的長和寬應(yīng)分別是多少米？

6.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2。若存在實數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f(x)=k在[-2,2]上有兩個不同的實數(shù)根，求k的取值范圍。

六.思考題

1.討論函數(shù)f(x)=x2e^(-x)的單調(diào)性與極值。

2.設(shè){a?}是等差數(shù)列，{b?}是等比數(shù)列，且a?=b?=1，a?+b?=7，a?+b?=13。求{a?}和{b?}的通項公式。

3.在直角坐標(biāo)系中，橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2。若橢圓C上存在一點P，使得OP⊥PQ，其中O為坐標(biāo)原點，Q為橢圓與x軸正半軸的交點，求橢圓C的方程。

4.試推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的公式S?=n(a?+a?)/2。

5.結(jié)合具體實例，說明函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

6.探討在什么條件下，直線y=kx+b可能與圓(x-h)2+(y-g)2=r2相切、相交、相離。

一.選擇題。（共10題）

1.C2.A3.B4.B5.D6.D7.A8.C9.C10.B

解析：

1.A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且(x≤0或x≥2)}={x|2<x<3}，故選C。

2.要使f(x)有意義，需x2-2x+1>0，即(x-1)2>0，解得x≠1，故定義域為{x|x≠1}，故選A。

3.由等差數(shù)列性質(zhì)，a?+a??=a?+a?=18，故選B。

4.將各選項代入直線方程y=2x-1檢驗，只有(2,3)滿足，故選B。

5.sin2α+cos2α=1，cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-0.62)=-√(1-0.36)=-√0.64=-0.8，故選D。

6.P(A∪B)=P(A)+P(B)=(4/36)+(6/36)=10/36=5/18。錯，重新計算：P(A)=(4/36)=1/9,P(B)=(6/36)=1/6,P(A∩B)=(1/36),P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/9+1/6-1/36=4/36+6/36-1/36=9/36=1/4.重新檢查，點數(shù)和為5的組合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4種，點數(shù)和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6種。P(A∪B)=P(A)+P(B)=4/36+6/36=10/36=5/18.之前的計算P(A∩B)=1/36是錯誤的，A和B不可能同時發(fā)生。故選B。

7.由余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/2ab。由題意a2+b2=c2，代入得cosC=(c2-c2)/2ab=0，故選C。

8.g(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點x到點1和點-2的距離之和。當(dāng)-2≤x≤1時，距離和最小，為(1-(-2))=3，故選C。

9.點M到原點的距離為√((2cosθ)2+(2sinθ)2)=√(4cos2θ+4sin2θ)=√(4(cos2θ+sin2θ))=√4=2，故選C。

10.h'(x)=3x2-3。令h'(x)=0，得x=±1。計算h(0)=1,h(1)=-1,h(3)=19。在[0,3]上，h(x)的最大值M=19，最小值m=-1。M+m=19+(-1)=18。故選D。

二.填空題（共10題）

1.02.{x|x≥1}3.34.{x|x>3或x<-1}5.√3/26.7/97.2√28.π9.-110.2

解析：

1.設(shè)z=a+bi(a,b∈R)。由(z+2i)/(1-3i)=((a+bi)+2i)/(1-3i)=((a-3b)+(b+2)i)/(10)=((a-3b)/10+(b+2)/10i)為實數(shù)，則虛部(b+2)/10=0，b=-2。z=a-2i。z+2i=a=實部，故為0。

2.函數(shù)f(x)有意義需x-1≥0，即x≥1。反函數(shù)f?1(x)的定義域是原函數(shù)f(x)的值域，故為{x|x≥1}。

3.設(shè)公比為q。a?=a?q2=6q2，a?=a?q=a?2/q。由a?+a?=18，得a?2/q+6q2=18。由a?=6，代入得36/q+6q2=18。兩邊乘q得36+6q3=18q。整理得6q3-18q+36=0，即q3-3q+6=0。因式分解(q-3)(q2+3q+2)=0。解得q=3或q=-1±√(-3)2-4*1*2=-1±√5。舍去復(fù)數(shù)解，故q=3。

4.解不等式|x-1|>2。根據(jù)絕對值定義，x-1>2或x-1<-2。解得x>3或x<-1。解集為{x|x<-1或x>3}。

5.tan(α+π/6)=(tanα+tan(π/6))/(1-tanα*tan(π/6))=(√3/3+1/√3)/(1-√3/3*1/√3)=(√3+1)/(√3-1)。分子分母同乘√3+1，得(√3+1)2/(√3-1)(√3+1)=4+2√3。sin(α+π/6)=√(1-cos2(α+π/6))。由tan(α+π/6)=4+2√3>√3，α+π/6在第二象限，cos(α+π/6)<0。cos2(α+π/6)=1/(1+tan2(α+π/6))=1/(1+(4+2√3)2)=1/(1+16+16√3+12)=1/(29+16√3)。sin2(α+π/6)=1-1/(29+16√3)=(29+16√3-1)/(29+16√3)=(28+16√3)/(29+16√3)。sin(α+π/6)=-√((28+16√3)/(29+16√3))?？紤]到計算復(fù)雜度，若題目要求簡化形式，可能存在筆誤或期望更簡單的角。若按標(biāo)準(zhǔn)計算，結(jié)果為負(fù)根號下(28+16√3)/(29+16√3)。若題目意考察常用值，可能題目條件或參考答案有誤。假設(shè)題目條件無誤，按公式計算。

6.P(至少有1名女生)=1-P(全是男生)=1-(C(5,3)/C(9,3))=1-(10/84)=1-(5/42)=37/42。

7.由正弦定理，a/sinA=c/sinC。c=a*sinC/sinA=a*sin(180°-60°-45°)/sin60°=a*sin75°/√3/2。sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2*√3/2+√2/2*1/2=(√6+√2)/4。c=a*(√6+√2)/(4*√3/2)=a*(√6+√2)/(2√3)=a*(√2+√6)/2。

8.g(x)=2cos2x-1=cos(2x)。cos函數(shù)的最小正周期是2π。故g(x)的最小正周期是π。

9.直線y=kx+1與圓(x-1)2+y2=4相切，意味著圓心(1,0)到直線kx-y+1=0的距離等于半徑2。距離d=|k*1-0*1+1|/√(k2+(-1)2)=|k+1|/√(k2+1)=2。兩邊平方得(k+1)2=4(k2+1)。k2+2k+1=4k2+4。3k2-2k+3=0。判別式Δ=(-2)2-4*3*3=4-36=-32<0。無實數(shù)解。說明直線與圓相離。若題目意是相切，需檢查題目條件或允許復(fù)數(shù)解。若必須實數(shù)解，則不存在滿足條件的k。

10.h(x)=x2-ax+1。h'(x)=2x-a。令h'(x)=0，得x=a/2。h(a/2)=(a/2)2-a(a/2)+1=a2/4-a2/2+1=1-a2/4。函數(shù)在x=a/2處取得最小值，說明a/2是極小值點。對于二次函數(shù)，若a/2是極小值點，則a2/4必須小于h(x)在定義域內(nèi)的其他值，但這與題目條件不直接矛盾。若題目隱含a>0，則h(a/2)=1-a2/4為最小值。為使該最小值最小，a2/4應(yīng)盡可能大，即a應(yīng)盡可能大。但題目要求的是a的值，而非最小值本身。題目可能存在歧義。若理解為求導(dǎo)后x=a/2，則a=2x。若理解為極小值點處函數(shù)值為1，則1=1-a2/4，a2=0，a=0。若理解為a/2=1，則a=2。結(jié)合x=1處取得最小值，代入h(1)=1-a+1=2-a。若在x=1處取得最小值，則2-a=1-a=0，矛盾。若h(1)是最小值，則2-a=1，a=1。此時h(x)=x2-x+1，h'(x)=2x-1。令h'(x)=0，x=1/2。但題目說在x=1處取得最小值，與x=1/2矛盾。題目條件可能有誤。若必須給出答案，最可能的意是求導(dǎo)后x=1，即a=2。

三.判斷題。（共5題）

1.×2.√3.√4.×5.×

解析：

1.反例：a=2,b=-1。則a>b，但a2=4,b2=1，a2>b2。

2.y=|sinx|是偶函數(shù)，周期為π。因為f(x+π)=|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|=f(x)。

3.等差數(shù)列{a?}單調(diào)性與公差d相關(guān)。若d>0，則a?+?=a?+d>0，數(shù)列單調(diào)遞增。

4.命題“存在x?∈R，使得x?2<0”是假命題。因為對于任意實數(shù)x?，x?2≥0。

5.直線l?:ax+by+c=0與直線l?:mx+ny+p=0平行，需斜率相等且常數(shù)項不成比例，即a/b=m/n且c/b≠p/n。若am=bn，則a/b=n/m。若n/m=c/p，則c/b=p/n，與c/b≠p/n矛盾。故am=bn不能保證兩直線平行。反例：l?:2x+y+1=0,l?:4x+2y+3=0。am=2*4=8,bn=1*2=2。am≠bn，但l?與l?平行（后者是前者的倍數(shù)）。更準(zhǔn)確的平行條件是(a/m)=(b/n)且(c/m)≠(p/n)或(a/b)=(m/n)且(c/b)≠(p/n)。若要求斜率相同，即a/b=m/n，則需c/b≠p/n。若am=bn，即a/b=n/m，則需c/b≠p/m。題目條件不充分。

四.計算題（共6題）

1.令2^x=y，則原方程變?yōu)?y-5y+2=0，即2y2-5y+2=0。因式分解為(2y-1)(y-2)=0。解得y=1/2或y=2。即2^x=1/2或2^x=2。解得x=-1或x=1。

2.2u-3v=2(3,-1)-3(-1,2)=(6,-2)-(-3,6)=(6+3,-2-6)=(9,-8)。

3.令t=2x，則f(x)=sin(t+π/3)。函數(shù)g(t)=sin(t+π/3)的周期為2π。故f(x)的最小正周期T滿足2π=2π/T，T=π。最大值cos(π/3)=1/2，最小值-1/2。

4.由正弦定理，a/sinA=c/sinC。c=a*sinC/sinA=a*sin45°/sin60°=a*(√2/2)/(√3/2)=a*√6/3。

5.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x^2+2x+1)+2]/(x+1)dx=∫(x+1)^2/(x+1)dx+∫2/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫2/(x+1)dx=(x^2/2+x)+2ln|x+1|+C。

6.a?=S?-S???。a?=S?=12+1=2。當(dāng)n≥2時，a?=S?-S???=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-n2+2n-1-n+1=2n。故a?=2n(n≥1)。

五.應(yīng)用題。（共6題）

1.設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品?？偝杀綜=固定成本+可變成本=+x?？偸找鍾=售價*數(shù)量=x。不虧本條件為R≥C，即x≥+x。解得x≥。

2.設(shè)路燈高度為h米。廣場半徑R=10/2=5米。光線與地面夾角為α。cosα=OP/OQ=h/√(R2+h2)。光照效果與sinα成正比，即與cosα成反比。要使光照效果最佳，需cosα最小。cosα是關(guān)于h的函數(shù)f(h)=h/√(25+h2)。求導(dǎo)f'(h)=(√(25+h2)-h*h/(25+h2)^(1/2))/25=(25/(25+h2)^(1/2))>0。函數(shù)f(h)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。故當(dāng)h最小時，cosα最小。h最小為0，但此時無光線?？紤]幾何意義，光線與地面夾角最大時效果可能最佳，即OP=5，OQ=h，cosα=OP/OQ=5/h。此時cosα最小當(dāng)h最大，即h=10。但此時光線水平，效果可能不佳。更合理的解釋是光線與地面垂直時，即h=R=5米時，效果最佳。

3.設(shè)船在靜水中的速度為v，水流速度為u。順流速度為v+u，逆流速度為v-u。由路程=速度*時間。A到B的路程S=(v+u)*6=(v-u)*8。解得v+u=4v-4u，即5u=3v，v=5u/3。

4.總情況數(shù)：C(5,2)=10。抽到至少1名女生的情況數(shù)：C(3,1)C(2,1)+C(3,2)C(2,0)=3*2+3*1=6+3=9。概率=9/10。

5.設(shè)矩形長為x，寬為y。周長約束：2(x+y)=50，即x+y=25。面積S=xy。要使S最大，需x和y盡可能接近。由均值不等式(x+y)/2≥√(xy)，即25/2≥√(xy)，xy≤(25/2)2=625/4。等號成立當(dāng)x=y=25/2=12.5。但題目通常要求整數(shù)解。若必須整數(shù)，則x+y=25，xy最大為12*13=156（x=12,y=13或x=13,y=12）。

6.方程f(x)=k即為x3-3x+2=k。令g(x)=x3-3x+2-k。求g(x)在[-2,2]上有兩個不同實數(shù)根。先求g(x)的極值。g'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令g'(x)=0，得x=-1,x=1。計算g(-1)=(-1)3-3(-1)+2=1+3+2=6。g(1)=13-3(1)+2=1-3+2=0。g(-2)=(-2)3-3(-2)+2=-8+6+2=0。g(2)=23-3(2)+2=8-6+2=4。g(x)在[-2,2]上的最大值M=6，最小值m=0。若g(x)=0在[-2,2]上有兩個不同實數(shù)根，則需m<0<M，即0<6，條件滿足。且極值點x=1處函數(shù)值為0，為極小值。這意味著g(x)在x=1處從負(fù)變正，在x=-1處從正變負(fù)，或從負(fù)變正（若k<-6）。為確保有兩個不同實數(shù)根，k必須大于極小值0。故k的取值范圍是k>0。

六.思考題

1.h(x)=x2e^(-x)。h'(x)=2xe^(-x)+x2(-e^(-x))=e^(-x)(2x-x2)=e^(-x)x(2-x)。令h'(x)=0，得x=0或x=2。當(dāng)x<0時，h'(x)=負(fù)*負(fù)*正=正，函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)0<x<2時，h'(x)=正*正*正=正，函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)x>2時，h'(x)=正*正*負(fù)=負(fù)，函數(shù)單調(diào)遞減。故函數(shù)在(-∞,0)和(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+∞)上單調(diào)遞減。極小值點x=2。極小值h(2)=22e^(-2)=4/e2。極大值點x=0。極大值h(0)=02e^?=0。

2.設(shè){a?}公差為d，{b?}公比為q。a?=1,a?=1+d,a?=1+2d。b?=1,b?=q,b?=q2。a?+b?=1+d+q=7。a?+b?=1+2d+q2=13。聯(lián)立方程組{1+d+q=7{1+2d+q2=13。解第一個方程得q=6-d。代入第二個方程：1+2d+(6-d)2=13。1+2d+36-12d+d2=13。d2-10d+23=0。判別式Δ=(-10)2-4*1*23=100-92=8>0。d=(10±√8)/2=(10±2√2)/2=5±√2。若d=5+√2，則q=6-(5+√2)=1-√2。若d=5-√2，則q=6-(5-√2)=1+√2。通項公式：a?=a?+(n-1)d=1+(n-1)d。b?=b?q^(n-1)=q^(n-1)。若d=5+√2,q=1-√2：a?=1+(n-1)(5+√2)。b?=(1-√2)^(n-1)。若d=5-√2,q=1+√2：a?=1+(n-1)(5-√2)。b?=(1+√2)^(n-1)。

3.橢圓離心率e=√(1-(b2/a2))=√2/2。故1-(b2/a2)=1/2，即b2/a2=1/2，a2=2b2。設(shè)橢圓方程為x2/(2b2)+y2/b2=1。點Q為橢圓與x軸正半軸交點，即Q(√2b2,0)=(√2b,0)。O為原點(0,0)。OP⊥PQ，即向量OP=(x,y)，向量PQ=(√2b-x,-y)。內(nèi)積OP·PQ=0。x(√2b-x)+y(-y)=0?！?bx-x2-y2=0。點P(x,y)在橢圓上，代入橢圓方程：x2/(2b2)+y2/b2=1。y2=b2(1-x2/(2b2))=b2-(b2/2)x2。代入內(nèi)積方程：√2bx-x2-(b2-(b2/2)x2)=0?！?bx-x2-b2+b2/2x2=0。(-x2+2b2/2)x2+√2bx-b2=0。(-x2+b2)x2+√2bx-b2=0。x2(-x2+b2)+√2bx-b2=0。設(shè)b=1（不失一般性，因為方程可縮放），則橢圓方程x2/2+y2=1。點Q(√2,0)。OP⊥PQ，√2x-x2-y2=0。x2+y2=√2x。代入橢圓方程：x2+(√2x-x2)=1。√2x=1。x=1/√2。y2=√2x-x2=√2(1/√2)-(1/√2)2=1-1/2=1/2。y=±1/√2。故P點坐標(biāo)為(1/√2,1/√2)或(1/√2,-1/√2)。橢圓方程可寫為x2