2025年行列式定義總結(jié)行列式定義總結(jié)一、行列式的起源與背景行列式的概念最早可以追溯到17世紀(jì)，由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別獨(dú)立提出。最初，行列式是為了解決線性方程組的求解問(wèn)題而產(chǎn)生的。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，行列式在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，如線性代數(shù)、微積分、幾何學(xué)等，以及物理學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。二、二階行列式的定義與計(jì)算1.定義設(shè)二階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\)，則二階行列式\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\)定義為\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)。這里\(a_{ij}\)表示矩陣\(A\)中第\(i\)行第\(j\)列的元素，\(i=1,2\)，\(j=1,2\)。2.計(jì)算示例計(jì)算二階行列式\(\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}\)。根據(jù)二階行列式的定義，\(\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}=3\times4-2\times1=12-2=10\)。3.二階行列式與線性方程組的關(guān)系對(duì)于二元線性方程組\(\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}\)，當(dāng)\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\neq0\)時(shí)，方程組有唯一解，且\(x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\)，\(x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\)。三、三階行列式的定義與計(jì)算1.定義設(shè)三階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\)，則三階行列式\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)定義為：\(a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\)\(=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\)2.計(jì)算示例計(jì)算三階行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)。根據(jù)定義：\[\begin{align}&\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\\=&1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\=&1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)\\=&1\times(45-48)-2\times(36-42)+3\times(32-35)\\=&1\times(-3)-2\times(-6)+3\times(-3)\\=&-3+12-9\\=&0\end{align}\]3.三階行列式的另一種計(jì)算方法——對(duì)角線法則對(duì)于三階行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)，從左上角到右下角的三條對(duì)角線上元素的乘積之和減去從右上角到左下角的三條對(duì)角線上元素的乘積之和。即\(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)。四、\(n\)階行列式的定義1.排列與逆序數(shù)-排列：由\(1,2,\cdots,n\)組成的一個(gè)有序數(shù)組\(p_1p_2\cdotsp_n\)稱為一個(gè)\(n\)級(jí)排列。例如，\(123\)是一個(gè)3級(jí)排列，\(312\)也是一個(gè)3級(jí)排列。-逆序：在一個(gè)排列\(zhòng)(p_1p_2\cdotsp_n\)中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序。例如，在排列\(zhòng)(312\)中，\(31\)和\(32\)是逆序。-逆序數(shù)：排列\(zhòng)(p_1p_2\cdotsp_n\)中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，記為\(\tau(p_1p_2\cdotsp_n)\)。例如，\(\tau(312)=2\)。-奇排列與偶排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。2.\(n\)階行列式的定義設(shè)\(A=(a_{ij})\)是\(n\)階矩陣，則\(n\)階行列式\(\vertA\vert=\sum_{p_1p_2\cdotsp_n}(-1)^{\tau(p_1p_2\cdotsp_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdotsa_{np_n}\)，其中\(zhòng)(\sum_{p_1p_2\cdotsp_n}\)表示對(duì)所有\(zhòng)(n\)級(jí)排列\(zhòng)(p_1p_2\cdotsp_n\)求和。也就是說(shuō)，\(n\)階行列式是\(n!\)項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的\(n\)個(gè)元素的乘積\(a_{1p_1}a_{2p_2}\cdotsa_{np_n}\)，其符號(hào)由排列\(zhòng)(p_1p_2\cdotsp_n\)的逆序數(shù)\(\tau(p_1p_2\cdotsp_n)\)決定，當(dāng)\(\tau(p_1p_2\cdotsp_n)\)為偶數(shù)時(shí)取正號(hào)，為奇數(shù)時(shí)取負(fù)號(hào)。五、行列式的性質(zhì)1.性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(A^T\)是\(A\)的轉(zhuǎn)置矩陣，則\(\vertA\vert=\vertA^T\vert\)。這表明行列式的行和列具有同等的地位，行列式的有關(guān)行的性質(zhì)對(duì)于列也同樣成立。2.性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，交換\(A\)的第\(i\)行和第\(j\)行（\(i\neqj\)）得到矩陣\(B\)，則\(\vertB\vert=-\vertA\vert\)。推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。因?yàn)榻粨Q這兩行（列）后，行列式的值不變，同時(shí)根據(jù)性質(zhì)2又要變號(hào)，所以只能是\(\vertA\vert=0\)。3.性質(zhì)3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)數(shù)\(k\)，等于用數(shù)\(k\)乘此行列式設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，將\(A\)的第\(i\)行的所有元素乘以\(k\)得到矩陣\(B\)，則\(\vertB\vert=k\vertA\vert\)。推論1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。推論2：如果行列式中有一行（列）的元素全為零，則此行列式等于零。4.性質(zhì)4：行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，若\(A\)的第\(i\)行和第\(j\)行（\(i\neqj\)）對(duì)應(yīng)元素成比例，即\(a_{ij}=ka_{kj}\)（\(j=1,2,\cdots,n\)），則\(\vertA\vert=0\)。這是因?yàn)榭梢詫⒈壤禂?shù)\(k\)提到行列式外面，然后根據(jù)有兩行相同行列式為零的性質(zhì)得到。5.性質(zhì)5：若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(A\)的第\(i\)行元素\(a_{i1}=b_{i1}+c_{i1},a_{i2}=b_{i2}+c_{i2},\cdots,a_{in}=b_{in}+c_{in}\)，則\(\vertA\vert=\vertB\vert+\vertC\vert\)，其中矩陣\(B\)是將\(A\)的第\(i\)行元素?fù)Q為\(b_{i1},b_{i2},\cdots,b_{in}\)得到的矩陣，矩陣\(C\)是將\(A\)的第\(i\)行元素?fù)Q為\(c_{i1},c_{i2},\cdots,c_{in}\)得到的矩陣。6.性質(zhì)6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變?cè)O(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，將\(A\)的第\(j\)行的各元素乘以\(k\)加到第\(i\)行（\(i\neqj\)）對(duì)應(yīng)的元素上去，得到矩陣\(B\)，則\(\vertB\vert=\vertA\vert\)。六、行列式按行（列）展開(kāi)1.余子式和代數(shù)余子式設(shè)\(A=(a_{ij})\)是\(n\)階矩陣，在\(n\)階行列式\(\vertA\vert\)中，把元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列上的所有元素都劃去，留下來(lái)的\(n-1\)階行列式叫做元素\(a_{ij}\)的余子式，記作\(M_{ij}\)；記\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，\(A_{ij}\)叫做元素\(a_{ij}\)的代數(shù)余子式。2.行列式按行（列）展開(kāi)定理\(n\)階行列式\(\vertA\vert\)等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即\(\vertA\vert=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\)（按第\(i\)行展開(kāi)），\(i=1,2,\cdots,n\)；\(\vertA\vert=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\)（按第\(j\)列展開(kāi)），\(j=1,2,\cdots,n\)。推論：\(n\)階行列式\(\vertA\vert\)的某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即\(a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0\)（\(i\neqj\)）；\(a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0\)（\(i\neqj\)）。3.計(jì)算示例計(jì)算四階行列式\(\begin{vmatrix}1&0&0&2\\0&3&4&0\\0&5&6&0\\7&0&0&8\end{vmatrix}\)。按第一行展開(kāi)：\(\begin{vmatrix}1&0&0&2\\0&3&4&0\\0&5&6&0\\7&0&0&8\end{vmatrix}=1\times(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}3&4&0\\5&6&0\\0&0&8\end{vmatrix}+2\times(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}0&3&4\\0&5&6\\7&0&0\end{vmatrix}\)對(duì)于\(\begin{vmatrix}3&4&0\\5&6&0\\0&0&8\end{vmatrix}\)，按第三列展開(kāi)得\(8\times(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}3&4\\5&6\end{vmatrix}=8\times(3\times6-4\times5)=8\times(-2)=-16\)。對(duì)于\(\begin{vmatrix}0&3&4\\0&5&6\\7&0&0\end{vmatrix}\)，按第一列展開(kāi)得\(7\times(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}3&4\\5&6\end{vmatrix}=7\times(3\times6-4\times5)=7\times(-2)=-14\)。所以原行列式的值為\(1\times(-16)-2\times(-14)=-16+28=12\)。七、典型題型及解答1.計(jì)算行列式的值-題型1：數(shù)字型行列式的計(jì)算計(jì)算行列式\(\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\201&102&-99\end{vmatrix}\)。將第三行進(jìn)行變換：\(\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\200+1&100+2&-100+1\end{vmatrix}\)根據(jù)性質(zhì)5拆分為兩個(gè)行列式之和：\(\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\200&100&-100\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\1&2&1\end{vmatrix}\)第一個(gè)行列式第三行有公因子100，提出公因子后第三行與第一行成比例，值為0。計(jì)算第二個(gè)行列式：\[\begin{align}&\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\1&2&1\end{vmatrix}\\=&2\times\begin{vmatrix}-1&1\\2&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}4&1\\1&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}4&-1\\1&2\end{vmatrix}\\=&2\times(-1-2)-1\times(4-1)-1\times(8+1)\\=&2\times(-3)-1\times3-1\times9\\=&-6-3-9\\=&-18\end{align}\]-題型2：含參數(shù)的行列式的計(jì)算計(jì)算行列式\(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}\)。方法一：根據(jù)三階行列式定義展開(kāi)\[\begin{align}&\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}\\=&x\times\begin{vmatrix}x&1\\1&x\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1\\1&x\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&x\\1&1\end{vmatrix}\\=&x\times(x^{2}-1)-1\times(x-1)+1\times(1-x)\\=&x^{3}-x-(x-1)+(1-x)\\=&x^{3}-3x+2\end{align}\]方法二：先將各列加到第一列\(zhòng)(\begin{vmatrix}x+2&1&1\\x+2&x&1\\x+2&1&x\end{vmatrix}=(x+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}\)再將第一行乘以-1加到第二行和第三行\(zhòng)((x+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&x-1&0\\0&0&x-1\end{vmatrix}=(x+2)(x-1)^{2}=x^{3}-3x+2\)2.證明行列式等式證明\(\begin{vmatrix}a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)。將第三行加到第一行得\(\begin{vmatrix}a+b+c&a+b+c&a+b+c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&1&1\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}\)將第一列乘以-1加到第二列和第三列\(zhòng)((a+b+c)\begin{vmatrix}1&0&0\\a^{2}&b^{2}-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\b+c&a-b&a-c\end{vmatrix}=(a+b+c)\begin{vmatrix}b^{2}-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\a-b&a-c\end{vmatrix}\)\(=(a+b+c)(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}-(a+b)&-(a+c)\\1&1\end{vmatrix}=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)3.利用行列式求解線性方程組求解線性方程組\(\begin