全國10月高等教育自學考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

闡明:在本卷中,AT表達矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A"表達矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表達方陣A的行列式,r（A）

表達矩A的秩.

一、單項選擇題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

在每題列出的四個備選項中只有一種是符合題目規(guī)定的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選

均無分。

1.設A為3階矩陣,|A|=1,則卜2Ak（)

A.-8B.-2

C.2D.8

2.設矩陣A=AB=()

A.0B.(K-l)

1

c.D.1

-1(---J

3.設A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣，則下列矩陣中為反對稱矩陣的是（）

A.AB-BAB.AB+BA

C.ABD.BA

I2

4.設矩陣A的伴隨矩陣A=，則Ad=()

34

41-2

B.

21-2小2-34

2、42、

cD.

-434,23L

5.下列矩陣中不呈初等矩陣的是（)

p0PKO0n

A.o10B.0o

0°,00,

100、00、

C.o30D.010

o0120r

6.設A.B均為n階可逆矩陣，則必有（）

A.A+B可逆B.AB可逆

C.A-B可逆D.AB+BA可逆

7.設向量組a|=(1,2),a2=(0,2),B=(4,2),則()

A.J,a2,B線性無關

B.B不能由a%a2線性表達

C.8可由(11,Q2線性表達，但表達法不惟一

D.B可由a1，a2線性表達,且表達法惟一

8.設A為3階實對稱矩陣,A的所有特性值為(),1』,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為()

A.OB.1

C.2D.3

2xj-x2+x3=0

9.設齊次線性方程組X|-X2-X3=0有非零解，則人為()

XX|4-X24-X3=0

A.-lB.0

C.lD.2

10.設二次型f(x)=xTAx正定，則下列結(jié)論中對的的是()

A.對任意n維列向量X,XTAX都不小于零

B.f的原則形的系數(shù)都不小于或等于零

C.A的特性值都不小于零

D.A的所有子式都不小于零

二、填空題(本大題共10小題，每題2分，共20分)

請在每題的空格中填上對的答案。錯填、不填均無分。

11.行列式，1的值為________.

12

12.已知。，則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為.

13.設矩陣A=|\~3|,P=[，則AP3=________.

"24)101yl

14.設A,B都是3階矩陣，且|A|=2,B=-2E,則|A"B|=.

15.已知向量組a1=(1,23),a2=(3,-1,2),a3=(2,3,k)線性有關，則數(shù)k=.

25

16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3,aha2,a3為該方程組的3個解，且%=3,a,+a3=7，則該線性方程

組的通解是.

rn

17.已知P是3階正交矩，向量a=30,則內(nèi)積(Pa,Pp)=

2

18.設2是矩陣A的一種特性值，則矩陣3A必有一種特性值為.

」2]

19.與矩陣A=相似的對角矩陣為.

、03J

1-2)

20.設矩陣A=c,，若二次型f=xrAx正定,則實數(shù)k的取值范闈是

-2k

三、計算題(本大題共6小題，每題9分，共54分)

020

1012

21.求行列式D=的值.

2101

0210

7)-10-20、

22.設矩陣A二100,B=2-10.求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.

001J00,

(2、‘-2、

23.若向量組四=0的秩為2,求k的值.

,a-1,。36,(X4=

223、2

24.設矩陣人=1-10,b=

2b

⑴求A-1;

⑵求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.

25.已知3階矩陣A的特性值為-1J2,設B=A?+2A-E,求

(1)矩陣A的行列式及A的秩.

(2)矩陣B的特性值及與B相似的對角矩陣.

X[=2?+2y2+y3

26.求二次型f(xi,X2,X3)=-4X1X2+2乂兇+2乂2乂3經(jīng)可逆線性變換，x2=2y)-2y2+y3所得的原則形.

X3=2y3

四、證明題(本題6分)

27.設n階矩陣A滿足A?二E,證明A的特性值只能是±1.

全國7月高等教育自學考試

一、單項選擇題(本大題共10小題，每題2分，共20分)

1.設3階方陣4=3,。2,。3)，其中%(，=1,2,3)為A的列向量，若|5|二|(。|+2a2，。2,a，則IA1=()

A.-12B.-6

C.6D.I2

30-20

21050

2.計算行列式=()

00-20

-23-23

A.-180B.-120

C.12OD.18O

3若4為3階方陣且13”|=2,則|2A|=()

A.1

B.2

2

C.4D.8

4.設J,。2，。3，都是3維向量，則必有（）

A.。1，。2，。3，。4線性無關B.a2,。3,。4線性有關

C.可由。2，。3，線性表達D.不可由。2，。3，。4線性表達

5.若A為6階方陣，齊次線性方程組4戶0的基礎解系中解向量的個數(shù)為2,則44）=（）

A.2B.3

C.4D.5

6.設A、b為同階方陣,且則（)

A.A與B相似B.|A|=|B|

C.A與B等價D.A與B協(xié)議

7.設A為3階方陣，其特性值分別為2.1.0則|A+2E|=（）

A.0B.2

C.3D.24

8.若4、3相似，則下列說法錯誤的是（）

A.A與B等價B.A與B協(xié)議

C.M|=|^|D.A與B有相似特性值

9.若向量。=(1,-2,1)與￡=(2,3,。正交，則/=（）

A.-2B.0

C.2D.4

10.設3階實對稱矩陣A的特性值分別為2,1,0,則（）

A.A正定B.A半正定

C.A負定D.A半負定

二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

(3一2)「..

21-1

II.設A=0I,B=~,則4慶__________________

b4JL0—10」

12.設A為3階方陣，MlA|=3,則|3A"|=.

13.三元方程X[+X2+X3=l的通解是.

14.設2,2）,則與。反方向的單位向量是.

15.設4為5階方陣，且可4尸3,則線性空間W={x|Ax=0}的維數(shù)是.

16.設A為3階方陣，特性值分別為-2,1,則|54”=.

2

17.若A、B為5階方陣，且Ax=O只有零解，且武砂=3,則NAB尸.

"2-10、

18.實對稱矩陣-1()1所對應的二次型/(八必心)=.

、011,

19.設3元非齊次線性方程組有解。尸2,心二2且*4)=2,則AxR的通解是______________.

4I3;

則4=aa7的非零特性值是,

三、計算題(本大題共6小題，每題9分，共54分)

20001

21.計算5階行列式女

00200

10002

22.設矩陣X滿足方程

r200、(\00)P-43、

0-10X00120-1

\002Z、010,J-20/

求X.

23.求非齊次線性方程組

X,+x2-3X3-XA=1

?3.Vj-x2-3X3+4X4=4的通解.

盧+5X2-9X3-阻=0

24.求向量組a尸(1,2,-1,4),a2=(9,100,10,4),a3=(-2,-4,2,-8)的秩和一種極大無關組.

r2-12、

25.已知5a3的一種特性向量f=(1J,-1),，求。，8及f所對應的特性值，并寫出對應于這個特性值

、一1b-2,

的所芍特性向量.

‘-211-2、

26.設A=1-21a,試確定a使44)=2.

<11-22)

四、證明題(本大題共1小題，6分)

27.若%，。2，*3是4戶爾力W0)的線性無關解，證明。2-田，。3-凹是對應齊次線性方程組4x=0的線性無關解.

全國4月高等教育自學考試

一、單項選擇題(本大題共20小題，每題1分，共20分)

1.已知2階行列式:":刁/當中廁"b

2)

仄b2Cjc2?+qa2+c2

A.m-nB.n-m

C.m+nD.-(〃?+〃)

2.設A,8,C均為〃階方陣，AB=BA,AC=CA,則ABC=()

A.ACBB.CAB

C.CBAD.BCA

3.設人為3階方陣，8為4階方陣，且行列式|川=1,|陰=2,則行列式忸|川之值為（）

A.-8B.-2

C.2D.8

100)000、

‘％13al2ai3

%的263、

4.已知A=a21422a23,B=a2l3a22a23，P=030,Q=310,則B=()

32a33/001001

(。313〃32。33,k/\7

A.MB.AP

C.QAD.AQ

5.已知A是一種3義4矩陣，下列命題中對的的是（）

A.若矩陣4中所有3階子式都為0,則秩（A）=2

B.若A中存在2階子式不為0,則秩（A）=2

C.若秩（A）=2,則A中所有3階子式都為0

D.若秩（A）=2,則A中所有2階子式都不為0

6.下列畬題中增送的是（）

A.只具有一種零向量的向量組線性有關

B.由3個2維向量構(gòu)成的向量組線性有關

C.由一種非零向量構(gòu)成的向量組線性有關

D.兩個成比例的向量構(gòu)成的向量組線性有關

7.已知向量組〃，。223線性無關，叫,。2,。3，￡線性有關，則（）

必能由。2,。3，￡線性表出B.。2必能由￡線性表出

C.O3必能由￡線性表出D.￡必能由。3線性表出

8.設A為mXn矩陣，機W〃，則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充足必要條件是4的秩（）

A.不不小于mB.等于m

C.不不小于nD.等于〃

9.設A為可逆矩陣，則與A必有相似特性值的矩陣為（）

A.ATB.A2

C.A]D.A*

10.二次型/（MK2/3）二4+4+2內(nèi)巧的正慣性指數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

二、填空題(本大題共10小題，每題2分，共20分)請在每題的空格中填上對的答案。錯填、不填均無分。

20072008

11.行列式的值為.

200920)0

|-130)

12.設矩陣人=,B=，則4丁8=

(201J(01J

13.設4維向量a=(3,-1,0,2)T^=(3,1,-1,4)L若向量/滿足2a+y=3Q，則.

14.設A為〃階可逆矩陣，且囿:一，,則|A」|=.

n

15.設A為〃階矩陣，B為〃階非零矩陣，若B的每一種列向量都是齊次線性方程組小=0的解，則

1-41=.

16.齊次線性方程組［：戶必+?=°的基礎解系所含解向量的個數(shù)為_______________.

2x,-x2+3X3=0

17.設〃階可逆矩陣A的一種特性值是-3,則矩陣必有一種特性值為.

I-2-2

18.設矩陣4=-2x0的特性值為4,1,-2,則數(shù)4=.

-200

(1)

“忑。

-}=b0

19.已知4=是正交矩陣，則a+b=____________________________________________________________O

001

X?

20.二次型/(X|,X2,X3)=-4A-|X2+2X|X3+6X2X3的矩陣是=

三、計算題(本大題共6小題，每題9分，共54分)

abc

21.計算行列式/h2c2的值。

a+a3b+b7,c+c3

22.已知矩陣左(2,1,3),C=(1,2,3),求(1)A=BTC；(2)不。

23.設向量組%=(2,1,3,Dia2=(120,1)1%=(-1,1,-3,0)T,a?=(1,1,1,1)\求向量組的秩及一種極大線性無關組，并

用該極大線性無關組表達向量組中的其他向量。

123-14

24.已知矩陣A二02，B=25.（1）求4";（2）解矩陣方程AX=8。

1-3

00

X1+lx2+3±=4

25.問a為何值時,線性方程組2々+。z=2有惟一解？有無窮多解？并在有解時求出其解（在有無窮多解時,

2A*1+2X2+3g=6

規(guī)定用一種特解和導出組的基礎解系表達所有解）。

200100

26.設矩陣人=03a的三個特性值分別為1,2,5,求正的常數(shù)。的值及可逆矩陣P,使戶/P=020

03005

四、證明題（本題6分）

27.設4,B,4+B均為〃階正交矩陣，證明（A+8）」二川+夕。

全國1月高等教育自學考試

闡明：本卷中，AT表達矩陣A的轉(zhuǎn)置，小表達向■〃的轉(zhuǎn)置，"表達單位矩陣，⑶表達方陣4的行列式，A-1

表達方陣4的逆矩陣，rU）表達矩陣A的秩.

一、單項選擇題（本大題共10小題,每題2分，共30分）

Ay二2.r2y2z

4

I.設行列式403=1,則行列式0

3

111111

A-tB.1

C.2D5

2.設A,B,。為同階可逆方陣，則(ABC)-'=()

A.A'B'CB.C'B'A1

C.C'A-'R1D.A'C'B'

3.設aI，aa3，%是4維列向量,矩陣A=（%,a2,a3f%）.假如⑷=2,則卜2川二（)

A.-32B.-4

C.4D.32

4.設。2,3，a4是三維實向量,則)

A.ai,3，。4一定線性無關B.。1一定可由。2，。3，。4線性表出

C.a。3，一定線性有關D.ai,a2，a3一定線性無關

5.向量組a尸(1,0,0),a2=(1，1，0）,a3=（1,1,1）的秩為（)

A.1B.2

C.3D.4

6.設A是4X6矩環(huán)，/?（4）-2,則齊次線性方程組Ax-0的基礎解系中所含向量的個數(shù)是（)

A.1B.2

C.3D.4

7.設A是mX〃矩陣,已知Ar=O只有零解，則如下結(jié)論對的的是（)

B.Ax=h（其中力是〃?維實向最）必有唯一解

C.r(A)=mD.Ax=O存在基礎解系

4-52

8.設矩陣A=5-73，則如下向量中是A的特性向量的是（)

6-94

A.(1,1,1)7B.(1,1,3),

C.(1,1,0)TD.(1,0,-3)T

1-11

9.設矩陣A=3-I的三個特性值分別為九,42，43，則41+H2+43=()

111

A.4B.5

C.6D.7

10.三元二次型/5,X2,X3）+4由%+6再%+4君+124巧+9x；的矩陣為（)

1