數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)診斷測(cè)試2025年題目一.選擇題。（共10題）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≥2}，則A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}B.{x|2≤x<3}C.{x|x>3}D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-∞,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)

3.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，則向量a·b的值為（）

A.-5B.5C.-11D.11

4.拋擲兩枚均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為（）

A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18

5.不等式|2x-1|<3的解集為（）

A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-2,4)

6.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

7.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5，d=-2，則a?的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

8.某校高一年級(jí)有1000名學(xué)生，隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行，則該抽樣方式為（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣

9.函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期為（）

A.πB.2πC.π/2D.4π

10.已知直線l?:2x-y+1=0與直線l?:x+a=0相交，則a的取值范圍是（）

A.a≠-1/2B.a=-1/2C.a>0D.a<0

二.填空題（共10題）

1.若復(fù)數(shù)z滿足z2=1，則z的實(shí)部為______。

2.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f'(1)的值為______。

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊c的長(zhǎng)度為______。

4.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.3，且A與B互斥，則P(A∪B)的值為______。

5.已知數(shù)列{a?}是等比數(shù)列，a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比q為______。

6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，恰好出現(xiàn)兩次正面的概率為______。

7.已知圓O的方程為x2+y2-4x+4y-1=0，則該圓的半徑r的值為______。

8.函數(shù)f(x)=e^x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為______。

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a+b的坐標(biāo)為______。

10.不等式組{x|1<x≤3}∩{x|x<5}的解集為______。

三.判斷題。（共5題）

1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，則f(x)在該區(qū)間上一定有最大值。

2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，等式cos2(x)+sin2(x)=1恒成立。

3.樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本容量越大，估計(jì)的誤差通常越小。

4.拋擲兩枚骰子，得到的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率等于得到的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率。

5.若a>b，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，都有ka>kb。

四.計(jì)算題（共6題）。

1.計(jì)算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組:{x+y=5{2x-y=1。

3.在△ABC中，已知邊a=3，邊b=4，邊c=5，求角B的正弦值sinB。

4.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2+11x-6，求其在區(qū)間[0,4]上的最大值和最小值。

5.計(jì)算極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)。

6.在等差數(shù)列{a?}中，已知a?=2，d=-3，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S??。

五.應(yīng)用題。（共6題）。

1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為8000元，每件產(chǎn)品的可變成本為40元，售價(jià)為70元。若計(jì)劃月銷售量為1000件，求該工廠月盈利多少元？

2.一艘船在靜水中的速度為20km/h，水流速度為5km/h。若船順流航行3小時(shí)，求船實(shí)際行駛的距離。

3.從一個(gè)裝有5個(gè)紅球和4個(gè)白球的袋中，不放回地抽取3個(gè)球，求抽到2個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率。

4.某班級(jí)有50名學(xué)生，其中男生30名，女生20名?，F(xiàn)要隨機(jī)抽取5名學(xué)生參加活動(dòng)，求抽到的5名學(xué)生中恰好有3名男生和2名女生的概率。

5.某物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，初始速度為0，加速度為10m/s2。求該物體從高度100米處落地所需的時(shí)間。

6.學(xué)校書館有1000本書，其中小說(shuō)類書籍600本，非小說(shuō)類書籍400本。小說(shuō)類書籍中有70%是中文版的，非小說(shuō)類書籍中有50%是中文版的?，F(xiàn)隨機(jī)從書館取出一本書，求取出的書是中文版小說(shuō)的概率。

六.思考題

1.試述函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明。

2.在進(jìn)行抽樣時(shí)，為什么通常采用分層抽樣或系統(tǒng)抽樣而不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣？請(qǐng)結(jié)合實(shí)際情境分析其優(yōu)劣。

3.比較等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，分析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。

4.解釋什么是數(shù)學(xué)模型，并舉例說(shuō)明如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

5.探討極限思想在微積分學(xué)習(xí)中的重要性，以及它是如何幫助我們理解導(dǎo)數(shù)和積分概念的。

一.選擇題。（共10題）

1.B2.C3.B4.A5.A6.C7.A8.A9.A10.A

解析：

1.A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且x≥2}={x|2≤x<3}，故選B。

2.由log?(x-1)有意義，需x-1>0，即x>1，故定義域?yàn)?1,+∞)，故選C。

3.a·b=3×1+4×(-2)=3-8=-5，故選B。

4.點(diǎn)數(shù)之和為7的基本事件有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6種，故概率為6/36=1/6，故選A。

5.由|2x-1|<3，得-3<2x-1<3，解得-1<x<2，故選A。

6.圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式：(x-2)2+(y+3)2=10，圓心為(2,-3)，故選A。

7.a?=a?+4d=5+4×(-2)=5-8=-3，故選A。

8.隨機(jī)抽取，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，故選A。

9.f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π，故選A。

10.l?與l?相交，則它們的斜率之積不等于-1。l?斜率為2，l?斜率不存在（垂直于x軸），故a≠-1/2，故選A。

二.填空題（共10題）

1.1

2.0

3.2

4.0.9

5.3

6.3/8

7.2

8.y=x

9.(4,-2)

10.(1,3]

三.判斷題。（共5題）

1.×2.√3.√4.√5.×

解析：

1.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不一定有最大值，例如f(x)=x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，但無(wú)最大值，故錯(cuò)。

2.根據(jù)三角函數(shù)基本關(guān)系式，該等式恒成立，故對(duì)。

3.樣本容量越大，根據(jù)大數(shù)定律，樣本統(tǒng)計(jì)量越接近總體參數(shù)，估計(jì)誤差通常越小，故對(duì)。

4.拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的基本事件數(shù)與為奇數(shù)的基本事件數(shù)相等，均為18種，故概率相等，故對(duì)。

5.當(dāng)k<0時(shí)，不等式方向改變，例如k=-1，a>b則-b>-a即-k<-b，故錯(cuò)。

四.計(jì)算題（共6題）

1.∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx=∫(x-1+1+2/(x+1)+3/(x+1))dx=∫xdx-∫1dx+∫1dx+∫2/(x+1)dx+∫3/(x+1)dx=x2/2-x+2ln|x+1|+3ln|x+1|+C=x2/2-x+5ln|x+1|+C

2.由第二個(gè)方程得y=2x-1。代入第一個(gè)方程得x+(2x-1)=5，即3x-1=5，解得x=2。代入y=2x-1得y=3。故解為x=2,y=3。

3.由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2×3×5)=(9+25-16)/(30)=18/30=3/5。由sin2B+cos2B=1，得sin2B=1-cos2B=1-(3/5)2=1-9/25=16/25，故sinB=√(16/25)=4/5（由于a<b<c，角B為銳角，sinB>0）。

4.f'(x)=3x2-12x+11。令f'(x)=0，得3x2-12x+11=0，解得x=(12±√(144-132))/6=(12±√12)/6=(12±2√3)/6=2±√3/3。檢查端點(diǎn)和駐點(diǎn)：

f(0)=03-6×02+11×0-6=-6；

f(2+√3/3)=(2+√3/3)3-6(2+√3/3)2+11(2+√3/3)-6=-4√3/9；

f(2-√3/3)=(2-√3/3)3-6(2-√3/3)2+11(2-√3/3)-6=4√3/9；

f(4)=43-6×42+11×4-6=42。

最大值為42，最小值為-6。

5.當(dāng)x→2時(shí)，分子分母均趨于0，可用洛必達(dá)法則：

lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)(2x)/(1)=2×2=4。

6.a?=a?+(n-1)d=2+(n-1)(-3)=2-3n+3=5-3n。

S??=n/2(a?+a??)=10/2(2+(5-3×10))=5(2+5-30)=5(-23)=-115。

或S??=n/2[2a?+(n-1)d]=10/2[2×2+(10-1)(-3)]=5(4+9×(-3))=5(4-27)=5(-23)=-115。

五.應(yīng)用題。（共6題）

1.盈利=(售價(jià)-可變成本)×銷量-固定成本=(70-40)×1000-8000=30×1000-8000=30000-8000=22000元。

2.順流速度=船速+水速=20+5=25km/h。

距離=速度×?xí)r間=25km/h×3h=75km。

3.總情況數(shù)=C(9,3)=9!/(3!6!)=(9×8×7)/(3×2×1)=3×4×7=84種。

事件“抽到2個(gè)紅球和1個(gè)白球”的情況數(shù)=C(5,2)×C(4,1)=(5!/(2!3!))×(4!/(1!3!))=(5×4)/(2×1)×4=10×4=40種。

概率=40/84=20/42=10/21。

4.總情況數(shù)=C(50,5)=50!/(5!45!)=(50×49×48×47×46)/(5×4×3×2×1)=2302300種。

事件“抽到3名男生和2名女生”的情況數(shù)=C(30,3)×C(20,2)=(30!/(3!27!))×(20!/(2!18!))=(30×29×28)/(3×2×1)×(20×19)/(2×1)=4060×190=771400種。

概率=771400/2302300=3857/115115=17/50。

5.由自由落體公式h=1/2gt2，其中h=100m,g=10m/s2，求t：

100=1/2×10×t2

100=5t2

t2=20

t=√20=2√5秒。

6.總書數(shù)=1000本，中文版小說(shuō)數(shù)=70%×600=0.7×600=420本。

取出中文版小說(shuō)的概率=(中文版小說(shuō)數(shù))/(總書數(shù))=420/1000=21/50。

六.思考題

1.函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒大于等于0；反之，若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)恒大于0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增。例如，f(x)=x2在(-∞,0]上單調(diào)遞減（導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x≤0），在[0,+∞)上單調(diào)遞增（導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x≥0）。

2.抽樣方法的選擇取決于總體分布、樣本量大小、目的等。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣易于實(shí)施，但可能無(wú)法代表總體特征，尤其在總體異質(zhì)性高時(shí)。分層抽樣將總體按特征分層，在各層內(nèi)隨機(jī)抽樣，能保證各層代表性，適合層內(nèi)同質(zhì)、層間異質(zhì)的總體。系統(tǒng)抽樣按規(guī)則選取樣本，實(shí)施方便，當(dāng)數(shù)據(jù)有周期性規(guī)律時(shí)可能引入偏差。在實(shí)際中，若總體同質(zhì)且個(gè)體間差異小，可選簡(jiǎn)單隨機(jī)；若總體異質(zhì)性明顯，可選分層抽樣以提高精度。

3.等差數(shù)列{a?}：相鄰項(xiàng)之差為常數(shù)d，通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d，前n項(xiàng)和S?=n/2(a?+a?)=n/2[2a?+(n-1)d]。等比數(shù)列{b?}：相鄰項(xiàng)之比為常數(shù)q（q≠0），通項(xiàng)公式