波束賦形算法研究包括以下幾個方面:

1.常規(guī)的波束賦形算法研究。即研究如何加強感興趣信號，提高信道處理增益，研究的是一

般的波束賦形問題。

2,魯棒性波束賦形算法研究。研究在智能天線陣列非理想情況下，即當(dāng)陣元存在位置偏差、

角度估計誤差、各陣元到達基帶通路的不一致性、天線校準(zhǔn)誤差等情況下,如何保證智能

天線波束賦形算法的有效性問題。

3.零陷算法研究。研究在惡劣的通信環(huán)境下，即當(dāng)存在強干擾情況下,如何保證對感興趣信

號增益不變，而在強干擾源方向形成零陷,從而消除干擾，達到有效地估計出感興趣信號的

目的。

自適應(yīng)波束形成網(wǎng)絡(luò)

陣列天線基本概念（見《基站天線波束賦形及其應(yīng)用研究_

白曉平》）

陣列天線（又稱天線陣）是由若干離散的具有不同的振幅和相位的輻射單元按一定規(guī)律排列

并相互連接在一起構(gòu)成的天線系統(tǒng)。利用電磁波的干擾與疊加，陣列天線可以加強在所需方

向的輻射信號，并減少在非期望方向的電磁波干擾，因此它具有較強的輻射方向性。組成天

線陣的輻射單元稱為天線元或陣元。相鄰天線元間的距離稱為陣間距。按照天線元的排列方

式，天線陣可分為直線陣，平面陣和立體陣。

陣列天線的方向性理論主要包括陣列方向性分析和陣列方向性綜合。前者是指在已知陣元排

列方式、陣元數(shù)目、陣間距、陣元電流的幅度、相位分布的情況下分析得出天線陣方向性的

過程；后者是指定預(yù)期的陣列方向圖，通過算法尋求時應(yīng)于該方向圖的陣元個數(shù)、陣間距、

陣元電流分布規(guī)律等。對于無源陣，一般來說分析和綜合是可逆的。

陣列天線分析方法

天線的遠區(qū)場特性是通常所說的天線輻射特性。天線的近、遠區(qū)場的劃分比較復(fù)雜，一般而

言，以場源為中心，在三個波長范圍內(nèi)的區(qū)域,通常稱為近區(qū)場，也可稱為感應(yīng)場；在以場

源為中心，半徑為三個波長之外的空間范圍稱為遠區(qū)場，也可稱為輻射場。因此，在分析天

線輻射特性時觀察點距離應(yīng)遠大于天線總尺寸及三倍的工作波長。陣列天線的輻射特性取

決于陣元因素和陣列因素,陣元因素包括陣元的激勵電流幅度相位、電壓駐波比、增益、方

向圖、極化方式，陣列因素主要包括陣元數(shù)目、陣元排列方式、陣元間距。盡管通過控制陣

列因素可以改變輻射特性，但是陣元因素也是控制陣列總特性時需要重視的。

垂直面下傾波束賦形設(shè)計

工程上，實現(xiàn)天線的下傾有兩種辦法：機械下傾和電下傾。機械下傾是指物理地使天線輻射

單元與z軸有一定夾角固定于支架上，電下傾是通過陣列天線的方向圖賦形實現(xiàn)陣列的方

向圖下傾，即通過改變共線陣天線振子的饋電相位和幅度，使天線的垂直方向圖下傾。由于

機械下傾是物理地向下傾斜天線，盡管采用這種技術(shù)也能使同頻干擾降低，但是其調(diào)整傾角

的精度較低，步進精度為1°,且施工和維護較為困難。在網(wǎng)絡(luò)調(diào)整時，必須先將基站系統(tǒng)

停機，不能在調(diào)整天線中同時監(jiān)測調(diào)整效果，所以不可能對網(wǎng)絡(luò)實行精細調(diào)整。然而對于電

下傾，由于天線各方向的場強強度同時增大或減小，保證了在改變傾角后天線方向圖變化不

大，在使主瓣方向覆蓋距離縮短的同時，又使得整個方向圖在服務(wù)小區(qū)扇區(qū)內(nèi)減小覆蓋面積

而降低了干擾。另外，電調(diào)天線允許系統(tǒng)在不停機的情況下對垂直方向性圖下傾角進行調(diào)整,

可實時監(jiān)測調(diào)整的效果。調(diào)整傾角的步進精度較高，為0.1°,因而可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的精細調(diào)整。

方向增益

天線在某方向的增益G(”8)是它在該方向的輻射強度u(a@與天線以同一輸入功率間均

勻輻射的輻射強度PJ4萬之比，即

G(仇夕)=4"當(dāng)3=D(a°)以

*A

極化

極化是天線的一個重要特征參數(shù)，用以描述電場矢量終端運動軌跡隨著時間變化的規(guī)律。一

般來說，都以電場矢量的空間指向來作為天線幅射電磁波的極化方向。根據(jù)天線在其最大輻

射方向上電場的極化形式來定義天線的極化，可分為線極化、圓極化和橢圓極化。當(dāng)天線在

最大輻射方向上電場矢量在空間取向固定不變時，該天線為線極化。

當(dāng)該電場矢量的取向變化..且端點軌跡為一個圓時，稱其為圓極化。圓極化又有左旋圓極化和

右旋圓極化之分。在以地面為參考面時，線極化乂可分為垂直極化、水平極化和斜極化，

兩類波束賦形的原理介紹

⑴基于信號入射方向的波束賦形(direction—of-arrival/DOA.basedbeamforming)：

基于特征值分解的波束賦形而入射方向的估計技術(shù)在信號處

(2)(Eigenbeamforming)o(DOA)

理領(lǐng)域也非常成熟，一般常用的有MUSIC,ESPRIT以及最大似然估計(MLE)等。從DOA估計

的結(jié)果，可以計算獲得各個天線單元的權(quán)值向量(WeightVector),通過將這?組權(quán)向量作用

到天線單元上，就可以控制天線陣列的發(fā)送主瓣，從而可以增強期望的信號能量.

設(shè)M為均勻直線陣列的陣元數(shù)凡陣元沿x軸均勻排列?？疾煲粋€入射到陣列上與陣列軸線

所夾的入射角為。的平面波。設(shè)第一個陣元為參考陣元,位于原點處。入射到陣元

皿m=2,…,M)的信號與入射到參考陣元的信號分量間的相位差表示為：

最小二乘準(zhǔn)則

設(shè)輸入信號x(k)二Lh(k),X2(k)…,A*)『參考信號為d(k),加權(quán)向量為W,則最小二乘

(LeastSquare,LS)準(zhǔn)則的估計誤差可以表示為

e(k)=d(k)-wHx(k)(1)

LS準(zhǔn)則在于選擇加權(quán)矢量w,使如下的代價函數(shù)最小

久n)=為￡i|e(k)「(2)

Jt=l

為了降低距離當(dāng)前時刻n較遠的輸入矢量x(k)和誤差e(k)對代價函數(shù)的影響,在上式中引入

了遺忘因子4,且0W義41

令e(n)=[e⑴,e(2)…,e⑺]”

d'?=Wl),d(2)…,d(")F

V(i)-X：⑴芯⑴…匕⑴

”⑵x；(2)芯(2)???4(2)

X(n)==(3)

??????

xH(n)_xf(n)xf(n)…襦(〃)

可以寫成矢量表示的形式e(n)=d'(〃)-卬〃x(〃)

則相應(yīng)的代價函數(shù)可以表示為

加)=￡￡1卜(1<)『=[?(〃)『A(n)e(/7)

(4)

Jt=l

其中，A(n)=Diag尸,...,2,1]

所以，若以第一個陣元為參考點，則t時刻等間距直線陣中的第皿〃2=1,2,…,M）個陣元對應(yīng)

的陣元間距為4〃=（m-10,對第k個信號源的感應(yīng)信號為：

C小r./2乃"sin4

a&S4t）exp[-j（m-l）----：~~-1

zt

其中，為第m個陣元對第k個信號源的影響，前面己假設(shè)各陣元無方向性，所以可取

a,=lo4為第K個信號源的方位角，（m-1）也呸表示由第m個陣元與第1個陣元間

丸

的波程差所引起的信號相位差?？紤]測量噪聲和所有信號源來波，第m個陣元的輸出信號為:

4⑴=ZSk⑴exp[-j（m-l）⑴

jt=i4

其中勺⑴是測量噪聲，所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個陣元，所有標(biāo)號為k表示該量屬于

第k個信號源。

設(shè)

Zidsina

a,〃(4)=exp[-j(m-l)1

A

為第m個陣元對第k個信號源的響應(yīng)函數(shù)。

則第m個陣元的輸出信號為:

/⑴=Ea“,(4)SMt)+乙⑴

*=i

其中S不⑴是第k個信號源在陣元上的信號強度。

運用矩陣的定義，可以得到更為簡潔的表達式：

X=AS+N

式中

X⑺=[*Q）,%Q）/"）]『

s=[S?）,S2（/）…,s°a）F

A=[a（q）,a（q）,…,a（%）了

-11...1-

"網(wǎng)區(qū)論..."而

????????????

■■

2乃dsin仇

%=----；~上

zt

N=[%（，）,%（力…，加⑺]'

對乙⑴進行N點采樣，我們要處理的問題就變成了通過輸出信號/⑴的采樣

｛/（i）,i=1,2,…,M｝估計出信號源的波達方向角4,%…％。

根據(jù)信號在空間傳播時延表現(xiàn)在各陣元接收信號中為相應(yīng)的相移，即相位差這些接收機的輸

出可以表示為一個N維矢量，即

x=[x-exp{jO),x-exp{j2^—sin6},…,xexp{j24(N-l)—sin6}]

AA(2)

=x?0

其中N為陣元數(shù)，x為第一個陣元接收到的復(fù)基帶信號，乙為陣列導(dǎo)向矢量，即

T

仇)

=11,exp(j-sin/),…,exp|j-(N-l)sin(3)

AA

最優(yōu)最小方差無失真響應(yīng)（MVDR）算法

假設(shè)接收到N個復(fù)觀察數(shù)據(jù)，即一次快拍數(shù)：

工=[3,工2,…,/J⑴

它包括有用信號匕、多個平面波干擾土以及空間白噪聲％，因此有

X=4+%+＜（2）

其中有用信號的到達角已知和未知幅度、隨機相位的非隨機平面波信號。干擾和噪聲建模為

零均值高斯隨機過程，因此可以用二階統(tǒng)計最完整描述兩者的統(tǒng)計特性，即協(xié)方差矩陣。

對最優(yōu)波束賦形，干擾和噪聲假設(shè)是已知的，通常假設(shè)不相干的，他們的協(xié)方差矩陣描述如

下：

+（3）

其中，用=￡｛中著為干擾的協(xié)方差矩陣，凡=用西d｝為噪聲的協(xié)方差矩陣，為干擾

加噪聲的協(xié)方差矩陣。

波束形成器的輸出矢量表示形式表示為y=vvwx,接收信號表示為

），=S%+y（4）

陣列的輸出信號為

y（k）=＞儼5乂+＞儼然"="以+"%

設(shè)計波束形成的目標(biāo)是如下：①最小化輸出干擾噪聲的功率后4%〃1｝;②保證有用信號的

無失真。又

{%『}="巾￡,}

EE{|/&J}=w="Rinw<5)

第二個目標(biāo)是保證有用信號的無失真，即

vvHS=1(6)

其中S為具有單位模值的導(dǎo)向矢量，即

(7)

II-JI

其中匕，為陣列導(dǎo)向矢量，其中觀察方向為e，舊|為矢最的2-范數(shù)，計算如下:

(8)

將上述問題組合如下：

叫制=argmin{卬〃凡產(chǎn)}(9)

/$=1

或者

min{/凡一}

(10)

s.t.wHs=1

最優(yōu)化問題可以利用lagrange乘數(shù)方法求解，最小化函數(shù)即lagrange函數(shù)為

/(，)=y+4(/s-1)(11)

求上式關(guān)于卬”的梯度，可得

▽JfW=%產(chǎn)+而=0(12)

或者

l

w=-AR~ijis(13)

代入約束條件得

(-ARijik)s=1(14)

即得

!

2=(15)

Hl

sRi.ns

.-iw,

其中利用協(xié)方差矩陣&”的Hermitian特征，即R-'=Ri

i.n_|iai

最終得到

(16)

由于上面求解利用了所有N個自適應(yīng)自由度，故有稱為全維解。

魯棒性波束賦形算法

通常是在一些線性約束下，最小化陣列輸出。首先根據(jù)接收信號，估計期望信號的到達方

向DOA,建立一個期望空間響應(yīng)約束，在此約束下，最小化代價函數(shù)，從而獲得波束賦形權(quán)值。

能夠精確地獲得這些約束條件，在此條件下，通過最優(yōu)化方法獲得波束賦形權(quán)值。但是,

實際系統(tǒng)總是存在各種各樣的偏差，如本地散射體、到達角度的不確定性、傳播介質(zhì)的不一

致、衰落、不準(zhǔn)確的天線陣校驗、陣列幾何誤差等等因素都會造成陣列導(dǎo)向矢量擾動。魯棒

性波束賦形算法是解決陣列導(dǎo)向矢量擾動的重要方法。

零陷技術(shù)研究

口益復(fù)雜的電磁環(huán)境使得電磁干擾變得越來越嚴(yán)重,減少電磁干擾的一種重要解決方案

是采用智能天線波束賦形技術(shù)。智能天線波束賦形技術(shù)關(guān)注的一般是主瓣的形狀和整體的旁

瓣增益水平。然而在實際通信環(huán)境中，某些方向電磁干擾可能特別強，對有用信號會造成很強

干擾，因而對于這些強干擾方向的旁瓣就有更高的要求即旁瓣增益應(yīng)該更低。正是為了解決

這個問題,零陷技術(shù)應(yīng)運而生。

零陷技術(shù)是在保證主解無畸變或者畸變很小的前提下,在干擾方向形成零陷，它的目標(biāo)是

使波束主瓣對準(zhǔn)有用信號.,零陷對準(zhǔn)干擾源，從而能夠最小化由干擾引起的信噪比惡化。零陷

技術(shù)在雷達、聲納和通信系統(tǒng)中起著非常重要的作用。常用的零陷技術(shù)包括:復(fù)權(quán)值擾動，陣

列元素位置擾動，幅值擾動，相位擾動。

自適應(yīng)波束形成

自適應(yīng)波束形成概述

目前自適應(yīng)波束形成在基帶上通常采用數(shù)字方式來實現(xiàn)，稱為自適應(yīng)數(shù)字波束形成

(ADBF),它是空時濾波的主要形式，現(xiàn)在自適應(yīng)波束形成和自適應(yīng)數(shù)字波束形成通常被認(rèn)為是

同一技術(shù)。處理器的結(jié)構(gòu)及處理的過程以及自適應(yīng)算法這兩方面是自適應(yīng)波束形成技術(shù)的主

要研究內(nèi)容.自適應(yīng)算法主要是研究自適應(yīng)陣列權(quán)值的計算。一般的自適應(yīng)數(shù)字波束形成的

接收系統(tǒng)包括天線陣元、接收模塊、A/D轉(zhuǎn)換、波束控制和數(shù)字波束形成。

自適應(yīng)波束形成網(wǎng)絡(luò)

整個系統(tǒng)是由天線陣和自適應(yīng)信號處理器組成的一個網(wǎng)絡(luò)。各天線陣對有用信號和干擾

信號在陣列孔徑上產(chǎn)生的場進行空間采樣，空間濾波一般是在基帶完成的，因此接收機要將信

號下變頻至基帶信號，然后通過A/D轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，進入自適應(yīng)波束形成網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過自適應(yīng)

網(wǎng)絡(luò)加權(quán)合并后，增強有用信號,將有用或期望信號位「天線陣列的主波束方向上，同時抑制

干擾信號和噪聲，在干擾方向上形成零陷,從而達到提高輸出信干噪比(SINR)的目的。

波束形成的基本原理

波束形成從信號處理的角度講是一種空間濾波的方法，從信號、干擾和噪聲混雜

在一起的輸入信號中提取出我們所關(guān)心的信號.

圖3.2臼適應(yīng)波束形成示意圖

自適應(yīng)波束形成示意圖如圖3.2所示。設(shè)發(fā)射陣元數(shù)為N,接收陣元數(shù)為M,陣元間距為do

每個天線陣接收期望信號、干擾信號和噪聲信號(高斯白噪聲)。期望信號X,(n)從到達角為

…，回方向接收，干擾信號X(n)從到達角為〃方向接收。假設(shè)接收信號已

經(jīng)經(jīng)過下變頻和模數(shù)轉(zhuǎn)換廁陣列系統(tǒng)的輸出y(n)是對各陣元的接收信號向量x(n)在各陣元

上分量的加權(quán)和，表示為：

M

y(n)=W,yX(n)=Z叱工(n)⑴

f=i

其中W=[W],W2,…,w,wF表示天線陣加權(quán)向量;x(n)為陣列接收的總信號向量;H表示加權(quán)

向量w更數(shù)的共軌轉(zhuǎn)置。

接收的期望信號向量定義為：

M

Xs(n)=Z〃(/)%(n)(2)

W=1

式中，。(戲)是Mxl維的方向向量，即陣列的導(dǎo)向矢量，，由或決定,表示為

T

yA7(M-,)A

〃(，“)=?1,exp(jsinOm),???,exp[j(M-1)sinOm],=[l,e*,---,e"]

AA,

(3)

式中，K。)]7■是矩陣轉(zhuǎn)置，A,=—sin^,,d為陣元間距，4為入射波波長。

A

將式(2)的期望信號向量寫成矩陣的形式為：

X,(n)=AS(n)⑷

其中，A是NxM維向量，是期望信號的方向向量，定義為：

A=m(a)M(a)「?，4(a“)]⑸

S(n)是Mx1維向最，是期望信號向最，定義為：

r

S(n)=[s1(n),s2(n),...,s(w(n)](6)

同樣地，我們可以得到干擾信號向量

Xj(n)=A/(n)(7)

其中A,是NxI維向量，是干擾信號的方向向量,定義為

A…，磯仇)](8)

z(n)是lx1維向量，是干擾信號向量，定義為：

r

/(n)=[/1(n),z2(n),---,z/(n)]

于是,陣列接收的總信號向策表示為期望信號與干擾信號和噪聲信號之和：

X(n)=Xx(n)+(n)+?(n)(9)

利用式(9)導(dǎo)出的結(jié)果重寫式⑴得：

w

)，(n)=W"X(n)=y(n)=W[Xv(n)+X,(n)+w(n)](10)

陣列的幅度波束圖定義為：

F(0)=|w〃a(0)|(11)

為了將波束指向法線方向3=0)，取

W=[U,...,l]r(12)

此時波束圖為:

Msin(M/?/2)sin(M^t//2)sin^

F(e)=|w〃a(O)|=(13)

*=|sin(/?/2)sin(萬d/2)sin6

式中，陣元間距d==入

波束形成的基本

臼適應(yīng)波束形成網(wǎng)絡(luò)

設(shè)M為均勻直線陣列的陣元數(shù)目，陣元沿x軸均勻排列?？疾煲粋€入射到陣列上與陣列軸線

所夾的入射角為夕的平面波。設(shè)第?個陣元為參考陣元，位于原點處。入射到陣元

〃?(m=2,...,M)的信號與入射到參考陣元的信號分量間的相位差表示為：

e”二〃x『sin<9

24

其中，夕=彳為相位傳播因子，4為載波波長。

y

心sin0

入射波

入射波前

第1個和第k

個天線陣元

設(shè)由第％(k=1,2,…,D)個信號源輻射到天線陣列的波前信號為歐(0,假設(shè)S⑴為窄帶信號,

則理⑴可以表示為以下形式：

SA(t)=S/t)exp(jwAt)

式中S,(t)是信號U⑴的復(fù)包絡(luò)，W,是信號服⑴的角頻率。假設(shè)D個信號具有相同的中心

頻率，所以有：

2萬4〃

WW2L

A=O=^A-

式中。4〃是陣元間距，丸是入射波波長。

當(dāng)信源信號入射到天線陣列時，相對于參考陣元，其它陣兀所接收到的信號都會存在一個時間

延遲，所以其中某一個陣元的接收信號可以表示為鼠7),其中「為該陣元相對于參考陣

元的時間延遲，假設(shè)信號源是窄帶信號,有如下近似：

故延遲后的波前信號為：

Sk(\-T)=S/l-rJexpljWoa-r)]^SA(t)exp(jwot)exp(-jwor)=S*(l)exp(-jw0r)

所以，若以第一個陣元為參考點，則t時刻等間距直線陣中的第m(m=1,2,…,M)個陣元對應(yīng)

的陣元間距為4“=(m-l)d,第m個陣元與第1個陣亓間的波程差所引起的信號相傳差為

空警,對第k個信號源的感應(yīng)信號為：

A

SMt)exp[-j(m-l)------L]

A

其中，a4為第m個陣元對第k個信號源的影響，假設(shè)各陣元無方向性，所以可取a￡=l。&

為第K個信號源的方位角。

考慮測量噪聲和所有信號源來波，第m個陣元的輸出信號為：

4⑴=ZSk⑴exp[-j(m-l)

*=i4

所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個陣元，所有標(biāo)號為k表示該量屬于第k個信號源。

設(shè)

仆r?/[、2冗dsm4

a,”(4)=exp[-j(m-l)------------H

A

為第m個陣元對第k個信號源的響應(yīng)函數(shù)。

則第m個陣元的輸出信號為：

k=\

波束形成器的輸出為一復(fù)標(biāo)量y,即

J(t)=嵋M⑴+卬2工2⑴十…+WNXN(0+I"

N

=￡叱%?)+/”

i=l

=W"〃S)S+/“

其中，W=[W[,W2,…,wj,

S=S(r),S2⑺…,Sc(f)/

a(6)=[aC),a@),???,a(%)F

111

j班「加e~j^

-J(M-l)伊-j(M-l)的…

_27rdsin0k

%~T~

4(或)=h，exp(j鄉(xiāng)子sin或exp[j(N-l)sin0nt\

AX

設(shè)

NJ

A(0)=Z嗎exp{j2乃(i-1)—sin8=WHa(O)

i=\4

則4。)為陣列因子，它決定了陣列輸出端的信號y(t)與參考陣元處測得的信號s(。的比值。

通過調(diào)整權(quán)向量w可以將天線陣列波束圖的最大主瓣對準(zhǔn)任意方向6L

In=[?i⑺,〃2⑺…，(川'為外加噪聲o

對與⑴進行N點采樣，我們要處理的問題就變成了通過輸出信號與⑴的采樣

{/⑴,i=i,2,…,M}估計出信號源的波達方向角a…。

當(dāng)陣元響應(yīng)具有全方向特性時，波束方向圖伏⑶就等于陣列因子，即

B(0)=A(0)

在實際中，每個陣元都不是全向的，而是有?定的方向性，如偶極子陣元。故陣列方向圖為

陣列因子和陣元輻射方向圖也(0)的乘積，即

B(6)=A⑹B?(e)

陣列天線的這種特性被稱為方向圖乘法。

常用的算法性能準(zhǔn)則

波束賦形可以認(rèn)為是一種特殊的自適應(yīng)濾波問題,實現(xiàn)過程中所遇到的最佳化問題都是非線

性的。通常是在一定的約束條件下使非線性問題中的代價函數(shù)達到最小或者最大來獲得最優(yōu)

解。因此,代價函數(shù)的最小值或者最大值以及約束條件就被稱為最佳準(zhǔn)則，不同代價函數(shù)就對

應(yīng)不同的準(zhǔn)則。本節(jié)主要介紹最小均方誤差準(zhǔn)則、最大信干噪比準(zhǔn)則、最小二乘準(zhǔn)則、最大

似然準(zhǔn)則

最小均方誤差準(zhǔn)則(MMSE)

最小均方誤差(MinimumMeanSquareError,MMSE)準(zhǔn)則是B.Widrow等人首先提出的,它基于

大多數(shù)情況下人們對有用信號具備某些先驗知識的事實，提出在接收系統(tǒng)中設(shè)置本地參考信

號，然后調(diào)整陣列加權(quán)，使陣列輸出與參考信號的均方誤差值最小.

設(shè)輸入信號為x(k)=g(k),々(k)…/(k)］『，參考信號為d(k)，加權(quán)向量為W，則陣列的

輸出可以表示為：

y(k)=wH(k)x(k)(1)

設(shè)估計誤差可以表示為：

e(k)=d(k)—)，(k)(2)

則MMSE準(zhǔn)則的代價函數(shù)可以表示為：

J(w)=E^|e(k)|2J⑶

其中，E}}表示統(tǒng)計平均。最佳處理問題歸結(jié)為如卜的無約束最佳化問題:

M/X/(w)=E{k(k)f}

(4)

由上式可得:

J(w)=E{|e(k)|2j=E{e(k)e*(k)}=E{(J(k)-wHx(k))(d(k)-w“Mk))*}

=E{d(k)d*(k)}-E{d(k)(卬〃x(k))"}-E{w"Mk)d"(k)}+EWMk)(w〃x(k))*}(5)

=E1|d(k)|2}-2Re{E{v^x(k)d9(k)}}+E{卬〃x(k)(w〃x(k))*}

令輸入矢量信號Mk)與參考信號d(k)之間的互相關(guān)可以表示為R、d(k)：

Rw(k)=E{x(k)d*(k)}(6)

關(guān)于vv〃x(k)為一個標(biāo)量，因此：

(wHx(k)y=(。儼工化))*)7=(w"x(k))“=wHx(k)(7)

令輸入矢量信號Mk))的自相關(guān)函數(shù)可以表示為R.(k)

H

Rxx(k)=E{x(k)x(k)}(8)

將式(6)~(8)帶入式(5)得：

J(W)=E{|d(k)「卜2Re卜儼+wH(3)

則J(w)取最小值時的最佳權(quán)向量tp,可以通過對w求偏導(dǎo)數(shù)得到。

令一J(w)=2R“w-2&w=()(10)

d\v

若R.是可逆矩陣，最佳權(quán)向量可以表示為：

%=R，Kd(11)

最大信干噪比準(zhǔn)則(MSINR)

最大信干噪比(MaxSignaltoInterferenceplusNoiseRatio,MSINR)準(zhǔn)則用來選擇使SINR最大的

權(quán)向量，陣列接收信號可以表示為：

x(k)=s(k)+u(k)(1)

其中，5低)=[4也),52(分一，5也)]7，〃俅)=[〃]也),〃2也＞??，廝(切7分別表示輸入信號和

噪聲與干擾。相應(yīng)的輸出信號可以表示為：

H

_y(k)=卬"s(k)+wu(k)=ys(k)+yu(k)(2)

其中，K*)=w's(k),%(k)=卬'〃(k)

則輸出SINR可以表示為：

他(叫成心的工/楙寸}卬〃尺嚴(yán)

E

SINR=一(3)

E九(k)f}E||卬〃〃(k)W〃(k)「}w"R”“w

其中&(k)=Ek(k)/(k)},凡“(k)=E{u(k)u〃(k)}

要得到滿足MSINR的權(quán)向量，需要將式⑶對卬進行求偏導(dǎo),

令等二J-0⑷

wRmiwdw

根據(jù)求偏導(dǎo)數(shù)的商法則可得：-

dj

=wHRwR.w-w"R、、wR““w=0(5)

dwllu

wHRwwHR“w

從而可得：凡尸二s&“w,則：R；：Rj，=w

wHR,“w/七產(chǎn)

修它的數(shù)值介于的最小特征值和最大特征值之間。其中，及1凡,的最大特征值

wR““w

41m滿足下式：&/尸'=電產(chǎn)。因此只需求出4的最大值，即可得到SINR的最大值，則

4皿對應(yīng)的特征向量明即為基于MSINR準(zhǔn)則的最佳權(quán)向?qū)彙?/p>

當(dāng)系統(tǒng)中不存在干擾時,該準(zhǔn)則就簡化為最大信噪比(MSNR)準(zhǔn)則。此準(zhǔn)則的優(yōu)點是可以使信

噪比最大化，缺點是必須得到噪聲的統(tǒng)計量，且需要對信號的到達方向進行估計。

最大似然準(zhǔn)則(ML)

最大似然ML(MaximumLikelihOOd)準(zhǔn)則是以期望信號s未知，非期望信號n服從

均值為零的高斯分布的設(shè)想。該準(zhǔn)則旨在定義一個能估計出期望信號的似然函數(shù)。

假定總的分布服從高斯分布，但均值受期望信號s的控制。概率密度函數(shù)由聯(lián)合概

率密度P(x/s)描述,表示為在給定s(n)的條件下x(n)出現(xiàn)的條件概率,該密度可視為

似然函數(shù),用來估計參數(shù)s,表達式為：

H

P(x(k)/s)=f-L_exp{-[(x(k)-a(k)s)R：；(x(k)-a(k)s)_||(1)

式中，川表示非期望信號的標(biāo)準(zhǔn)方差；(“二6〃表示非期望信號的自相關(guān)矩陣

設(shè)接收信號為x(k),則最大似然(MaxLikelihood,ML)準(zhǔn)則的模型表示為：

x(k)=a(k)s+n(k)(2)

其中，〃(k)二|%(k),〃式k)…,飛(k)『表示噪聲。

a(k)=[%(!<),%(k)…,a,v(k)F表示一個固定的方向向量。S為一個標(biāo)量，表示輸入信號。

設(shè)接收信號的對數(shù)似然函數(shù)為：

L(x)=In{P(x(k)/s)}(3)

其中，P(x(k)/s)是在給定s條件下x(k)出現(xiàn)的條件概率。ln{e}表示自然對數(shù)。設(shè)噪聲〃(k)

為零均值的平穩(wěn)高斯隨機過程，其自相關(guān)矩陣用此“表示。則似然函數(shù)L(x)可以寫成:

L(x)="[x(k)_o(k)s/R,[x(k)-a(k)s]

=fl(xH(k)R,"(k)-a”(k)s〃R^x(k)-xH(k)^a(k)s+a”(k)R〃*(k)s〃s

其中，P是一個與x(k)和S無關(guān)的常數(shù)?，F(xiàn)在要計算使似然函數(shù)最大的S,記作5稱為s的最

大似然估計。即：

s="Mk)?5)

為此,將似然函數(shù)對$求偏導(dǎo)數(shù),得到：

=一工”(k)R,：a(k)+a"(k)%?(k)/=0(6)

ds

贓"=/(k)湍徐*(k)w(7)

由⑺可得最佳權(quán)向量為：

1

W(8)

opta〃(k)R,1a(k)

1

其中,y=為標(biāo)量。

a”(k)K：a(k)

線性約束最小方差準(zhǔn)則(LCMV)

最小方差Mv(Minimumvariance)準(zhǔn)則要求保證在有用信號增益固定的情況下,使得輸出總功

率達到最小，也就是噪聲和干擾信號的功率最小。為確保無失真，通常加入約束條件，因此MV

準(zhǔn)則也常稱為線性約束最小方差(LCMV)準(zhǔn)則。假定采用均勻直線陣，非期望信號的均值為零,

其方程式如下：

{卜(k)"

卬"4=1

(1)

若是均勻直線陣，輸入有川信號向量可表示為:

S(k)=s(k)a0

(2)

式中，小為方向向量，是一個固定向量。

結(jié)合式⑴，陣列的輸出信號為

y(k)=w"5(k)+wHu(k)=卬"%S(k)+wHu(k)=S(k)+w"u(k)

(3)

于是天線陣輸出干擾加噪聲功率：

5二E|y(k)[2}="K"

(4)

應(yīng)用拉格朗日法，代價函數(shù)J(w)是方差和約束條件的線性組合，得

11H

J(w)=w凡〃卬+2丸1-w&](5)

將上式對W求導(dǎo)并令其為零，得到

%,二稅4(6)

將式(6)代入(1)得到

”1

(7)

一…

得到最小方差的最優(yōu)權(quán)向最

1

w..=——：-K仇(8)

也va”R&-°

0MMU

對照式(335)和式(3.42),最小方差準(zhǔn)則和最大似然準(zhǔn)則在形式上是一樣的。唯一的區(qū)別在于,

最大似然準(zhǔn)則要求所有合并后的非期望信號服從均值為零的高斯分布。而在最小方差準(zhǔn)則中,

非期望信號包括干擾源及噪聲。

常用的波束賦形算法

自適應(yīng)算法

最小均方(LMS)算法

圖使用參考信號的波束賦性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

d(n)表示時刻n的參考信號，x(n)表示時刻n的輸入信號。波束形成器的輸出信號

y(n)=wHx(n)e(n)=d(n)Iy(n)

.MMSE準(zhǔn)則就是使誤差信號的均方值最小,

代價函數(shù)取為：

(1)

式中.陣列輸入向最x(n)=陣元加權(quán)向量

采用梯度法求得均方誤差函數(shù)，有：，當(dāng)梯度為零時有最小值，解得:

wopt（n）=Rxx（n）rxd（n）

⑵

式中：

一般，我們是不知道信號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的。解決的方法是使用其瞬時值來估計Rn和即:

R—x(n)xH(n),“力(n)x(n)

采樣最陡下降法的選代技術(shù)可近似求出代價函數(shù)的梯度。最陡下降迭代近似由下式給出：

w(n+1)=w(n)I

⑶

代價函數(shù)的梯度由式⑶給出，(1)帶入(3)時.得到LMS的解：

⑷

式中，〃是步長，是一個值很小的正實數(shù).一般介于。和1之間；VM是代價函數(shù)的梯度。

LMS算法權(quán)向量的初始值是n=0時刻的w(0)值。通過不斷調(diào)整權(quán)向量的值，最終使得均方

誤差值最小。LMS算法的收斂性與步長〃成正比。如果步長太小，則收斂速度緩慢。如果

步長太大，會因為收斂速度太快而造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，必須選擇一個步長范圍來確保收

斂。研究表明,如果滿足下列條件就可以確保算法穩(wěn)定：

0<//<-^―

2心、

式中，4.是Rm的最大特征值。

采樣矩陣求逆(SMI)算法

LMS自適應(yīng)算法的一個缺點是，在達到令人滿意的收斂前，算法必須經(jīng)過多次迭代。采樣

矩陣求逆SMI(SampleMaXtrixlnversion)算法可以解決LMS算法相對緩慢收斂性的問題，也稱直

接矩陣求逆(DMI)算法，對天線陣的自相關(guān)矩陣Ru直接求逆。采樣矩陣是對利用K次采樣的

天線陣相關(guān)矩陣的時間平均估計。如果隨機過程在相關(guān)性上遍歷，則時間估計將等于實際相

關(guān)矩陣。

關(guān)于MMSE最小值的討論，最優(yōu)天線陣權(quán)值由維納解叱洶得到。通過時間平均

可估計相關(guān)矩陣，得

9x(i)x"(i)

:⑸

力?⑴x(i)

式中,K是觀察周期。

可以表示成：

R*)=：XK(n)Xj(n)

K⑹

Gd(n)=lo*(n)XK(n)

K

其中，

XK(n)=[x(l),x(2),???,x(K)]

ZT(n)=[d"(l),d*(2),…,d*(K)]

由于使用長度為K的數(shù)據(jù)塊，因此這種方法也稱塊自適應(yīng)法(block-adaptiveapproach)。

長度為K的第n個塊的SMI的最優(yōu)權(quán)向量為：

%=[X屋n)Xj(n)「力?(n)X晨n)(7)

可見,SMI是樣本數(shù)據(jù)塊的更新方法。雖然，在理論上SM工算法比LMS算法收斂速度快

很多，但是SMI算法需要對矩陣進行求逆運算,隨著矩陣階數(shù)的增加，求逆帶來的計算量也將

增大,硬件實現(xiàn)復(fù)雜，這使它在實際應(yīng)用中受到限制

遞歸最小二乘(RLS)算法

盡管SMI算法的速度比LMS算法的速度快，但是計算復(fù)雜度和潛在的奇異性會帶來一些問題。

因此，我們可以采用遞歸的方式計算出所需的自相關(guān)矩陣和互相關(guān)向量,稱此算法為遞歸最小

二乘(RLS)算法。自相關(guān)矩陣和.互相關(guān)向量的估計，采用總和除以塊長的形式。當(dāng)計算權(quán)值時,

乘積R：(n)力(n)抵消了用K除.因此，可以省略K而將自相關(guān)矩陣和互相關(guān)向量重寫為：

勺(n)=￡x⑴x，⑴

「⑻

力(n)=%*(i)x⑴

R：(n)和力(n)是終止于采樣時刻n的相關(guān)估計。

由于信源隨時間緩慢移動;所以可以不關(guān)注最早的數(shù)據(jù)采樣,而只關(guān)注最近的數(shù)據(jù)采樣。修改

上式,去掉最早的時間采樣，有

鼠(n)=力a”Tx(i)x"(i)

:⑼

力?⑴x⑴

/=1

其中aE(0,1］為加權(quán)因子，也稱遺忘因子。當(dāng)a=l時,就是常見的最小二乘算法；

a=l還表明記憶無限。

將上式的求和分成兩項，前i=n-1項的值和最后一項i=n的得到兩式的遞歸形式：

z,1z//z7/

/?u(n)=cr^a'x(i)x(i)+x(n)x(n)=tz/?u(n-l)+x(n)x(n)(10)

〃一i

力(n)=⑴x(i)+d*(n)x(n)=arxd(n—1)+d*(n)x(n)(11)

1=1

因此，使用前面的值可求得后面的天線陣的臼相關(guān)矩陣估計和互相關(guān)向量估計。

對心(n)使用矩陣求逆，得：

(12)

二a-[R：(n-D-g(n)x"(n)R：(n-1)]

式中，增益向量麗"與黑叱

化簡可得到：

1

(g(n)=/?；(n)x(n)(13)

按照迭代次數(shù)n重新整理最優(yōu)維納解并將式(11)代入得

w(n)=R二(n)%(n)=aR：(n)力(n—l)+R：(n)x(n)d，(n)(14)

將式(12)、式(13)代入式(14)得到權(quán)向量更新公式

vv(n)=x〃(n)w(n—1)](15)

比較式(15)和式⑷，兩者在形式上相同。RLS算法采用遞推的方法來完成矩陣求逆運算，因而收

斂速度快，對特征值的散布度不那么敏感。

最優(yōu)最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)算法

若是均勻直線陣，輸入右.用信號向量可表示為:

5(k)=a0s(k)+u(k)(1)

式中，。()為方向向量，是一個固定向量。

陣列的輸出信號為

y(k)=w"S(k)+iv"〃(k)=w"a()S(k)+w%?k)(2)

其中，〃(k)為干擾加噪聲信號。

于是天線陣輸出干擾加噪聲功率：

5=E《y(k)『｝=/凡產(chǎn)(3)

凡“=七人”端｝為干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣。

設(shè)計波束形成的目標(biāo)是如下：①最小化輸出干擾噪聲的功率②保證有用信號的

無失真。即

^MVDR=argminM("｝⑷

人=|

或者

min儼凡產(chǎn)｝

(5)

s.t.=1

應(yīng)用拉格朗日法，代價函數(shù)J(w)是方差和約束條件的線性組合，得

11

J(w)=wRimw+22[1-a0](5)

將上式對w求導(dǎo)并令其為零，得到

%1=秋&(6)

將式(6)代入(1)得到

2=—(7)

得到最小方差的最優(yōu)權(quán)向量

(8)

ci0KMMaV、

假設(shè)協(xié)方差矩陣凡“是己知的,MVDR算法稱為最優(yōu)波束形成器，當(dāng)協(xié)方差矩陣不知道時,

必須利用訓(xùn)練序列進行估計，而利用估計統(tǒng)計特性的波束形成稱之為自適應(yīng)波束形成。

估計協(xié)方差矩陣的標(biāo)準(zhǔn)方法是構(gòu)造樣本協(xié)方差矩陣R?uo

其中：

1K

凡”=—??k)u'(k)(17)

KI

其中：

x““(k)為第k個訓(xùn)練樣本，而K為可利用的訓(xùn)練序列總數(shù)。樣本協(xié)方差矩陣凡,“是真實協(xié)方

差矩陣(〃的最大似然估計。

恒模(CMA)算法

所謂恒模是指許多常見的通信信號都具有恒定包絡(luò)的特性，利用信號所具有的這一特征,

它的基本思想是恒模信號i如FM、PSK、FSK等)在經(jīng)歷了多徑衰落、加性干擾或其它不利因

索時，會產(chǎn)生幅度擾動破壞信號的恒模特性，因此可以定義一種“恒模準(zhǔn)則”使自適應(yīng)濾波器

的輸出恢復(fù)成恒模信號。

恒模算法CMAfConstantModulusAlgorithm)屬于盲算法，不需要參考信號，它是基于梯度算

法。CMA自適應(yīng)陣列是用來捕獲具有恒模特性的期望信號，通過CMA算法可以消除因存在干

擾信號而引起輸出信號幅度的變化，控制權(quán)值使其幅度變化最小，當(dāng)輸出幅度變?yōu)楹愣〞r，天

線方向圖就會在干擾信號的來波方向上形成零陷。

恒模信號在經(jīng)歷了多徑衰落、加性干擾或其它不利因素時，會產(chǎn)生幅度擾動,從而破壞信號

的恒模特性。恒模波束形成器的基本思想就是通過某種算法修正陣列輸出的加權(quán)向最值w,

從而使經(jīng)過加權(quán)求和后的陣列信號)，(n)恢復(fù)信號的這種恒模特性。

定義其代價函數(shù)和誤差信號函數(shù)為

〃(n)=E.(n)「—Rj](1)

r-2r

f(n)=y(n)|y(n)|-|y(n)|(2)

其中,p、q都是正整數(shù),p等于1或2;q通常取2;此為陣列輸出期望信號的幅度,

定義為：

(3)

〃而(n)|"}

其中,s(n)是y(n)的零記憶估計，通常將輸出估計值s(n)調(diào)整到1,則(二1。

由于恒模算法的代價函數(shù)是非線性的,無法直接求解，只能采用迭代的方法逐步逼近最優(yōu)解。

上面的代價函數(shù)類似于傳統(tǒng)的均方誤差代價函數(shù)，所以類似于傳統(tǒng)的LMS算法,我們可以利用

最陡下降法來優(yōu)化該代價函數(shù)，根據(jù)最陡下降法可以得到迭代更新方程為：

w(n+1)=w(n)-//VJw(n)(4)

中，〃〉0是步長因子，V表示關(guān)于W的梯度算子，并用瞬時梯度代替平均梯度可得恒模算

法的更新方程為：

vv(n+1)=w(n)-//x(n)z*(n)(5)

不同的恒模算法在迭代公式上的主要區(qū)別為z(n)取值不同。

恒模波束形成器的輸出信號可以表示為：

)，(n)=w"x(n)(6)

恒模算法就是通過調(diào)整該加權(quán)向量值，來恢復(fù)信號的恒模特性，從而實現(xiàn)盲自適應(yīng)波束形成。

既然我們要恢復(fù)的信號具有恒模特性，不失一般性的令該信號的模為1,于是可以得到恒模算

法的代價函數(shù)為：

J(n)=E1|y(n)『-⑺

當(dāng)p=2,q=2時，

e(n)=y(n)[l-|y(n)「](8)

22W2

J22(n)=E{[|y(n)|-1][=E|[|Wx(n)|-1]"-(9)

恒模算法的代價函數(shù)類似于傳統(tǒng)的均方誤差代價函數(shù)，