5.1平面向量的概念及線性運算

課標(biāo)要求精細考點素養(yǎng)達成

1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的通過平面向量概念的學(xué)習(xí)，培

平面向量的概念

實際背景,理解平面向量的意義和兩個向量相等的含養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

義，了解平面向量的幾何表示和基本要素通過平面向量的線性運算,能

平面向量的線性運算

2.借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加夠培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)

減運算及運算規(guī)則,理解其幾何意義

3.借助實例分析,掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)平面向量共線定理及通過共線定理的應(yīng)用，培養(yǎng)邏

則,理解其幾何意義,理解兩個平面向量共線的含義.其應(yīng)用輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)

了解平而向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義

知識-結(jié)構(gòu)梳理

定義

平

面

向

量

的

概

念

相反模長相等且方向相反

規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量

向量的向量稱為相反向量

夯實基礎(chǔ)

1.（概念辨析）下列關(guān)于平面向量的命題中，正確命題的個數(shù)是（）.

①汪一向量與它的相反向量都不相等;②長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量;③平行且模相等的兩個向

量是相等向量;④若a#b,則a|Wb|;⑤若兩個向量相等,則它們的起點與終點相同.

A.OB.1C.2D.3

2.（對接教材）如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心,則與而不相等的向量為（）.

DE

A.OCB.FOC.EDD.正

3.（對接教材）已知向量el,e2不共線,a=el+3e2,b=2el+Xe2,若a〃b,則實數(shù)X=

4.1易錯自糾）下列說法錯誤的是（）.

A.向量崩與向量嬴長度相同B.單位向量并不全相等

C.向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小D.與向量a共線的向量,均可以用入a表示,其中XGR

5.（模擬演練）（2023?江蘇通州中學(xué)月考）如圖,BC,DE是半徑為1的圓0的兩條直徑，而=2而,EFC=XFD?-uFE,

貝IJ…等于（）.

B.2C.3D.4

⑥）能力?模西甌:

平面向量的概念

典例1判斷下列命題是否正確,請說明理由：

（1）若向量a與b同向，且|a|>|b|,則a>b;

⑵若|a|=|b|,則a與b的長度相等且方向相同或相反;

⑶若|a|二|b|,a與b的方向相同，則a=b;

（4;由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；

⑸若向量a與b平行，則向量a與b方向相同或相反.

1.相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性,零向量與任意向量共線.

2.共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān).

3.向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量,解題時,不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談.

訓(xùn)練1下列命題中，假命題的個數(shù)是().

①兩個相等向量,若它們的起點相同，則終點也相同;

②若|a|=|b5ija=b;

③若I而|=|玩I,則四邊形ABCD是平行四邊形；

④若m=n,n=k,則m=k;

⑤若a〃b,b〃c,則a/7c;

⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段；

⑦任何一個非零向量都可以平行移動.

A.2B.3C.4D.5

考點平面向量的線性運算

典例2在△ABC中，若AC=b.

⑴若P,Q是線段BC的三等分點,求證:而+而=a+b.

⑵若P,Q,S是線段BC的四等分點,求證:而+而+麗=|(a+b).

⑶如果Al,A2,A3,-,Anl是線段BC的n(n》3)等分點，你能得到什么結(jié)論?不必證明.

向量的線性運算的解題策略

(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形

法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.

(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解.

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧:①觀察各向量的位置;②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;③

運用法則找關(guān)系;④化簡結(jié)果.

訓(xùn)練2(2023?江蘇常州中學(xué)調(diào)研)已知平面上不共線的四點。，兒B,C,若醇而+3痔。，貝嚅等于().

A1

43

考點

3向量共線定理及其應(yīng)用

典到3如圖，在AOAB中,阮蕓麗麗丹麗,AD與BC交十點M,設(shè)礪=a,而=b,在線段AC上取一點E,在線段BD

42

上取一點F,使EF過點M,設(shè)而二pUX,OF=qOB,求證W是7.

pq

0AMl/

向量共線定理的應(yīng)用

（1）證明三點共線問題,可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且

有公共點時，才能得出三點共線.|

（2）向量a,b共線是指存在不全為零的實數(shù)人”人2,使人d+X力=0成立;若X,a+X2b=0,當(dāng)且僅當(dāng)A■產(chǎn)入2=0時

成立，則向量a,b不共線.

（3）已知0在直線BC外,*A滿足蘇=XOB+uOC（X2y為實數(shù)），A,B,C二息共線的充要條件為X+p=l.

訓(xùn)練3（2023?江蘇如東中學(xué)月考）在△ABC中,AD=2DB,靠=2前,P為線段DE上的動點，若而=入通+口而，X,

H三R,貝IJN+U等于（）.

A.1B.-C.-D.2

32

藏素,:能力提升）

分點恒等式

（1）已知麗而為不共線的兩個向量,則對于向量而，必存在x,y,使得而=xA5+y讖,則B,C,D三點共線=

x+y=l.

若0<x+y<l,則D與A位于BC同側(cè),且D位于A與BC之間;

當(dāng)xy<0時,D在線段BC的延長線上或反向延長線上.

⑵已知D在線段BC上，且BD：CD=m：n,則而麗U-近.

m+nm+n

典例在△ABC中,D為邊BC的中點,H為AD的中點,過點H作一直線MN分別交AB,AC于點M.N,若

AM=xAB,AN=yAC,則x+4y的最小值是（）.

A.-B.2C.V3I).]

AB=xA目+yA￡中X,y的確定方法

（1）在幾何圖形中，若D,B,C三點共線，則可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進而確定x,y;

（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程而=xA5+y而,可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運算,

從而得到關(guān)于x,y的方程,再進行求解；

（3）若所給圖形比較特殊（矩形,特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標(biāo)化,從而得到關(guān)于x,y的方程,再進

行求解.

訓(xùn)凍如圖,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為BC,CD上的點,且麗=覺,CN=1CD,連接AM,BN交于點P,若而=

人麗麗=口麗則N+U=（）.

一、單選題

1.有關(guān)向量a和向量b的下列四個說法:①若|a|=0,則a=0;②若量|=|b|,則a=b或a=b;③若a〃b,則|a=|b|;

④若a=0,則a=0.其中的正確的有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.下列選項中的式子，結(jié)果為零向量的是（）.

A.AB+BCCAB.AB+MB*BO+OMC.OA+OB+BO+COD.ABAC+BDCD

3.（2023?江蘇啟東中學(xué)月考）已知AABC是正三角形，則下列等式不成立的是（）.

A.AB+BC|=|BC+CA|B.|AC+CB|=BA+BC|C.|AB+AC|=ICA+CB|D.IAB+BC+CAI=|CB+BA+AC|

4.（2023?江蘇東海中學(xué)期中）如圖,在△ABC中,麗前,P是BN上的一點,若而=（m+崩干瓦，則實數(shù)m的

值為（）.

A.：B.gC.1D.3

93

二、多選題

5.已知A,B,C是三個不同的點,OA=ab,OB=2a3b,OC=3a5b,則下列結(jié)論正確的是（）.

A.AC=2ABB.AB=BCC.AC=3BCD.A,B,C三點共線

6.（2024?河北邯鄲第一次調(diào)研）設(shè)a,b是兩個非零向量，且Ia+b|<|a|+|b|,則下列結(jié)論正確的是（）.

A.ab隆|a|+1b|B.|ab<|a+b|

C.a,b的夾角為鈍角D.若實數(shù)工使得a=Xb成立，則人為負數(shù)

三、填空題

7.（2023?江蘇靖江中學(xué)質(zhì)檢）設(shè)向量a,b不共線,若向量ta+b與a+3b共線，則實數(shù)t的值為.

8.（2023?河北張家口調(diào)研）在中，點P滿足而+而=4而,則aABP與△ABC的面積比為.

四、解答題

9.設(shè)e',e。是兩個不共線的向量,如果靠=3e*,BC=4el+e\CD=8e'9e2.

⑴求證:A,B,D三點共線.

⑵試確定X的值，使2Xe'+e2和e'+人（共線.

⑶若e'+X/與XS+F不共線，試求X的取值范圍.

10.如圖所示,AD