滬科版八下數(shù)學(xué)《勾股定理》單元作業(yè)設(shè)計

一、單元信息分析

基本學(xué)科年級學(xué)期版本單元

信息數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期滬科版勾股定理

序號課時名稱對應(yīng)教材內(nèi)容

1勾股定理第18.1(「52?53)

第)

2勾股定理的應(yīng)用18.1(P53-54

課時

3勾股定理的逆定理第18.2)

信息

第18.2(P_)

4勾股定理的逆定理的應(yīng)用5059

5數(shù)學(xué)活動

6勾股定理與最短距離問題、折疊問題

7單元小結(jié)

二、單元分析

（一）課標(biāo)要求

探索勾股定理及其逆定理，并能運用它解決一些簡單實際問題。

課標(biāo)在“知識與技能”方面指出：探索并掌握…三角形…的基本性質(zhì)與判定。

在“數(shù)學(xué)思考”方面指出：體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運用演繹推理加以

證明的過程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。在“問

題解決”方面指出。初步學(xué)會在具體情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，

并綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法等解決簡單實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。

（二）教材分析

1.知識網(wǎng)絡(luò)

互逆定理勾股定理的逆定理

勾股定理

直角三角形邊直角三角形的判定

長的數(shù)量關(guān)系

2.內(nèi)容分析

直角三角形是一種特殊的三角形，在本章之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形

的概念，掌握了直角三角形的部分性質(zhì)和一個三角形是直角三角形的條件，在第

16章和第第17章，我們已經(jīng)學(xué)會了二次根式的運算及利用一元二次方程解決問

題，為本章的學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備工作。

本章主要內(nèi)容有兩部分：第一部分勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明，運用勾股定理解

決簡單的實際問題；第二部分勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判定直

角三角形。

在本章的第一部分，利用學(xué)生熟悉的網(wǎng)格為背景，通過觀察分析、一般化等

思維活動，引導(dǎo)學(xué)生得到猜想一一勾股定理，利用面積計算法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的

方法證明勾股定理，利用勾股定理解決簡單的實際問題。第一部分利用兩個情景

2

提出了逆命題（逆定理）的概念，提出了一個定理的逆命題是否成立的問題；應(yīng)

用實例展現(xiàn)利用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形.

本章的教學(xué)重點是勾股定理、勾股定理的逆定理的內(nèi)容及其應(yīng)用；教學(xué)難點

是勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。

（三）學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)直角三角形三邊關(guān)系前，已經(jīng)通過測量、拼圖、折紙等活動，嚴(yán)

謹(jǐn)證明了三角形內(nèi)角和定理，學(xué)習(xí)了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，并能通過尺

規(guī)作圖等操作探索直角三角形全等的判定方法.學(xué)生推理意識的樹立以及活動經(jīng)

驗的積累，都為木章探究和證明勾股定理奠定了基礎(chǔ)。

八年級學(xué)生雖已具備一定的分析和歸納能力，但對用割補法計算圖形面積，

對復(fù)雜圖形變換的操作，驗證幾何命題及逆命題還有一定的困難。

大部分八年級學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、基礎(chǔ)知識積累，因此，在數(shù)

學(xué)作業(yè)分層設(shè)計過程中，首先掌握學(xué)生在學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)特點等方面的差異性，

根據(jù)不同情況將學(xué)生進(jìn)行分層，使不同能力的學(xué)生在最合適、最舒服的位置上充

分展現(xiàn)自己的學(xué)習(xí)能力，并向下一階段發(fā)展。我們可以在教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上結(jié)合

學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度、思維方式、數(shù)學(xué)意識等將全班同學(xué)劃分為A、B、C三個小組，

其中A組代表綜合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力相對較弱，理解、掌握能力等不足，學(xué)習(xí)態(tài)度

不積極的學(xué)生；B組代表綜合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力中等、學(xué)生態(tài)度較好、好學(xué)多問的學(xué)

生；C組代表綜合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力最強、學(xué)習(xí)態(tài)度良好、積極踴躍的學(xué)生。數(shù)學(xué)作

業(yè)分層設(shè)計的前提就是劃分學(xué)生、組建小組，只有對所有學(xué)生進(jìn)行全面了解，將

情況相似的學(xué)生組合在一起，才能在這一基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)、合理的作業(yè)設(shè)計并強

化作業(yè)的層次性。另外，學(xué)生分層并不是說一直維持原樣，要不間斷地根據(jù)學(xué)生

的變化重新劃分小組，在一定程度上小組的調(diào)整有利于推進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，積極努力

地向更高層次的小組邁進(jìn)，學(xué)生分層為后續(xù)的數(shù)學(xué)作業(yè)分層設(shè)計奠定了堅實基礎(chǔ),

是數(shù)學(xué)作業(yè)分層可行性的有力保障。

三、單元學(xué)習(xí)與作業(yè)目標(biāo)

1.了解勾股定理的相關(guān)歷史，知道歷史上證明勾股定理的方法。

2.理解勾股定理證明的必要性，體驗勾股定理的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生良好的

思維習(xí)慣。

3.掌握勾股定理，并會用勾股定理解決簡單實際問題。

4.了解勾股數(shù)，理解勾股定理的逆定理，會用勾股定理的逆定理判定直角三

角形，解決簡單的實際問題。

5.綜合運用勾股定理及勾股定理的逆定理、三角形的相關(guān)知識解決問題。

四、單元作業(yè)設(shè)計思路

（一）作業(yè)設(shè)計

1.分層作業(yè)設(shè)計。作業(yè)分層是基于學(xué)生分層，為不同情況的學(xué)生安排合適且

具有針對性的作業(yè)，以此最大限度地滿足學(xué)生差異需求。

每課時均根據(jù)學(xué)生分組情況設(shè)置三組作業(yè)：A組作業(yè)基本題，以了解新知主，

適合綜合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力相對較弱，理解、掌握能力不足，學(xué)習(xí)態(tài)度不積極的學(xué)生,

小組作業(yè)的完成方式鼓勵獨立完成與合作完成相結(jié)合；B類一一基礎(chǔ)題，比A類

題的難度稍大，以培養(yǎng)大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)能力為主，適合綜合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力中等，

學(xué)習(xí)態(tài)度較好，好學(xué)多問的學(xué)生；C類一一拓展題，針對綜合數(shù)學(xué)能力最強，學(xué)

有余力的同學(xué)，以提高思維能力，創(chuàng)新意識為目的。學(xué)生根據(jù)自身的實際水平，

選擇相應(yīng)類型的作業(yè)。

3

2.形式多樣：勾股定理及勾股定理的逆定理在數(shù)學(xué)問題和生活中的應(yīng)用較為廣泛,

每課時安排一些小組活動，安排了勾股定理的專題和數(shù)學(xué)活動，如小組合作，討

論，動手拼圖、制作海報等?，F(xiàn)代學(xué)生不僅要培養(yǎng)獨立解決問題的思維和能力，

還需要培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，設(shè)計每一次的小組活動中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中相互學(xué)

習(xí)共同成長。

（二）評價設(shè)計

L分層評價：有效的評價策略是推動學(xué)生高效學(xué)習(xí)的驅(qū)動力。因此，初中數(shù)

學(xué)教師還應(yīng)對評價進(jìn)行科學(xué)分層，積極挖掘?qū)W生的優(yōu)點。對于不同層次學(xué)生、不

同層次作業(yè)采取不同層次的評價策略。對于C組學(xué)生而言，由于其能力強、作

業(yè)難度高，當(dāng)C組學(xué)生可以正確解出答案時應(yīng)采用嚴(yán)格且具有鼓勵性的評，介，

鼓勵學(xué)生向更深層次的內(nèi)容探索；對于B組學(xué)生而言，能力適中、作業(yè)難度也

適中，適當(dāng)采取寬松的方式鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)難點知識；對于A組學(xué)生而言，由于其

基礎(chǔ)差、作業(yè)內(nèi)容較簡單，應(yīng)要求學(xué)生全部掌握，采用激勵性評價幫助學(xué)生建立

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，使其有勇氣向中等、高等難度的知識沖刺。

2.多維度評價：對于學(xué)生的作業(yè)不再以對錯作為唯一標(biāo)準(zhǔn)，從學(xué)生小組作業(yè)

的正確性、規(guī)范性、創(chuàng)新性及在小組活動的表現(xiàn)幾個維度。

3.同學(xué)互評：在小組作業(yè)的基礎(chǔ)上，參照小組活動中個人的表現(xiàn)，提出了小

組互評的環(huán)節(jié)，多元多維的評價，有利于學(xué)生更全面的發(fā)現(xiàn)和展示自我。

r“她柞就

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i性強Ug.

課時作業(yè)'

松：rirnms例外性互講

rfinw

-c?-

停經(jīng)：制的售0件.番妙好性STSK.小達(dá)互停

學(xué)生分組作業(yè)設(shè)計

微專翻?B,C?

數(shù)學(xué)活動assess停鐘⑶

單元族量檢潮蝕

4

A等,書寫工整整潔，過程規(guī)范。

答題的規(guī)范性B等，書寫工整，過程不夠規(guī)范。

C等，書寫不工整，過程不前規(guī)范。

AAA、AAB綜合評價為A等：ABB、BBB.AAC綜合評價為B等；其余情況

綜合評價等級

綜合評價為C等。

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖

第（1）題勾股定理的內(nèi)容，第（3）、（4）題考察學(xué)生對拼圖法證明勾股

定理的理解及應(yīng)用，第（2）、（4）中我國古代的勾股弦及趙爽弦圖，加強學(xué)生

對我國占代數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識，增強民族自信心。

第二課時勾股定理的應(yīng)用

1.作業(yè)內(nèi)容:

6

2.評價設(shè)計:

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真，作業(yè)獨立按時按量完成。

小組互評B等，學(xué)習(xí)態(tài)度一般，作業(yè)按時按量完成。

C等，學(xué)習(xí)態(tài)度不積極，作業(yè)存在拖沓或其他不良行為。

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等，書寫工整整潔，過程規(guī)范

答題的規(guī)范性B等，書寫工整，過程不夠規(guī)范

C等，書寫不工整，過程不夠規(guī)范

AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、AAC綜合評價為B

綜合評價等級

等；其余情況綜合評價為C等。

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖:

第（1）題在方格網(wǎng)中建立直角三角形利用勾股定理求格點線段的長度.第

（2）題利用勾股定理求樓梯的水平長度，樓梯鋪設(shè)的長度等于樓梯的水平長度

和高度之和，勾股定理的簡單實際問題。第（3）題運用勾股定理求出斜邊長，

根據(jù)三角形面積公式求出斜邊上的高。

第三課時勾股定理的逆定理

1.作業(yè)內(nèi)容：

建議用時：lOmin實際用時：min反思改錯欄

（1）概念回顧：

勾股定理的逆定理：如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三

邊的__________,那么這個三角形______________三角形.

（2）滿足a?+b2=c的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).寫出3組你

比較熟悉的兩組勾股數(shù)：①________:②________;③

（3）在解答“判斷由長為抵，2,g的線段組成的三角形是不是

直角三角形”一題時，小明是這樣做的.

7

解：設(shè)A=2，「=!，則/（%+不=甘#?=

68

所以由長為二，2,一的線段組成的三角形不是直角三保形。

§5

你認(rèn)為小明的做法正確嗎？請說明理由.

2.作業(yè)評價設(shè)計：

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，小組活動積極參與，學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真，作'也獨立按量完成。

小組互評B等，小組活動不參與，作業(yè)按時按量完成。

崎，小組活動不參與，作業(yè)未按時按量完成。

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整：答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等，書寫工整整潔，過程規(guī)范。

答題的規(guī)范性B等，書寫工整，過程不夠規(guī)范。

C等，書寫不工整，過程不夠規(guī)范。

AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、AAC綜合評價為B等;

綜合評價等級

其余情況綜合評價為C等。

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖:

第（1）題幫助學(xué)生回顧勾股定理的逆定理的內(nèi)容，第（2）題要求學(xué)生要熟

記常見的勾股數(shù)；第（3）題的設(shè)計是為了讓學(xué)生反思用勾股定理的逆定理判定

三角形形狀時候應(yīng)該要注意先對三角形的三條邊長進(jìn)行大小比較，若兩較短邊的

平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形。

8

第四課時勾股定理的逆定理的應(yīng)用

1.作業(yè)內(nèi)容：

建議用時：lOmin實際用時：min反思改錯欄

(1)將下列長度的三根木棒首尾順次相連，能組成直角三角形的是

A.1,2,38.2,3,4C.4,5,6D5,13,12

(2)△4BC中，若+BC1=AC2,則N___________=90。.

(3)小組活動：給你一根帶布?刻度的皮尺，你如何用它來判斷方桌面

的角是直角？小組成員內(nèi)合作完成.

2.評價設(shè)計：

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，小組活動積極參與，學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真，作業(yè)獨立按量完成。

小組互評B等，小組活動不參與，作業(yè)按時按量完成。

離，小組活動不參與，作業(yè)未按時按量完成。

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等，書寫工整整潔，過程規(guī)范

答題的規(guī)范性B等，書寫工整，過程不夠規(guī)范

C等，書寫不工整，過程不夠規(guī)范

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等,解法膽、路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

綜合評價等級

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖：

第(1)(2)題直接應(yīng)用勾股定理逆定理判定直角三角形，第(3)題應(yīng)用

勾股定理的逆定理解決實際問題。

（二）B組作業(yè)設(shè)計

第一課時勾股定理

1.作業(yè)內(nèi)容

建議用時：20min實際用時：min反思改錯欄

（1）直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊的長為（）

A2B.x/34C.4D.4或

、：/

??■?

第（2）題圖

-2-1012

（2）如圖，已知數(shù)軸二點P表示的數(shù)為?1,點A表示的數(shù)為1,

過點A作直線/垂直于PA,在I上取點B,使AB=1,以點P為圓心,

PB的長為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點C所表示的數(shù)為（）

4V5B5-1c5+1D-5+1

（3）已知：如圖，在人「中，AB=13,AC=20,BC=21,

AD±BC,垂足為點D.

①求BD、CD的長；②求?”“的面積.

A

第（3）題圖

（4）小組合作：制作一幅美麗的勾股樹.

2.作業(yè)評價設(shè)計:

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

10

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思、路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

A等，積極參與小組活動，能夠有條理地發(fā)達(dá)問題、提出解決問題

的方法，愿意傾聽別人的想法。

小組互評

B等，小組學(xué)習(xí)參與不夠積極，不表達(dá)自己對問題的想法。

C等，不參與小加活動

三個A及以上，綜合評價等級為A；兩個A,綜合評價等

綜合評價等級

價為B；其余情況為C。

教師評價

3.作業(yè)設(shè)計意圖

第（1）題考查勾股定理在未明確斜邊的情況下需要進(jìn)行分類討論，第（2）

題是勾股定理的應(yīng)用，運用勾股定理在數(shù)軸上或方格中找到表示無理數(shù)的點；第

（3）題數(shù)學(xué)結(jié)合利用勾股定理建立關(guān)于8?；?c的方程，解方程求出線段的

長，第（4）題利用勾股樹設(shè)計勾股樹，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，讓學(xué)生感受是數(shù)學(xué)

美。

第二課時勾股定理的應(yīng)用

1.作業(yè)內(nèi)容

建議用時：15min實際用時：min反思改錯欄

（1）如圖，一棵大樹在離地面3米處折斷，大樹頂部落在距離大樹

底部4米處的地面上（大樹粗度忽略不計），那么樹高是（）米.

A.7B.8C.9D.12

第（1）題圖第（2）題圖

（2）如圖，△A8C的頂點A,B,。在邊長均為1的正方形網(wǎng)格的

格點上，8OJ.4C于點Z）,則8。的長為（）

42&B3屏4-753逐

A.---n.----cC.---D/Z----

3455

（3）如圖，在Rt^ABC中，A8=9,=6,=90。，將△

八BC折疊，使點人與的中點O重合，折痕為MN,則線段8N的長為

11

（4）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》記錄一個問題，其大致意思說：

有一個水面邊長為10尺的正方形水池，中央生長有一個蘆葦，它漏出水

面部分高1尺，如果把它拉向最近的岸邊，蘆葦仍伸直而頂端恰好達(dá)到

岸邊的水面，求池水深和蘆葦?shù)拈L.（尺為當(dāng)時的計量單位，1尺］m）

2.作業(yè)評價設(shè)計:

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，芍過程不完整：答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程.

A等，學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真，作業(yè)獨立按時按量完成。

小組互評B等，學(xué)習(xí)態(tài)度一般，作業(yè)按時按量完成。

C等，學(xué)習(xí)態(tài)度不積極，作業(yè)存在拖沓或其他不良行為。

三個A及以上，綜合評價等級為A：兩個A,綜合評價等

綜合評價等級

價為B；其余情況為C。

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖

第（1）題考察勾股定理在生活實際中的簡答應(yīng)用，求折斷前樹的高度要考

慮兩部分之和；第（2）題是勾股定理在三角形中的應(yīng)用，利用割補法求出三角

形的面積，利用勾股定理求出邊AC的長度，根據(jù)三角形面積公式求出高的

12

長度。第（3）題在折疊問題中考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)利用勾股定理建

立一元二次方程求解問題。第（4）題為考查勾股定理的實際應(yīng)用問題，讓感受

中國古代數(shù)學(xué)文化。

第三課時勾股定理的逆定理

1.作業(yè)內(nèi)容

建議用時：15min實際用時：min反思改錯欄

（1）下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）

A.a=1.5,/?=2,c=2.5B.a::c=5:12:13

C.ZA+ZB=NCD^A:ZB:ZC=3:4:5

（2）如圖，方格中的點A,B稱為格點/網(wǎng)格線的交點，以AB為一邊

畫AABC,其中是直角三用形的格點C的個數(shù)為（）

C.5D.6

第（3）題圖

（3）如圖，在直角坐標(biāo)系中,以點A/3,“為端點的四條射線AB,AC,

AD,AE分別過點C(l,3),D(4,4),E(5,2),

zBAC/DAE.(填"=”或“<”)

(4)三角形的三邊長分別為2n2+2n,2n+1,2n2+2n+l(n>0)

則這個三角形是直角三角形嗎？說明你的理由。

2.作業(yè)評價設(shè)計:

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

13

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

A等，學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真：作業(yè)獨立按時按量完成。

小組互評B等，學(xué)習(xí)態(tài)度一般，作.業(yè)按時按量完成。

C等，學(xué)習(xí)態(tài)度不積極，作業(yè)存在拖沓或其他不良行為。

三個A及以上，綜合評價等級為A：兩個A,綜合評價等

綜合評價等級

價為B；其余情況為C。

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖:

第（1）題考查判斷直角三角形的方法，從隹的關(guān)系（兩角互余）和邊的數(shù)

量關(guān)系（勾股定理的逆定理）來判斷：第（2）題在方格中構(gòu)造以44為一?邊的

直角三角形，從A3為直角邊和A3為斜邊兩個角度來考慮；第（3）題連接BC,

DE,利用勾股定理的逆定理判斷兩個三角形的形狀，得出兩角的關(guān)系；第（4）

題利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形，給出了勾股數(shù)的一種公式。

14

第四課時勾股定理與逆定理綜合

1.作業(yè)內(nèi)容

建議用時：15min實際用時:反思改錯欄

（1）已知正整數(shù)〃，6,c（a＜匕＜c）為一組勾股數(shù)，則下列各組數(shù)一

定是勾股數(shù)的是（）

A〃+1,b+\,c+\B./,b2,c2

C.2a,2b,2cD.a-\,b-1,c-1

（2）如圖，P是等邊△ABC形內(nèi)一點，連接PAP及PC,PA：PB：

PC=3：4：5,以AC為邊在形外作△入P'CgAAPB,連接PP,,則以下結(jié)

論錯誤的是（）

A

A.△AP'C是正三角形

B.是直角三的形

C^APB=150o5-----------c

D.經(jīng)APC=135。

（3）小明向東走了80m后，沿著另一個方向乂走了60m,再沿第

三個方向走了100m回到原地.小明向東走80m后向方向走的.

（4）如圖所示的一塊地，已知AO=4〃7,CD=3w，經(jīng)4。。=90。，

AB=13〃?，BC=12〃?.求這塊地的面積.

15

2.作業(yè)評價設(shè)計：

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等,解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等,解法思、路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

A等,學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真，作業(yè)獨立按時按量完成。

小組互評B等，學(xué)習(xí)態(tài)度一般，作業(yè)按時按量完成。

C等，學(xué)習(xí)態(tài)度不積極，作業(yè)存在拖沓或其他不良行為。

三個A及以上，綜合評價等級為A；兩個A,綜合評價等

綜合評價等級

價為B；其余情況為C。

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖

第1題考查學(xué)生對勾股數(shù)的理解及運用，第2題、第3題、第4題考查勾股

定理及勾股定理逆定理的綜合運用o

16

（三）C組作業(yè)設(shè)計

第一課時勾股定理

1.作業(yè)內(nèi)容

卷以用時：20inin__________實際用時:min反思改錯欄

（1）已知I：在AABC中，AB=I3,AC=20,8c邊上的高為12.求△

ABC的周長和面積.

（2）小組合作:

在△48。中，BC-a,AC-b,AB-c.若NC-90°,如圖①，

根據(jù)勾股定理，得a?+b2=C2;若△ABC不是直角三角形，如圖②和③，

請你類比勾股定理，試猜想a?+b2與C2的關(guān)系，并證明，爾的結(jié)論。

①②③

2.作業(yè)評價設(shè)計:

乍業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程規(guī)范正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

A等，積極參與小組活動，能夠有條理地表達(dá)問題、提出解次問題

的方法，愿意傾聽別人的想法。

小組互評

B等，小組學(xué)習(xí)參與不夠積極，不表達(dá)自己對問題的想法。

C等，不參與小組活動。

2個A及以上，綜合評價等級為A；

綜合評價等級

1個A,綜合評價等價為Bo

17

教師評語

3.設(shè)計意圖：

第⑴題做出BC邊上的高則構(gòu)造出了直角三角形，因三角形的形狀不確定，

BC邊上的高可能在三角形的內(nèi)部或外部，分類討論的思想；第(2)題考查學(xué)生

對勾股定理的遷移運用，直角三角形中存在特殊的a?+b2=c2,銳角三角形及

鈍角三角形中的情況是否類似，激發(fā)學(xué)生求知欲和探索欲.

第二課時勾股定理的應(yīng)用

1.作業(yè)內(nèi)容：

建議用時：20min實際用時:nir^反思改錯欄

(1)閱讀下列材料，完成①②小題.③

在平面直角坐標(biāo)系中，已知X軸上兩點AXr,O；,BX2i,0的距離記：

作ABl=IXi—X2l,如昊AXG,y“，B(X2,y2)是平面上任意兩點，我

們是否有類似的結(jié)論呢？

問題①如圖1,平面上有兩點A3(,0],B(0,4],如何計算兩點之

間的距離AB呢？

問題②如圖2,平面上兩點做-1,2),B(5,-3),如何計算兩點

之間的距離AB呢？

問題一般地,平面上兩點AXllyi),BX*y2),如何計算兩點之

間的距離AB呢？

對于問題③，做AA'IX軸，BB'IX軸,垂足分別為A',B';做AAT

y軸，垂足分別為A”：做BCLAA',垂足分別為C,且延長BC交y軸

于點B”，則四邊形BB'A'C,ACB”A”是長方形。

.|CA|==

ICB|==

:.AB2=CA2+CBz|=_________________________________

|AB|=|CAz+||CB2|=_________________________________

18

這就是平面直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離公式

（2）小組合作：查閱資料，了解勾股定理的相關(guān)數(shù)學(xué)史，搜集勾

股定理證明方法，制作一份勾股定理的海報.

2.作業(yè)評價設(shè)計;

作業(yè)評價設(shè)計表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程規(guī)范正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，芍過程不完整：答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思赧有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

A等，枳極參與小組活動，能夠有條理地表達(dá)問題、提出解決問題

的方法，愿意傾聽別人的想法。

小組互評

B等，小組學(xué)習(xí)參與不夠積極，不表達(dá)白己對問題的想法。

C等，不參與小組活動。

2個A及以上，綜合評價等級為A；

綜合評價等級

1個A,綜合評價等價為

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖

平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式是利用勾股定理得出，讓學(xué)有余力的學(xué)生自己

動手去獲得，獲得數(shù)學(xué)知識，解決問題的快樂。第2題讓學(xué)生在查找資料過程中，對勾

股定理的歷史、發(fā)現(xiàn)、證明過程有一個全面的了解，拓展學(xué)生的知識面。

19

第三課時勾股定理的逆定理

1.作業(yè)內(nèi)容

建議用時：20min實際用時：3反思改錯欄

（1）如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA=6,PB=8,PC=10.

若將APAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△P'AB,求P'P的長和NAPB的度數(shù).

（2）小組合作：在下列表格中，已知aABC的三邊長分別為a,b,C.

（1）計算并填寫下表：

邊長（a<b<c）三邊間關(guān)系

2

abca2b2ca2+b2M+b2與c2（用“>,二

或v”）

①457

②6810

③6912

④567

⑤51213

⑥4810

569

（2）用尺規(guī)作出.上面各個三角形，觀察圖形，看看三角形中最長邊所對

的角是銳角、直角還是鈍角，對照上表最后一列關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)

律？

2.作業(yè)評價設(shè)計;

作業(yè)評價設(shè)計表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

20

A等，答案正確、過程規(guī)范正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整：答案不準(zhǔn)確，過程錯誤、

或無過程。

A等,解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法膽、路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思5備不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

A等，枳極參與小組活動，能夠有條理地表達(dá)問題、提出解決問

題的方法，愿意傾聽別人的想法。

小組互評

B等，小組學(xué)習(xí)參與不夠積極，不表達(dá)自己對問題的想法。

C等，不參與小組活動。

2個A及以上，綜合評價等級為A：

綜合評價等級

1個A,綜合評價等價為Bo

教師評語

3.作業(yè)設(shè)計意圖:

第（1）題由特殊的勾股數(shù)“6,8,10”聯(lián)想到直角三角形的判定，通過旋

轉(zhuǎn)三角形或構(gòu)造全等三角將PAPB,PC三邊組組合在一起構(gòu)造直角三角形，是勾

股定理的逆定理的綜合運用。第（2）題考查勾股定理的逆定理由特殊的三邊關(guān)

系a2+b2=c2判定三角形是直角三角形，拓展為一般情況下a?+b2與c2不相等時三

角形的形狀的判定，使得學(xué)生對勾股定理的逆定理有了更深的理解，對勾股定理

和勾股定理的逆定理由數(shù)到形、由形到數(shù)相互結(jié)合的應(yīng)用有了更全面的認(rèn)識。

第四課時勾股定埋及勾股定埋逆定埋的綜合應(yīng)用

1.作業(yè)內(nèi)容

建議用時：20min實際用時：min反思改錯欄

（1）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)H記，請仔細(xì)閱讀，并完

成相應(yīng)任務(wù).

工年X月二日星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有?塊如圖①所

示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線A8,現(xiàn)根據(jù)木板的情

況，要過A4上的一點C,作出的垂線，用鋸子進(jìn)行裁割，然而手頭

沒有直角尺，怎么辦呢？

21

A

辦法一：如圖①所示，可利用一把有刻度的直尺在48上量出

CD=30cm,然后分別以。，C為圓心，以50cm與40CM為半徑畫圓弧，

兩弧相交于點E，作直線CE,則〃CE必為90。.

辦法二：如圖②所示，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點

出M,N兩點，然后把木棒斜放在木板上，使點M與點C重合，用鉛筆

在木板上將點N對應(yīng)的位置標(biāo)記為點Q,保持點N不動，將木棒繞點N

旋轉(zhuǎn)，使點M落在48上，在木板上將點M對應(yīng)的位置標(biāo)記為點R.然后

將RQ延長，在延長線.上載取線段QS=MN,得到點作直線SC,則

ARCS=90..

我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢?我還有什么

辦法不用直角尺也能作出垂線呢？

任務(wù)：

（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是.

（2）根據(jù)“辦法二”的悚作過程，證明NRCS=90。.

（3）①尺規(guī)作圖：請在下圖的木板上，過點C作田A8的垂線（在

木板上保留作圖痕跡，不寫作法）

②說明你的作法所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實（寫出一個即可）.

（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊長及斜邊上的高分別為a,b及兒求

、工111

證：—+—=---

a2b2h2

22

2.作業(yè)評價設(shè)計:

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程規(guī)范正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性