第1頁/共1頁北京市朝陽外國語學(xué)校2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題2025.11（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，再由補集以及交集定義可得結(jié)果.【詳解】由題可知，易知，所以.故選：D2.已知命題，則為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件由含有一個量詞的命題的否定方法直接寫出p的否定判斷作答.【詳解】由題意得，因為全稱命題的否定是特稱命題，故則命題的否定是.故選：D3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出各個函數(shù)的定義域，代入判斷函數(shù)奇偶性，再判斷單調(diào)性，得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，，.對于A項，易知定義域為R，且，所以為偶函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增.故A正確；對于B項，定義域為R，且，所以不是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C項，定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，非奇非偶，故C錯誤；對于D項，定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故D錯誤.故選：A4.比較，，的大小關(guān)系，結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在中插入中間值進行比較.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，因為是增函數(shù)，所以，故；因為是減函數(shù)，所以，于是，即.故選：B.5.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A.向上平移1個單位長度 B.向下平移1個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】A【解析】【分析】把化簡為后可得平移方法.【詳解】因為即為，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向上平移1個單位長度即可，故A對B錯；對于C，把函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度后所得圖象對應(yīng)的解析式為，故C錯誤；對于D，把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度后所得圖象對應(yīng)的解析式為，故D錯誤；故選：A.6.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）的關(guān)系為，其中，k是常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，那么污染物減少需要花多少時間（精確到）？（，）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，據(jù)此可求污染物減少到需要時間.【詳解】由題設(shè)有，故，故，令，故，故，所以，故選：C.7.設(shè)，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷充分性，根據(jù)舉反例說明必要性不成立，即可得結(jié)論.【詳解】因為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故充分性成立；若，滿足，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.8.已知，，則下列不成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，，故可判斷B的正誤，結(jié)合基本不等式可判斷AC的正誤，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D的正誤.【詳解】因為，故，同理.由題設(shè)有，故，而，故即，故B必成立，對于A，由基本不等式可得，而，故等號不可取，故，故A必成立；對于C，，故C必成立；對于D，因為，故，，故不成立，故D不成立.故選：D.9.是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分段函數(shù)為增函數(shù)，保證每段都增，比較端點即可.【詳解】是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足，解得.故選：B.10.已知集合，若，且對任意的，，均有，則中元素個數(shù)的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知可得集合，由可知與異號或其中至少有一個為，通過列舉可得集合，即可求解.【詳解】因為集合，所以，由得，所以與異號或其中至少有一個為，又，，，所以滿足條件的集合或或或，所以集合中元素個數(shù)的最大值為.故選：.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）11.函數(shù)的定義域為______．【答案】且【解析】分析】根據(jù)分母不為以及根號里的被開方數(shù)要大于等于即可求出.【詳解】由題知，且.定義域為為且.故答案為：且【點睛】思路點睛：首先分母不能為，再根號里的被開方數(shù)要大于等于求交集.12.若函數(shù)的值域是，則實數(shù)取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】求出當(dāng)時，函數(shù)值的范圍，然后根據(jù)已知條件列出不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】當(dāng)時，，要使得函數(shù)的值域為，只需的值域包含于，所以，結(jié)合，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知方程的兩根一個比2大另一個比2小，則實數(shù)m的范圍是____________.【答案】【解析】【分析】利用分解因式求出方程的兩個根，再結(jié)合題意，列出不等關(guān)系求解即可.【詳解】方程，可得，故方程的兩個根分別為或.由于兩根一個比2大另一個比2小，故,解得，故答案為：.14.已知函數(shù)．若恒成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用恒成立的不等式分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最大值即可.【詳解】當(dāng)時，不等式，依題意，恒成立，而當(dāng)時，，當(dāng)且僅時取等號，因此.故答案為：15.若，滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】就、分類討論后可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，在上為減函數(shù)，故，當(dāng)時，有，符合題意；當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)即時，的圖象如圖所示：則存在，且，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：16.已知函數(shù)與，其中實數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意的與的圖象都只有一個公共點；③若與的圖象沒有公共點，則的取值范圍是；④當(dāng)與圖象有兩個公共點時，這兩個公共點橫坐標的差大于1．其中所有正確結(jié)論序號是___________．【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)題意，按的不同取值范圍，分類作圖，逐一判斷即可解出.【詳解】題意，分類作圖如下：（1）（2）（3）（4）當(dāng)時，，，兩函數(shù)的圖象只有一個交點，對于①，根據(jù)圖象，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以①正確；對于②，根據(jù)圖象，時，與的圖象僅有一個公共點，所以②正確；對于③，根據(jù)圖象，在時，與的圖象可能沒有交點，此時，解得，即的取值范圍是，所以③正確；對于④，根據(jù)圖象，在時，與的圖象可能有兩個交點，此時解得公共點橫坐標為，則兩個公共點橫坐標的差為，所以④錯誤.故答案為：①②③.三、解答題（共5小題，共70分）17.已知集合，.（1）分別求，；（2）已知集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，再由交、并補運算即可；（2）通過討論，即可求解.【小問1詳解】因為，所以，又，所以.【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以又，所以.綜上，.18.（1）；（2）.【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算；（2）根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算法則計算．【詳解】（1）．（2）．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷奇偶性，并加以證明；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）偶函數(shù)，證明見解析（3）或【解析】【分析】（1）由且求解；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；（3）將轉(zhuǎn)化為求解.【小問1詳解】由題意得：且，解得，所以函數(shù)定義域為；【小問2詳解】因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以為偶函數(shù)；【小問3詳解】，則，化簡得，解得或，故實數(shù)的取值范圍為或.20.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）如果對，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義進行判斷證明即可；（3）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性先求出函數(shù)的值域，再解不等式即可.【小問1詳解】因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以有，因為，所以；【小問2詳解】由（1）可知：，即，該函數(shù)單調(diào)遞增，理由如下：設(shè)是上任意兩個實數(shù)，且，即，，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問3詳解】由（2）可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，而函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，，所以在上的值域為，由恒成立，即，也就是，則，得，所以的取值范圍為.21.已知正整數(shù)，若正整數(shù)集的子集同時滿足條件①：對任意，存在唯一，使得；條件②：對任意整數(shù)，及任意，均存在，使得，則稱為“可表集合組”．（1）若，則是否為“7可表集合組”？說明理由，（2）若為“可表集合組”，求的最小值；（3）若為“15可表集合組”，求的最大值．【答案】（1）不是“7可表集合組”，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“7可表集合組”的定義可得，即可判斷結(jié)果；（2）先給出的例子，再根據(jù)“可表集合組”的定義結(jié)合反證法證明不符合題意即可；（3）先給出的例子，再根據(jù)“可表集合組”的定義結(jié)合反證法證明不符合題意即可.【小問1詳解】不是“7可表集合組”.因為，其元素中僅有一個奇數(shù)，則，若為偶數(shù)，則必為中兩個偶數(shù)元素之和，至少為，可得，所以不是“7可表集合組”．【小問2詳解】的最小值為7．首先給出的例子：令，可知則為“7可表集合組”．下面假設(shè)某個滿足題設(shè)要求，則對任意，存在，使得．注意到6表示為兩個不同正整數(shù)的和只能是，不妨設(shè)，因為對任意，存在，使得，注意到7表示為兩個不同正整數(shù)的和只能是，所以，注意到8表示為兩個不同正整數(shù)的和只能是，所以對任意，均有，與是“可表集合組”矛盾．所以假設(shè)不成立，綜上所述：的最