尺規(guī)作圖主講人：鄭 燕學(xué)校：北京市第八十中學(xué)學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教版）年級(jí)：九年級(jí)下學(xué)期初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目

標(biāo)1.能用尺規(guī)完成五種基本作圖，會(huì)利用基本作圖完成一些相關(guān)作圖；2.理解作圖的步驟和依據(jù)，積累幾何學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)；3.在設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖方案的過程中，提高分析和解決問題的能力，發(fā)展邏輯思維能力.初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖作圖工具：用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖.作圖依據(jù)：以定義、基本事實(shí)、定理為基礎(chǔ).要求：在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡.邏輯推理能力初中數(shù)學(xué)五種基本作圖作一條線段等于已知線段;作一個(gè)角等于已知角;作已知角的平分線;作已知線段的垂直平分線;過一點(diǎn)作已知直線的垂線.初中數(shù)學(xué)五種基本作圖1.作一條線段等于已知線段圖示作法依據(jù)O A P作射線OP；以點(diǎn)O為圓心，a為半徑作弧，交OP于點(diǎn)A.

OA即為所求作的線段.圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.初中數(shù)學(xué)2.作一個(gè)角等于已知角圖示作法依據(jù)PQBN

O’ M A1.以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線.分別交∠α的兩邊于點(diǎn)P，Q；2.畫一條射線O′A，以點(diǎn)O′為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′A于點(diǎn)M；3.以點(diǎn)M為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點(diǎn)N；4.過點(diǎn)N畫射線O′B. 則∠AO′B＝∠α

.初中數(shù)學(xué)3.作已知角的平分線圖示作法依據(jù)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于1

MN

的長(zhǎng)2為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；畫射線OP. 射線OP即為所求.三邊分別相等BN P的兩個(gè)三角形全等；全等三OM A角形的對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線.初中數(shù)學(xué)4.作已知線段的垂直平分線圖示作法依據(jù)分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于

1

AB的長(zhǎng)2為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；作直線MN. MN就是所求作的直線.與一條線段兩個(gè)端M點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，AB在這條線段的垂直N平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線.初中數(shù)學(xué)5.過一點(diǎn)作已知直線的垂線（點(diǎn)在直線外）圖示作法依據(jù)P任取一點(diǎn)M，使點(diǎn)M和點(diǎn)P在l的兩旁；以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作弧，交l于點(diǎn)A和B；分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于

1

AB的2長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)N；作直線PN. 直線PN就是所求作的垂線.與一條線段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)，ABl在這條線段的垂MN直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線.初中數(shù)學(xué)五種基本作圖作一條線段等于已知線段;作一個(gè)角等于已知角;作已知角的平分線;作已知線段的垂直平分線;過一點(diǎn)作已知直線的垂線.初中數(shù)學(xué)BAMCN作法：①作∠MBN

＝∠α；②在射線BM上截取BA＝m

，在射線BN上截取BC＝n

；③連接AC. 則△ABC即為所求.ABCαn分析：m例1 尺規(guī)作圖：已知兩邊及其夾角作三角形.已知：如圖，線段m，n，∠α.求作：△ABC，使∠ABC＝∠α，AB基＝本m作，圖BC2

＝n.基本作圖1初中數(shù)學(xué)例2 已知銳角∠AOB，如圖.在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作PQ

，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交

PQ于點(diǎn)M，N；(3)連接OM，MN.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )∠COM＝∠COD若OM＝MN，則∠AOB＝20°MN∥CDMN＝3CD初中數(shù)學(xué)例2 已知銳角∠AOB

，如圖.(1)在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作

PQ ，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；(2)分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交

PQ于點(diǎn)M，N；(3)連接OM，MN.用作圖語言給出已知條件初中數(shù)學(xué)A. ∠COM＝∠CODC. MN∥CDD. MN＝3CD(((√B. 若OM＝MN，則∠AOB＝20°√..√MN＜

3CD根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( D )初中數(shù)學(xué)例3

在一次數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個(gè)任務(wù)：尺規(guī)作圖“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”．同學(xué)們展開了積極的思考，給出了很多不同的作法.已知：如圖，直線l及直線l外一點(diǎn)A．求作：直線AD，使得AD∥l．A試一試，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出幾種不同的作圖過程，并嘗試證明你的作圖是正確的.

l 初中數(shù)學(xué)

l 例3

在一次數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個(gè)任務(wù)：尺規(guī)作圖“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”．同學(xué)們展開了積極的思考，給出了很多不同的作法.已知：如圖，直線l及直線l外一點(diǎn)A．求作：直線AD，使得AD∥l．思考1：結(jié)論是“兩直線平行”的基本事實(shí)、定理有哪些？ A同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；平行四邊形對(duì)邊平行；三角形的中位線平行于三角形第三邊；……初中數(shù)學(xué)例3

在一次數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個(gè)任務(wù)：尺規(guī)作圖“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”．同學(xué)們展開了積極的思考，給出了很多不同的作法.已知：如圖，直線l及直線l外一點(diǎn)A．求作：直線AD，使得AD∥l．

l A思考2：如何根據(jù)這些基本事實(shí)和定理設(shè)計(jì)作圖方案？初中數(shù)學(xué)例3

在一次數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個(gè)任務(wù)：尺規(guī)作圖“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”．同學(xué)們展開了積極的思考，給出了很多不同的作法.已知：如圖，直線l及直線l外一點(diǎn)A．求作：直線AD，使得AD∥l．

l A以下是幾名同學(xué)設(shè)計(jì)的作圖過程，根據(jù)作圖過程回答問題：用直尺圓規(guī)補(bǔ)全圖形；完成證明.初中數(shù)學(xué)小紅設(shè)計(jì)的作法作法：如圖，①在直線l

上取點(diǎn)B，C，連接AB

；②作∠ABC的平分線BE；③以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線BE于點(diǎn)D；④作直線AD

．直線AD為所求．ACBD

l E初中數(shù)學(xué)完成證明證明：∵BE平分∠ABC，∴∠

ABD

=∠

CBD．∵DA=BA，ACBD

l E（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

）．∴∠

ABD=

（∠ADB ）．∴

∠

CBD

=（∠ADB

）．∴

AD∥l(((初中數(shù)學(xué)小雅設(shè)計(jì)的作法和證明作法：如圖，①在直線l

上取點(diǎn)B，C，連接AB

；②作∠BAD

=∠

ABC,且使∠BAD與∠

ABC在AB的兩側(cè)

；③作直線AD

．直線AD為所求．

l D AB C證明：∵

∠BAD

=∠

ABC

，∴AD∥l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．初中數(shù)學(xué)小剛設(shè)計(jì)的作法作法：如圖，①在直線l上取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫半圓，交直線l于B，C兩點(diǎn)；②連接AB，以C為圓心，

AB

長(zhǎng)為半徑畫弧，交半圓于點(diǎn)D

；③作直線AD

．直線AD為所求．

lO C

A D B初中數(shù)學(xué)完成證明證明：連接AC，

DC，∵AB=CD，O C

A D B

l∴∠ACB=∠DAC（等弧所對(duì)的圓周角相等 ），∴

AD∥l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

）．((∴ AB=（

CD ），初中數(shù)學(xué)小亮設(shè)計(jì)的作法作法：如圖，①在直線l上取兩點(diǎn)B，C

；②以點(diǎn)A為圓心，

BC為半徑畫弧，以點(diǎn)C

為圓心，

AB為半徑畫弧，兩弧在直線l上方相交于點(diǎn)D；③作直線AD

．直線AD為所求．

l ABDC初中數(shù)學(xué)完成證明

l BDC證明：連接CD．∵

AB=（ CD ），BC=

（ AD ），∴

四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

）．A∴

AD∥l（平行四邊形對(duì)邊平行

）．初中數(shù)學(xué)作法：如圖，①在直線l上任取一點(diǎn)B，連接AB；②以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)C；③分別以點(diǎn)A，C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合）；④作直線AD．所以直線AD就是所求作的直線．小明設(shè)計(jì)的作法

l ACBD初中數(shù)學(xué)完成證明

l ACBD證明：連接CD．∵AD=CD=BC=AB，∴四邊形ABCD是（ 菱形 ）（四邊相等的四邊形是菱形

）．∴AD∥l（

菱形對(duì)邊平行 ）．初中數(shù)學(xué)例3

在一次數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個(gè)任務(wù)：尺規(guī)作圖“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”