大學(xué)物理B一參考系質(zhì)點(diǎn)時(shí)間和時(shí)刻

為描述物體的運(yùn)動(dòng)而選擇的標(biāo)準(zhǔn)物叫做參考系.1

參考系

選取的參考系不同，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)情況的描述不同，這就是運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性.

質(zhì)點(diǎn)是經(jīng)過(guò)科學(xué)抽象而形成的理想化的物理模型.目的是為了突出研究對(duì)象的主要性質(zhì),暫不考慮一些次要的因素.

如果我們研究某一物體的運(yùn)動(dòng)，而可以忽略其大小和形狀對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響，若不涉及物體的轉(zhuǎn)動(dòng)和形變，我們就可以把物體當(dāng)作是一個(gè)具有質(zhì)量的點(diǎn)（即質(zhì)點(diǎn)）來(lái)處理.

2

質(zhì)點(diǎn)3、時(shí)間和時(shí)刻任何物體的運(yùn)動(dòng)都是在時(shí)間和空間中進(jìn)行的，運(yùn)動(dòng)不能脫離空間也不能脫離時(shí)間。在物理學(xué)中把一個(gè)與過(guò)程對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔稱(chēng)為時(shí)間，而某一瞬時(shí)稱(chēng)為時(shí)刻。二坐標(biāo)系位置矢量運(yùn)動(dòng)方程位移1坐標(biāo)系與位置矢量*位矢的值為

確定質(zhì)點(diǎn)P某一時(shí)刻在坐標(biāo)系里的位置的物理量稱(chēng)位置矢量,簡(jiǎn)稱(chēng)位矢

.式中

、、

分別為x、y、z

方向的單位矢量.為了定量描述質(zhì)點(diǎn)的位置及其運(yùn)動(dòng)，必須在參考系中建立一個(gè)坐標(biāo)系，通常采用直角坐標(biāo)系位矢的方向余弦PP2

運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程分量式從中消去參數(shù)得軌跡方程

3

位移與路程BABA

經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔后,質(zhì)點(diǎn)位置矢量發(fā)生變化,由始點(diǎn)A指向終點(diǎn)B

的有向線段AB

稱(chēng)為點(diǎn)A

到B的位移矢量.位移矢量也簡(jiǎn)稱(chēng)位移.

位移的大小為BA所以位移

若質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng)，則在直角坐標(biāo)系中其位移為◎路程（）:質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度.又位移的物理意義A)

確切反映物體在空間位置的變化,與路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置.B）反映了運(yùn)動(dòng)的矢量性和疊加性.注意位矢長(zhǎng)度的變化位移與路程

（B）

一般情況,位移大小不等于路程.

（D）位移是矢量,路程是標(biāo)量.（C）什么情況？不改變方向的直線運(yùn)動(dòng);當(dāng)時(shí).討論

（A）P1P2

兩點(diǎn)間的路程是不唯一的,可以是或而位移是唯一的.三速度與速率

1

平均速度

在

時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

B,其位移為時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)的平均速度平均速度與

同方向.平均速度大小或BA2

瞬時(shí)速度

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向就是沿該點(diǎn)曲線的切線方向.

當(dāng)時(shí)平均速度的極限值叫做瞬時(shí)速度,簡(jiǎn)稱(chēng)速度當(dāng)時(shí),瞬時(shí)速率：速度的大小稱(chēng)為速率

若質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng),其速度為平均速率BA瞬時(shí)速率討論

一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于矢徑的端點(diǎn)處(x,y都是時(shí)間的參數(shù))，其速度大小為（A）（B）（B）（B）（C）（D）解（1）由題意可得速度分量分別為速度與軸之間的夾角

例1

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為其中（1）求時(shí)的速度.（2）作出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖.時(shí)速度為（2）運(yùn)動(dòng)方程由運(yùn)動(dòng)方程消去參數(shù)可得軌跡方程為0軌跡圖246-6-4-2246

例2

如圖所示,A、B兩物體由一長(zhǎng)為的剛性細(xì)桿相連,A、B兩物體可在光滑軌道上滑行.如物體A以恒定的速率向左滑行,當(dāng)時(shí),物體B的速率為多少？解建立坐標(biāo)系如圖,OAB為一直角三角形，剛性細(xì)桿的長(zhǎng)度l為一常量ABl物體A

的速度物體B

的速度ABl兩邊求導(dǎo)得即沿軸正向,當(dāng)時(shí)1）平均加速度B與同方向

.（反映速度變化快慢的物理量）

單位時(shí)間內(nèi)的速度增量即平均加速度2）（瞬時(shí)）加速度四加速度A加速度大小加速度加速度大小質(zhì)點(diǎn)作三維運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度為

嗎？

討論在Ob上截取有O問(wèn)嗎？

討論因?yàn)樗远齽蛩俾蕡A周運(yùn)動(dòng)所以★不論速度大小的變化還是速度方向的變化都會(huì)引起加速度求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類(lèi)基本問(wèn)題

一由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度；

二已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置,可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程.例1-1

一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=4t2,y=2t+3,其中x和y的單位是m,t的單位是s。試求(1)運(yùn)動(dòng)軌跡;(2)第一秒內(nèi)的位移;(3)t=0s和

t=1s

兩個(gè)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度.解:(1)由運(yùn)動(dòng)方程x=4t2,y=2t+3消去參數(shù)t得此為拋物線方程,即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線.(2)先將運(yùn)動(dòng)方程寫(xiě)成矢量形式當(dāng)t=0s時(shí),;t=1s時(shí),(3)由速度及加速度的定義得∴t=0s時(shí),

t=1s

時(shí),常量習(xí)題:一個(gè)質(zhì)量為5kg的質(zhì)點(diǎn)，在力的牽引下從原點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求任意時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的加速度、速度、位置矢量、動(dòng)量、力矩的矢量表達(dá)式。解:238tt+Δt第2節(jié)直線運(yùn)動(dòng)

直線運(yùn)動(dòng)中，位移、速度、加速度各矢量都在同一條直線上，可用“+”、“－”表示它們的方向。Oxxx+Δxx>0x<0運(yùn)動(dòng)方程：AB位移：速度：加速度：例1-3如圖所示，一個(gè)人在高為h的岸上以恒定的速率v0收繩拉小船靠岸，求小船運(yùn)動(dòng)到離岸x時(shí)的速度與加速度。xhO解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)繩長(zhǎng)為L(zhǎng)=L(t)則小船的坐標(biāo)L例1-6設(shè)某質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),在t=0時(shí)速度為v0,其加速度與速度的大小成正比而方向相反,比例系數(shù)為一常數(shù)k(k>0),試求速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式.解:得出微分方程積分得（2）此球體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)歷的路程有多長(zhǎng)？

習(xí)題有一個(gè)球體在某液體中豎直下落,其初速度為,它的加速度為問(wèn)（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后可以認(rèn)為小球已停止運(yùn)動(dòng),解：由加速度定義10第3節(jié)曲線運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)比直線運(yùn)動(dòng)更普遍、更復(fù)雜。1、運(yùn)動(dòng)的分解

一個(gè)實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)可以分解成幾個(gè)各自獨(dú)立進(jìn)行的分運(yùn)動(dòng)——運(yùn)動(dòng)的分解

空間上的曲線可以分解成三個(gè)相互正交方向的直線運(yùn)動(dòng)。平面曲線運(yùn)動(dòng)可分解為相互垂直的兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)。求斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程和最大射程已知時(shí)2、拋射體運(yùn)動(dòng)消去方程中的參數(shù)

得軌跡最大射程實(shí)際路徑真空中路徑

由于空氣阻力，實(shí)際射程小于最大射程.1）求射程求導(dǎo)2）上升時(shí)間t升：在最高點(diǎn)vy=03）拋射體所能到達(dá)的最大高度例1-7將一小球從坐標(biāo)原點(diǎn)處以一恒定初速率v0拋出，當(dāng)傾角θ為多大時(shí)，可使小球在x=2v02/(3g)處的y坐標(biāo)（高度）最大？此最大高度ym是多少？解：將x=2v02/(3g)代入拋射體軌道方程，有求極值：得出時(shí)，小球在要求位置的高度最大，可求出其值為AB3、圓周運(yùn)動(dòng)、法向加速度和切向加速度

在一般的速率圓周運(yùn)動(dòng)中，可將加速度矢量沿軌道切線方向和法線方向分解(1)圓周運(yùn)動(dòng)線量描述令A(yù)B∵△OAB∽△CDFCDF其中兩邊除以ΔtΔt→0時(shí),Δl→Δs(弧長(zhǎng))an的方向指向圓心——法向加速度合加速度其大小a與切線的夾角為◎當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度僅有方向的變化,所以任何時(shí)刻的加速度切向加速度減小增大★合加速度的方向不一定指向圓心,但一定指向軌道的凹向例1-8質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,其加速度與速度之間的夾角θ恒定,初速度為v0

,求質(zhì)點(diǎn)的速度v(t).解:由題知分離變量:積分(2)圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述定義平均角速度為x0RA質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)角速度為定義質(zhì)點(diǎn)的平均角加速度質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)角加速度角量與線量的關(guān)系x0RA線速度法向加速度切向加速度如時(shí),常量常量對(duì)于勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)=常量AB

例

如圖一超音速殲擊機(jī)在高空A時(shí)的水平速率為1940

km/h,沿近似于圓弧的曲線俯沖到點(diǎn)

B,其速率為2192

km/h,所經(jīng)歷的時(shí)間為3s,設(shè)圓弧的半徑約為3.5km,且飛機(jī)從A

到B

的俯沖過(guò)程可視為勻變速率圓周運(yùn)動(dòng),若不計(jì)重力加速度的影響,求:(1)飛機(jī)在點(diǎn)B的加速度;(2)飛機(jī)由點(diǎn)A到點(diǎn)B

所經(jīng)歷的路程.

解（1）因飛機(jī)作勻變速率運(yùn)動(dòng)所以和為常量.分離變量有AB已知：在點(diǎn)B

的法向加速度在點(diǎn)B

的加速度

與法向之間夾角α為已知：（2）在時(shí)間內(nèi)矢徑所轉(zhuǎn)過(guò)的角度為飛機(jī)經(jīng)過(guò)的路程為代入數(shù)據(jù)得AB4、一般曲線運(yùn)動(dòng)一般曲線運(yùn)動(dòng)（自然坐標(biāo)）其中曲率半徑

.★合加速度的方向一定指向軌道的凹向例1-9在高處將小球以水平速度v0拋出,求小球在任一時(shí)刻t的速率,切向加速度和法向加速度的大小.解:t時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)速率為切向加速度的大小為質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻加速度的大小a=g所以法向加速度的大小討論

對(duì)于作曲線運(yùn)動(dòng)的物體，以下幾種說(shuō)法中哪一種是正確的：

（A）切向加速度必不為零；（B）法向加速度必不為零（拐點(diǎn)處除外）；（C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零；（D）若物體作勻速率運(yùn)動(dòng)，其總加速度必為零；（E）若物體的加速度為恒矢量，它一定作勻變速率運(yùn)動(dòng).一時(shí)間與空間

在兩個(gè)相對(duì)作直線運(yùn)動(dòng)的參考系中，時(shí)間的測(cè)量是絕對(duì)的，空間的測(cè)量也是絕對(duì)的，與參考系無(wú)關(guān)，時(shí)間和長(zhǎng)度的的絕對(duì)性是經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)的基礎(chǔ).AB

小車(chē)以較低的速度沿水平軌道先后通過(guò)點(diǎn)A

和點(diǎn)B.地面上人測(cè)得車(chē)通過(guò)A、B

兩點(diǎn)間的距離和時(shí)間與車(chē)上的人測(cè)量結(jié)果相同.物體運(yùn)動(dòng)的軌跡依賴(lài)于觀察者所處的參考系*相對(duì)運(yùn)動(dòng)Ox’y’yxO’小車(chē)原來(lái)位于O,物體位于AABOxy為固定參考系（靜系S）O’x’y’為運(yùn)動(dòng)參考系（動(dòng)系S’）O’x’y’相對(duì)于Oxy的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為牽連運(yùn)動(dòng)設(shè)牽連速度為后來(lái)小車(chē)運(yùn)動(dòng)到O’,物體運(yùn)動(dòng)到B*2、位移關(guān)系P質(zhì)點(diǎn)在相對(duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)坐標(biāo)系中的位移S

系系

物體相對(duì)于S系位移物體相對(duì)于S’系位移牽連位移3、速度變換——牽連速度——相對(duì)速度——絕對(duì)速度再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)4、加速度關(guān)系若則

注意當(dāng)接近光速時(shí)，伽利略速度變換不成立！EW例1-10一個(gè)人騎車(chē)以18km/h的速率自東向西行進(jìn)時(shí)，看見(jiàn)雨點(diǎn)垂直下落。當(dāng)他的速率增至36km/h時(shí)，看見(jiàn)雨點(diǎn)與前進(jìn)的方向成120°角下落。求雨點(diǎn)對(duì)地面的速度。u2vv’2120

60°

v’1u1解：取地面為S系，騎車(chē)人為S’系，雨點(diǎn)為研究物體v’2例：1-11一輛汽車(chē)在雨中直線行駛，其速率為v1，下落雨滴相對(duì)地面的速度為v2

，方向偏向車(chē)前進(jìn)的方向與豎直線的夾角為θ。若車(chē)廂中的貨物比車(chē)廂長(zhǎng)出了l，車(chē)頂棚到貨物的高度為h，問(wèn)車(chē)速v1為多大時(shí)，貨物才不會(huì)被雨水淋濕？hv2’v1θαv2’v2v1θv2雨lαhv2’v1θαv2’v2v1θv2雨lα例1-10在離海關(guān)B為l遠(yuǎn)的A處,有一走私船正以速率v1沿與海岸線成θ角方向離開(kāi)海岸.為了截獲該船,海關(guān)同時(shí)派出速度大小為v2的快艇從港口出發(fā).(1)快艇與海岸線夾角α應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系;(2)截住走私船所需的時(shí)間.θαABlxy解7:取地面為S系,走私船為S’系,快艇為物體,則為絕對(duì)速度為牽連速度設(shè)為相對(duì)速度建立如圖坐標(biāo)系θαABxy要截住走私船,在相等時(shí)間內(nèi),兩船在垂直海岸線上的航程應(yīng)相等,即兩船在y方向上相對(duì)速度為零(2)將α代入v’x表達(dá)式所需時(shí)間θαAB

例

如圖示，一實(shí)驗(yàn)者A在以10m/s

的速率沿水平軌道前進(jìn)的平板車(chē)上控制一臺(tái)射彈器,此射彈器以與車(chē)前進(jìn)方向呈度角斜向上射出一彈丸.此時(shí)站在地面上的另一實(shí)驗(yàn)者B看到彈丸鉛直向上運(yùn)動(dòng),求彈丸上升的高度.A

B速度變換解地面參考系為S系平板車(chē)參考系為系彈丸上升高度解地面參考系為系，平板車(chē)參考系為

系A(chǔ)

B1-1已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：x=-10t+30t2，y=15t-20t2。式中x、y的單位為m，t的單位為ｓ。試求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向。

解(1)速度的分量式為當(dāng)t

＝0時(shí),

vox

＝-10m·ｓ-1,

voy

＝15m·ｓ-1,則初速度大小為設(shè)vo與x

軸的夾角為α,則α＝123°41′1-2一石子從空中由靜止下落，由于空氣阻力，石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測(cè)得其加速度a＝A-Bv，式中A、B為正恒量，求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程。解選取石子下落方向?yàn)閥

軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)由題意知

(1)用分離變量法把式(1)改寫(xiě)為將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有由此可知當(dāng),t→∞時(shí),為一常量,通常稱(chēng)為極限速度或收尾速度．

(2)(2)再由并考慮初始條件有1－3一艘正以v0勻速直線行駛的汽艇，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，得到一個(gè)與船速反向大小與船速平方成正比的加速度，即a＝

kv2，k為一常數(shù)，求證(1)船在t時(shí)刻的速度大小為v=v0/(kv0t+1)；(2)在時(shí)間t內(nèi)，船行駛的距離為x=[ln(kv0t+1)]/k(3)船在行駛距離x時(shí)的速率為v=v0e

kx.解：(1)分離變量得（2）由于v=dx/dt，所以：積分分離變量(3)1-4行人身高為h，若人以勻速v0用繩拉一小車(chē)行走，而小車(chē)放在距地面高為H的光滑平臺(tái)上，求小車(chē)移動(dòng)的速度和加速度。x解7：水平向左建立坐標(biāo)系l繩的速度等于車(chē)的速度如圖所示，速度方向水平向左hHv0vxlhHv0v加速度方向水平向左1-5質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為a=2+6x2

，a的單位為m/s2，x的單位為m。質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為10m/s，試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值。解：分離變量：積分得：由題知，時(shí)，∴∴1－8質(zhì)點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其路程按規(guī)律求t

時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；

t為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b？當(dāng)加速度達(dá)到b

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？運(yùn)動(dòng)，式中b、c為常數(shù)，求:解：（1）質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的速率切向加速度法向加速度故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2)要使a

＝b,由可得(3)從t＝0開(kāi)始到t＝v0/b時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為（2）法向加速度當(dāng)時(shí)，1-9已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：式中求：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（2）質(zhì)點(diǎn)的速度大??；（3）質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。為正的常量。解：（1）軌道方程為這是一條空間螺旋線。（2）（3）

1－10飛機(jī)以100m·s-1的速度沿水平直線飛行，在離地面高為100m時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)處。問(wèn)：（1）此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)下方前多遠(yuǎn)？（2）投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？（3）物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各為多少？(1)vyx（2）vyxθ（3）1-11一無(wú)風(fēng)的雨天,一列火車(chē)以v1=20m/s的速度勻速前進(jìn),車(chē)內(nèi)旅客看到窗外雨滴和垂線成750下落，求雨滴下落的速度v2。（設(shè)雨滴下落為勻速運(yùn)動(dòng)）。v’為相對(duì)速度v1v2750v1為牽連速度v2為絕對(duì)速度v’解：1-12升降機(jī)以加速度a0=1.22m/s2

上升,當(dāng)上升的速度為2.44m/s時(shí),有一螺帽自升降機(jī)的天花板脫落,天花板與升降機(jī)的底面距離2.74m,試求:(1)螺帽從天花板落到底面所需的時(shí)間;(2)螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子下降距離.y解:(1)以地面為靜系,升降機(jī)為動(dòng)系,根據(jù)有:hh’yh(2)

d解二:解兩飛機(jī)的速度關(guān)系如圖。設(shè)A機(jī)相對(duì)于B機(jī)的速度為vab,則