專題5.2平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用目錄目錄 1一、5年高考?真題感悟 2二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析 8【課程標(biāo)準(zhǔn)】 8【考情分析】 8【2026考向預(yù)測】 9三、知識點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實 9知識點(diǎn)1、平面向量的數(shù)量積 9知識點(diǎn)2、數(shù)量積的運(yùn)算律 9知識點(diǎn)3、數(shù)量積的性質(zhì) 9知識點(diǎn)4、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 10知識點(diǎn)5、向量中的易錯點(diǎn) 10四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破 11考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算 11考點(diǎn)2求平面向量的模 12考點(diǎn)3求平面向量的夾角 14考點(diǎn)4垂直與平行的坐標(biāo)表示 16考點(diǎn)5平面向量的最值問題 18五、必考題型?分層訓(xùn)練 21A、基礎(chǔ)保分 21B、綜合提升 25TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考?真題感悟1．（2025·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，.設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、坐標(biāo)計算向量的?！痉治觥肯雀鶕?jù)，求出，進(jìn)而可以用向量表示出，即可解出．【詳解】因為，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故選：D.2．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為，可得，即，可知等價于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“或”的必要不充分條件.故選：B.3．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【難度】0.65【知識點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、向量垂直的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.4．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、垂直關(guān)系的向量表示【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.5．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.6．（2025·全國二卷·高考真題）已知平面向量若，則【答案】【難度】0.94【知識點(diǎn)】坐標(biāo)計算向量的模、向量垂直的坐標(biāo)表示、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，因為，則，則，解得.則，則.故答案為：.7．（2024·天津·高考真題）已知正方形的邊長為1，若，其中為實數(shù)，則；設(shè)是線段上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值.【詳解】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則，又因為為中點(diǎn)，則，可得，又因為，可知：當(dāng)時，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點(diǎn)在線段上，設(shè)，且為中點(diǎn)，則，可得，則，且，所以當(dāng)時，取到最小值為；故答案為：；.8．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知,，求【答案】4【難度】0.94【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由題意得故答案為：49．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】用基底表示向量、用定義求向量的數(shù)量積、余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點(diǎn)，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.

10．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【難度】0.85【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析【課程標(biāo)準(zhǔn)】（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．（2）掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．（3）了解平面向量基本定理及其意義．（4）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．【5年考情分析】5年考情分析考題示例考點(diǎn)分析難易程度（簡單、一般、較難、很難）2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示簡單2024年新Ⅱ卷，第3題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律已知數(shù)量積求模垂直關(guān)系的向量表示簡單2023年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)簡單2023年新Ⅱ卷，第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律簡單2022年新Ⅱ卷，第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示簡單【2026考向預(yù)測】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨(dú)命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識的一個交匯點(diǎn)，務(wù)必引起重視．預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn)．三、知識點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實知識點(diǎn)1．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．③設(shè)，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．知識點(diǎn)2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．知識點(diǎn)3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，．特別地，或．④．⑤．知識點(diǎn)4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）知識點(diǎn)5、向量中的易錯點(diǎn)（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）當(dāng)時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．當(dāng)時，且時，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項，一般都是錯誤選項．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1、（24-25高三下·江蘇南通·期末）已知向量，滿足，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】向量夾角的計算、求投影向量【分析】利用向量夾角公式求出，再結(jié)合投影向量公式求解即可.【詳解】由向量的夾角公式得，由投影向量公式得在上的投影向量為，故D正確.故選：D例2、已知向量，滿足，，則．【答案】【難度】0.94【知識點(diǎn)】向量夾角的計算【分析】利用向量的相關(guān)知識，計算出，借助數(shù)量積公式計算即可.【詳解】結(jié)合題意：，所以因為，所以所以．故答案為：.【變式訓(xùn)練1】、已知是兩個單位向量，與的夾角為，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【難度】0.85【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求模【分析】根據(jù)向量模及數(shù)量積的計算公式計算即可.【詳解】因為是兩個單位向量，與的夾角為，所以，所以.故選：C【變式訓(xùn)練2】、（24-25高三下·天津·期末）已知；是夾角為的兩個單位向量，若向量在上的投影向量為，則實數(shù).【答案】2【難度】0.85【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、求投影向量【分析】由投影向量計算公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計算即得.【詳解】由題意可得向量在上的投影向量：，，即，，解得：故答案為：2考點(diǎn)2求平面向量的模例3、（24-25高二下·甘肅蘭州·期末）已知單位向量，滿足，則．【答案】【難度】0.85【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模【分析】由已知可求得，進(jìn)而利用可求模.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.例4、（24-25高二下·河北邢臺·期末）已知兩個單位向量的夾角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求?！痉治觥坷脭?shù)量積的定義及運(yùn)算律求解即得.【詳解】由單位向量的夾角的余弦值為，得，所以.故選：D【變式訓(xùn)練3】、（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）已知向量滿足，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模【分析】對兩邊平方求出，再對平方運(yùn)算可得答案.【詳解】因為，，所以，可得，則.故選：D.【變式訓(xùn)練4】、（24-25高二下·海南?？凇て谀┮阎蛄?，，若與的夾角為，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】已知數(shù)量積求?！痉治觥壳蟮茫缓笥嬎慵纯?【詳解】由題可知：，所以.故選：B考點(diǎn)3求平面向量的夾角例5、（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知向量，，，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計算、坐標(biāo)計算向量的?！痉治觥坷孟蛄康哪ｉL公式求出，結(jié)合求出，再利用向量數(shù)量積的定義求解夾角余弦值，最后結(jié)合夾角范圍求出夾角即可.【詳解】因為，所以由向量的模長公式得，因為，所以，即，得到，解得，設(shè)向量與的夾角為，而，故，因為，所以，故C正確.故選：C例6、（2025·四川巴中·三模）非零向量，滿足：，，則與夾角的余弦值為.【答案】/【難度】0.85【知識點(diǎn)】向量加法法則的幾何應(yīng)用、向量減法法則的幾何應(yīng)用、向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示【分析】根據(jù)向量的減法幾何意義將轉(zhuǎn)化為，再利用已知條件和判斷三角形的形狀，最后根據(jù)三角形形狀求出與的夾角.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，則，若，，即，且，則為等腰直角三角形，則與的夾角為，余弦值為.故答案為：.【變式訓(xùn)練5】、（2025·四川·模擬預(yù)測）已知向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示【分析】應(yīng)用向量垂直及數(shù)量積的運(yùn)算律得，再由向量的夾角公式求與的夾角.【詳解】由題設(shè)，則，所以，，所以.故選：B【變式訓(xùn)練6】、（2025·甘肅金昌·三模）已知向量，其中，為單位向量，且，則.【答案】/【難度】0.85【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計算【分析】求出后由夾角公式可求余弦值.【詳解】，同理，，故，故答案為：.考點(diǎn)4垂直與平行的坐標(biāo)表示例7、（2023·河南·二模）已知、不共線，向量，，且，則.【答案】【難度】0.85【知識點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)、利用平面向量基本定理求參數(shù)【分析】設(shè)，其中，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解之即可.【詳解】因為，所以，使得成立，即.因為、不共線，所以，所以，.故答案為：.例8、（2025·遼寧·三模）已知向量，向量在向量上的投影的數(shù)量為．若，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【難度】0.65【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示【分析】根據(jù)向量在向量上的投影及向量垂直，利用數(shù)量積運(yùn)算及向量的模計算即可.【詳解】因為向量在向量上的投影的數(shù)量為，所以，即，又，所以，又，所以，所以，解得，故選：A【變式訓(xùn)練7】、（多選題）若平面向量滿足，則（

）A． B．與的夾角為C． D．【答案】ACD【難度】0.65【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示、已知模求數(shù)量積【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及向量夾角公式逐項求解判斷.【詳解】對于A，由，得，而，解得，A正確；對于B，，而，則，B錯誤；對于D，，D正確；對于C，，又都是非零向量，因此，C正確.故選：ACD【變式訓(xùn)練8】、（2025·山東威?！と＃┮阎蛄繚M足，則與的夾角為．【答案】/【難度】0.85【知識點(diǎn)】向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示【分析】利用垂直向量的數(shù)量積為0可求得，然后由向量夾角公式可解.【詳解】因為，所以，得,因為，所以與的夾角為.故答案為：考點(diǎn)5平面向量中的最值問題例9、（2025·浙江紹興·二模）已知在四面體中，為等邊三角形，且，則與平面所成角正切值的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、線面角的向量求法【分析】在平面中過作，連接，根據(jù)題設(shè)中的數(shù)量積可得的軌跡為以為直徑的球面，故可求與平面所成角正切值的最大值.【詳解】在平面中過作，連接，則四邊形為平行四邊形，且，故與平面所成角即為與平面所成的角.而，故，故即即，故，不妨設(shè)的邊長為，則的軌跡為以為直徑的球面（除去平面中以為直徑的圓），如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在球面上且平面平面時，與平面所成的角最大且為，此時，故，故此時，故選：D.例10、（2025·廣東佛山·三模）如圖，已知矩形的邊長滿足，以為圓心的圓與相切于，則（

）A． B．C．8 D．【答案】A【難度】0.65【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】由，根據(jù)等面積可得，由及向量數(shù)量積幾何意義求解即可.【詳解】由已知條件可知，，因此．故．故選：A【變式訓(xùn)練9】、（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為.【答案】/【難度】0.65【知識點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、已知切線求參數(shù)【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再由直線與圓相切，可得的最大值．【詳解】因為，所以，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示：

由圖可知，當(dāng)與圓相切時，取得最大值，因為，，所以，即的最大值為．故答案為：【變式訓(xùn)練10】、（2025·河北·模擬預(yù)測）（多選題）已知平面向量，，若，則下列說法正確的是（

）A．與的夾角 B．C． D．在方向上的投影向量為【答案】AD【難度】0.65【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示、求投影向量【分析】根據(jù)數(shù)量積公式及題中條件即可判斷選項A，B；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及垂直的向量表示即可判斷選項C；根據(jù)在方向上的投影向量的計算公式即可判斷選項D.【詳解】∵，∴，∴.又，∴，故選項A正確；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故選項B錯誤；∵，∴，即，∴或，故選項C錯誤；在方向上的投影向量，故選項D正確.故選：AD.五、分層訓(xùn)練一、單選題1．若,且，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示【分析】利用向量垂直的充要條件和向量數(shù)量積的定義求得，再結(jié)合兩向量夾角的范圍即得.【詳解】由可得，解得，因，故.故選：B.2．（2025·北京大興·三模）已知平面向量，，若，則實數(shù)（

）A． B．1 C．或1 D．4【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、垂直關(guān)系的向量表示、利用向量垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出的值.【詳解】因為，所以.因為，所以所以.解得.故選：C.3．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）在中，，，，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【難度】0.65【知識點(diǎn)】向量加法的法則、數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示、已知模求數(shù)量積【分析】根據(jù)得出，再利用向量的線性運(yùn)算得出，即可求出.【詳解】因為，所以，即，所以，即，因為，則，則，所以.故選：C.4．（2025·廣東廣州·三模）已知向量不共線，與共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．2 C．6 D．【答案】A【難度】0.85【知識點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)【分析】由向量共線得到，求解即可.【詳解】因為與共線，所以，解得：，故選：A5．（2025·江蘇南通·三模）已知，為平面內(nèi)一組基底，，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則a的值為（

）A．2 B． C．0 D．1【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】向量加法的法則、已知向量共線（平行）求參數(shù)、用基底表示向量【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算求出，再由共線向量定理求解即可.【詳解】，，因為與共線，，故選：A．二、多選題6．（多選題）已知，是夾角為的單位向量，且，，則下列說法正確的是（

）．A． B．在方向上的投影向量為C． D．當(dāng)時，與的夾角為銳角【答案】AB【難度】0.65【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計算、求投影向量【分析】利用向量模的知識即可求解A；利用投影即可求解B；利用數(shù)量積即可求解C；當(dāng)時，與共線可求解D.【詳解】A：由，是夾角為的單位向量則，則對兩邊同時平方得，則，故A正確；B：在方向上的投影向量為，故B正確；C：由，，則，故C錯誤；D：當(dāng)時，，此時夾角不為銳角，故D錯誤；故選：AB.三、填空題7．