第九章立體幾何第五節(jié)空間兩條直線的位置關系職教高考一輪復習直擊高考考點考點解讀山東省近五年春季高考統(tǒng)計(題號)常考題型2020年2021年2022年2023年2024年2025年空間中兩條直線的位置關系①理解空間直線與直線的位置關系②掌握直線與直線平行、垂直關系的判定與性質③理解異面直線所成角，并會解決相關的簡單問題(19)(29)(27)(14)(20)(28)(28)選擇題解答題線線垂直線線垂直線線角異面直線概念線線垂直線線垂直線線角線線垂直線線平行本節(jié)考查直線與直線位置關系、空間平行關系。特別是異面直線概念及異面直線所成角的準確理解，注意加強計算能力與空間想象能力的訓練．知識梳理1．空間中兩條直線的位置關系位置關系共面情況公共點的個數相交在同一個平面內

平行在同一個平面內

異面不同在任何一個平面內100注意空間沒有公共點的兩條直線位置平行或異面2．平行直線公理4(平行線的傳遞性)：平行于同一條直線的兩條直線________．互相平行3．空間四邊形(1)空間四邊形：順次連接________的4點所構成的圖形稱為空間四邊形．其中4個點都是空間四邊形的頂點，連接__________________稱為空間四邊形的邊，連接不相鄰頂點間的線段稱為空間四邊形的________．(2)空間四邊形的表示：空間四邊形用表示頂點的4個字母表示，如圖9－5－1所示為空間四邊形ABCD.它的對角線為___________，邊為AB，BC，CD，DA.不共面相鄰頂點間的線段對角線AC，BD【注】①空間四邊形可以看成由一個四面體的4條棱構成的圖形．②空間四邊形（四面體）相對的棱是異面直線；正四面體相對棱互相垂直4．異面直線(1)異面直線：不同在________一個平面內的兩條直線．(2)異面直線的判定方法：與一個平面相交于一點的直線，和這個平面內______________的直線為異面直線．(3)異面直線所成的角：若a，b為異面直線，則經過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的________叫作異面直線a與b所成的角．任何不經過交點角【注】作異面直線所成的角時，為了方便，通常將點O取在兩條異面直線中的一條上，也就是說只需要平移另外一條直線即可．(4)異面直線所成的角θ的取值范圍：θ∈________．特別地，當θ＝

時，稱兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b.異面直線所成角關鍵找平行線，化歸為相交線成的平面角典例分析【知識要點1】

空間中兩條直線的位置關系【例1】有下列四個命題：①在空間中過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行；②既不平行，又不相交的兩條直線是異面直線；③兩兩互相平行的三條直線確定一個平面；④不同在任何一個平面內的兩條直線是異面直線．其中，正確命題的個數為(

)A．1B．2C．3D．4C【解析】本題考查空間中兩直線的位置關系的判定及應用．【舉一反三1】如圖9－5－2所示，已知空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點．有下列四個命題：①AC與BD是相交直線；②AB∥DC；③四邊形EFGH是平行四邊形；④EH∥BC.其中，真命題的個數是(

)A．4B．3C．2D．1【提示】

①錯誤，AC與BD是異面直線；②錯誤，AB與DC是異面直線；③正確；④錯誤，EH與BC是異面直線．故選D.D【知識要點2】

利用平行線的傳遞性證明線線平行【例2】如圖9－5－3所示，在正四棱錐P－ABCD中，點E，F分別是側棱PA，PB的中點．求證：EF∥CD.【解析】∵點E，F分別是側棱PA，PB的中點，∴EF∥AB.∵ABCD是正方形，∴AB∥CD.根據平行線的傳遞性可知，EF∥CD.【舉一反三2】

如圖9－5－4所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點D，E分別是AB，BC的中點．求證：DE∥A1C1.證明：∵點D，E分別是AB，BC的中點，∴DE∥AC.∵三棱柱的側面A1ACC1是平行四邊形，∴AC∥A1C1.根據平行線的傳遞性可知，DE∥A1C1.【解析】∵BC∥AD，∴∠DAD1是異面直線AD1與BC所成角，∵BB1＝BC＝1，∴∠DAD1＝

，∴AD1與BC所成角等于.∵AB∥CD，∴∠DCD1是CD1與AB所成角，【知識要點3】異面直線所成的角【例3】在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若棱BB1＝BC＝1，AB＝

，則AD1與BC所成的角等于________，CD1與AB所成的角等于________．【舉一反三3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中：(1)AB與B1C所成的角為________；(2)AD1與BD所成的角為________．【例4】如圖9－5－7所示，正三棱錐S－ABC的側棱長與底面邊長相等，若E，F分別為SC，AB的中點，則異面直線EF與SA所成的角為(

)A．B．C．D．C【舉一反三4】

如圖9－5－9所示，正四面體S－ABC中，D是SC的中點，則BD與SA所成的角的余弦值為________．【提示】

取AC的中點O，連接DO，BO(圖略)，則DO∥SA，所以∠BDO就是BD與SA所成的角或其補角．設正四面體S－ABC的棱長為2，則DO＝1，BD＝BO＝

，由余弦定理得cos∠BDO＝

＝.一、選擇題1．“兩條直線為異面直線”是“兩條直線沒有公共點”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A2．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系為(

)A．一定相交B．一定異面C．一定平行D．相交或異面D3．下列命題中，正確的是(

)A．過直線外一點可以作無數條直線與已知直線成異面直線B．過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直C．垂直于同一條直線的兩直線平行D．分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線A隨堂檢測活動設計：限時12分鐘，認真完成基礎練習選填題檢測4．空間兩條直線所成角的范圍是(

)A． B． C． D．A5．如圖所示，在三棱錐A－BCD中，點E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，若AC＝BD，則四邊形EFGH的形狀是(

)A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形B二、填空題6．如圖所示，在三棱錐A－BCD中，點P，R分別是AB，CD的中點，且AC＝4，BD＝

，PR＝3，則AC和BD所成角的大小為________．90°【提示】

取BC的中點Q，連接PQ，QR(圖略)，則PQ∥AC，QR∥BD，所以AC和BD所成的角即為∠PQR或其補角．因為PQ＝

AC＝2，QR＝

BD＝

，所以PQ2＋QR2＝PR2，所以∠PQR＝90°，故AC和BD所成角的大小是90°.7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與直線BA1成異面直線的棱有________條．68．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，面對角線A1D與AC所在直線的位置關系為________(選填“平行”“相交”或“異面”).成角

異面60°一、選擇題1．下列命題中，正確的是(

)A．若a，b是異面直線，b，c也是異面直線，則a，c是異面直線B．若a⊥b，b⊥c，則a⊥cC．若a∥b，b∥c，則a∥cD．若a，b是相交直線，b，c也是相交直線，則a，c是相交直線C2．“兩條直線分別在兩個平面內”是“兩條直線是異面直線”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B選做三、解答題6．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是AB的中點．求：(1)BA1與CC1的夾角；(2)A1E與CB1的夾角的余弦值．解：(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵CC1∥AA1，∴BA1與AA1所成的角就是異面直線BA1與CC1所成的角．∵AA1B1B是正方形，則∠BA1A＝45°，∴BA1與CC1的夾角為45°.(2)如圖所示，連接A1D，同(1)可得CB1∥DA1，∴∠EA1D為異面直線A1E與CB1的夾角，連接ED，設正方體的棱長為1，則在△