專項(xiàng)三概率與統(tǒng)計(jì)

考點(diǎn)2概率的實(shí)際應(yīng)用

大題拆解技巧

【母題】(2020年全國I卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)

者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一

場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中

一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝

的概率都為，

⑴求甲連勝四場(chǎng)的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

【拆解I】已知條件不變，求甲連勝四場(chǎng)的概率.

【解析】記事件M為“甲連勝四場(chǎng)”，則P(M尸(1)44.

216

【拆解2］已知條件不變，求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率.

【解析】記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，

則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率

P=P(ABAB)+P(ACAC)+PiBCBC)+P(BABA)=4x(1)4=-,

24

所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率

P=I-P'44

【拆解3】已知條件不變，求甲贏的概率.

【解析】記事件A為甲輸.事件B為乙輸，事件C為丙輸，事件D為甲贏，則甲贏的基本事件為

BCBC,ABCBC,ACBCB.BABCCBACBC.BCACB.BCABC.BCBAC,

所以甲贏的概率P(D尸(1)4+7x(?，囁

所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

【拆解4】已知甲贏的概率為白求丙最終獲勝的概率.

?54

【解析】記事件N為丙嬴因?yàn)榧宗A的概率為高由題意可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等,

所以丙贏的概率P(N)=1-2x^.

3216

小做變式訓(xùn)練

甲、乙、丙三人參加學(xué)?！霸┘文耆A''競(jìng)答游戲,活動(dòng)的規(guī)則為:甲、乙、丙三人先分別坐在

圓桌的A,B.C三點(diǎn)，第一憑從甲開始通過擲骰子決定甲的競(jìng)答對(duì)手，若點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則按逆時(shí)

針選擇乙，若是偶數(shù)，則按順時(shí)針選丙，下?輪由上?輪擲骰子選中的對(duì)手繼續(xù)通過擲骰子決

定競(jìng)答對(duì)手，如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)按逆時(shí)針選對(duì)手?，點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)按順時(shí)針選對(duì)手，已知每場(chǎng)競(jìng)答甲

對(duì)乙、甲對(duì)丙、乙對(duì)丙獲勝的概率分別為；，口甲、乙、丙之間競(jìng)答互不影響，各輪游戲

之間亦互不影響，若比賽中某選手累計(jì)獲勝場(chǎng)數(shù)達(dá)到兩場(chǎng)，則游戲結(jié)束，該選手為晉級(jí)選手.

?o\A

⑴求比賽進(jìn)行了三場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率；

(2)若比賽進(jìn)行了三場(chǎng)后結(jié)束，記甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【拆解1］已知條件不變，求比賽進(jìn)行了3場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率.

【解析】(1)甲贏兩場(chǎng)，分下面三種情況：

①第一場(chǎng)甲勝，第二場(chǎng)無甲，第三場(chǎng)甲勝，

概率^J-X-X-X-X-+-X-X-X-X-=—；

232232322318

②第一場(chǎng)甲輸，二、三場(chǎng)均勝，

概率為二乂及“幺(-x-+-x^)+-X-X-X-X(-X-+-X-)=—；

③第一場(chǎng)甲勝，第二場(chǎng)輸，第三場(chǎng)勝,

概率為押X器X(1xW)+衿泠(泠憐磊.

由互斥事件的概率加法公式可知，比賽進(jìn)行了三場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率為白￡+白冬

1818186

【拆解2］已知條件不變，若比賽進(jìn)行了三場(chǎng)后結(jié)束，甲場(chǎng)也沒有獲勝的概率.

【解析】若比賽進(jìn)行了三:場(chǎng)后結(jié)束，甲一場(chǎng)也沒有獲勝分兩種情況：

三場(chǎng)比賽中甲參加了一場(chǎng)，輸了，概率為:生少三;

三場(chǎng)比賽中甲參加了兩場(chǎng)、都輸了，概率為/xqx多了出x；x；x咨x|=(.

因?yàn)槿龍?chǎng)比賽甲都參加且都輸?shù)羰遣豢赡艿?，否則兩場(chǎng)比賽打不到三場(chǎng)，所以所求概率為

【拆解3】比賽進(jìn)行了三場(chǎng)甲贏兩場(chǎng)的概率為甲一場(chǎng)也沒有獲勝的概率為名.記甲獲勝的場(chǎng)

6144

數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解析】依題意，可得X的所有可能取值為0,12

由題意知P(X=2)=；,P(X=0)==.

故P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1/］筆

1446144

所以X的分布列為

X012

131071

P

1441446

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x擠

1441446144

通法技巧歸納

1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法：

(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.

⑵正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手的題目時(shí)，可從其對(duì)立事件入

手計(jì)算.

2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些

彼此互斥的事件的概率再求和;二是間接法，先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由P(A)=I-P(A)

求解.當(dāng)題目涉及“至多"“至少''型問題時(shí)，多考慮間接法.

突破實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

〈基礎(chǔ)過關(guān),

1.某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn),決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)

業(yè)，一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平.為此該地區(qū)旅游

部門,對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，下表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅

游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表.

老年人中年人青年人

滿意度

報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游

滿意121184156

一般2164412

不滿意116232

(1)由表中的數(shù)據(jù)分析可知，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇

報(bào)團(tuán)游？

⑵為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意''的自助游游客中，隨機(jī)

抽取2人征集改造建議，求這2人中有老年人的概率.

(3)若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？

【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)，可得老年人、中年人和青年人選擇報(bào)團(tuán)游的頻率分別為

VPi>P2>P3,

，老年人更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游.

(2)由題意得滿意度為“不滿意”的自助游人群中，老年人有1人，記為a,中年人有2人，記為b,c,

青年人有2人，記為d,e,

從中隨機(jī)抽取2人，基本事件有10個(gè)，分另IJ為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),

其中，這2人中有老年人包含的基本事件有4個(gè)，分別為?b),(a,c),(a,d),(a,e),

???這2人中有老年人的概率P=^=|.

(3)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得

報(bào)團(tuán)游的滿意率P產(chǎn)需巖|吟，

自助游的滿意率抵三，

O■Avi*4UJ

???P4>P5,???建議他選擇報(bào)團(tuán)游.

2.第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京和張家口舉辦，為了普及冬奧知識(shí)，京西某校組

織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了20名學(xué)生作為樣本，得

到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下：

分?jǐn)?shù)段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)122833I

我們規(guī)定60分以下為不及格;60分及以上至70分以下為及格;70分及以上至80分以下為良

好;80分及以上為優(yōu)秀.

(I)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少？

(2)將上述樣本統(tǒng)計(jì)中的頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中優(yōu)秀的

人數(shù)，求X的分布列與期望.

【解析】⑴記“恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀”的事件為A,則P(A尸仔-捺：

⑵抽到I名優(yōu)秀學(xué)生的概率P=摟W，X的所有可能取值為0,1,2,

P(X=0)V?2包噗

…用包以啖

Pg=圖源)2噎

故X的分布列為

X012

八1681

P———

252525

E(X)=0x身理+2x炭.

3.乒乓球是中國國球，它是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目.某中學(xué)為了鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛

煉，會(huì)定期地舉辦乒乓球競(jìng)賽.己知該中學(xué)高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的人數(shù)分別為

690,460,460,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取7人參加校內(nèi)終極賽.

(I)求該中學(xué)高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)參加校內(nèi)終極賽的人數(shù)；

(2)現(xiàn)從抽取的7人中再隨機(jī)抽取2人拍照做海報(bào)宣傳，求“抽取的2人來自同一年級(jí)”的概率.

【解析】(1)高一、高二、近三三個(gè)年級(jí)的人數(shù)分別為690,460,460,則分層抽取的人數(shù)比為3:

2：2,

因?yàn)?x^=3,7x^=2,

所以高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)參加校內(nèi)終極賽的人數(shù)分別為3,2,2.

⑵設(shè)抽取的7人中高一的3人分別用A,B,C表示,高二的2人分別用D,E表示,高三的2人分

別用F,G表不，

則從抽取的7人中再隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為

AB,AC,AD,AE,AF.AG,BC,BD,BE,BF,BG.CD,CE,CF,CG,DE,DF,DG,EF,EG.FG,共21種，

抽取的2人來自同一年級(jí)的所有結(jié)果為AB,AC,BC,DE,FG,共5種，

故”抽取的2人來自同一年級(jí)”的概率P*

4.受新冠肺炎疫情的影響,2020年一些企業(yè)改變了針對(duì)應(yīng)屆畢業(yè)生的校園招聘方式，將線下招

聘改為線上招聘.某世界五百強(qiáng)企業(yè)M的線上招聘方式分資料初審、筆試、面試這三個(gè)環(huán)節(jié),

資料初審?fù)ㄟ^后才能進(jìn)行筆試，筆試合格后才能參加面試，面試合格后便正式錄取，且這幾個(gè)

環(huán)節(jié)能否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙、丙三名大學(xué)生報(bào)名參加了企業(yè)M的線上招聘，并均已通

過了資料初審環(huán)節(jié).假設(shè)甲通過筆試、面試的概率分別為住;乙通過筆試、面試的概率分別為

靜丙通過筆試、面試的概率與乙相同.

(I)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)M正式錄取的概率；

⑵求甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率；

(3)為鼓勵(lì)優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作，企業(yè)M決定給報(bào)名參加應(yīng)聘且通過資料初

審的大學(xué)生一定的補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

參與環(huán)節(jié)筆試面試

補(bǔ)貼(元)10()200

記甲、乙、丙三人獲得的所有補(bǔ)貼之和為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】⑴設(shè)事件A表示“甲被企業(yè)M正式錄取“，事件B表示“乙被企業(yè)M正式錄取“、事件

C表示“丙被企業(yè)M正式錄取”，

則P(A)=；xl=lp(B)=P(C)=；xl=l

Zoo545

所以甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)M正式錄取的概率

P產(chǎn)P(A瓦+XB0麗C戶P(A)P(豆)-P?+P(X)P(B)P?+P(X)P(豆)P(C)=；x(1二)x(1二)+2x(1-；)

6336

(2)設(shè)事件D表示“甲、乙、丙三人都沒有被企業(yè)M正式錄取”，

則P(D)=P(X前尸p(x)p(m)pR)=(i-7)x(13)x(1-1)=4?,

63327

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率P2=l-P(D)=l-/=*

⑶依題意,X的所有可能取值為300,500,700,900,

P(X=300)=1x|xl=±

45Slo

P(X=500)亭11/1+21x/2x1制s，

P(X=700)=2x\|xVx|x|=^,

P(X=900)=1-x2-x2|=-2.

所以X的分布列為

X300500700900

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=300x=+500x3+700x9900x1=要(元).

1818993

〈能力拔高〉

5.甲、乙兩家物流公司都需要進(jìn)行貨物中轉(zhuǎn)，由于業(yè)務(wù)量了.大，現(xiàn)向社會(huì)招聘貨車司機(jī),其日工

資方案如下:甲公司底薪80元，司機(jī)每中轉(zhuǎn)一車貨物另計(jì)4元;乙公司無底薪，中轉(zhuǎn)40車貨物

以內(nèi)(含40車)的部分司機(jī)每車計(jì)6元，超出40車的部分司機(jī)每車計(jì)7元.假設(shè)同一物流公司

的司機(jī)一天中轉(zhuǎn)車數(shù)相同、現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名貨車司機(jī),并分別記錄其50天的

中轉(zhuǎn)車數(shù)，得到如卜頻數(shù)表：

甲公司司機(jī)中轉(zhuǎn)車數(shù)頻數(shù)表

中轉(zhuǎn)車數(shù)3839404142

天數(shù)101510105

乙公司司機(jī)中轉(zhuǎn)車數(shù)頻數(shù)表

中轉(zhuǎn)車數(shù)3839404142

天數(shù)51010205

⑴現(xiàn)從記錄甲公司的50天貨物中轉(zhuǎn)車數(shù)中隨機(jī)抽取3天的中轉(zhuǎn)車數(shù)，求這3天中轉(zhuǎn)車數(shù)都不

小于40的概率.

(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問題：

①記乙公司貨車司機(jī)日工資為X(單位:元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

②小王打算到甲、乙兩家物流公司中的一家應(yīng)聘,如果僅從日工資的角度考慮，清利用所學(xué)的

統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由.

【解析】⑴設(shè)“抽取的3天中轉(zhuǎn)車數(shù)都不小于40”為事件AMP(A尸等二言.

C50

⑵①設(shè)乙公司貨車司機(jī)日工資為X,日中轉(zhuǎn)車數(shù)為t,

則X=16t,t—40,

人」A(7t-40,t>40,

則X的所有取值分別為228,234,240,247,254,

其分布列為

X228234240247254

11121

P

1055510

/.E(X)=228x1+234X1+240X1+247X2+254X1=241.8.

''1055510

②設(shè)甲公司貨車司機(jī)日工資為Y,bl中轉(zhuǎn)車數(shù)為內(nèi)則Y=4戶80,

則Y的所有可能取值為232,236,240,244,248,

其分布列為

Y232236240244248

p13111

5105510

AE(Y)=232xl+236x-+249xl+244xl+248x—=238.8.

由E(X)>E(Y)知，若從日工資的角度考慮，小王應(yīng)該選擇乙公司.

6.某商城玩具柜臺(tái)元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送元

旦禮品.而每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶A,,A2,A3中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶

Bi,B2中的一個(gè).

(I)記事件一次性購買n個(gè)甲系列盲盒后集齊Ai,A2,Aa玩偶;事件R:一次性購買n個(gè)乙系

列盲盒后集齊BLBZ玩偶;求概率P(Ee)及P(F5).

(2)禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會(huì)，旦購買時(shí)、只能

選擇其中?個(gè)系列的?個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):第?次購買百盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為

占購買乙系列的概率為之而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為工購買乙

554

系列的概率為:;前?次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為"購買乙系列的概率

42

為去如此往復(fù)，記某人第n次購買甲系列的概率為Qn.

①求Qn；

②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)

該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).

【解析】(1)由題意可得，一次性購買6個(gè)甲系列盲盒的基本事件共有36種情況，

其中集齊A1,A3A3玩偶的個(gè)數(shù)可以分三類情況，

A|,A2,A3玩偶中，每個(gè)均有出現(xiàn)兩次，共鬣鬃鬣種；

Al,A2,A3玩偶中，一個(gè)出現(xiàn)一次,一個(gè)出現(xiàn)兩次，一個(gè)出現(xiàn)三次,共以髭種；

A|,A2,A3玩偶中，兩個(gè)出現(xiàn)一次，另一個(gè)出現(xiàn)四次，共的CA4種.

故P(EJ=C式式升30Az=20

根據(jù)題意，先考慮一次性購買5個(gè)乙系列盲盒沒有集齊Bi.Bz玩偶的概率，即P=*,

所以P(F5)=l-^=^.

1O

⑵①由題意可知,Ql=4,當(dāng)n>2時(shí),Qn=|(l-Qn」)+七n-l,

所以QnV=—(Qn-l-)

所以｛Qn-|｝是以一為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

所以

②因?yàn)槊刻熨徺I盲盒的100人都已購買過很多次，

所以對(duì)于每?個(gè)人來說，某天來購買盲盒時(shí)，可以看作n趨向無窮大，

所以購買甲系列的概率近似于假設(shè)用《表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則9B(100《),

所以E(滬100x|=40,即購買甲系列盲盒的人數(shù)的期望為40,

所以禮品店應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒40個(gè)，乙系列盲盒60個(gè).

〈拓展延伸〉

7.202()年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)T作的

意見》(也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”)，《意見》宣布:2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行

強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔

尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)

節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目，且每門科目是否通過相互獨(dú)立.若某

考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為今該考生報(bào)考乙大學(xué),每門科目通過的概率依次為

其中0<m<l.

63

⑴若分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；

⑵強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更有希望通過乙大學(xué)的筆試時(shí)，求m的取值范圍.

【解析】(1)設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件A,則P(A尸禺(1)(1)2=1，

該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件B,則P(B尸;x(1)2+3河x2年二高

636335418

⑵設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)通過的科目數(shù)為X,根據(jù)題意可知,X~B(3，)，則X的數(shù)學(xué)期望

E(X)=3x衿

設(shè)該考生報(bào)考乙大學(xué)通過的科目數(shù)為Y

則P(Y=O)=1x|(l-m)=^(l-in),

o31b

P(Y=1)=沁l-m)-4x^(l-m)+\x；rn=9；m,

63b36oloo

I91

P(Y=3)=沁m=\m,

639

所以隨機(jī)變量Y的分布列為

Y0123

1111

PQ-m)一--m-m

183929

故Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)ejm+9m+：m=4+m,

lo393o

因?yàn)樵摽忌邢Ｍㄟ^乙大學(xué)的筆