大學(xué)（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)）高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2026年階段測(cè)試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案填入括號(hào)內(nèi)）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-2}$的定義域是（）A.$x\neq2$B.$x\gt2$C.$x\lt2$D.$x\geq2$2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列函數(shù)中與$x$等價(jià)的無(wú)窮小是（）A.$\sin2x$B.$1-\cosx$C.$\ln(1+x)$D.$e^x-1$3.已知函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，且$f^\prime(x_0)=2$，則$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=$（）A.2B.4C.0D.14.曲線$y=x^3-3x^2+1$的拐點(diǎn)是（）A.$(0,1)$B.$(1,-1)$C.$(2,-3)$D.$(3,1)$5.函數(shù)$f(x)=\int_{0}^{x}t^2dt$，則$f^\prime(1)=$（）A.1B.2C.3D.46.設(shè)$f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$\int_{0}^{1}f(x)dx=a$，則$\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}f(x)f(y)dy=$（）A.$a^2$B.$\frac{a^2}{2}$C.$a$D.$\frac{a}{2}$7.向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec=(2,-1,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.1B.2C.3D.48.平面$2x+3y-z=0$的法向量是（）A.$(2,3,-1)$B.$(2,3,1)$C.$(-2,-3,1)$D.$(-2,3,1)$9.冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂半徑是（）A.1B.2C.3D.410.微分方程$y^\prime+2y=0$的通解是（）A.$y=Ce^{-2x}$B.$y=C\sin2x$C.$y=C\cos2x$D.$y=Ce^{2x}$二、填空題（總共5題，每題4分，請(qǐng)將答案填在橫線上）1.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x,&x\gt0\end{cases}$，則$f(f(-1))=$______。2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=$______。3.函數(shù)$y=x^3-3x$在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值是______。4.$\int_{0}^{1}e^xdx=$______。5.已知向量$\vec{a}=(m,2,1)$，$\vec=(2,n,-2)$相互垂直，則$mn=$______。三、判斷題（總共5題，每題2分，請(qǐng)判斷下列命題的真假，在括號(hào)內(nèi)填“√”或“×”）1.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)\gt0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立。（）2.若$f(x)$是奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$（$a\gt0$）。（）3.兩個(gè)向量的數(shù)量積大于0，則這兩個(gè)向量夾角為銳角。（）4.冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂。（）5.微分方程$y^{\prime\prime}+y=0$的解是周期函數(shù)。（）四、簡(jiǎn)答題（總共3題，每題10分，請(qǐng)簡(jiǎn)要回答下列問(wèn)題）1.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的定義，并舉例說(shuō)明如何利用定義證明函數(shù)極限。2.請(qǐng)說(shuō)明羅爾定理的條件和結(jié)論，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用。3.如何求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)？請(qǐng)結(jié)合一個(gè)具體例子進(jìn)行說(shuō)明。五、計(jì)算題（總共3題，每題10分，請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程）1.求函數(shù)$y=\frac{x^2+1}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx$。3.已知向量$\vec{a}=(1,1,-1)$，$\vec=(2,-1,1)$，求向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角。答案：一、選擇題1.A2.C3.B4.B5.A6.B7.A8.A9.A10.A二、填空題1.52.33.24.$e-1$5.0三、判斷題1.×2.√3.×4.√5.√四、簡(jiǎn)答題1.函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$\epsilon$（無(wú)論它多么?。?，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿足不等式$0\lt|x-x_0|\lt\delta$時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|\lt\epsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時(shí)的極限。例如證明$\lim\limits_{x\to1}(2x+1)=3$，按定義找到合適的$\delta$即可。2.羅爾定理?xiàng)l件：函數(shù)$f(x)$滿足在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$。結(jié)論：在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$\xi$，使得$f^\prime(\xi)=0$。應(yīng)用：如$f(x)=x^2-2x+1$在$[0,2]$上，驗(yàn)證滿足條件，可得$f^\prime(x)=2x-2$，令$f^\prime(x)=0$，解得$x=1\in(0,2)$。3.求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，對(duì)某一變量求偏導(dǎo)，將其他變量視為常數(shù)。例如$z=x^2y+3y^2$，求$\frac{\partialz}{\partialx}$時(shí)，把$y$看作常數(shù)，得$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy$；求$\frac{\partialz}{\partialy}$時(shí)，把$x$看作常數(shù)，得$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+6y$。五、計(jì)算題1.對(duì)$y=\frac{x^2+1}{x-1}$使用除法求導(dǎo)公式$(u/v)^\prime=(u^\primev-uv^\prime)/(v^2)$，$u=x^2+1$，$u^\prime=2x$，$v=x-1$，$v^\prime=1$，則$y^\prime=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)\times1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$。2.$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\sin\pi-(0-\frac{1}{2}\sin0)