7.4三角函數(shù)應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)數(shù)學(xué)抽象：實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型問(1)會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題.

題：(2)體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函

(2)數(shù)據(jù)分析：分析、整理、利用信息，從實(shí)際數(shù)模型.

問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模

(3)數(shù)學(xué)建模：體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的

實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生的建模、分

析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.

思維導(dǎo)圖

振幅

周期

函數(shù)y=Asin(3x+(p)(A>0,3>0)中,

■.頻率

A,3,(p的物理意義

相位

初相

三角函數(shù)模型的應(yīng)用

知識清單

知識點(diǎn)01函數(shù)y=Asin(3%+°)(A>0,3>0)中，A,(o,Q的物理意義

1、簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是4.

2、簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T=3.

co

3、簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率/=!=—.

T2乃

第1頁共47頁

4、〃戲+0稱為相位.

5、x=0時(shí)的相位0稱為初相.

【即學(xué)即練1】已知正弦交流電i（單位：A）與時(shí)間，（單位：S）的函數(shù)關(guān)系為

i=220sinl（X）m+g,求電流的峰值、周期、頻率和初相位.

k6）

【解析】:正弦交流電/=220sin（100加+蕓

，電流i的峰值是220,

周期是T=—=0.02,

100乃

頻率是/'=，=一!一=50,

T0.02

初相位是g.

6

知識點(diǎn)02三角函數(shù)模型的應(yīng)用

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界E周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)

律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著卜分重要的作用.實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技

術(shù).

1、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟

（1）建模問題步驟：審讀題意T建立三角函數(shù)式一根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值T解決實(shí)際問題.

（2）建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三

角函數(shù)式.

2、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式

（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問題.

（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題.

（3）整理一個(gè)實(shí)際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變

化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來解決問題.

3、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點(diǎn)

（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫實(shí)際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍.

（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識來理解.

【即學(xué)即練2］（2023?湖南?高一校聯(lián)考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又

環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖

是一個(gè)半徑為6m的簡車，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為3m,每2分鐘逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一圈.筒車上的

一個(gè)盛水筒夕（視為質(zhì)點(diǎn)）從水中浮現(xiàn)（圖中點(diǎn)A）時(shí)開始記時(shí)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，將P到水面距

離y（m）表示為時(shí)間f（s）的函數(shù)y=/（，），則/（/）=.

第2頁共47頁

【解析】由題意周期丁=2x60=120秒，所以角速度。二商：—(rad/s),

60

當(dāng)經(jīng)過時(shí)間，秒。之0),質(zhì)點(diǎn)尸從A運(yùn)動(dòng)到如圖M所在位置,如圖，

因?yàn)樗嚢霃?4=6米，水車中心離水面距離47=3米,

所以NAOC=巴，ZMOB=-t--f

6606

所以P到水面距離y=6sin償"外+AC=6sin(冬一外

\00O)\oUo)

即/0)=6sin+3(120),

606)

故答案為:6sin冬-〈+3“N0)

\o0o7

題型精講

第3頁共47頁

例2.（2023?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期末）如圖，一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，即電壓U（單位:

V）和時(shí)間/（單位：s）滿足（7=3114】3+。）［。>0,|同〈外在一個(gè)周期內(nèi)，電壓的絕對值超過目的

2

【解析】由已知7=0.02,0=盤=100兀，。=0,

0.02

L/=31lsin(100^).

在區(qū)間［0,0.02］內(nèi),令311sinOOOM=手,100處成或100加=詈

口［得.—，乙=---=---;

'6002600120

同理令311sin（100乃。=一絲，可得右=工，4=工.

2600600

綜上，電壓的絕對值超過半的時(shí)間為2x（白-焉］=1（s）.

乙\kJvzV//，J

故答案為：-s.

例3.（2023?北京西城?高一北京師大附中校考期中）從本質(zhì)上來講，聲音實(shí)際上是一種簡諧振動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)

械波，也稱聲波.聲音兩個(gè)最主要的要素：響度和音調(diào)，分別由振動(dòng)的振幅和頻率刻畫.其中最基本的聲波

就是簡諧振動(dòng)所產(chǎn)生的正弦波.純音是以某個(gè)固定頻率進(jìn)行簡諧振動(dòng)所產(chǎn)生的聲波，旦純音的函數(shù)可以表示

為：y=Asin（2myx）,其中A>0,3>0,則這個(gè)函數(shù)的頻率/為（寫出表達(dá)式即可）（注：頻

率是周期的倒數(shù)）一般說的do,「e,mi,fa,SO,la,si又是什么呢？這些唱名是音調(diào)的一種記法，音

O-69

調(diào)P與頻率/之間的關(guān)系為了n皿OxZ，?已知標(biāo)準(zhǔn)音la（也是純吾）的音調(diào)為。=69,那么標(biāo)準(zhǔn)音la對

應(yīng)的函數(shù)中.已知標(biāo)淮音do和標(biāo)準(zhǔn)音la的頻率比為3:5,那么標(biāo)準(zhǔn)音d。的音調(diào)為.

（取lg2=0.30,1g3=0.48,結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）.

【答案】氫k碎440攵年工0）60.20

【解析】已知：最小正周期丁=3=,，故周期為或仕工0）,故/=?（4"））,

2^a）cocok

69-69

當(dāng)夕=69時(shí)，y-4,40x2~^~-440,~440A:

第5頁共47頁

因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)音do的頻率和標(biāo)準(zhǔn)音la的頻率比為3:5,

3

所以標(biāo)準(zhǔn)音do的頻率為］x440=264,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)音do的音調(diào)為P-

則440x2^=264'

p,-69^1g3-lg5

解得:「產(chǎn)60.20

12-lg2

故答案為：@(AwO),440々(攵工0),60.70

K

變式1.(2023?高一課時(shí)練習(xí))電流/(A)隨時(shí)間/(s)變化的函數(shù)/=4sin(&+0)(A>O,@>O)的圖象如圖

7

所示，則/=77ZS時(shí)的電流為.

【答案】0(A)

【解析】由函數(shù)的圖象可得A=100,吟十篇擊，故

而/島卜。。，故W2^+9=X+2版&eZ,

3002

jWW(p=—+2k7r,keZ,故/(f)=100sin100加+￡],

66；

lOOsin100,x2_J

故/+

120

故答案為：0(A).

變式2.(2023?上海嘉定?高一上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥?如圖，彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，它在，

秒時(shí)相對于平衡位置(即靜I卜時(shí)的位置)的高度〃厘米滿足下列關(guān)系：/?=2sin(/+。y0?),則每

秒鐘小球能振動(dòng)次.

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一一_力=0平衡位置

【答案】上

2不

【解析】函數(shù)〃=2sin（f+J閆0,同的周期丁=21，故頻率為一

所以每秒鐘小球能振動(dòng)上次.

2萬

故答案為：--.

2乃

變式3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如果音叉發(fā)出的聲波可以用函數(shù)f（x）=（）.（X）lsin420;rx描述，那么音叉聲波

的頻率是.

【答案】210

【解析】由題可得音叉聲波的周期為7=備，乃=三I，所以音叉聲波的頻率為/=怖1=210.

420乃210T

故答案為：210.

【方法技巧與總結(jié)】

處理物理學(xué)問題的策略

（1）常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性.

（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的

三角函數(shù)知識結(jié)合解題.

題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

例4.（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）某地為發(fā)展旅游業(yè)，在旅游手冊中給出了當(dāng)?shù)匾荒昝總€(gè)月的月平均氣溫

表，根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)，試用y=Asin（〃+0）+人近似地?cái)M合出月平均氣溫），（單位：C）與時(shí)間［（單

位：月）的函數(shù)關(guān)系，并求出其周期和振幅，以及氣溫達(dá)到最大值和最小值的時(shí)間.（答案不唯一）

35

30

I2345678910II12i/fi

第7頁共47頁

【解析】不妨設(shè)A>O,0>。，由圖象可知/=1時(shí)，ymin=15,當(dāng)[=8時(shí)，=27,

結(jié)合圖象可知A=0——=6,T=2x(8—1)=14=—=>69=—,b=~~—=21,

2'/①72

又當(dāng)1=8時(shí)，y=6sinyx8+^>j+21=27=>sin+0)=1=>0=一需+2而(462),

不妨令右一畜

故），=6sin（?-魯）+21,周期為14,振幅為6,1月取得最小值15,8月取得最大值27.

例5.（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）某昆蟲種群數(shù)量1月1日低到70（）只，其數(shù)量隨著時(shí)間變化逐漸增加,

到當(dāng)年7月1日高達(dá)900只，其數(shù)量在這兩個(gè)值之間按正弦曲線規(guī)律改變.

⑴求出這種昆蟲種群數(shù)量y（單位：只）關(guān)于時(shí)間/（單位：月）的函數(shù)解析式；

（2）畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.

【解析】（1）設(shè)尸Asin（d+0）-。,（人>0,/>0）,

4+8=900,A=100Tn,,兀

由題意x,小，解得Asn，且三=一=6,解得

又因?yàn)楫?dāng)，=1時(shí)，），=爾而（4+8）+力,（4>0,0>0）取最小值，

所以￥xl+e=—色+2kjt,keZ,由9=一@+2kn,k€Z,

623

可取°=一|，所以y=IOOsin（-r--1+800；

63J

（2）列表：

t01471012

n2兀2兀nit4n

-t------071

63T-22T

y800-5()737(M)80090()800800-50V3

作出函數(shù)性象如下：

八"只

900...........

800……/??]\

70卜4……r.?…4

~~0~\~~4~7~~1012//^

例6.（2023?全國?百一隨堂練習(xí)）北京天安門廣場的國旗每天是在日出時(shí)隨太陽升起，在日落時(shí)降旗.請

根據(jù)年鑒或其他參考資料，統(tǒng)計(jì)過去一年不同口期的日出和日落時(shí)間.

（1）在同一直角坐標(biāo)系中，以日期為橫軸，畫出散點(diǎn)圖，并用曲線去擬合這些數(shù)據(jù)，同時(shí)找到函數(shù)模型：

第8頁共47頁

（2）某同學(xué)準(zhǔn)備在五一長假時(shí)去看升旗，他應(yīng)當(dāng)幾點(diǎn)到達(dá)天安門廣場？

【解析】⑴

日期1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日6月1日

日出時(shí)間6:506:406:306:206:106:05

日落時(shí)間5:305:405:506:006:057:00

日期7月1日8月1日9月1日1。月1日11月1日12月1日

日出時(shí)間6:006:106:206:306:406:50

日落時(shí)間7:107:006:506:406:306:20

散點(diǎn)圖如下:

一時(shí)間

7

6

5

4

3

2

1

O1.12.13.14.15.16.17.18.19.110.111.112J日期

該圖象近似看作正弦型函數(shù)的模型.

（2）從所得表格可以看出，在五月份的時(shí)候，日出時(shí)間在6：10,而天安門升旗時(shí)間是日出的時(shí)候，所以

某同學(xué)想看升旅的話，應(yīng)該在6：10前到達(dá)天安門廣場.

變式4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某動(dòng)物種群數(shù)量在某年1月1口低至700,7月1口高至900,其總

量在此兩值之間呈止弦型曲線變化.

⑴求出種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間/的函數(shù)表達(dá)式；（其中f以年初以來的月份為計(jì)量單位，如“月用f=0表

示）

（2）估計(jì)當(dāng)年3月1日該動(dòng)物種群數(shù)量.

【脩析】（1）設(shè)這群數(shù)量）'關(guān)于時(shí)間/的解析式y(tǒng)=4sin（&+8）+8,（4>0,口>0,加區(qū)員,

—A+/3=7OO

則,解得A=100,8=800,

A+/3=9OO

第9頁共47頁

又由7=2x(6-0)=12,可得切=2=四，所以y=100sin(%+e)+800,

T66

因?yàn)閒=6時(shí),可得lOOsin(九+0)+800=900,即sin(7t+e)=l,解得sin*=-l,

又因?yàn)橥?,所以0=-5，

所以y=100sin｛四［一5)+800=800-100(：05./(04/411/￡1<).

（2）tUy=800-100cos-/,

6

當(dāng)1=2時(shí)，y=800-100cos^x2^=800-100x1=750,

即當(dāng)年3月I日該動(dòng)物種群的數(shù)列約為750.

變式5.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，其形成是由于海水受日月的引力

作用，潮是指海水在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象，一般來說，早潮叫潮，晚潮叫汐.某觀測站通過長時(shí)間

的觀測，發(fā)現(xiàn)潮汐的漲落規(guī)律和函數(shù)圖象f（x）=Asin（Qt+。）（&基本一致口周期為仙，共

中工為時(shí)間，“X）為水深.當(dāng)尸：時(shí)，海水上漲至最高，最高為5米.

⑴求函數(shù)的解析式，并作出函數(shù)/1（力在1。,4汨上的簡圖；

⑵求海水持續(xù)上漲的時(shí)間區(qū)間.

【解析】（1）由函數(shù)/（X）的周期為7=4兀，可得o==

當(dāng)二=（時(shí)時(shí)，海水上漲至最高，且最高為5米，可得4=5,所以/（x）=5sin（：x+*）,

K5sin(-x—+^>)=5,即sin(￡+s)=l,可得四+9=2+2E,&wZ,

24882

即夕=號+2依次eZ,因?yàn)椤?lt;。<5，所以。=令，所以/(x)=5sin(〈x+理),

82828

因?yàn)椤啊辏?,4冗］,可得不x+今e,

2ooo

列表:

13兀37t713兀I9n

—X+一n2兀

28T22~1T

n5兀97r13九

.V04兀

4~4~T~4~

"2+八也+&

/（X）50-50

22

第10頁共47頁

描點(diǎn)并連線，得到函數(shù)/（力的圖象，如圖所示,

⑵由（I）知，函數(shù)f（x）=5sin（-x+易,

2o

+2kn<l—x+—<>—+2lai,k=Z，解得一2+4日《彳《2+4E,攵eZ,

228244

所以函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-?+4E,：+4E]?eZ,

海水持續(xù)上漲的時(shí)間區(qū)間，即為函數(shù)/（A）的單調(diào)遞增區(qū)間，

所以海水持續(xù)上漲的時(shí)間區(qū)間為47+4E,：+4E],kwZ.

44

變式6.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知某海濱浴場海浪的高度>（米）是時(shí)間/（0<f?24,單位：時(shí)）的函

數(shù),記作：），=/?），下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：

1（時(shí)）03691215182124

y（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

經(jīng)長期觀察，y=/a）的曲線可近似地看成是函數(shù)），=433&+》的圖象.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù).y=Acosd+b的最小正周期7，振幅A及函數(shù)解析式；

⑵依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才而沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）中的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的10：00

至20：（X）之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？

【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知丁=12,所以0=§=W=

1126

由，-0,y=l5,得4+〃一1.5.

由，=3,y=1.0,得〃=1.0,故A=0.5,b=\,

TT

所以函數(shù)解析式為：），=；1COS，+1.

26

（2）由題意知，當(dāng)丁>1時(shí)才可對沖浪者開放，所以〈cos，+l>l,

26

所以cos?r>0,所以2E-四<乙1<2內(nèi)1+四，keZ,

6262

即⑵+3,kwZ.

第11頁共47頁

又因?yàn)?WY24,故可令2=0J2,

得0W/<3,或或21<Y24.

所以在規(guī)定時(shí)間10：00至20：00之間，有5個(gè)小時(shí)可供沖浪者活動(dòng)，即上午10：00至下午3：00.

變式7.（2023?四川眉山?高一校考期中）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般

地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭：卸貨后，在落潮時(shí)返回海

洋.卜面是某港II在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：

時(shí)刻2：005；008；00II；0014；0017；0020；0023；00

水深（米）7.55.02.55.07.55.02.55.0

經(jīng)長期觀測，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可近似用函數(shù)/⑺=4sin（a+e）+〃（A>（）,3>0,|*|<|J來

描述.

⑴根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)/⑺=Asin（?+⑼+。的表達(dá)式；

（2）--條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4.25米，安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙（船底與

洋底的距離），該貨船在一天內(nèi)（。：00-24:00）什么時(shí)間段能安全進(jìn)出港口？

【解析】（1）由表格知，/。）2=7.5,/（/）.=2.5,則AJ⑺

b=/a）gx+/（f）min=5,

2，

函數(shù)/（x）的周期7=12,則。=§=￡,即有/。）="皿3+8）+5,又"2）=7.5,

1626

IT7T7T7T

即一x2+p=—+2/m,〃eZ,而|*|<一,則〃=U,R=一,

6226

所以/（。=船11（3+少+5.

266

（2）貨船需要的安全水深為4.25+2=6.25米，則當(dāng)/⑺N6.25時(shí)就可以進(jìn)港，

[h2sin（E，+Z）+5N6.25,得sin（與+四）之，，?^-+2A7c<-r+-<—+2A7r.A:eZ,

2666626666

即12左41W4+12攵/wZ,而fw[Q24）,因此當(dāng)％=0時(shí),"[0,4]；當(dāng)』=1時(shí),^€[12,16],

所以貨船應(yīng)在0時(shí)至4時(shí)或12時(shí)至16時(shí)進(jìn)出港.

【方法技巧與總結(jié)】

解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

第12頁共47頁

-----------讀懂題目中的“文字”“圖象”“符號”等語

審清題意—吉，理解所反映的實(shí)際問題的背景，提

■I~煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題

整理數(shù)據(jù)，引入變量，找出變化規(guī)律，

運(yùn)用巳掌握的三角函數(shù)知識、物理知識

及其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，即建立三

角函數(shù)模型

利用所學(xué)的三角函數(shù)知識解答得到的三

角函數(shù)模型，求得結(jié)果

得出結(jié)論一將所得結(jié)論例譯成實(shí)際問題的答案

題型三：數(shù)據(jù)擬合問題

例7.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）某港口水深），（米）是時(shí)間，（0WK24,單位：小時(shí)）的函數(shù)，下表是水深

數(shù)據(jù):

/（小時(shí)）03691215182124

y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù).y=4sina+〃的圖象.

on舊（小時(shí)）

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出），二'$皿"+〃（4>0,/>0力>0）的表達(dá)式；

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的

距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多

不能超過多長時(shí)間？（忽略離港所用的時(shí)間）

A+Z?=13

【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù),

-A+b=l

A=3.力=10,T=15—3=12?

27r71

6

???函數(shù)的表達(dá)式為y=3sin!+10(0VY24)；

6

(2)由題意，水深yN4.5+7,

即35皿%+10211.5(0?]424),

6

第13頁共47頁

62

“C1兀Cf5兀.c

/.一tG24兀4—,2〃兀H---,&=0,],

6666

.?.正口,5］或叱口3,17］；

所以，該船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全進(jìn)港,

若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過16小吐

例8.（2023?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期中）“八月十八潮，壯觀天下無.”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了

湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，通過實(shí)地考察某

港口水深y（米）與時(shí)間。金424（單位：小時(shí)）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù):

t（小時(shí)）03691215182124

J（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1

該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲(chǔ)冬，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該

曲線可近似地看成函數(shù)圖象.

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；

（2）一般情況下，船舲航行時(shí)船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船

底與水面的距離）為8米，請你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識，給該船舶公司提供安全進(jìn)此

港時(shí)間段的建議.

【解析】（1）畫出散點(diǎn)圖，連線如下圖所示：

第14頁共47頁

c.式

y=3sin—/+10(0</<24)；

(2)3sin-/+10-8>3.5=>sin-r>-.

662

V0<r<24,

.?.()4—t<44，

6

/T7T57r_p.7T_7T5乃_

..一<—t<—,或—I-2/r<-t<-----1-2/r

666666

解得1WM5,或13WY17,

所以請?jiān)?：00至5：00和13：00至17：00進(jìn)港是安全的.

例9.(2023?高一課時(shí)練習(xí))下表所示的是芝加哥1951?1981年的月平均氣溫(°F).

月份123456

平均氣溫21.426.036.048.859.168.6

月份789101112

平均氣溫73.071.964.753.539.827.7

以月份為曲，x=月份一1，平均氣溫為)，軸建立直角坐標(biāo)系.

(1)描出散點(diǎn)圖；

⑵用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；

⑶這個(gè)函數(shù)的周期是多少？

(4)估計(jì)這個(gè)正弦曲線的振幅A；

(5)下面四個(gè)函數(shù)模型中哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)？

>'-46n>'-46元

②--------=cos—；(3)---------=cos—；④

A6—A6A6

【解析】(1)作出散點(diǎn)圖如圖所示:

第15頁共47頁

y/°F

（3）1月份的氣溫最低，為21.4°F,7月份氣溫最高，為73.0°F,

據(jù)圖知，^=7-1=6,,-.T=12.

(4)2A=最高氣溫一最低氣溫=73.。-21.4=51.6,所以A=25.8.

(5)門=月份

.??不妨取”0,…，代入①,得六皴4吟一?.①不適合:

代人②，得?七強(qiáng)薩

<0=tcos—

A25.86

???②不適合；同理④不適合，③適合.

變式8.（2023?福建福州?高一福建省長樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某港門的水深M米）是時(shí)間M0WXW24,

單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)），=Asin（s）+〃的圖象.

M時(shí)）03691215182124

武米）1001309.97.010013.01017.0100

（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y=Asin（s）+力的表達(dá)式;

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5米時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度（船底

與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)

間最多不能超過多長時(shí)間（忽略進(jìn)出所用的時(shí)間）?

A+〃=13

【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù),

-A+b=l

「.A=3,/>=1()?

7=15-3=12,

2冗71

Ct)=—=一,

/.y=3sin—x+10

6

???函數(shù)的表達(dá)式為y=3sin[x+10（夠上24）：

O

（2）由題意，水深F.4.5+7,

第16頁共47頁

即3sin金+」0廚1.5(0A?24),

/.sin^xU

62

—x€\2.knH—,2k/t----],k=0,1,

666

?X€[l,5]或*013,17]；

所以,該船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全進(jìn)港.

若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過16小時(shí).

變式9.（2023?吉林長春?高一長春市第八中學(xué)?？计谀╅L春某日氣溫y（C）是時(shí)間/（04424,單位:

小時(shí)）的函數(shù)，下面是某天不同時(shí)間的氣溫預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)：

N時(shí)）03691215182124

，（上）15.714.015.720.024.226.024.220.015.7

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成余弦型函數(shù)y=4cQs（如+0+〃的圖象.

武。。

0315244小時(shí)）

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試求y=Acos（＜w/+*）+Z?（A＞0,3＞0,0＜。＜乃）的表達(dá)式；

（2）大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲3倍于室內(nèi)銷售的利潤，但對室外溫度要求是氣溫

不能低于23℃.根據(jù)（1）中所得模型，一個(gè)24小時(shí)營業(yè)的商家想獲得最大利潤，應(yīng)在什么時(shí)間段（用區(qū)間

表示）將該種商品放在室外銷售，單日室外銷售時(shí)間最長不能超過多長時(shí)間？（忽略商品搬運(yùn)時(shí)間及其它非

主要因素?，理想狀態(tài)下哦，奧力給!）

【解析】（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)知，＜.八』，解得。=20,A=6；

-A+b=\4

由9=15-3=12,解得7=24,所以”=字=高；

—11Z

由H=3時(shí)），=14,即6cos（y^+s）+20=14,

rrrr

解得cos（二+8）=一1,即:+8=開+2A”，kwZ；

第17頁共47頁

所以W=—+2k7r,keZ；

4

由0＜。＜乃，解得e=若；

4

所以,，=68式三十當(dāng)+20,re[0,24]；

124

（2）令）,=6cos*f+,）+20..23,得cos*r+個(gè)）…;，

BP-1+2^iJj|z+^（+2時(shí)，kwZ；

解得-I3+24A掰-5+24&,攵eZ：

當(dāng)2=1時(shí)，U別24,

所以一個(gè)24小時(shí)營業(yè)的商家想獲得最大利潤，應(yīng)在止口1,⑼時(shí)間段將該種商品放在室外銷售，

且單0室外銷售時(shí)間最長不能超過19-11=8（小時(shí)）.

變式10.（2023?江西宜春?高一統(tǒng)考期末）某地農(nóng)業(yè)檢測部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價(jià)格每四

個(gè)月會(huì)重.復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成木逐月遞增.下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：

月份1月份2月份3月份4月份

收購價(jià)格（元/斤）6765

養(yǎng)殖成本（元/斤）344.65

現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：①尸Asin（Gx+9）+4,（A＞0,3＞0,一燈＜。＜乃）；②y=log2（x+a）+〃

中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本

（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）請你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)模型解析式；

（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有沒有可

能虧損？

【解析】（1）對于模型①，由點(diǎn)（L6）及（3,6）可得函數(shù)周期滿足＜=3-1=2,BP—=4,所以。=[,

2692

又函數(shù)最大值為A+8=7,最小值為-4+8=5,解得A=l,B=6,

所以尸sin[p+>+6,TTrr

乂]+□=24乃,AcZ,所以8=-]+2&萬,左cZ,

7F

又一冗＜年〈冗、所以8=_j,

所以模型①y=sinf|x-9+6：

對于模型②，、=1。82（工+。）+〃圖象過點(diǎn)（1，3）,（2,4）,

第18頁共47頁

所以仁叫+心，

4=log式2+〃)+〃

4=0

解得：L所以模型②)'二唾2工+3；

b=3

7Tjr

(2)由(1)Sjj=sin(—x--)+6,j2=log2A+3,

若y,>當(dāng)時(shí)則盈利,若M<%則虧損;

當(dāng)H=5時(shí)，y,=6>y2=log,5+3；

當(dāng)H=6時(shí)，X=7>y2=log26+3；

當(dāng)x=7時(shí)。，y1=6>y2=log27+3；

?

當(dāng)工=8時(shí)，3|=5<y2=log,8+3；

當(dāng)工=9時(shí)，yx=6<y2=log29+3；

當(dāng)x=10時(shí)，y,=7>y2=log210+3；

當(dāng)工=11時(shí)，J)=6<y2=log,11+3；

當(dāng)x=12時(shí)，y,=5<y2=log212+3；

這說明第8,9,11,12這四個(gè)月收購價(jià)格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損.所以今年該地區(qū)生豬養(yǎng)

殖戶在接下來的月份里有可能虧損.

【方法技巧與總結(jié)】

數(shù)據(jù)擬合的通法

(1)處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項(xiàng)重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類問題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問題三

角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖在這里起了關(guān)鍵作用.

(2)一般方法：數(shù)據(jù)對一作散點(diǎn)圖-確定擬合函數(shù)一解決實(shí)際問題.

題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用

例10.(2023?四川綿陽?高一四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí))摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)

施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離?地面高度

為100m,轉(zhuǎn)盤直徑為90m,均勻設(shè)置了依次標(biāo)號為148號的48個(gè)座艙.開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻

速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)min后距離地面的高度為"m,轉(zhuǎn)一周需要

30min.若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里且尸0時(shí)，I號座艙位于距離地面最近的位置，當(dāng)03工15

時(shí)，兩人距離地面的高度差〃(單位：m)取最大值時(shí)，時(shí)間，的值是.

第19頁共47頁

【答案】10

【解析】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為X軸建立直角坐

設(shè)r=Omin時(shí)，游客中位于點(diǎn)P(0,-45),以O(shè)P為終邊的角為-]；

根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min,可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為靠md/min,

由題意可得〃=45sin(^r-])+55,0</<15.

如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)4B表示，

則/4。8=三8=￡,

483

經(jīng)過fmin后甲距離地面的高度為d=45sin(p-g)+55,

點(diǎn)8相對丁?點(diǎn)A始終落后?rad,

此時(shí)乙距離地面的高度為%=45$in+55.

\J56；

則甲、乙距離地面的高度差

「居|=45卜醇/后卜唱一引,

第20頁共47頁

因?yàn)閒w[0,15],所以"f—《e-，

iJ6L66_

所以芻”==2得，=10,即開始轉(zhuǎn)動(dòng)10分鐘時(shí)，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為45m.

1562

故答案為：10.

例11.（2023?遼寧沈陽?高?沈陽二十中校聯(lián)考期中）?半徑為3.6米的水輪如圖所示，水輪圓心。距離水

面L8米.已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)尸從水面浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)6

位置）開始計(jì)時(shí)，則P點(diǎn)離開水面的高度/?關(guān)于時(shí)間/的函數(shù)解析式為—.

【答案】人=3.6si喻一熱1.8

【解析】夕點(diǎn)離開水面的高度h關(guān)于時(shí)間/的函數(shù)解析式可設(shè)為

A+6=5.4A—3.6

由題給條件可得,

B=1.8

水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，則運(yùn)動(dòng)周期為60秒,

2Kn

貝RLLiLj（o=—=——,

6030

又$in*=_附＜[，則*=一3

226

則/?=3.6sin（三一馬+1.8

306

故答案為：h=3.6sin（—/——）+1.8

306

例12.（2023?云南玉溪?高一云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是一個(gè)半徑為2米的水車，水車圓心

。距離水面1米.水車按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每12秒轉(zhuǎn)一圈，當(dāng)水車上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)外）

開始計(jì)算時(shí)間，設(shè)水車所在平面與水面的交線為L,以過點(diǎn)O且平行于L的直線為x軸，以過點(diǎn)。且與水

面垂直的直線為了軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸距離水面的高度〃（單位：米）關(guān)于時(shí)間，（單

第21頁共47頁

【解析】設(shè)/⑺=Asin(函+伊)+"A>(),口>0,|同<-J,

由函數(shù)/“)=Asin?+8)+&的物理意義可知：A=OR=2,k=l,

itlf(0)=0可得2sine+l=0,所以sin0=-g,

因?yàn)榫W(wǎng)則，8=

2o

又因?yàn)?⑺的最小正周期7=2=12,所以。=§=3，

(DT6

所以/(/)=2sin(yf-^)+l(r>0).

66

變式11.(2023?北京?高一北京市第三十五中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖為一半徑是3m的水輪，水輪圓心。距

離水面2m,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)，到水面的距離y(m)與時(shí)間/(s)滿足函數(shù)關(guān)系

y=/Asin(<wr4-^)+2(<y>0M>0),則/=.

第22頁共47頁

【答案】言帝

【解析】由題意可得，水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，所以轉(zhuǎn)一圈需要15s,

冗

所以7=15=三9yr，所以啰=2￡,

co15

故答案為：y2兀|.

變式12.（