拓展拔高練(時間:45分鐘分值:50分)1.(5分)(一題多法)若ea+a>b+lnb(a,b為變量)成立,則下列選項正確的是 ()A.a>lnb B.a<lnbC.lna>b D.lna<b【解析】選A.法一:由ea+a>b+lnb,可得ea+a>elnb+lnb,令f(x)=ex+x,則f(a)>f(lnb),因為f(x)在R上是增函數(shù),所以a>lnb.法二:由ea+a>b+lnb,可得ea+lnea>b+lnb,令g(x)=x+lnx,則g(ea)>g(b),因為g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以ea>b,即a>lnb.2.(5分)若ex-ax≥-x+ln(ax),則正實數(shù)a的取值范圍為 ()A.(0,1e) B.C.(1e,+∞) D.【解析】選B.不等式ex-ax≥-x+ln(ax),可化為ex+x≥elnax+lnax,設g(x)=ex+x,則g'(x)=ex+1>0,即g(x)在R上是增函數(shù),而g(x)≥g(lnax),因為a>0,x>0,所以x≥lnax=lna+lnx,由已知lna≤x-lnx恒成立,令f(x)=x-lnx,則f'(x)=1-1x當0<x<1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x>1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(1)=1,故只需lna≤1,即a≤e.又a>0,所以a的取值范圍為(0,e].3.(5分)已知函數(shù)f(x)=x2ex-a(x+2lnx)有兩個零點,則a的取值范圍是 ()A.{a|a≥1} B.{a|a≤2}C.{a|a≤e} D.{a|a>e}【解析】選D.f(x)=x2ex-a(x+2lnx)=ex+2lnx-a(x+2lnx),令t=x+2lnx,顯然該函數(shù)單調(diào)遞增,t∈R,則et-at=0有兩個根,當t=0時,等式為1=0,不符合題意;故t≠0時,等式轉(zhuǎn)化為a=ett即y=a和y=ett設g(x)=exg'(x)=ex故當x∈(-∞,0)和x∈(0,1)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x∈(1,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;且當x∈(-∞,0)時,g(x)<0,g(1)=e,故g(x)=exx由圖可得,a的取值范圍是{a|a>e}.4.(5分)(多選題)若不相等的正數(shù)a,b滿足aa=bb,則 ()A.a>1B.b<1C.a+b>2D.(n+1n)

n+1n>(【解析】選BCD.由aa=bb,得alna=blnb,令f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1=0,解得x=1e當x∈(1e,+∞)時,f'(x當x∈(0,1e)時,f'(x)<0所以f(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減,在(1e,+∞)所以0<a<1,0<b<1,故A不正確,B正確;要證明a+b>2e即證明b>2e-a(0<a<1e<b<1只需證f(b)>f(2e-a)只需證f(a)>f(2e-a)令g(x)=f(x)-f(2e-x)=xlnx-(2e-x)ln(2e-x),0<xg'(x)=lnx+1+ln(2e-x)+1=ln[x(2e-x)所以g(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減所以g(x)>g(1e)所以a+b>2e,故C正確由于f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,而n+1n>所以f(n+1n)>f(n所以n+1nlnn+1n>所以(n+1n)

n+1n>(n+2n+15.(5分)設函數(shù)f(x)=ex-ln(x+a),a∈R.當x∈(-a,+∞)時,f(x)≥a恒成立,則a的最大值為___________.

【解析】由ex-ln(x+a)≥a?ex+x≥ln(x+a)+x+a=eln(x+a)+ln(x+a),令g(x)=ex+x,顯然g(x)在R上單調(diào)遞增,且由g(x)≥g(ln(x+a))?x≥ln(x+a)?x+a≤ex?a≤(ex-x)min=1,當且僅當“x=0”時等號成立.經(jīng)檢驗,a的最大值為1,滿足題意.答案:1【加練備選】若?x∈(0,+∞),ln2x-aex2≤lna恒成立,則a【解析】依題意,ln2x-aex2≤lna?ln2x-lna≤aex2?2ln2xa≤aex?2因為x>0,a>0,所以若0<2xa≤1,顯然成立,此時滿足2x若2xa>1,令f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1>0在(1,+∞)所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,而2xaln2xa≤exlnex,所以綜上,2xa≤ex在(0,+∞)上恒成立,所以a≥令g(x)=2xex,g'(x所以當0<x<1時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x>1時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.所以g(x)≤g(1)=2e,即a≥2答案:[2e,+∞6.(5分)(2024·渭南模擬)設實數(shù)λ>0,對任意的x>1,不等式λeλx≥lnx恒成立,則λ的取值范圍為___________.

【解析】由題意,得eλx·λx≥xlnx=elnx·lnx,令f(t)=t·et,t∈(0,+∞),則f'(t)=(t+1)·et>0,所以f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(λx)≥f(lnx),即當x∈(1,+∞)時,λx≥lnx,即λ≥lnxx令g(x)=lnxx,x∈(1,+∞),則g'(x)=所以在(1,e)上,g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增;在(e,+∞)上,g'(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減;所以g(x)≤g(e)=1e,故λ≥1答案:[1e,+∞7.(10分)(2024·漳州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=aex+x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;【解析】(1)依題意,得f'(x)=aex+1.當a≥0時,f'(x)>0,所以f(x)在R上是增函數(shù).當a<0時,令f'(x)>0,可得x<-ln(-a);令f'(x)<0,可得x>-ln(-a),所以f(x)在(-∞,-ln(-a))上單調(diào)遞增,在(-ln(-a),+∞)上單調(diào)遞減.綜上所述,當a≥0時,f(x)在R上是增函數(shù);當a<0時,f(x)在(-∞,-ln(-a))上單調(diào)遞增,在(-ln(-a),+∞)上單調(diào)遞減.(2)當x>1時,f(x)>lnx-1a+x,求實數(shù)【解析】(2)因為當x>1時,f(x)>lnx-1a所以aex+x+1>lnx-1a即elnaex+x+1>ln(x-1)-lna+x,即ex+lna+lna+x>ln(x-1)+x-1,即ex+lna+x+lna>eln(x-1)+ln(x-1).令h(x)=ex+x,則有h(x+lna)>h(ln(x-1))對?x∈(1,+∞)恒成立.因為h'(x)=ex+1>0,所以h(x)在R上是增函數(shù),故只需x+lna>ln(x-1),即lna>ln(x-1)-x對?x∈(1,+∞)恒成立.令F(x)=ln(x-1)-x,則F'(x)=1x-1令F'(x)=0,得x=2.當x∈(1,2)時,F'(x)>0,當x∈(2,+∞)時,F'(x)<0,所以F(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以F(x)≤F(2)=-2.因此lna>-2,所以a>1e所以實數(shù)a的取值范圍為(1e2,+∞8.(10分)(2022·新高考Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx.證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.【證明】f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,則f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=g(x)min=1.當直線y=b與曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同交點時,如圖,設三個交點的橫坐標分別為x1,x2,x3,且x1<x2<x3,則f(x1)=f(x2)=g(x2)=g(x3)=b.因為f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx=elnx-lnx=f(lnx),所